天体的旋进与角动量守恒

第29卷第4期2010年4月大 学 物 理COLLEGE PHYS I CS V o. l 29N o . 4

A pr . 2010

天体的旋进与角动量守恒

于凤军

(安阳师范学院物理与电气工程学院, 河南安阳 455000)

摘要:通过非惯性系中的角动量定理和惯性系中的角动量守恒定律分析天体的旋进, 指出地轴的旋进与卫星轨道平面的旋进这两种现象同根同源, 相互依存.

关键词:旋进; 角动量守恒; 地球扁率; 卫星; 月球

中图分类号:O 31311 文献标识码:A 文章编号:1000-0712(2010) 04-0011-04

天体的旋进是一种常见的天文现象. 文献[1],

即5用引潮力计算岁差6及其引用的参考文献讨论了岁差) ) ) 地轴旋进现象; 文献[2],即5地球扁率对卫星轨道平面的影响) ) ) 兼谈卫星的太阳同步轨道6讨论了卫星轨道平面的旋进现象. 本文通过非惯性平动参考系中的角动量定理和地-月系统质心参考系中的角动量及其守恒规律分析上述现象, 并表明角动量守恒定律在分析天体旋进运动时所起的作用.

图2 卫星轨道角动量旋进

用. 它也取地球质心系, 给出平均力矩

M =

3Gm s

(I 3-I 1) si n A cos A j 2r se

(2)

1 作用力矩与反作用力矩

岁差是指地轴绕黄道平面法线的旋进带来的二分点的移动(见图1), 其动力学原因是月球和太阳的引力作用在倾斜的扁平地球上形成的力矩. 文献[1]取地球质心参考系(简称地球质心系), 导出了月球对地球的平均力矩

M a =e y

3Gm m

(I 3-I 1) si n H cos H 2r me

(1)

式(2) 中, m s 为卫星质量, r se 为卫星与地球质心的距离, A 为卫星轨道平面与赤道平面的夹角.

对比式(1) 和式(2) 可以发现, 两者形式完全一样(因A 与H 的意义相同). 然而, 它们是在研究两种不同现象时用不同的方法得到的. 这是巧合吗? 当然不是. 其实, 月球也是地球的一颗卫星, 月球对扁平的地球有力矩作用, 反过来扁平的地球对月球也有反作用力矩, 而式(1) 、式(2) 表示的正是作用与反作用力矩, 它们应等大反向. 下边作严格证明.

图3中, 将月球看作质点, 相对地球质心C 1位矢为r me , 把地球看作由诸多质量元组成的. 根据牛顿第三定律和引力定律知, 地球上任一质量元d m e (设其位矢为

r c ) 对月球m m 的作用力图3 作用力与反作用力d F 与月球m m 对该质量元的作用力d F c 等大反向, 且都沿二者连线方向, 即都与矢量r me -r c 共线. 由

图1 地轴的旋进

式(1) 中, m m 为月球质量, r me 为月球与地球质心的距离, H 为赤道平面与月球轨道平面的夹角. 文献

[2]研究地球形状对卫星轨道平面的影响) ) ) 旋进(见图2), 其原因是扁平的地球对卫星有力矩的作

收稿日期:2008-06-12; 修回日期:2009-12-04

() 男, , , .

12大 学 物 理 第29卷

矢量代数理论得(r me -r c ) @d F =0, 即r me @d F =r c @d F . 又因d F =-d F c , 所以r me @d F =-r c@d F c , 上式两边对地球作体积分

V

的作用力矩, M I =-

地球

6

m e i r i

@a C 1=0(a C 1是地

m r

me

@d F =-

V

m r c @d F c

(3)

球质心系的平动加速度, 下同), 角动量定理为

d J e

=M (6) d t 式(6) 就是文献[1]使用的动力学方程. J e 的变化规律由式(6) 决定, 说明M 是地轴旋进(岁差) 的根源. 其实, 式(6) 也是一般教材上提到的质点系对质心的角动量定理应用到本例中的具体表现.

