23章旋转
知识考点——理解旋转与中心对称的概念（旋转角，旋转中心，对称中心，对称点，中心对称图形），旋转前后图形具有的性质（4条），强化主动旋转的意识。
y 例1．（2006 芜湖课改）如图，在平面直角坐标系中，A 点坐标为(3，4) ，将OA 绕原点O 逆时针旋转90 得到OA '，则点A '的坐标是（ ）
Ａ．(-4，Ｂ．(-3，Ｄ．(4，3) 4) Ｃ．(3，-4) -3) 例2．在平面直角坐标系中，已知点P 0的坐标为（1，0），将点P 0绕着原点
O 按逆时针方向旋转60°得点P 1，延长OP 1到点P 2，使OP 2=2OP 1，再将点P 2绕着原点O 按逆时针方向旋转60°得点P 3，则点P 3的坐标是__________.
例3．（2006 德州非课改）如图，已知△ABC 中，AB =AC ， ∠BAC =90直角∠EPF 的顶点P 是BC 中点，两边PE ，PF 分别交AB ，AC 于点E ， F ，给出以下五个结论：
①AE =CF ②∠APE =∠CPF ③△EPF 是等腰直角三角形
x
1④EF =AP ⑤S 四边形AEPF =S △ABC
2
当∠EPF 在△ABC 内绕顶点P 旋转时（点E 不与A ，B 重合），上述结论中始终正确的序号有
例4． (2006 青岛课改) 如图，P 是正三角形ABC 内的一点，且
B
PA =6，PB =8，PC =10．若将△PAC 绕点A 逆时针旋转60︒后，得到
P '
△P 'AB ，则点P 与点P '之间的距离为，∠APB = ．
P
A
C
例5．如图，正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转n 后得到正方形AEFG ，边EF 与CD 交于点O ． （1）以图中已标有字母的点为端点连结两条线段（正方形的对角线除外），要求所连结的两条线段相交且．．．互相垂直，并说明这两条线段互相垂直的理由； ．．．．
（2）若正方形的边长为2cm ，重叠部分（四边形AEOD
2
，求旋转的角度n ． 1
例6．如图，在由边长为1的小正方形组成的方格纸中，有两个全等的三角形，即△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2． （1）请你指出在方格纸内如何运用平移、旋转变换，将△A 1B 1C 1重合到△A 2B 2C 2上；
（2）在方格纸中将△A 1B 1C 1经过怎样的变换后可以与△A 2B 2C 2成中心对称图形？画出变换后的三角形并标出对称中心．
（1） 将∆A 1B 1C 1向上平移4个单位，再向右平移3个单位，然后
绕点C 1顺时针旋转90，得∆A 2B 2C 2
（2） 将∆A 1B 1C 1绕点A 1逆时针旋转90得∆A 1B 3C 3，
︒
︒
A 2
B ∆A 1B 3C 3与∆A 2B 2C 2关于点P 中心对称。
第6题图
练习
1．如图，O 为矩形ABCD 的中心，将直角三角板的直角顶点与O 点重合，转动三角板使两直角边始终与BC 、AB 相交，交点分别为M 、N ．如果AB =4，AD =6，O M=x ,ON=y 则 y 与x 的关系是
236
A ．y =x B ．y = C ．y =x D ．y =x
32x
2. 如图，∆ABC 的∠BAC=120º，以BC 为边向形外作等边∆BCD ，把∆ABD 绕着D 转60º后到∆ECD 的位置。若AB =3, AC =2，求∠BAD 的度数和AD 的长.
