第六节 极限存在准则、两个重要极限
教学目的：1 使学生掌握极限存在的两个准则；并会利用它们求极限；
2使学生掌握利用两个重要极限求极限的方法；
教学重点：利用两个重要极限求极限
教学过程：
一、讲授新课：
准则I：如果数列 满足下列条件：
(i)对 ;
(ii) 那么，数列 的极限存在，且 。
证明：因为 ，所以对 ，当 时，有 ，即
，对 ，当 时，有 ，即 ，又因为 ，所以当 时，有 ，
即有： ，即 ，所以 。
准则I′如果函数 满足下列条件：
(i)当 时，有 。
(ii)当 时，有 。
那么当 时， 的极限存在，且等于 。
第一个重要极限：
作为准则I′的应用，下面将证明第一个重要极限： 。
证明：作单位圆，如下图：
设 为圆心角 ，并设 见图不难发现： ，即： ，即 ，
(因为 ，所以上不等式不改变方向)
当 改变符号时， 及1的值均不变，故对满足 的一切
，有 。
又因为 ，
所以 而 ，证毕。
例1 。
例2 。
例3 。
例4 。
准则Ⅱ：单调有界数列必有极限
如果数列 满足： ，就称之为单调增加数列;若满足： ，就称之为单调减少数列;同理亦有严格单增或单减，以上通称为单减数列和严格单减数列。
如果 ，使得： ，就称数列 为有上界;若 ，使得： ，就称 有下界。
准则Ⅱ′：单调上升，且有上界的数列必有极限。
准则Ⅱ″: 单调下降，且有下界的数列必有极限。
注1：由前已知，有界数列未必有极限，若加单调性，就有极限。
2：准则Ⅱ，Ⅱ′，Ⅱ″可推广到函数情形中去，在此不一一陈述了。
第二个重要极限：
作为准则Ⅱ的一个应用，下面来证明极限 是不存在的。
先考虑 取正整数时的情形： 对于 ，有不等式： ，即： ，
即： (i)现令 ，显然 ，因为 将其代入，所以 ，所以 为单调数列。
(ii)又令 ， 所以 ，
即对 ， 又对 所以{ }是有界的。
由准则Ⅱ或Ⅱ′知 存在，并使用 来表示，即
注 1：关于此极限存在性的证明，书上有不同的方法，希望同学自己看!
2：我们可证明： ，具体在此不证明了，书上也有，由证明过程知： 。
3：指数函数 及自然对数 中的底就是这个常数 。
例1 例2 例3 例4 二、课堂练习：
三、布置作业：
第六节 极限存在准则、两个重要极限
教学目的：1 使学生掌握极限存在的两个准则；并会利用它们求极限；
2使学生掌握利用两个重要极限求极限的方法；
教学重点：利用两个重要极限求极限
教学过程：
一、讲授新课：
准则I：如果数列 满足下列条件：
(i)对 ;
(ii) 那么，数列 的极限存在，且 。
证明：因为 ，所以对 ，当 时，有 ，即
，对 ，当 时，有 ，即 ，又因为 ，所以当 时，有 ，
即有： ，即 ，所以 。
准则I′如果函数 满足下列条件：
(i)当 时，有 。
(ii)当 时，有 。
那么当 时， 的极限存在，且等于 。
第一个重要极限：
作为准则I′的应用，下面将证明第一个重要极限： 。
证明：作单位圆，如下图：
设 为圆心角 ，并设 见图不难发现： ，即： ，即 ，
(因为 ，所以上不等式不改变方向)
当 改变符号时， 及1的值均不变，故对满足 的一切
，有 。
又因为 ，
所以 而 ，证毕。
例1 。
例2 。
例3 。
例4 。
准则Ⅱ：单调有界数列必有极限
如果数列 满足： ，就称之为单调增加数列;若满足： ，就称之为单调减少数列;同理亦有严格单增或单减，以上通称为单减数列和严格单减数列。
如果 ，使得： ，就称数列 为有上界;若 ，使得： ，就称 有下界。
准则Ⅱ′：单调上升，且有上界的数列必有极限。
准则Ⅱ″: 单调下降，且有下界的数列必有极限。
注1：由前已知，有界数列未必有极限，若加单调性，就有极限。
2：准则Ⅱ，Ⅱ′，Ⅱ″可推广到函数情形中去，在此不一一陈述了。
第二个重要极限：
作为准则Ⅱ的一个应用，下面来证明极限 是不存在的。
先考虑 取正整数时的情形： 对于 ，有不等式： ，即： ，
即： (i)现令 ，显然 ，因为 将其代入，所以 ，所以 为单调数列。
(ii)又令 ， 所以 ，
即对 ， 又对 所以{ }是有界的。
由准则Ⅱ或Ⅱ′知 存在，并使用 来表示，即
注 1：关于此极限存在性的证明，书上有不同的方法，希望同学自己看!
2：我们可证明： ，具体在此不证明了，书上也有，由证明过程知： 。
3：指数函数 及自然对数 中的底就是这个常数 。
例1 例2 例3 例4 二、课堂练习：
三、布置作业：