用导数研究函数的单调性

§1.3.1 导数函数的单调性

教学目标

知识与技能：借助函数的图象了解函数的单调性与导数的关系，能利用导数研究函数的单调性；过程与方法：通过本节的学习，掌握利用导数判断函数单调性的方法；

情感、态度与价值观：通过实例探究函数的单调性与导数的关系的过程，体会知识间的相互联系和运动变化的观点，提高理性思维能力.

教学重点：利用导数判断一个函数在其定义区间内的单调性；

教学难点：利用导数的符号判断函数的单调性；判断复合函数的单调区间及应用. 教学过程一、自学导航

1．情境：(1) 必修一中，如何定义函数单调性的？（2）如何用定义判断一些函数的单调性？

一般地，设函数 f (x ) 的定义域为I ：如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1＜x 2时，都有f (x 1) ＜f (x 2) ，那么就说 f (x ) 在这个区间上是增函数．

当x 1＜x 2时，都有f (x 1) ＞f (x 2) ，那么就说 f (x ) 在这个区间上是减函数． 2．问题：能否用定义法讨论函数f (x ) =e x -x 的单调性？学生活动

1．讨论函数y =x -4x +3的单调性.

2. 研究函数y =x -4x +3的导函数值的符号与单调性之间的关系. 二、探究新知

1. 导数符号与函数单调性之间的关系

结论：一般地，设函数y =f (x ) 在某个区间内有导数.

如果在这个区间内y '>0，那么函数y =f (x ) 在为这个区间内的增函数；如果在这个区间内y '

（2）y '>0（或y '

(3) 解不等式f '(x ) ＞0，得函数的单调递增区间；解不等式f '(x ) ＜0，得函数的单调递减区间．

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三、例题精讲：

x 2

-2x +5的单调区间. 例1 求函数f (x )=x -2

变式题1：求函数f (x ) =2x 2-ln x 的单调区间．

变式题2：设函数f (x ) =xe kx (k ≠0) ．求函数f (x ) 的单调区间；

点评：（1）注意定义域和参数对单调区间的影响；（2）同一函数的两个单调区间不能并起来；

（3）求函数的单调区间，求导的方法不是唯一的方法，也不一定是最好的方法，但它是一种一般性的方法. 例2 若函数y =x 3+x 2+mx +1是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围是

变式题1:若函数y =x 3+x 2+mx +1有三个单调区间，则实数m 的取值范围是

变式题2:若函数y =x 3+x 2+mx +1在（0,1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增则实数m 的值是

1变式题3：若函数y =x 3+x 2+mx +1在(0,) 上既不是单调递增函数也不是单调递减函数，则整数m 的值是 .

变式题4：若函数y =x 3+x 2+mx +1的单调递减区间是[-2, ]，则则实数m 的值是3

例3 设函数y =f (x ) 在定义域内可导，y =f (x ) 的图象如图1所示，则导函数y =f '(x ) 可能为变式题

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①

② ③

④

1：如果函数y =f (x ) 的导函数的图象如下图所示，给出下列判断： ①函数y =f (x ) 在区间(-3, -) 内单调递增； ②函数y =f (x ) 在区间(-

,3) 内单调递减； 2

③函数y =f (x ) 在区间(4,5)内单调递增； ④函数y =f (x ) 的单调递增区间是[-2,2] [4,+∞) 则上述判断中正确的是____________．

变式题2：已知函数y =xf '(x ) 的图象如右图所示(其中f '(x ) 是函数f (x ) 的导函数) ，下面四个图象中y =f (x ) 的图象大致是

四、课堂精练

1. 设f (x )=x (2-x ), 则f (x ) 的单调增区间是 .

2. 已知函数y =f (x ) 在定义域[-4,6]内可导，其图象如图，记y =f (x ) 的导函数为y =f '(x ) ，则不等式f '(x ) ≥0的解集为 .

3. 若函数f (x )=x 3-ax 2+1在（0，2）内单调递减，则实数a 的取值范围为

4. 讨论函数f (x ) =

五、回顾小结

1. 判断函数单调性的方法；

2. 导数符号与函数单调性之间的关系； 3. 利用导数确定函数的单调性的步骤.

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x -cos x 的单调性. 2

分层训练

1. 函数y =8x -lnx 的单调递增区间是 .

2．已知x ∈R ，奇函数f (x ) =x 3-ax 2-bx +c 在[1,+∞) 上单调，则字母a , b , c 应满足的条件是． 3. 已知函数f (x ) =

（－∞，+∞）上是增函数，则m 的取值范围是 . x -(4m -1) x 2+(15m 2-2m -7) x +2在

4. 若函数f (x ) =2x 2-ln x 在定义域内的一个子区间(k -1, k +1) 内不是单调函数, 则实数k 的取值范围是 5. 已知函数f (x ) =ln x , g (x ) =

, 设F (x ) =f (x ) +g (x ) ．求函数F (x ) 的单调区间； x

（2）若a ≤0，则F ' (x )>0在(0, +∞)上恒成立，∴F (x )在(0, +∞)上单调递增.

6. 已知函数f (x ) =x 3+(1-a ) x 2-a (a +2) x +b (a , b ∈R ) ．若函数f (x ) 在区间（-1,1）上不单调，求a 的取值范围．．．．

六、拓展延伸

1. 已知函数f (x ) =x 3+bx 2+cx +d 在(-∞,0) 上是增函数，在（0，2）上是减函数，且方程f (x )=0有三个根，它们分别是α,2, β.

(1)求c 的值；（2）求证：f (1)≥2；（3）求|α-β|的取值范围.

2. 已知a ∈R , 函数f (x ) =-x 3+ax 2+2ax (x ∈R ) .

32（1）当a =1时，求函数f (x ) 的单调递增区间；

（2）函数f (x ) 是否在R 上单调递减，若是，求出a 的取值范围；若不是，请说明理由；（3）若函数f (x ) 在[-1,1]上单调递增，求a 的取值范围.

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