在圆锥曲线里：
设椭圆
上有一定点
变换得到
时
就可以看成
这一点切线的斜率，写成导数的形式就是 有一动点
，那么有
函数不等式：拉格朗日中值定理，洛必达法则（在下面），柯西不等式的变式，赫尔德不等式，闵可夫斯基不等式，（安利一本贝肯鲍尔的《不等式入门》，小册子）第二数学归纳法（在下面）
解析几何：极坐标系，参数方程，隐函数求导（在上面）（事实上背过切线公式和切点弦公式就好），各种二级结论做过的最好就背过。 立体几何：向量叉乘，暴力破解一个爽
数列：各种二三级递推、递归，以及特征很方程
选填最后一两题：高斯函数被考滥了，三角形四心的向量性质（在下面），一些典型的涂色问题，还有就是一些几何性质，阿波罗尼斯圆（在下面）什么的，毕业久了记不得了
“四心”
1 若P 是△ABC 的重心PA+PB+PC=0
2 若P 是△ABC 的垂心PA*PB=PB*PC=PA*PC(内积） 3 若P 是△ABC 的内心aPA+bPB+cPC=0(abc是三边） 4 若P 是△ABC 的外心|PA|=|PB|=|PC| （AP 就表示AP 向量 |AP|就是它的模）
5 AP=λ（AB/|AB|+AC/|AC|),λ∈[0,+∞) 则直线AP 经过△ABC 内心 6 AP=λ（AB/|AB|cosB+AC/|AC|cosC),λ∈[0,+∞) 经过垂心 7 AP=λ（AB/|AB|sinB+AC/|AC|sinC),λ∈[0,+∞） 或 AP=λ(AB+AC),λ∈[0,+∞) 经过重心
8. 若aOA=bOB+cOC,则0为∠A 的旁心, ∠A 及∠B, ∠C 的外角平分线的交点
洛必达法则
0/0型不定式极限
若函数
⑴
和 满足下列条件： ，
；
；
⑵ 在点 的某去心邻域内两者都可导，且
⑶ 则
（ 可为实数，也可为 ±∞ ），
∞/∞型不定式极限
若函数
和
满足下列条件： ⑴
；
；
⑵ 在点 的某去心邻域内两者都可导，且
⑶ 则
（ 可为实数，也可为 ），
其他类型不定式极限
不定式极限还有
，
，
，
，
等类型。经过简单变换，它们一般均可化为
型或 (1)
型
型的极限。
可将乘积中的无穷小或无穷大变形到分母上，化为 型或 例：求
解：原式=
型。
(2)
型
把两个无穷大变形为两个无穷小的倒数，再通分使其化为 型。 例：求
解：原式=
(3) 型
可利用对数性质
将函数化简成以e 为底数的指数函数，对指数进行求极限。
针对不同的问题，还可以利用等价无穷小 例：求
作替换，化简算式。
解：原式= = =
= = =
上式求解过程中，利用了等价无穷小的替换，即把
替换成了 (4)
型
。
同上面的化简方法
例：求
解：原式= (5)
型
同上面的化简方法
例：求
解：原式=
注意
不能在数列形式下直接用洛必达法则，因为对于离散变量
是无法求导数的。但此时有形式类近的斯托尔兹－切萨罗定理（Stolz －Cesàro theorem ）作为替代。
作为竞赛狗，我负责任地说些非纯竞赛，自招难度的东西„„哪些能用，请知友根据实际情况自己定夺～
1. 牢记，牢记！三角恒等式和三角不等式, 很有用，把证明记住，一证引理，一步到位妥妥的～
2. 阿贝尔变换。还有其他恒等变换，暴算不等式的时候很有用。
3. 几何法做解析，找准几何意义，超级简单～比如用个角平分线定理，感觉可神奇了～得看题怎么样，需要运气和智商，毕竟有的题确实没有几何意义
4. 复数做平几。李伟固说今年Imo 中国队就败在了不会算平几，2010年联赛那个很难的平几，建系很方便„„一般是有“心”还有良好的对称性的平几需要～ 5. 换元法，待定系数，有时会起到简化作用，算代数题，很有用
