第十四讲 从数的二进制谈起
在即将进入21世纪的今天，电子（数字）计算机内部数的存贮和计算采用二进制已是众所周知的事了. 据学者考证，中国在公元前2000多年的伏羲氏发明的八卦，即用—和--两种符号拼出来的。
如果把—看成1，把--看成0，那么上述八卦可以翻译成二进制数（列于下面）。
但是人类历史进程表明，二进制大约被人类冷落了近四千年（在此期间一直重视和使用十进制），直到20世纪40年代，科学技术的整体水平（有了无线电通讯、雷达技术和真空管、继电器等电子元器件）进一步提高，再加上反法西斯战争需要发明原子弹（原子弹许多设计数据不能事先在实验室测出，而必须靠理论计算，而计算量超过人类有史以来全部算术运算），著名数学家冯·诺伊曼（J.von Neumann）和另一些年轻数学家发明制成了称之为ENIAC 的通用电子数字计算机（用18000支真空管，1500个继电器，几十万电阻电容，自重30吨，耗电200千瓦）. 直至今日，电子计算机主要还是冯·诺伊曼体系. 告诉大家这一些历史，主要说明我们不能停留在为祖先最早发明了二进制而自豪这一步，还要看到数学大有用武之地，但要与经济建设和科学技术广泛结合才能起大的或巨大的（如电子计算机）作用. 下面看二进制本质到底是什么？
人类天生双手十指. “搬着手指头”计数，是每个人幼时必经之路. 十进制数有两大内涵. 一是有十个不同数符：0，1，2„9；二是“逢十进一”的进位法则，有个、十、百、千等自右向左的数位. 倘若人类双手八指，也许地球上今日该流行八进制了. 所以二进制也有两大内涵. 一是有两个不同数符：0，1；二是“逢二进一”. 其实，我们已见过非十进制的事物，一年十二个月，十二进制；一周七天，七进制；一小时六十分，一分六十秒，六十进制；一英尺等于十二英寸（电视机常说20英寸，21英寸），十二进制；一副三角尺含2块，一双鞋含2只，一双袜子含2只，一双筷子含2根，这些都可看成二进制. 一个十进制数1993可表述为：
1993＝1000+900+90+3=1×103+9×102+9×
10+3
＋a3×103+a2×102+a1×10+a0
其中0≤ai ≤9，而i 是0到n 中的一个整数。
再回到二进制. 大家知道：数是计算物体的个数而引进的，0代表什么也没有，有一个，记为“1”；再多一个，记为“10”（在十进制下记为2）；比“10”再多一个，记为“11”. 依次类推，我们很容易接受（或自己发明）二进制下，从小到大的数列，不妨列表：
为了不引起混淆，我们把二进制数右下角标一个2，如：
（10）2=（2）10，或省略括号，省略十进制标记，略为：
102=2，或（10）2=2，11112=15
和十进制对数位有一省略名字一样，二进制的数位也可称呼：
例如：1993＝1024＋512＋256＋128＋64＋8＋1，写成二进制为：
0×4＋0×2＋0×1＝（88）10
因而二进制的数化为十进制，只要读出二进制各数位累加即可，如N ＝（bnbn-1bn-2„b2b1b0）2则有N=（bn ×2n ＋bn-1×2n-1＋bn-2×2n-2＋„+b2×22＋b1×21+b0）10
难度大的是怎样较快地把一个十进制数化为二进制数. 还以1993为例，前面的方法是先找出二进制的高位数字，记熟了2的各种幂次（a 的n 次幂表示n 个a 相乘，记为an ），找到不超过1993的最大的2的幂，是210=1024，得b10=1，再找不超过（1993-210）的最大的2的幂，是29=512，得b9=1，依次类推得b8，b7„b2，b1，b0. 这是由高位到低位逐渐推得的方法。
现在设法自低位到高位，先找b0. 显然，十进制偶数，b0=0，十进制奇数b0=1，所以b0是N 除以2的余数. 再说b1，因为N=bn×2n ＋„＋b2×22