A
C
D
题图
C
点按顺时针方向旋
E
B
D
3．（河北）如图13－1，一等腰直角三角尺GEF 的两条直角边与正方形ABCD 的两条边分别重合在一起．现正方形ABCD 保持不动，将三角尺GEF 绕斜边EF 的中点O （点O 也是BD 中点）按顺时针方向旋转． （1）如图13－2，当EF 与AB 相交于点M ，GF 与BD 相交于点N 时，通过观察或测量BM ，FN 的长度，猜想BM ，FN 满足的数量关系，并证明你的猜想；
（2）若三角尺GEF 旋转到如图13－3所示的位置时，线段FE 的延长线与AB 的延长线相交于点M ，线段BD 的延长线与GF 的延长线相交于点N ，此时，（1）中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
A ( E ) 图13－1
图13－2
2 图13－3
4． (2006 梅州课改) 用两个全等的正方形ABCD 和CDFE 拼成一个矩形ABEF ，把一个足够大的直角三角尺的直角顶点与这个矩形的边AF 的中点D 重合，且将直角三角尺绕点D 按逆时针方向旋转．
（1）当直角三角尺的两直角边分别与矩形ABEF 的两边BE ，EF 相交于点G ，H 时，如图甲，通过观察或测量BG 与EH 的长度，你能得到什么结论？并证明你的结论．
（2）当直角三角尺的两直角边分别与BE 的延长线，EF 的延长线相交于点G ，H 时（如图乙），你在图甲中得到的结论还成立吗？简要说明理由．
H
F A A F
B B G C E C
图甲 图乙
5. 阅读：
①按照某种规律移动一个平面图形的所有点，得到一个新图形称为原图形的像．如果原图形每一个点只对应像的一个点，且像的每一个点也只对应原图形的一个点，这样的运动称为几何变换．特别地，当新图形与原图形的形状大小都不改变时，我们称这样的几何变换为正交变换．
问题1：我们学习过的平移、_________、__________变换都是正交变换．
②如果一个图形绕着一个点（旋转中心）旋转n °（0
例如，图12—①中奔驰车标示意图具有120°，240°，360°的旋转变换．
图12—②的几何图形具有180°的旋转变换，所以它是中心对称图形．
问题2：图13—①和图13—②中的两个几何图形具有n 度旋转变换，请分别写出n 的最小值． 答：（图13—①）__________；（图13—②）__________．
问题3：如果将图13—①和图13—②的旋转中心重合，组合成一个新的平面图形，它具有n 度旋转变换，则n 的最小值为________．
问题4：请你在图14中画出一个具有180°旋转变换的正多边形．（要求以O 为旋转中心，顶点在直线与圆的交点上）
3
6．如图，已知△ABC 。
（1）请你在BC 边上分别取两点D ，E （BC 的中点除外），连结AD ，AE ，
写出使此图中只存在两对面积相等的三角形的相应条件，并表示出面积相等的三角形； ．．．．．（2）请你根据使（1）成立的相应条件，证明AB+AC>AD+AE。
，
的直角三7. 在平面直角坐标系xOy 中，OEFG 为正方形，点F 的坐标为(11)
角形纸片的直角顶点放在对角线FO 上．
（1）如图，当三角形纸片的直角顶点与点F 重合，一条直角边落在直线FO 上时，这个三角形纸片与正方形OEFG 重叠部分（即阴影部分）的面积为 ；
（2）若三角形纸片的直角顶点不与点O ，F 重合，且两条直角边与正方形相邻两边相交，当这个三角形纸片与正方形OEFG 重叠部分的面积是正方形面积的一半时，试确定三角形纸片直角顶点的坐标（不要求写出求解过程），并画出此时的图形．
8. 已知：如图1，Rt ∆ABC 中，∠ACB ＝90，D 为AB 中点，DE 、DF 分别交AC 于点E ，交BC 于点F ，且DE ⊥DF.
（1）如果CA=CB，求证：AE +BF =EF ;
（2）如图2，如果CA
4
2
2
2
2
2
2
E
A
E
9. 在四边形ABCD 中，对角线AC 平分∠
DAB.
（1）如图1，当∠DAB ＝120°，∠B ＝∠D ＝90°时，求证：AB ＋AD ＝AC.
（2）如图2，当∠DAB ＝120°，∠B 与∠D 互补时，线段AB 、AD 、AC 有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明；
（3）如图3，当∠DAB ＝90°，∠B 与∠D 互补时，线段AB 、AD 、AC 有怎样的数量关系？写出你的猜想，不需证明.