6. 函数题，特值法，逼值，会比描述简单，但条件必须很好～
7. 见到三角的题，设复数算，配以微积分基本定理，特别简单„„好像大家对复数都不是很熟悉，其实复数是很好的数学工具
8. 做不等式之前，先猜取等条件。给某个变量取极限看其他变量变化，所谓，冻结变量法～ 9. 求值域，解不等式，多想几何意义，线性规划简单很多 10. 导数部份用拉格朗日中值定理，泰勒公式
11. 解析，点差法，圆锥曲线的第二定义，拉格朗日恒等式变形，运算中常用。定比分点。 多记着小结论最好了～
12. 用行列式展开多项式，方便 13. 切比雪夫，排序，都很巧 14. 母函数
15. 高次方程韦达定理
16. 复数中的Hlawka 不等式。柯西不等式有条件成立，还有反向柯西。 17. 斐波那契数列性质 18. 复数中，单位根
19. 解析中常常会用到阿波罗尼斯圆。
错位相减公式：
所有错位相减题都可以化成
的形式。设
，那么
(q≠1)
此公式经本人上学时反复验证。
记住这个，再碰到错位相减题直接写答案。如果是大题象征性地写一写过程就行了。 涉及圆锥曲线
焦半径长度的题目：用圆锥曲线统一定义
焦半径长度用直角坐标不好表示，用统一定义简单得不要不要的。
几率秒杀。
第二数学归纳法
原理是设有一个与正整数n 有关的命题，如果： （1）当n=1时，命题成立；
（2）假设当n≤k（k ∈N ）时，命题成立，由此可推得当n=k+1时，命题也成立。 那么根据①②可得，命题对于一切正整数n 来说都成立。
数列放缩（不一定靠谱）
花了一周时间，总算找到了一个通法，至少在答主的高中经历中能解决90%以上的数列放缩问题，包括不是固定值的，而是一个表达式的思想同样适应。话不多说，见下
0x1 思考这个值如1/3的得来，你会发现基本上都是等比求和的极限，没错。这机是关键，原因也很简单，我们基本上只能对这类数列求和。
0x2 利用分析法。既然是一个等比数列，那么我们就直接构造这个等比数列，a1和q 都设
出来。一般来说q 就是前面需要放缩的式子中指数下的那个（题目难的话，可能会调整这个q ）然后就利用放缩的逆过程，即两个数列中的每一项都有固定的大小关系（如要证A>B那么对应的a(n)>b(n)）这里会用到很多技巧，比如可能这个式子的前几项不满足，但后面的所有项都成立，那么可以把前几项单独拿出来说明。 0x3 最后再用综合法书写过程。
0x4 总之，这类问题的思想就是这样，但几年过去了，很多细节也忘了。希望能帮到题主。 ///////////我也是一条安静的分割线/////
//我是一个简单的栗子，随便在网上找的一道题，若有错误，请指正。
步骤：
0x1 设an ＝(a1*（1-q^n）)/(1-q),然后去掉q^n因为可以看作这个数列的极限就是5/3, a1/(1-q)=5/3,
观察前面的式子，可令q ＝1/2这里的q 可以不一样（但是为了后面的分析法容易证明）解得a1=5/6；
0x2 现在an ＝5/3*（1-1/2^n)，利用分析法比较1/（2^n-1）5/6）但从第二项开始，后面的每一项都小于，所以我们第一项单独提出来说明（1
然后这里附上参考答案的做法，可以对比一下
可以发现，构造那个数列很完美，但是你能想到吗？也说明了其实构造这个数列证明可以有很多，只是我的这种方法比较暴力。 //回忆高中数列的做题总结
有人评论说高中的数列压轴题没这么简单，的确如此。因为还要和很多方法技巧一起连用解决。比如逆向相加比较，构造函数放缩等等等等。总之，多做题肯定是不会错的，但是也要有方法的做题。学会研究答案，多思考，总结才能学得活。