第十四讲 从数的二进制谈起
在即将进入21世纪的今天，电子（数字）计算机内部数的存贮和计算采用二进制已是众所周知的事了. 据学者考证，中国在公元前2000多年的伏羲氏发明的八卦，即用—和--两种符号拼出来的。
如果把—看成1，把--看成0，那么上述八卦可以翻译成二进制数（列于下面）。
但是人类历史进程表明，二进制大约被人类冷落了近四千年（在此期间一直重视和使用十进制），直到20世纪40年代，科学技术的整体水平（有了无线电通讯、雷达技术和真空管、继电器等电子元器件）进一步提高，再加上反法西斯战争需要发明原子弹（原子弹许多设计数据不能事先在实验室测出，而必须靠理论计算，而计算量超过人类有史以来全部算术运算），著名数学家冯·诺伊曼（J.von Neumann）和另一些年轻数学家发明制成了称之为ENIAC 的通用电子数字计算机（用18000支真空管，1500个继电器，几十万电阻电容，自重30吨，耗电200千瓦）. 直至今日，电子计算机主要还是冯·诺伊曼体系. 告诉大家这一些历史，主要说明我们不能停留在为祖先最早发明了二进制而自豪这一步，还要看到数学大有用武之地，但要与经济建设和科学技术广泛结合才能起大的或巨大的（如电子计算机）作用. 下面看二进制本质到底是什么？
人类天生双手十指. “搬着手指头”计数，是每个人幼时必经之路. 十进制数有两大内涵. 一是有十个不同数符：0，1，2„9；二是“逢十进一”的进位法则，有个、十、百、千等自右向左的数位. 倘若人类双手八指，也许地球上今日该流行八进制了. 所以二进制也有两大内涵. 一是有两个不同数符：0，1；二是“逢二进一”. 其实，我们已见过非十进制的事物，一年十二个月，十二进制；一周七天，七进制；一小时六十分，一分六十秒，六十进制；一英尺等于十二英寸（电视机常说20英寸，21英寸），十二进制；一副三角尺含2块，一双鞋含2只，一双袜子含2只，一双筷子含2根，这些都可看成二进制. 一个十进制数1993可表述为：
1993＝1000+900+90+3=1×103+9×102+9×
10+3
＋a3×103+a2×102+a1×10+a0
其中0≤ai ≤9，而i 是0到n 中的一个整数。
再回到二进制. 大家知道：数是计算物体的个数而引进的，0代表什么也没有，有一个，记为“1”；再多一个，记为“10”（在十进制下记为2）；比“10”再多一个，记为“11”. 依次类推，我们很容易接受（或自己发明）二进制下，从小到大的数列，不妨列表：
为了不引起混淆，我们把二进制数右下角标一个2，如：
（10）2=（2）10，或省略括号，省略十进制标记，略为：
102=2，或（10）2=2，11112=15
和十进制对数位有一省略名字一样，二进制的数位也可称呼：
例如：1993＝1024＋512＋256＋128＋64＋8＋1，写成二进制为：
0×4＋0×2＋0×1＝（88）10
因而二进制的数化为十进制，只要读出二进制各数位累加即可，如N ＝（bnbn-1bn-2„b2b1b0）2则有N=（bn ×2n ＋bn-1×2n-1＋bn-2×2n-2＋„+b2×22＋b1×21+b0）10
难度大的是怎样较快地把一个十进制数化为二进制数. 还以1993为例，前面的方法是先找出二进制的高位数字，记熟了2的各种幂次（a 的n 次幂表示n 个a 相乘，记为an ），找到不超过1993的最大的2的幂，是210=1024，得b10=1，再找不超过（1993-210）的最大的2的幂，是29=512，得b9=1，依次类推得b8，b7„b2，b1，b0. 这是由高位到低位逐渐推得的方法。
现在设法自低位到高位，先找b0. 显然，十进制偶数，b0=0，十进制奇数b0=1，所以b0是N 除以2的余数. 再说b1，因为N=bn×2n ＋„＋b2×22