七年级下册7．2 与三角形有关的角教案
教学重点：三角形的内角和定理；三角形的内角与外角的关系．
三角形内角和定理是本单元的重要内容，也是平面几何中基本的运算公
式．在今后学习其他平面几何知识时，本定理是一个必要的知识储备，同时也是
学生解决有关角度计算问题的有力工具，在初中平面几何中比较常用．三角形的
内角与外角的关系定理是在内角和定理的基础上引申出来的，在初中数学知识体
系中，也是比较常用的一个知识点，经常用来解决图形中求角度的问题，另外，
在后面的四边形、圆的证明题中也比较常用．
在学习本节的定理时，由于记忆和理解三角形内角和定理都不难，关键在
于能否利用这个定理培养学生的分析问题和解决问题的能力．由于该定理的形成
概念过程可以通过多种添加辅助线的方法获得，所以探究定理的过程能够培养学
生思维的灵活性．而三角形外角与内角的关系定理和三角形的内角和定理联系比
较紧密，教师应在讲完三角形的外角定义后，充分引导学生思考三角形的内角和
定理，尽量让学生自己发现：“三角形的外角等于与它不相邻的内角的和”这个
结论，能够使学生掌握起来更加容易，培养学生思维的灵活性．有了这个定理作
基础，“三角形的外角大于任一个与它不相邻的内角”就非常容易得出了．另外，
教师在教学中要注意：学生可能不会说出“与它不相邻”这个关键词，教师最好
不要直接予以强调，可让学生自己组织语言，若学生总结有困难，教师再作详细
的讲解．
教学难点：三角形内角和定理证明的理解；三角形内角和定理、内角与外角
关系的应用．
对于三角形内角和定理，要求学生进行比较规范的逻辑证明，而定理本身的
逻辑性比较强，这就使本内容成为了本节课的难点内容．学生在应用三角形的内
角与外角关系定理时，往往会在读图时意识不到利用外角来解决问题，不仅是在
刚学过时，在今后利用这个结论解决其他问题时也会常出现．
突破难点时，主要利用课前准备好的三角形纸片，让学生动手操作，体验思
考和实验的过程，加深理解和记忆．另外，教学中还可辅以动画或视频，对公式
的推理过程进行明确的演示．教师在活动过程中进行总体的要求和个别的指导，
如下方法可供参考：
1、剪拼法：（可以利用剪纸或动画来展示）把一个三角形纸板的两个角剪下，
分别拼在第三个角的两侧（或按顺序拼在第三个角的同侧），可以很清晰的看三
个角组成了一个平角，再由平角的定义可以得出三角形的内角和为180°．
2、折叠法：（可以利用剪纸或动画来展示）在已有的三角形纸板上标出任意
两边的中点，沿这两个中点的连线折叠，将一个角的顶点折到其对边，使角的顶
点落在对边上；再分别沿这两个中点向第三边作垂线，将另外两个角的顶点折向
中间，与前一个角的顶点重合，这样也可以清楚地看到三个角组成了一个平角．
由于学生逻辑推理能力还不够高，所以对于几何证明还有相当的难度．这里
要注意根据不同的学生状况，提出不同的要求．不要要求学生必须都获得多种证
明的方法，要以能力培养为主，重点说明证明的过程、书写方法、证明的必要性
和合理性．在习题讲解时，教师应尽可能多地展示一些典型例题，充分引导学生
的思维，培养学生多角度读图的能力，尤其是比较复杂的图形，由于三角形比较
多，用到三角形外角的可能性就比较大，教师在讲解时，应重点强调哪个角是哪
个三角形的外角，让学生读图时将着眼点放在这个三角形上．经过一系列的强化，
相信学生会比较熟练的利用这个定理解题．
图1 图2
问题1：图形2中∠1是原三角形中∠ ； （答案：B）
图形中∠2是原三角形中∠ ； （答案：A）
图形中∠3是原三角形中∠ ． （答案：C）
问题2：这个三角形三个内角有什么样的关系？(这三个内角的和为180°)
(2)剪一剪，拼一拼
将三角形硬纸片的两个角剪下，使它们的顶点与另一个角的顶点重合，将它
们拼凑在一起．观察三角形的内角和．（利用动画：三角形的内角和）让学生进行
自由猜想，选择自己喜欢的方法，添加辅助线，形成定理的证明思路．
(3)尝试证明
小组讨论每个同学的想法，寻求一种比较简洁的辅助线添加方法，然后进行