2) 研究对象是月球或卫星. 这时, 质点系中只含一个质点, 仍取地球质心系(原点为地球质心C 1, 这属于质点系质心与参考系原点不重合情况), J =J m =r me @m m v m 为月球的轨道角动量(vm 是月球相对于地球质心系的速度), 外力矩M c 是扁平的地球对月球的作用力矩(与M 等大反向), M I =r me @(-m m a C 1). a C 1的方向沿月球对地球引力F 的方向. 值得注意的是, 当地球形状不是球形时, a C 1、r me 二者的方向并不严格一致. 而有一很小的夹角(原因是月球或卫星对地球引力的合力作用点不在地球质心C 1上

[5]

[3, 4]

这正是要证明的结论.

文献[1, 2]利用式(1) 、式(2) 计算旋进角速度, 所用的参考系是地球质心系, 它是以地球质心C 1为原点建立的坐标系C 1xy z , 3个坐标轴相对于惯性坐标架(或惯性空间) 无转动. 然而, 由于它受到月球(或卫星) 引力而具有加速度a C 1, 因此, 这是一个非惯性平动参考系. 天体的旋进与角动量的方向变化有关, 作用、反作用的存在往往与守恒规律相关, 故有必要探讨非惯性平动参考系中的角动量定理及角动量是否守恒.

2 非惯性平动参考系中的角动量定理

设有一非惯性平动参考系Cxyz , 其加速度为a C . 我们在此非惯性参考系中研究某一质点系的运动. 取该质点系为研究对象(质点系质心不一定与参考系原点C 重合), 设质点系中某质点m i 的位矢为r i , 受到的外力为F i

(外)

, 见图4. 这种现象与地、月之间存在力矩互

为因果), 因此M I X 0. 但当卫星质量远小于地球质量时a C 1很小, M I n M c (可以证明M I =M c m m /m e ), 这时可以略去M I . 角动量定理为

d J m

U M c (7) d t

这是文献[2]使用的动力学方程. 它是一个近似方程, 这一点过去文献未作说明.

、内力为F i 、惯性力为

(内)

-m i a C . 依照文献[3]的方法(见第120页式(2. 3. 8) 的推导过程, 这里省去字母上所带的符号/c 0), 可得如下方程:

r i @m i v i =d t 6i 令J =

6

i

r i @F i

(外)

+

6

i

r i @(-m i a C )

(4)

6

i

r i @m i v i , 它是质点系对参考系原点C 的

角动量; M =

6

i

r i @F i

(外)

, 它为诸外力对原点C 的

图4 合力F 的作用点不在质心C

力矩之和; M I =

6

i

r i @(-m i a C ), 它为惯性力对原=M +M

I

d t

点C 的力矩之和, 则有

(5)

3) 研究对象是地-月系统. 这时, 质点系中含地球(视为刚体) 和月球(视为质点), 取地球质心系(原点为地球质心C 1, 这属于质点系质心与参考系原点不重合情况), J =J e +J m , 外力矩为0, M I =-地球

上式就是在非惯性平动参考系中质点系的角动量定

理. 现讨论3种情况.

1) 研究对象是地球. 这时上述质点系为地球本身, 取地球质心系(上述原点C 化为地球质心C 1, 这属于质点系质心与参考系原点重合情况), J =

地球

6

m e i r i

@a C 1+r me @(-m m a C 1) =r me @(-d J

=M I d t

m m a C 1), 角动量定理为

(8)

6

r i @m e i v i 是地球质心系中地球对于其质心

C 1的角动量, 称它为地球的自转角动量(固有角动

量

[4]

如果地球是球形, 则上式等于0, 总角动量守恒(分角动量也守恒). 但地球不是球形, M I X 0, 说明在地

), 用J e 表示. 外力矩M 是月球对扁平的地球

第4期 于凤军:天体的旋进与角动量守恒 13

球质心系中地-月系统对于地球质心的角动量不守恒. 只有当m m n m e 、惯性力矩M I 远小于内力矩、M I 可以忽略时, 才可近似地认为地-月系统对地球质心的角动量守恒. 众所周知, 物理学中的守恒定律使人们对物理现象的理解与分析更加容易和简捷, 因此下面考虑地-月系统质心参考系(简称地-月质心系) 中的角动量问题, 讨论在哪里角动量守恒.

系统的轨道角动量. 式(10) 表明地-月系统对其质心的角动量等于地-月系统的轨道角动量与地球自转角动量之和(如果考虑月球大小, 还有月球自转角动量). 如前所述, 它是一个守恒量.