在圆锥曲线里：
设椭圆
上有一定点
变换得到
时
就可以看成
这一点切线的斜率，写成导数的形式就是 有一动点
，那么有
函数不等式：拉格朗日中值定理，洛必达法则（在下面），柯西不等式的变式，赫尔德不等式，闵可夫斯基不等式，（安利一本贝肯鲍尔的《不等式入门》，小册子）第二数学归纳法（在下面）
解析几何：极坐标系，参数方程，隐函数求导（在上面）（事实上背过切线公式和切点弦公式就好），各种二级结论做过的最好就背过。 立体几何：向量叉乘，暴力破解一个爽
数列：各种二三级递推、递归，以及特征很方程
选填最后一两题：高斯函数被考滥了，三角形四心的向量性质（在下面），一些典型的涂色问题，还有就是一些几何性质，阿波罗尼斯圆（在下面）什么的，毕业久了记不得了
“四心”
1 若P 是△ABC 的重心PA+PB+PC=0
2 若P 是△ABC 的垂心PA*PB=PB*PC=PA*PC(内积） 3 若P 是△ABC 的内心aPA+bPB+cPC=0(abc是三边） 4 若P 是△ABC 的外心|PA|=|PB|=|PC| （AP 就表示AP 向量 |AP|就是它的模）
5 AP=λ（AB/|AB|+AC/|AC|),λ∈[0,+∞) 则直线AP 经过△ABC 内心 6 AP=λ（AB/|AB|cosB+AC/|AC|cosC),λ∈[0,+∞) 经过垂心 7 AP=λ（AB/|AB|sinB+AC/|AC|sinC),λ∈[0,+∞） 或 AP=λ(AB+AC),λ∈[0,+∞) 经过重心
8. 若aOA=bOB+cOC,则0为∠A 的旁心, ∠A 及∠B, ∠C 的外角平分线的交点
洛必达法则
0/0型不定式极限
若函数
⑴
和 满足下列条件： ，
；
；
⑵ 在点 的某去心邻域内两者都可导，且
⑶ 则
（ 可为实数，也可为 ±∞ ），
∞/∞型不定式极限
若函数
和
满足下列条件： ⑴
；
；
⑵ 在点 的某去心邻域内两者都可导，且
⑶ 则
（ 可为实数，也可为 ），
其他类型不定式极限
不定式极限还有
，
，
，
，
等类型。经过简单变换，它们一般均可化为
型或 (1)
型
型的极限。
可将乘积中的无穷小或无穷大变形到分母上，化为 型或 例：求
解：原式=
型。
(2)
型
把两个无穷大变形为两个无穷小的倒数，再通分使其化为 型。 例：求
解：原式=
(3) 型
可利用对数性质
将函数化简成以e 为底数的指数函数，对指数进行求极限。
针对不同的问题，还可以利用等价无穷小 例：求
作替换，化简算式。
解：原式= = =
= = =
上式求解过程中，利用了等价无穷小的替换，即把
替换成了 (4)
型
。
同上面的化简方法
例：求
解：原式= (5)
型
同上面的化简方法
例：求
解：原式=
注意
不能在数列形式下直接用洛必达法则，因为对于离散变量
是无法求导数的。但此时有形式类近的斯托尔兹－切萨罗定理（Stolz －Cesàro theorem ）作为替代。
作为竞赛狗，我负责任地说些非纯竞赛，自招难度的东西„„哪些能用，请知友根据实际情况自己定夺～
1. 牢记，牢记！三角恒等式和三角不等式, 很有用，把证明记住，一证引理，一步到位妥妥的～
2. 阿贝尔变换。还有其他恒等变换，暴算不等式的时候很有用。
3. 几何法做解析，找准几何意义，超级简单～比如用个角平分线定理，感觉可神奇了～得看题怎么样，需要运气和智商，毕竟有的题确实没有几何意义
4. 复数做平几。李伟固说今年Imo 中国队就败在了不会算平几，2010年联赛那个很难的平几，建系很方便„„一般是有“心”还有良好的对称性的平几需要～ 5. 换元法，待定系数，有时会起到简化作用，算代数题，很有用