10. 我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．
（1）写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称_________，________；
（2）如图（1），已知格点（小正方形的顶点）O (0，请你画出以格点为顶点，OA 0) ，A (3，0) ，B (0，4) ，，OB 为勾股边且对角线相等的勾股四边形OAMB ；
A
（2）
（1）
（3）如图（2），将△ABC 绕顶点B 按顺时针方向旋转60，得到△DBE ，连结AD ，DC ， ∠DCB =30．求证：DC +BC =AC ，即四边形ABCD 是勾股四边形．
5
2
2
2
11. 图（1）是边长不等的等边三角形纸片ABC 和C 'D 'E '叠放在一起（C 与C '重合）
（1）操作：固定∆ABC ，将∆C 'D 'E '绕点C 顺时针旋转30得到∆CDE （如图（2）），连接AD 、BE 、CE 的延
长线交AB 于F ；
探究：在图（2）中，线段BE 与AD 之间有怎样的大小关系？试证明你的结论.
（2）操作：将图（1）中的∆C 'D 'E '固定，将∆ABC 移动，使顶点C 落在C 'D '的中点，边AC 交D 'E '于M ，边BC 交C 'E '于N （如图（3））. 若∆C 'D 'E '的边长为a , ∠AC D '=α（0
探究：在图（3）中线段C 'N ⋅D 'M 的值是否随α的变化而变化？如果没有变化，请求出C 'N ⋅D 'M 的值；如果没有变化，请说明理由.
12. 已知，点P 是正方形ABCD 内的一点，连PA 、PB 、PC.
（1）将△PAB 绕点B 顺时针旋转90°到△P ′CB 的位置（如图1）.
①设AB 的长为a ，PB 的长为b （b
②若PA=2，PB=4，∠APB=135°，求PC 的长.
（2）如图2，若PA +PC=2PB，请说明点P 必在对角线AC 上.
A
D
2
2
2
00
(C ')
C
C C N
E
F
' A
A
D
P
B
P′
图1
图2
C
6
13. 农科所有一块五边形的实验田，用于种植1号良种水稻进行实验，如图所示，已知五边形ABCDE 中， ∠ABC ＝∠AED ＝90，AB ＝CD ＝AE=BC+DE＝20米，
（1）若每平方米实验田需要水稻1号良种25克，若在∆ABC 和∆ADE 实验田中种植1号良种水稻，问水稻1号良种多少克？
（2）在该五边形实验田计划全部种上这种1号良种水稻，现有1号良种9千克，问是否够用，通过计算加以说明.
D
B
14、（2007南京）．在平面内，先将一个多边形以点O 为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应线段的比为k ，并且原多边形上的任一点P ，它的对应点P '在线段OP 或其延长线上；接着将所得多边形以点O 为旋转中心，逆时针旋转一个角度θ，这种经过和旋转的图形变换叫做旋转相似变换，记为
O (k ，θ) ，其中点O 叫做旋转相似中心，k 叫做相似比，θ叫做旋转角．
（1）填空：
①如图1，将△ABC 以点A 为旋转相似中心，放大为原来的2倍，再逆时针旋转60，得到△ADE ，
，
）；
这个旋转相似变换记为A （
) ，得到△ADE ，②如图2，△ABC 是边长为1cm
的等边三角形，将它作旋转相似变换A 则线段BD 的长为 cm ； （2）如图3，分别以锐角三角形ABC 的三边AB ，BC ，CA 为边向外作正方形ADEB ，BFGC ，CHIA ，点O 1，O 2，O 3分别是这三个正方形的对角线交点，试分别利用△AO 1O 2与△ABI ，△CIB 与△CAO 2之间的关系，运用旋转相似变换的知识说明线段O 1O 2与AO 2之间的关系．
ＥO 1
3
B
B
O 2
Ｃ
图2
Ｆ
图3
7
图1
8
23章旋转
知识考点——理解旋转与中心对称的概念（旋转角，旋转中心，对称中心，对称点，中心对称图形），旋转前后图形具有的性质（4条），强化主动旋转的意识。
y 例1．（2006 芜湖课改）如图，在平面直角坐标系中，A 点坐标为(3，4) ，将OA 绕原点O 逆时针旋转90 得到OA '，则点A '的坐标是（ ）
Ａ．(-4，Ｂ．(-3，Ｄ．(4，3) 4) Ｃ．(3，-4) -3) 例2．在平面直角坐标系中，已知点P 0的坐标为（1，0），将点P 0绕着原点
O 按逆时针方向旋转60°得点P 1，延长OP 1到点P 2，使OP 2=2OP 1，再将点P 2绕着原点O 按逆时针方向旋转60°得点P 3，则点P 3的坐标是__________.