逻辑证明．（根据学生的能力提出不同的难度，对于一些好学生，可以要求两种
以上的证明方法,其他学生完成以下证明）
图3 图4
问题1：如图3，∠B和∠C分别拼在了∠A的左右，这三个角的和等于多少？
问题2：∠B和∠C各有一条边落在直线l上，直线l和△ABC的边BC有什
么关系？由此图你能说明三角形的内角和为什么等于180°吗？
如图3，过点A作BC的平行线l，
∵ l∥BC，
∴∠1=∠4.（两直线平行，内错角相等）
∠2=∠5.（两直线平行，内错角相等）
∵∠3+∠4+∠5=180°,（1平角=180°）
∴∠1+∠2+∠3=180°.（等量代换）
∴三角形内角和等于180°．
问题3：仿照图3的方法，你能由图4说明三角形内角和为什么等于180°吗？
问题4：你还有其它的剪拼方法吗？
2．三角形的外角，从词义上理解，就应该是与三角形有关的．在三角形外面的角．大家任意画一个三角形，请你尝试在三角形的外面画出一个你认为是外角的角．
即使有的学生画出的所谓外角是错误的，教师对学生的作图也要充分肯定，引导学生通过延长三角形的边得出外角，并给出外角的定义．
分析定义的本质：让学生将一个三角形的所有外角都画出来，并观察一个三角形有几个外角，以及外角的构成的．
结论：外角有六个，并且两两相等；每个外角是由三角形的一条边和另一边的延长线组成的．
3．探索三角形外角的性质
从外角和内角的关系看，同学们能够得出什么好的结论？
组织讨论，可能得到如下结论：
外角比内角大；内角在三角形的内部，外角在三角形的外部；„„．
从学生的答案中寻找合理的因素，进行必要的引导，其中有正确的，也有不全面的，让学生们进行观察和讨论，尤其是针对外角比内角大的结论进行充分的讨论，比如举出直角三角形或钝角三角形对以上结论进行颠覆，然后再讨论如何才能把握得当，进而得出：“每个三角形的外角都大于与它不相邻的内角”，或得出“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”；随着其中一个的得出，另一个就能马上得出．
在学生理解了上述两个结论后，引导学生对这两个结论进行理论说明，利用三角形的内角和定理以及平角的定义进行推理证明，可以让学生先口头叙述，然后写出来，对于大部分学生应不成问题，教师可以对少数学生进行必要的指导．
4．视角问题
教师给出视角的定义，可举出实际中的例子，帮助学生理解视角的定义．
（三）应用新知，体验成功
1．典型例题：利用媒体资源中的典型例题进行教学．
2．练一练
(1)满足条件∠A=∠B=∠C的△ABC是三角形，
(2)如图5，在△ABC中，∠B、∠C的平分线交于点O，试证明：∠BOC=90°+∠A.
图5
（四）课堂小结，体验收获
通过本节学习你有哪些收获？教师可以进行引导和提示，让学生自主进行总结，并且教师应给予肯定．
1．三角形的内角和定理及其应用．
2．关于视角的定义．
3．用剪拼和折叠的方法推导数学定理．
4．三角形外角的定义及个数．
5．三角形外角与不相邻内角的大小关系．
6．三角形的外角与两不相邻内角的数量关系．
（五）拓展延伸，布置作业
1．将“三角形三个内角和等于180°”这个一般结论运用到特殊三角形中又能发现什么结论呢？
2．教师可指导学生阅读资源库中的拓展资源进行学习，拓展学生的知识面．
3．如图6：从A处观测C处时仰角∠CAD＝30°，从B处观测C处时仰角∠CBD＝45°，从C处观测A，B两处时视角∠ACB是多少？
4．如图7：一种滑翔伞的形状是左右对称的四边形ABCD，其中∠A＝150°，∠B＝∠D＝40°．求∠C的度数．
图
图7
五、教学评价：
6
(一)选择题
1．已知△ABC中，∠A=20°，∠B=∠C，那么△ABC是（ ）
（A）锐角三角形. （B）直角三角形. （C）钝角三角形. （D）等边三角形.
2．三角形的一个内角等于其余两个内角的和，则这个三角形是 （ ） （A）锐角三角形. （B）等腰三角形. （C）直角三角形. （D）钝角三角形.