[4]

4 天体旋进与角动量守恒

取地-月(或地-卫) 质心系, 现在用角动量守恒定律分析天体的旋进运动. 上面已指出, 式(10) 中的J e 意义与式(6) 中的相同, 所以J e 的变化规律遵守方程(6) ) ) ) 作旋进运动. 当J e 旋进时, 由于总角动量J 守恒即J e 、J l 构成的平行四边形的对角线大小方向不变, J l (及地-月轨道平面) 必然也作同步旋进, 转轴为该对角线, 如图5. 需要强调, 这里的J 、J l 都是对于地-月质心的, J e 是对于地球质心的, 图5表示的是一种抽象的数学几何图像(数学上严格成立, 不意味图上所有角动量都是对于同一点的), 它为问题的分析与理解提供了直观图像. 以

[6]

上图像如同原子的矢量模型,

在那里电子自旋-轨道相互作用引起的自旋角动量与轨道角动量一起绕总角动量旋进.

3 地-月系统质心参考系中的角动量

以地-月系统质心C 2为原点建立该系统的质心坐标系C 2xy z , 即3个坐标轴相对于惯性空间无转动. 当略去任何第三物体的作用(仅考虑二体问题) 时, 可以认为这是一个惯性系. 因系统不受外力和外力矩的作用, 故系统总角动量J 守恒.

设地球质心C 1在坐标系C 2xyz 中的位矢为r C 1

(=C 2C 1), 速度v C 1; 月球(质点) 在坐标系C 2xyz 中的位矢为r m C 2速度v m C 2; 地球上质点m e i 的位矢r e i , 速度v e i . 再建立一地球质心系C 1x c y c z c , 其坐标轴与地-月质心系的平行. 并设质点m ei 在地球质心系中的位矢为r c e i , 速度v c e i . 显然r e i =r C +r c e i , v e i =v C

11+v c e i . 在地-月质心系中, 地-月系统对其质心C 2的角动量为J =

地球

地球

6

66

地球

r e i @m e i v e i +r m C 2@m m v m C 2=

(r C 1+r c e i ) @m e i (vC 1+v c e i ) +r m C 2@m m v m C 2=r C 1@m e i v C 1+

地球

地球

6

m e i r c e i @v C 1+

地球

6

r C 1@

(9)

图5 地轴与地-月轨道的旋进

m e i v c e i +

6

r c @m m v m C 2e i @m e i v c e i +r m C

2

式(9) 第一项可化为r C 1@m e v C 1, 它是地球的轨道角动量, 用J e l 表示; 第二、三项为零(因

地球

地球

6

m e i r c , e i =0

值得说明, 图5表示的是地球自转角动量大小

和地-月(地-卫) 轨道角动量的大小在同一数量级的情况, 但实际情况是极端情况. 对于地面附近的人造卫星, 前者比后者大20个数量级, 这导致J e 与J 几乎重合, 地球自转角动量在惯性空间中的方向几乎不变, 故J l 绕J e (或J ) 旋进, 地-卫轨道(或卫星轨道) 旋进的效果明显, 如图2表示的情况; 对天然卫星) ) ) 月球情形, 后者大于前者约16倍, J l 与J 方向夹角很小(约1b 22c ). 这使地-月轨道平面的方向在惯性空间的变化不明显, 而地轴(约沿J e 方向) 的旋进效果明显, 如图1表示的情况.

实际情况下, 必须考虑太阳的影响. 我们考虑日、地组成的系统, 取日-地质心系. 日-地轨道角动量是十分巨大的, 相比之下地球自转角动量十分6

m e i v c e i =0); 第四项本质上与式(6) 中J e 的意义

相同(见上), 即是地球的自转角动量; 第五项是月球的轨道角动量J m l , 故

J =J e l +J e +J m l =J l +J e

(10)

其中J l =J e l +J m l . 由于地球质心C 1、系统质心C 2和月球三者在同一直线上, 所以月球轨道平面、地球轨道平面在同一平面上(以下将它们统称为地-月轨道平面), J e l 、J m l 二者的方向也一致, 都垂直于轨道平面并与转向成右手关系. 作为前二者之和, J l 的方向完全代表地-月轨道平面的法线方向, J l 是描述系统整体轨道运动的物理量, 因此称它为地-月

14大 学 物 理 第29卷

面) 应在惯性空间几乎不动, 地轴应该绕黄道平面的法线旋进而不是绕白道平面的法线旋进(白道平面在空间不是静止的, 见下), 这才是真实情况.