例3．（2006 德州非课改）如图，已知△ABC 中，AB =AC ， ∠BAC =90直角∠EPF 的顶点P 是BC 中点，两边PE ，PF 分别交AB ，AC 于点E ， F ，给出以下五个结论：
①AE =CF ②∠APE =∠CPF ③△EPF 是等腰直角三角形
x
1④EF =AP ⑤S 四边形AEPF =S △ABC
2
当∠EPF 在△ABC 内绕顶点P 旋转时（点E 不与A ，B 重合），上述结论中始终正确的序号有
例4． (2006 青岛课改) 如图，P 是正三角形ABC 内的一点，且
B
PA =6，PB =8，PC =10．若将△PAC 绕点A 逆时针旋转60︒后，得到
P '
△P 'AB ，则点P 与点P '之间的距离为，∠APB = ．
P
A
C
例5．如图，正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转n 后得到正方形AEFG ，边EF 与CD 交于点O ． （1）以图中已标有字母的点为端点连结两条线段（正方形的对角线除外），要求所连结的两条线段相交且．．．互相垂直，并说明这两条线段互相垂直的理由； ．．．．
（2）若正方形的边长为2cm ，重叠部分（四边形AEOD
2
，求旋转的角度n ． 1
例6．如图，在由边长为1的小正方形组成的方格纸中，有两个全等的三角形，即△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2． （1）请你指出在方格纸内如何运用平移、旋转变换，将△A 1B 1C 1重合到△A 2B 2C 2上；
（2）在方格纸中将△A 1B 1C 1经过怎样的变换后可以与△A 2B 2C 2成中心对称图形？画出变换后的三角形并标出对称中心．
（1） 将∆A 1B 1C 1向上平移4个单位，再向右平移3个单位，然后
绕点C 1顺时针旋转90，得∆A 2B 2C 2
（2） 将∆A 1B 1C 1绕点A 1逆时针旋转90得∆A 1B 3C 3，
︒
︒
A 2
B ∆A 1B 3C 3与∆A 2B 2C 2关于点P 中心对称。
第6题图
练习
1．如图，O 为矩形ABCD 的中心，将直角三角板的直角顶点与O 点重合，转动三角板使两直角边始终与BC 、AB 相交，交点分别为M 、N ．如果AB =4，AD =6，O M=x ,ON=y 则 y 与x 的关系是
236
A ．y =x B ．y = C ．y =x D ．y =x
32x
2. 如图，∆ABC 的∠BAC=120º，以BC 为边向形外作等边∆BCD ，把∆ABD 绕着D 转60º后到∆ECD 的位置。若AB =3, AC =2，求∠BAD 的度数和AD 的长.