3．如图，∠1+∠2+∠3+∠4的值为（ ）
（A）180°. （B）450°. （C）270°. （D）360°.
（第3题
（第4题）
(二)填空题
4．如图，∠Ｂ＋∠Ｃ＝110°，∠Ｄ＝70°，则∠Ａ＝_____度.
5．等腰三角形中，一个角为80°，则这个等腰三角形的顶角的度数为_______.
(三)解答题
6．如图，∠1=∠2=30°，∠3=∠4，∠A=80°，求∠5和∠6的度数．
等腰三角形中，一个角为80°，则这个等腰三角形的顶角的度数为_______.
）
（
（第7题）
7．如图，AB∥CD，∠A＝43°，∠C＝42°，求∠M的度数.
8．如图，在△ABC中，∠A=70°，∠B=50°，CD平分∠ACB，求∠ACD的度数．
第6题）
（第8题） （第10题）
9．已知△ABC三个内角的度数之比为2：3：4，求与这三个内角相邻的三个外角的度数之比．
10．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，∠ABC的平分线BD交AC于D.求：∠ADB和∠CDB的度数.
答案：
(一)选择题
1．A，三角形三个内角都小于直角. 2．C，其中有一个内角为直角. 3．A．提示：∠1＋∠2＝∠BDC．
(二)填空题
4．40°.提示：∠ABC＝∠Ａ+∠Ｃ+∠Ｄ． 5．20°或80°.提示：考虑当80°为底角或顶角两种情况.
(三)解答题
6． ∠5=110°，∠6=130°，∠5=∠1+∠A，∠6=∠5+∠4，而∠4可通过三角形ABC的内角和来求∠4=20°．
7．85°.提示：如下图，连接AC，由∠BAC+∠ACD＝180°，得∠MAC+∠MCA＝95°，所
以∠M＝85°.
（第7题）
8． 30°，可求得∠ACB=60°．
9．7：6：5，利用三角形内角和可分别求出三个内角度数：40°，60°，80°．则对应的三个外角度数为：140°，120°，100°．
10．∠ADB＝105°，∠CDB＝75°.
提示：由三角形内角和定理得：∠ABC＝∠ACB＝70°，所以∠ABD＝∠DBC＝35°，再利用内角和定理即可.
七年级下册7．2 与三角形有关的角教案
教学重点：三角形的内角和定理；三角形的内角与外角的关系．
三角形内角和定理是本单元的重要内容，也是平面几何中基本的运算公
式．在今后学习其他平面几何知识时，本定理是一个必要的知识储备，同时也是
学生解决有关角度计算问题的有力工具，在初中平面几何中比较常用．三角形的
内角与外角的关系定理是在内角和定理的基础上引申出来的，在初中数学知识体
系中，也是比较常用的一个知识点，经常用来解决图形中求角度的问题，另外，
在后面的四边形、圆的证明题中也比较常用．
在学习本节的定理时，由于记忆和理解三角形内角和定理都不难，关键在
于能否利用这个定理培养学生的分析问题和解决问题的能力．由于该定理的形成
概念过程可以通过多种添加辅助线的方法获得，所以探究定理的过程能够培养学
生思维的灵活性．而三角形外角与内角的关系定理和三角形的内角和定理联系比
较紧密，教师应在讲完三角形的外角定义后，充分引导学生思考三角形的内角和
定理，尽量让学生自己发现：“三角形的外角等于与它不相邻的内角的和”这个
结论，能够使学生掌握起来更加容易，培养学生思维的灵活性．有了这个定理作
基础，“三角形的外角大于任一个与它不相邻的内角”就非常容易得出了．另外，
教师在教学中要注意：学生可能不会说出“与它不相邻”这个关键词，教师最好
不要直接予以强调，可让学生自己组织语言，若学生总结有困难，教师再作详细
的讲解．
教学难点：三角形内角和定理证明的理解；三角形内角和定理、内角与外角
关系的应用．
对于三角形内角和定理，要求学生进行比较规范的逻辑证明，而定理本身的
逻辑性比较强，这就使本内容成为了本节课的难点内容．学生在应用三角形的内
角与外角关系定理时，往往会在读图时意识不到利用外角来解决问题，不仅是在
刚学过时，在今后利用这个结论解决其他问题时也会常出现．
突破难点时，主要利用课前准备好的三角形纸片，让学生动手操作，体验思
考和实验的过程，加深理解和记忆．另外，教学中还可辅以动画或视频，对公式
的推理过程进行明确的演示．教师在活动过程中进行总体的要求和个别的指导，
如下方法可供参考：
1、剪拼法：（可以利用剪纸或动画来展示）把一个三角形纸板的两个角剪下，
分别拼在第三个角的两侧（或按顺序拼在第三个角的同侧），可以很清晰的看三
