2016全国高中数学联赛广西省预赛及答案

2016年全国高中数学联赛广西赛区预赛试题

(考试时间：2016年5月22日上午8:30—11:00)

考试形式：闭卷考试时间：150分钟满分：150分

一、填空题(本大题共10小题，每小题8分，共80分) 1. 函数f (x )

_________________.

⎧x ≤y

⎪

2. 设实数x , y 满足⎨y ≤6-2x ，向量a =(2x -y , m ), b =(-1,1)，若a //b ，

⎪x ≥1⎩

则实数m 的最小值为_____.

a 2b 2

3. 设a 、b 都为大于零的常数，0

x 1-x

4. 运行右侧的程序框图，输出的结果S 的值为________.

5. 已知函数f (x )=x 对应的曲线在点a k , f (a k )

()(k ∈N )处的切线与x 轴

的焦点为a k +1,0，若a

1=1，

则

()

+f + +f

⎛2⎫1- ⎪⎝3⎭

=_____.

6. 已知点P 在曲线y =e x 上，点Q 在曲线y =ln x 上，则PQ 的最小值是_________. 7. 设m ∈N*，log 2m 的整数部分用F (m ) 表示，则F (1)+F (2)+ +F (1024)=________.

8. 强一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两个端点异色，若只有4种颜色可供使用，则不同的染色方法总数有________种.

9. 设函数f (x )的定义域为R ，若存在常数ω>0使f (x )≤ωx 对一切实数x 均成立，则称f (x )为“条件的束函数”. 现给出下列函数：①f (x )=4x ；②f (x )=x +2；③f (x )=

；④f (x )2

x -2x +5

是定义在实数集R 上的奇函数，且对一切x 1, x 2均有f x 1-f x 2≤4x 1-x 2. 其中是“条件约束函数”的序号是__________.(写出符合条件的全部序号). 10. 已知线段AB 是半径为2的球O 的直径，C 、D 两点在球O 的球面上，CD =2，AB ⊥CD ，45°≤∠AOC ≤135°，则四面体ABCD 的体积的取值范围是___________. 二、解答题(本大题共3小题，共70分)

11. (本小题满分20分) 已知数列a n 中，a 1=1, a 2=

()()

{}

(n -1)a n 1

，且a n +1=(n ≥2). 4n -a n

172

(1)设b n =，求数列{b n }的通项公式；(2)求证：对一切n ∈N*，有∑a k

6n -1a n k =1

12.(本小题满分25分) 如图，点H 为△ABC 的垂心，以AB 为直径的 O 1和△BCH 的外接圆 O 2相交于点D ，延长AD 交CH 于点P ，求证：点P 为CH 的中点.

13.(本小题满分25分) 已知抛物线C :y 2 4x ，以M (1，2) 为直角顶点作该抛物线的内接直角三角形MAB . (1)求证：动直线AB 过定点；(2)过点M 作AB 的垂线交AB 于点N ，求点N 的轨迹方程.