A
C
D
题图
C
点按顺时针方向旋
E
B
D
3．（河北）如图13－1，一等腰直角三角尺GEF 的两条直角边与正方形ABCD 的两条边分别重合在一起．现正方形ABCD 保持不动，将三角尺GEF 绕斜边EF 的中点O （点O 也是BD 中点）按顺时针方向旋转． （1）如图13－2，当EF 与AB 相交于点M ，GF 与BD 相交于点N 时，通过观察或测量BM ，FN 的长度，猜想BM ，FN 满足的数量关系，并证明你的猜想；
（2）若三角尺GEF 旋转到如图13－3所示的位置时，线段FE 的延长线与AB 的延长线相交于点M ，线段BD 的延长线与GF 的延长线相交于点N ，此时，（1）中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
A ( E ) 图13－1
图13－2
2 图13－3
4． (2006 梅州课改) 用两个全等的正方形ABCD 和CDFE 拼成一个矩形ABEF ，把一个足够大的直角三角尺的直角顶点与这个矩形的边AF 的中点D 重合，且将直角三角尺绕点D 按逆时针方向旋转．
（1）当直角三角尺的两直角边分别与矩形ABEF 的两边BE ，EF 相交于点G ，H 时，如图甲，通过观察或测量BG 与EH 的长度，你能得到什么结论？并证明你的结论．
（2）当直角三角尺的两直角边分别与BE 的延长线，EF 的延长线相交于点G ，H 时（如图乙），你在图甲中得到的结论还成立吗？简要说明理由．
H
F A A F
B B G C E C
图甲 图乙
5. 阅读：
①按照某种规律移动一个平面图形的所有点，得到一个新图形称为原图形的像．如果原图形每一个点只对应像的一个点，且像的每一个点也只对应原图形的一个点，这样的运动称为几何变换．特别地，当新图形与原图形的形状大小都不改变时，我们称这样的几何变换为正交变换．
问题1：我们学习过的平移、_________、__________变换都是正交变换．
②如果一个图形绕着一个点（旋转中心）旋转n °（0
例如，图12—①中奔驰车标示意图具有120°，240°，360°的旋转变换．
图12—②的几何图形具有180°的旋转变换，所以它是中心对称图形．
问题2：图13—①和图13—②中的两个几何图形具有n 度旋转变换，请分别写出n 的最小值． 答：（图13—①）__________；（图13—②）__________．
问题3：如果将图13—①和图13—②的旋转中心重合，组合成一个新的平面图形，它具有n 度旋转变换，则n 的最小值为________．
问题4：请你在图14中画出一个具有180°旋转变换的正多边形．（要求以O 为旋转中心，顶点在直线与圆的交点上）
3
6．如图，已知△ABC 。
（1）请你在BC 边上分别取两点D ，E （BC 的中点除外），连结AD ，AE ，
写出使此图中只存在两对面积相等的三角形的相应条件，并表示出面积相等的三角形； ．．．．．（2）请你根据使（1）成立的相应条件，证明AB+AC>AD+AE。
，
的直角三7. 在平面直角坐标系xOy 中，OEFG 为正方形，点F 的坐标为(11)
角形纸片的直角顶点放在对角线FO 上．
（1）如图，当三角形纸片的直角顶点与点F 重合，一条直角边落在直线FO 上时，这个三角形纸片与正方形OEFG 重叠部分（即阴影部分）的面积为 ；
（2）若三角形纸片的直角顶点不与点O ，F 重合，且两条直角边与正方形相邻两边相交，当这个三角形纸片与正方形OEFG 重叠部分的面积是正方形面积的一半时，试确定三角形纸片直角顶点的坐标（不要求写出求解过程），并画出此时的图形．
8. 已知：如图1，Rt ∆ABC 中，∠ACB ＝90，D 为AB 中点，DE 、DF 分别交AC 于点E ，交BC 于点F ，且DE ⊥DF.
（1）如果CA=CB，求证：AE +BF =EF ;
（2）如图2，如果CA
4
2
2
2
2
2
2
E
A
E
9. 在四边形ABCD 中，对角线AC 平分∠
DAB.
（1）如图1，当∠DAB ＝120°，∠B ＝∠D ＝90°时，求证：AB ＋AD ＝AC.
（2）如图2，当∠DAB ＝120°，∠B 与∠D 互补时，线段AB 、AD 、AC 有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明；
（3）如图3，当∠DAB ＝90°，∠B 与∠D 互补时，线段AB 、AD 、AC 有怎样的数量关系？写出你的猜想，不需证明.