6. 函数题，特值法，逼值，会比描述简单，但条件必须很好～
7. 见到三角的题，设复数算，配以微积分基本定理，特别简单„„好像大家对复数都不是很熟悉，其实复数是很好的数学工具
8. 做不等式之前，先猜取等条件。给某个变量取极限看其他变量变化，所谓，冻结变量法～ 9. 求值域，解不等式，多想几何意义，线性规划简单很多 10. 导数部份用拉格朗日中值定理，泰勒公式
11. 解析，点差法，圆锥曲线的第二定义，拉格朗日恒等式变形，运算中常用。定比分点。 多记着小结论最好了～
12. 用行列式展开多项式，方便 13. 切比雪夫，排序，都很巧 14. 母函数
15. 高次方程韦达定理
16. 复数中的Hlawka 不等式。柯西不等式有条件成立，还有反向柯西。 17. 斐波那契数列性质 18. 复数中，单位根
19. 解析中常常会用到阿波罗尼斯圆。
错位相减公式：
所有错位相减题都可以化成
的形式。设
，那么
(q≠1)
此公式经本人上学时反复验证。
记住这个，再碰到错位相减题直接写答案。如果是大题象征性地写一写过程就行了。 涉及圆锥曲线
焦半径长度的题目：用圆锥曲线统一定义
焦半径长度用直角坐标不好表示，用统一定义简单得不要不要的。
几率秒杀。
第二数学归纳法
原理是设有一个与正整数n 有关的命题，如果： （1）当n=1时，命题成立；
（2）假设当n≤k（k ∈N ）时，命题成立，由此可推得当n=k+1时，命题也成立。 那么根据①②可得，命题对于一切正整数n 来说都成立。
数列放缩（不一定靠谱）
花了一周时间，总算找到了一个通法，至少在答主的高中经历中能解决90%以上的数列放缩问题，包括不是固定值的，而是一个表达式的思想同样适应。话不多说，见下
0x1 思考这个值如1/3的得来，你会发现基本上都是等比求和的极限，没错。这机是关键，原因也很简单，我们基本上只能对这类数列求和。
0x2 利用分析法。既然是一个等比数列，那么我们就直接构造这个等比数列，a1和q 都设
出来。一般来说q 就是前面需要放缩的式子中指数下的那个（题目难的话，可能会调整这个q ）然后就利用放缩的逆过程，即两个数列中的每一项都有固定的大小关系（如要证A>B那么对应的a(n)>b(n)）这里会用到很多技巧，比如可能这个式子的前几项不满足，但后面的所有项都成立，那么可以把前几项单独拿出来说明。 0x3 最后再用综合法书写过程。
0x4 总之，这类问题的思想就是这样，但几年过去了，很多细节也忘了。希望能帮到题主。 ///////////我也是一条安静的分割线/////
//我是一个简单的栗子，随便在网上找的一道题，若有错误，请指正。
步骤：
0x1 设an ＝(a1*（1-q^n）)/(1-q),然后去掉q^n因为可以看作这个数列的极限就是5/3, a1/(1-q)=5/3,
观察前面的式子，可令q ＝1/2这里的q 可以不一样（但是为了后面的分析法容易证明）解得a1=5/6；
0x2 现在an ＝5/3*（1-1/2^n)，利用分析法比较1/（2^n-1）5/6）但从第二项开始，后面的每一项都小于，所以我们第一项单独提出来说明（1
然后这里附上参考答案的做法，可以对比一下
可以发现，构造那个数列很完美，但是你能想到吗？也说明了其实构造这个数列证明可以有很多，只是我的这种方法比较暴力。 //回忆高中数列的做题总结
有人评论说高中的数列压轴题没这么简单，的确如此。因为还要和很多方法技巧一起连用解决。比如逆向相加比较，构造函数放缩等等等等。总之，多做题肯定是不会错的，但是也要有方法的做题。学会研究答案，多思考，总结才能学得活。