在这种情况下, 由于太阳引潮力对月球轨道运动的影响, 使得月球轨道平面进行旋进

[7]

5 结论

1) 地球形状的扁平性使得在地球与卫星之间存在一对作用与反作用力矩, 并造成了地轴与卫星轨道的旋进. 两种现象同根同源, 在不同条件下表现的明显程度不相同.

2) 重心与质心的位置差异不仅可能引起天体[5]

的摆动, 还可能引起天体的旋进.

3) 一种天体旋进必然伴随另一种天体旋进, 这是角动量守恒的必然结果. 二者同时出现, 同时消失, 相互制约, 相互依存, 是一个事物的两个方面, 是对立统一规律的体现.

4) 地球质心系中地-月系统对于地球质心的总角动量不守恒; 地-月质心系中地-月系统对其质心的总角动量等于地-月系统轨道角动量与地球自转角动量之和, 且守恒; 研究非惯性系中质点系的角动量变化时, 需要分析惯性力矩.

5) 若仅存在有相互影响的两种旋转运动, 则总角动量方向是二者旋进的转轴方向. 这对旋进的定性分析和定量计算很重要. 所以说角动量守恒定律是分析天体运动的有力工具之一.

. 利用与

上边类似的方法仍可分析这种情况. 将地球看作质点, 取日-地-月系统质心参考系. 当略去其他行星的作用时, 系统对该质心C 3的角动量守恒. 这里有两种轨道运动, 第一种是地球与月球共同绕地-月质心C 2的地-月轨道运动(运动平面与月球轨道平面或白道平面重合); 第二种是太阳与C 2共同绕日-地-月系统质心C 3的轨道运动(运动平面与黄道平面重合). 类似前边的分析可得, 白道平面进行旋进时, 黄道平面也同时旋进. 但由于第二种轨道运动的角动量十分巨大, 使黄道平面在惯性空间中几乎不动, 实际上只能观测到白道平面的旋进. 最后给出在地-月系统质心系中地-月轨道角动量J l 旋进的动力学原因. 图4说明地球/重心0与质心的位置不同, 将其中的地球受的引力力系向其质心C 1简化, 等价力系是作用在C 1上的力F 和力偶矩为M 的力偶(见图6). 由质心运动定理知, 质心C 1的轨道运动由F 决定, 月球的轨道运动由F c 决定. 对于系统质心C 2而言, F 、F c 都不是有心力, 而具有力矩M c =r C 1@F +r m C 2@F c X 0(其中r m C 2、r C 1的意义见式(9); 由图6可知, M c 与M 等大反向). 正是M c 导致J l 的旋进. 显然J l 满足d J l /dt =M c . J e 满足式(6), d J e /dt =M . 上二式相加, 得d(J l +J e ) /dt =d J /dt =0, 即J 是常矢量. 这是预料之中的结果

.

参考文献:

[1] 于凤军. 用引潮力计算岁差[J].大学物理, 2006, 25

(2):6-8.

[2] 于凤军. 地球扁率对卫星轨道平面的影响) ) ) 兼谈卫

星的太阳同步轨道[J].大学物理, 2007, 26(7):1-3. [3] 周衍柏. 理论力学教程[M].北京:人民教育出版社,

1979:117-121.

[4] 赵凯华, 罗蔚茵. 新概念物理教程:力学[M ].北京:高

等教育出版社, 1995:169-170.

[5] 丁尧坚. 从杆状人造卫星的摆动看质心和重心的区别

[J].大学物理, 1988, 17(08):47-48.

[6] 褚圣麟. 原子物理学[M ].北京:高等教育出版社,

1979:130.

[7] 于凤军. 引潮力对月球及人造卫星轨道平面的影响

图6 月球引力向地球质心的简化[J].大学物理, 2006, 25(5):4-6.

The precession of celesti al bodies and conservati on of angular mo m entu m

YU Feng -jun

(Co ll ege of Physics and E lectr i ca l Eng i neering , Anyang N or m a lU n i versity , A nyang , H enan 455000, Ch i na)

Abst ract :The precessi o n of celestia lbod ies is ana l y zed i n ter m s ofm o m ent ofm o m entum theore m in non-i n -ertial syste m and the l a w o f conservation of angularm o m entu m. It is pointed out t h at the orig i n s f o r the earth . s ax is

precession and or b ital precessi o n of satellites are the sa m e .