个角组成了一个平角，再由平角的定义可以得出三角形的内角和为180°．
2、折叠法：（可以利用剪纸或动画来展示）在已有的三角形纸板上标出任意
两边的中点，沿这两个中点的连线折叠，将一个角的顶点折到其对边，使角的顶
点落在对边上；再分别沿这两个中点向第三边作垂线，将另外两个角的顶点折向
中间，与前一个角的顶点重合，这样也可以清楚地看到三个角组成了一个平角．
由于学生逻辑推理能力还不够高，所以对于几何证明还有相当的难度．这里
要注意根据不同的学生状况，提出不同的要求．不要要求学生必须都获得多种证
明的方法，要以能力培养为主，重点说明证明的过程、书写方法、证明的必要性
和合理性．在习题讲解时，教师应尽可能多地展示一些典型例题，充分引导学生
的思维，培养学生多角度读图的能力，尤其是比较复杂的图形，由于三角形比较
多，用到三角形外角的可能性就比较大，教师在讲解时，应重点强调哪个角是哪
个三角形的外角，让学生读图时将着眼点放在这个三角形上．经过一系列的强化，
相信学生会比较熟练的利用这个定理解题．
图1 图2
问题1：图形2中∠1是原三角形中∠ ； （答案：B）
图形中∠2是原三角形中∠ ； （答案：A）
图形中∠3是原三角形中∠ ． （答案：C）
问题2：这个三角形三个内角有什么样的关系？(这三个内角的和为180°)
(2)剪一剪，拼一拼
将三角形硬纸片的两个角剪下，使它们的顶点与另一个角的顶点重合，将它
们拼凑在一起．观察三角形的内角和．（利用动画：三角形的内角和）让学生进行
自由猜想，选择自己喜欢的方法，添加辅助线，形成定理的证明思路．
(3)尝试证明
小组讨论每个同学的想法，寻求一种比较简洁的辅助线添加方法，然后进行
逻辑证明．（根据学生的能力提出不同的难度，对于一些好学生，可以要求两种
以上的证明方法,其他学生完成以下证明）
图3 图4
问题1：如图3，∠B和∠C分别拼在了∠A的左右，这三个角的和等于多少？
问题2：∠B和∠C各有一条边落在直线l上，直线l和△ABC的边BC有什
么关系？由此图你能说明三角形的内角和为什么等于180°吗？
如图3，过点A作BC的平行线l，
∵ l∥BC，
∴∠1=∠4.（两直线平行，内错角相等）
∠2=∠5.（两直线平行，内错角相等）
∵∠3+∠4+∠5=180°,（1平角=180°）
∴∠1+∠2+∠3=180°.（等量代换）
∴三角形内角和等于180°．
问题3：仿照图3的方法，你能由图4说明三角形内角和为什么等于180°吗？
问题4：你还有其它的剪拼方法吗？
2．三角形的外角，从词义上理解，就应该是与三角形有关的．在三角形外面的角．大家任意画一个三角形，请你尝试在三角形的外面画出一个你认为是外角的角．
即使有的学生画出的所谓外角是错误的，教师对学生的作图也要充分肯定，引导学生通过延长三角形的边得出外角，并给出外角的定义．
分析定义的本质：让学生将一个三角形的所有外角都画出来，并观察一个三角形有几个外角，以及外角的构成的．
结论：外角有六个，并且两两相等；每个外角是由三角形的一条边和另一边的延长线组成的．
3．探索三角形外角的性质
从外角和内角的关系看，同学们能够得出什么好的结论？
组织讨论，可能得到如下结论：
外角比内角大；内角在三角形的内部，外角在三角形的外部；„„．
从学生的答案中寻找合理的因素，进行必要的引导，其中有正确的，也有不全面的，让学生们进行观察和讨论，尤其是针对外角比内角大的结论进行充分的讨论，比如举出直角三角形或钝角三角形对以上结论进行颠覆，然后再讨论如何才能把握得当，进而得出：“每个三角形的外角都大于与它不相邻的内角”，或得出“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”；随着其中一个的得出，另一个就能马上得出．
在学生理解了上述两个结论后，引导学生对这两个结论进行理论说明，利用三角形的内角和定理以及平角的定义进行推理证明，可以让学生先口头叙述，然后写出来，对于大部分学生应不成问题，教师可以对少数学生进行必要的指导．
4．视角问题
教师给出视角的定义，可举出实际中的例子，帮助学生理解视角的定义．
（三）应用新知，体验成功
1．典型例题：利用媒体资源中的典型例题进行教学．
2．练一练
(1)满足条件∠A=∠B=∠C的△ABC是三角形，
(2)如图5，在△ABC中，∠B、∠C的平分线交于点O，试证明：∠BOC=90°+∠A.