10. 我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．
（1）写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称_________，________；
（2）如图（1），已知格点（小正方形的顶点）O (0，请你画出以格点为顶点，OA 0) ，A (3，0) ，B (0，4) ，，OB 为勾股边且对角线相等的勾股四边形OAMB ；
A
（2）
（1）
（3）如图（2），将△ABC 绕顶点B 按顺时针方向旋转60，得到△DBE ，连结AD ，DC ， ∠DCB =30．求证：DC +BC =AC ，即四边形ABCD 是勾股四边形．
5
2
2
2
11. 图（1）是边长不等的等边三角形纸片ABC 和C 'D 'E '叠放在一起（C 与C '重合）
（1）操作：固定∆ABC ，将∆C 'D 'E '绕点C 顺时针旋转30得到∆CDE （如图（2）），连接AD 、BE 、CE 的延
长线交AB 于F ；
探究：在图（2）中，线段BE 与AD 之间有怎样的大小关系？试证明你的结论.
（2）操作：将图（1）中的∆C 'D 'E '固定，将∆ABC 移动，使顶点C 落在C 'D '的中点，边AC 交D 'E '于M ，边BC 交C 'E '于N （如图（3））. 若∆C 'D 'E '的边长为a , ∠AC D '=α（0
探究：在图（3）中线段C 'N ⋅D 'M 的值是否随α的变化而变化？如果没有变化，请求出C 'N ⋅D 'M 的值；如果没有变化，请说明理由.
12. 已知，点P 是正方形ABCD 内的一点，连PA 、PB 、PC.
（1）将△PAB 绕点B 顺时针旋转90°到△P ′CB 的位置（如图1）.
①设AB 的长为a ，PB 的长为b （b
②若PA=2，PB=4，∠APB=135°，求PC 的长.
（2）如图2，若PA +PC=2PB，请说明点P 必在对角线AC 上.
A
D
2
2
2
00
(C ')
C
C C N
E
F
' A
A
D
P
B
P′
图1
图2
C
6
13. 农科所有一块五边形的实验田，用于种植1号良种水稻进行实验，如图所示，已知五边形ABCDE 中， ∠ABC ＝∠AED ＝90，AB ＝CD ＝AE=BC+DE＝20米，
（1）若每平方米实验田需要水稻1号良种25克，若在∆ABC 和∆ADE 实验田中种植1号良种水稻，问水稻1号良种多少克？
（2）在该五边形实验田计划全部种上这种1号良种水稻，现有1号良种9千克，问是否够用，通过计算加以说明.
D
B
14、（2007南京）．在平面内，先将一个多边形以点O 为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应线段的比为k ，并且原多边形上的任一点P ，它的对应点P '在线段OP 或其延长线上；接着将所得多边形以点O 为旋转中心，逆时针旋转一个角度θ，这种经过和旋转的图形变换叫做旋转相似变换，记为
O (k ，θ) ，其中点O 叫做旋转相似中心，k 叫做相似比，θ叫做旋转角．
（1）填空：
①如图1，将△ABC 以点A 为旋转相似中心，放大为原来的2倍，再逆时针旋转60，得到△ADE ，
，
）；
这个旋转相似变换记为A （
) ，得到△ADE ，②如图2，△ABC 是边长为1cm
的等边三角形，将它作旋转相似变换A 则线段BD 的长为 cm ； （2）如图3，分别以锐角三角形ABC 的三边AB ，BC ，CA 为边向外作正方形ADEB ，BFGC ，CHIA ，点O 1，O 2，O 3分别是这三个正方形的对角线交点，试分别利用△AO 1O 2与△ABI ，△CIB 与△CAO 2之间的关系，运用旋转相似变换的知识说明线段O 1O 2与AO 2之间的关系．
ＥO 1
3
B
B
O 2
Ｃ
图2
Ｆ
图3
7
图1
8