K :;

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A pr . 2010

天体的旋进与角动量守恒

于凤军

(安阳师范学院物理与电气工程学院, 河南安阳 455000)

摘要:通过非惯性系中的角动量定理和惯性系中的角动量守恒定律分析天体的旋进, 指出地轴的旋进与卫星轨道平面的旋进这两种现象同根同源, 相互依存.

关键词:旋进; 角动量守恒; 地球扁率; 卫星; 月球

中图分类号:O 31311 文献标识码:A 文章编号:1000-0712(2010) 04-0011-04

天体的旋进是一种常见的天文现象. 文献[1],

即5用引潮力计算岁差6及其引用的参考文献讨论了岁差) ) ) 地轴旋进现象; 文献[2],即5地球扁率对卫星轨道平面的影响) ) ) 兼谈卫星的太阳同步轨道6讨论了卫星轨道平面的旋进现象. 本文通过非惯性平动参考系中的角动量定理和地-月系统质心参考系中的角动量及其守恒规律分析上述现象, 并表明角动量守恒定律在分析天体旋进运动时所起的作用.

图2 卫星轨道角动量旋进

用. 它也取地球质心系, 给出平均力矩

M =

3Gm s

(I 3-I 1) si n A cos A j 2r se

(2)

1 作用力矩与反作用力矩

岁差是指地轴绕黄道平面法线的旋进带来的二分点的移动(见图1), 其动力学原因是月球和太阳的引力作用在倾斜的扁平地球上形成的力矩. 文献[1]取地球质心参考系(简称地球质心系), 导出了月球对地球的平均力矩

M a =e y

3Gm m

(I 3-I 1) si n H cos H 2r me

(1)

式(2) 中, m s 为卫星质量, r se 为卫星与地球质心的距离, A 为卫星轨道平面与赤道平面的夹角.

对比式(1) 和式(2) 可以发现, 两者形式完全一样(因A 与H 的意义相同). 然而, 它们是在研究两种不同现象时用不同的方法得到的. 这是巧合吗? 当然不是. 其实, 月球也是地球的一颗卫星, 月球对扁平的地球有力矩作用, 反过来扁平的地球对月球也有反作用力矩, 而式(1) 、式(2) 表示的正是作用与反作用力矩, 它们应等大反向. 下边作严格证明.

图3中, 将月球看作质点, 相对地球质心C 1位矢为r me , 把地球看作由诸多质量元组成的. 根据牛顿第三定律和引力定律知, 地球上任一质量元d m e (设其位矢为

r c ) 对月球m m 的作用力图3 作用力与反作用力d F 与月球m m 对该质量元的作用力d F c 等大反向, 且都沿二者连线方向, 即都与矢量r me -r c 共线. 由

图1 地轴的旋进

式(1) 中, m m 为月球质量, r me 为月球与地球质心的距离, H 为赤道平面与月球轨道平面的夹角. 文献

[2]研究地球形状对卫星轨道平面的影响) ) ) 旋进(见图2), 其原因是扁平的地球对卫星有力矩的作

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() 男, , , .

12大 学 物 理 第29卷

矢量代数理论得(r me -r c ) @d F =0, 即r me @d F =r c @d F . 又因d F =-d F c , 所以r me @d F =-r c@d F c , 上式两边对地球作体积分

V

的作用力矩, M I =-

地球

6

m e i r i

@a C 1=0(a C 1是地

m r

me

@d F =-

V

m r c @d F c

(3)

球质心系的平动加速度, 下同), 角动量定理为

d J e

=M (6) d t 式(6) 就是文献[1]使用的动力学方程. J e 的变化规律由式(6) 决定, 说明M 是地轴旋进(岁差) 的根源. 其实, 式(6) 也是一般教材上提到的质点系对质心的角动量定理应用到本例中的具体表现.

2) 研究对象是月球或卫星. 这时, 质点系中只含一个质点, 仍取地球质心系(原点为地球质心C 1, 这属于质点系质心与参考系原点不重合情况), J =J m =r me @m m v m 为月球的轨道角动量(vm 是月球相对于地球质心系的速度), 外力矩M c 是扁平的地球对月球的作用力矩(与M 等大反向), M I =r me @(-m m a C 1). a C 1的方向沿月球对地球引力F 的方向. 值得注意的是, 当地球形状不是球形时, a C 1、r me 二者的方向并不严格一致. 而有一很小的夹角(原因是月球或卫星对地球引力的合力作用点不在地球质心C 1上

[5]

[3, 4]

这正是要证明的结论.