图5
（四）课堂小结，体验收获
通过本节学习你有哪些收获？教师可以进行引导和提示，让学生自主进行总结，并且教师应给予肯定．
1．三角形的内角和定理及其应用．
2．关于视角的定义．
3．用剪拼和折叠的方法推导数学定理．
4．三角形外角的定义及个数．
5．三角形外角与不相邻内角的大小关系．
6．三角形的外角与两不相邻内角的数量关系．
（五）拓展延伸，布置作业
1．将“三角形三个内角和等于180°”这个一般结论运用到特殊三角形中又能发现什么结论呢？
2．教师可指导学生阅读资源库中的拓展资源进行学习，拓展学生的知识面．
3．如图6：从A处观测C处时仰角∠CAD＝30°，从B处观测C处时仰角∠CBD＝45°，从C处观测A，B两处时视角∠ACB是多少？
4．如图7：一种滑翔伞的形状是左右对称的四边形ABCD，其中∠A＝150°，∠B＝∠D＝40°．求∠C的度数．
图
图7
五、教学评价：
6
(一)选择题
1．已知△ABC中，∠A=20°，∠B=∠C，那么△ABC是（ ）
（A）锐角三角形. （B）直角三角形. （C）钝角三角形. （D）等边三角形.
2．三角形的一个内角等于其余两个内角的和，则这个三角形是 （ ） （A）锐角三角形. （B）等腰三角形. （C）直角三角形. （D）钝角三角形.
3．如图，∠1+∠2+∠3+∠4的值为（ ）
（A）180°. （B）450°. （C）270°. （D）360°.
（第3题
（第4题）
(二)填空题
4．如图，∠Ｂ＋∠Ｃ＝110°，∠Ｄ＝70°，则∠Ａ＝_____度.
5．等腰三角形中，一个角为80°，则这个等腰三角形的顶角的度数为_______.
(三)解答题
6．如图，∠1=∠2=30°，∠3=∠4，∠A=80°，求∠5和∠6的度数．
等腰三角形中，一个角为80°，则这个等腰三角形的顶角的度数为_______.
）
（
（第7题）
7．如图，AB∥CD，∠A＝43°，∠C＝42°，求∠M的度数.
8．如图，在△ABC中，∠A=70°，∠B=50°，CD平分∠ACB，求∠ACD的度数．
第6题）
（第8题） （第10题）
9．已知△ABC三个内角的度数之比为2：3：4，求与这三个内角相邻的三个外角的度数之比．
10．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，∠ABC的平分线BD交AC于D.求：∠ADB和∠CDB的度数.
答案：
(一)选择题
1．A，三角形三个内角都小于直角. 2．C，其中有一个内角为直角. 3．A．提示：∠1＋∠2＝∠BDC．
(二)填空题
4．40°.提示：∠ABC＝∠Ａ+∠Ｃ+∠Ｄ． 5．20°或80°.提示：考虑当80°为底角或顶角两种情况.
(三)解答题
6． ∠5=110°，∠6=130°，∠5=∠1+∠A，∠6=∠5+∠4，而∠4可通过三角形ABC的内角和来求∠4=20°．
7．85°.提示：如下图，连接AC，由∠BAC+∠ACD＝180°，得∠MAC+∠MCA＝95°，所
以∠M＝85°.
（第7题）
8． 30°，可求得∠ACB=60°．
9．7：6：5，利用三角形内角和可分别求出三个内角度数：40°，60°，80°．则对应的三个外角度数为：140°，120°，100°．
10．∠ADB＝105°，∠CDB＝75°.
提示：由三角形内角和定理得：∠ABC＝∠ACB＝70°，所以∠ABD＝∠DBC＝35°，再利用内角和定理即可.