文献[1, 2]利用式(1) 、式(2) 计算旋进角速度, 所用的参考系是地球质心系, 它是以地球质心C 1为原点建立的坐标系C 1xy z , 3个坐标轴相对于惯性坐标架(或惯性空间) 无转动. 然而, 由于它受到月球(或卫星) 引力而具有加速度a C 1, 因此, 这是一个非惯性平动参考系. 天体的旋进与角动量的方向变化有关, 作用、反作用的存在往往与守恒规律相关, 故有必要探讨非惯性平动参考系中的角动量定理及角动量是否守恒.

2 非惯性平动参考系中的角动量定理

设有一非惯性平动参考系Cxyz , 其加速度为a C . 我们在此非惯性参考系中研究某一质点系的运动. 取该质点系为研究对象(质点系质心不一定与参考系原点C 重合), 设质点系中某质点m i 的位矢为r i , 受到的外力为F i

(外)

, 见图4. 这种现象与地、月之间存在力矩互

为因果), 因此M I X 0. 但当卫星质量远小于地球质量时a C 1很小, M I n M c (可以证明M I =M c m m /m e ), 这时可以略去M I . 角动量定理为

d J m

U M c (7) d t

这是文献[2]使用的动力学方程. 它是一个近似方程, 这一点过去文献未作说明.

、内力为F i 、惯性力为

(内)

-m i a C . 依照文献[3]的方法(见第120页式(2. 3. 8) 的推导过程, 这里省去字母上所带的符号/c 0), 可得如下方程:

r i @m i v i =d t 6i 令J =

6

i

r i @F i

(外)

+

6

i

r i @(-m i a C )

(4)

6

i

r i @m i v i , 它是质点系对参考系原点C 的

角动量; M =

6

i

r i @F i

(外)

, 它为诸外力对原点C 的

图4 合力F 的作用点不在质心C

力矩之和; M I =

6

i

r i @(-m i a C ), 它为惯性力对原=M +M

I

d t

点C 的力矩之和, 则有

(5)

3) 研究对象是地-月系统. 这时, 质点系中含地球(视为刚体) 和月球(视为质点), 取地球质心系(原点为地球质心C 1, 这属于质点系质心与参考系原点不重合情况), J =J e +J m , 外力矩为0, M I =-地球

上式就是在非惯性平动参考系中质点系的角动量定

理. 现讨论3种情况.

1) 研究对象是地球. 这时上述质点系为地球本身, 取地球质心系(上述原点C 化为地球质心C 1, 这属于质点系质心与参考系原点重合情况), J =

地球

6

m e i r i

@a C 1+r me @(-m m a C 1) =r me @(-d J

=M I d t

m m a C 1), 角动量定理为

(8)

6

r i @m e i v i 是地球质心系中地球对于其质心

C 1的角动量, 称它为地球的自转角动量(固有角动

量

[4]

如果地球是球形, 则上式等于0, 总角动量守恒(分角动量也守恒). 但地球不是球形, M I X 0, 说明在地

), 用J e 表示. 外力矩M 是月球对扁平的地球

第4期 于凤军:天体的旋进与角动量守恒 13

球质心系中地-月系统对于地球质心的角动量不守恒. 只有当m m n m e 、惯性力矩M I 远小于内力矩、M I 可以忽略时, 才可近似地认为地-月系统对地球质心的角动量守恒. 众所周知, 物理学中的守恒定律使人们对物理现象的理解与分析更加容易和简捷, 因此下面考虑地-月系统质心参考系(简称地-月质心系) 中的角动量问题, 讨论在哪里角动量守恒.

系统的轨道角动量. 式(10) 表明地-月系统对其质心的角动量等于地-月系统的轨道角动量与地球自转角动量之和(如果考虑月球大小, 还有月球自转角动量). 如前所述, 它是一个守恒量.

[4]

4 天体旋进与角动量守恒

取地-月(或地-卫) 质心系, 现在用角动量守恒定律分析天体的旋进运动. 上面已指出, 式(10) 中的J e 意义与式(6) 中的相同, 所以J e 的变化规律遵守方程(6) ) ) ) 作旋进运动. 当J e 旋进时, 由于总角动量J 守恒即J e 、J l 构成的平行四边形的对角线大小方向不变, J l (及地-月轨道平面) 必然也作同步旋进, 转轴为该对角线, 如图5. 需要强调, 这里的J 、J l 都是对于地-月质心的, J e 是对于地球质心的, 图5表示的是一种抽象的数学几何图像(数学上严格成立, 不意味图上所有角动量都是对于同一点的), 它为问题的分析与理解提供了直观图像. 以

[6]

上图像如同原子的矢量模型,

在那里电子自旋-轨道相互作用引起的自旋角动量与轨道角动量一起绕总角动量旋进.

3 地-月系统质心参考系中的角动量

以地-月系统质心C 2为原点建立该系统的质心坐标系C 2xy z , 即3个坐标轴相对于惯性空间无转动. 当略去任何第三物体的作用(仅考虑二体问题) 时, 可以认为这是一个惯性系. 因系统不受外力和外力矩的作用, 故系统总角动量J 守恒.

设地球质心C 1在坐标系C 2xyz 中的位矢为r C 1

(=C 2C 1), 速度v C 1; 月球(质点) 在坐标系C 2xyz 中的位矢为r m C 2速度v m C 2; 地球上质点m e i 的位矢r e i , 速度v e i . 再建立一地球质心系C 1x c y c z c , 其坐标轴与地-月质心系的平行. 并设质点m ei 在地球质心系中的位矢为r c e i , 速度v c e i . 显然r e i =r C +r c e i , v e i =v C

11+v c e i . 在地-月质心系中, 地-月系统对其质心C 2的角动量为J =

地球

地球

6

66

地球

r e i @m e i v e i +r m C 2@m m v m C 2=

(r C 1+r c e i ) @m e i (vC 1+v c e i ) +r m C 2@m m v m C 2=r C 1@m e i v C 1+

地球

地球

6

m e i r c e i @v C 1+

地球

6

r C 1@

(9)

图5 地轴与地-月轨道的旋进

m e i v c e i +

6

r c @m m v m C 2e i @m e i v c e i +r m C

2

式(9) 第一项可化为r C 1@m e v C 1, 它是地球的轨道角动量, 用J e l 表示; 第二、三项为零(因

地球

地球

6

m e i r c , e i =0

值得说明, 图5表示的是地球自转角动量大小

和地-月(地-卫) 轨道角动量的大小在同一数量级的情况, 但实际情况是极端情况. 对于地面附近的人造卫星, 前者比后者大20个数量级, 这导致J e 与J 几乎重合, 地球自转角动量在惯性空间中的方向几乎不变, 故J l 绕J e (或J ) 旋进, 地-卫轨道(或卫星轨道) 旋进的效果明显, 如图2表示的情况; 对天然卫星) ) ) 月球情形, 后者大于前者约16倍, J l 与J 方向夹角很小(约1b 22c ). 这使地-月轨道平面的方向在惯性空间的变化不明显, 而地轴(约沿J e 方向) 的旋进效果明显, 如图1表示的情况.

实际情况下, 必须考虑太阳的影响. 我们考虑日、地组成的系统, 取日-地质心系. 日-地轨道角动量是十分巨大的, 相比之下地球自转角动量十分6

m e i v c e i =0); 第四项本质上与式(6) 中J e 的意义

相同(见上), 即是地球的自转角动量; 第五项是月球的轨道角动量J m l , 故

J =J e l +J e +J m l =J l +J e

(10)

其中J l =J e l +J m l . 由于地球质心C 1、系统质心C 2和月球三者在同一直线上, 所以月球轨道平面、地球轨道平面在同一平面上(以下将它们统称为地-月轨道平面), J e l 、J m l 二者的方向也一致, 都垂直于轨道平面并与转向成右手关系. 作为前二者之和, J l 的方向完全代表地-月轨道平面的法线方向, J l 是描述系统整体轨道运动的物理量, 因此称它为地-月

14大 学 物 理 第29卷

面) 应在惯性空间几乎不动, 地轴应该绕黄道平面的法线旋进而不是绕白道平面的法线旋进(白道平面在空间不是静止的, 见下), 这才是真实情况.

在这种情况下, 由于太阳引潮力对月球轨道运动的影响, 使得月球轨道平面进行旋进

[7]

5 结论

1) 地球形状的扁平性使得在地球与卫星之间存在一对作用与反作用力矩, 并造成了地轴与卫星轨道的旋进. 两种现象同根同源, 在不同条件下表现的明显程度不相同.

2) 重心与质心的位置差异不仅可能引起天体[5]

的摆动, 还可能引起天体的旋进.

3) 一种天体旋进必然伴随另一种天体旋进, 这是角动量守恒的必然结果. 二者同时出现, 同时消失, 相互制约, 相互依存, 是一个事物的两个方面, 是对立统一规律的体现.

4) 地球质心系中地-月系统对于地球质心的总角动量不守恒; 地-月质心系中地-月系统对其质心的总角动量等于地-月系统轨道角动量与地球自转角动量之和, 且守恒; 研究非惯性系中质点系的角动量变化时, 需要分析惯性力矩.

5) 若仅存在有相互影响的两种旋转运动, 则总角动量方向是二者旋进的转轴方向. 这对旋进的定性分析和定量计算很重要. 所以说角动量守恒定律是分析天体运动的有力工具之一.

. 利用与

上边类似的方法仍可分析这种情况. 将地球看作质点, 取日-地-月系统质心参考系. 当略去其他行星的作用时, 系统对该质心C 3的角动量守恒. 这里有两种轨道运动, 第一种是地球与月球共同绕地-月质心C 2的地-月轨道运动(运动平面与月球轨道平面或白道平面重合); 第二种是太阳与C 2共同绕日-地-月系统质心C 3的轨道运动(运动平面与黄道平面重合). 类似前边的分析可得, 白道平面进行旋进时, 黄道平面也同时旋进. 但由于第二种轨道运动的角动量十分巨大, 使黄道平面在惯性空间中几乎不动, 实际上只能观测到白道平面的旋进. 最后给出在地-月系统质心系中地-月轨道角动量J l 旋进的动力学原因. 图4说明地球/重心0与质心的位置不同, 将其中的地球受的引力力系向其质心C 1简化, 等价力系是作用在C 1上的力F 和力偶矩为M 的力偶(见图6). 由质心运动定理知, 质心C 1的轨道运动由F 决定, 月球的轨道运动由F c 决定. 对于系统质心C 2而言, F 、F c 都不是有心力, 而具有力矩M c =r C 1@F +r m C 2@F c X 0(其中r m C 2、r C 1的意义见式(9); 由图6可知, M c 与M 等大反向). 正是M c 导致J l 的旋进. 显然J l 满足d J l /dt =M c . J e 满足式(6), d J e /dt =M . 上二式相加, 得d(J l +J e ) /dt =d J /dt =0, 即J 是常矢量. 这是预料之中的结果

.

参考文献:

[1] 于凤军. 用引潮力计算岁差[J].大学物理, 2006, 25

(2):6-8.

[2] 于凤军. 地球扁率对卫星轨道平面的影响) ) ) 兼谈卫

星的太阳同步轨道[J].大学物理, 2007, 26(7):1-3. [3] 周衍柏. 理论力学教程[M].北京:人民教育出版社,

1979:117-121.

[4] 赵凯华, 罗蔚茵. 新概念物理教程:力学[M ].北京:高

等教育出版社, 1995:169-170.

[5] 丁尧坚. 从杆状人造卫星的摆动看质心和重心的区别

[J].大学物理, 1988, 17(08):47-48.

[6] 褚圣麟. 原子物理学[M ].北京:高等教育出版社,

1979:130.

[7] 于凤军. 引潮力对月球及人造卫星轨道平面的影响

图6 月球引力向地球质心的简化[J].大学物理, 2006, 25(5):4-6.

The precession of celesti al bodies and conservati on of angular mo m entu m

YU Feng -jun

(Co ll ege of Physics and E lectr i ca l Eng i neering , Anyang N or m a lU n i versity , A nyang , H enan 455000, Ch i na)

Abst ract :The precessi o n of celestia lbod ies is ana l y zed i n ter m s ofm o m ent ofm o m entum theore m in non-i n -ertial syste m and the l a w o f conservation of angularm o m entu m. It is pointed out t h at the orig i n s f o r the earth . s ax is

precession and or b ital precessi o n of satellites are the sa m e .

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