空间几何体的三视图与球专项练习
专题一. 空间几何体的三视图
1. 某几何体的三视图如图所示，其俯视图是由一个半圆与其直径组成的图形，则该几何体的体积是__________，表面积是__________
2. 一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ） A. 18 B.1117 C.6 D.5
3. 【2017北京，文6】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）
（A ）60 （B ）30（C ）20 （D ）10
4. 一个多面体的三视图如图所示，其中正视图是正方形，
侧视图
是等腰三角形. 则该几何体的表面积为（ ） A ．88B ．98C ．108D ．158 专题二. 几何体及它的外接球
1. 柱体外接球
（1）长方体与外接球
(2R)2
=a 2
+b 2
+c 2
练习：【2017课标II ，文15】长方体的长、宽、高分别为3, 2,1，其顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为
__________
（2）三棱柱、圆柱与外接球
①正（直）三棱柱、圆柱外接球球心为两底外接圆圆心连线的中点
AE 23
求三角形ABC 外接圆半径R ：正弦定理
a sin A =b sin B =c
sin C =2R
求三角形ABC 内切圆半径r ：面积法S 11
∆ABC =2(a +b +c ) ⨯r =2ab sin C
练习：1. 设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )
（A ）πa 2 （B ）73
πa 2 （C ）11
3πa 2 （D ）5πa 2
2. 【2017课标3，理8】已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）
A ．π B ．
3π4 C ．π2 D ．π4
②底面有一角为直角的直三棱柱外接球求法
AB 的中点，半径算法同①
方法二：如图所以，将三棱柱补成长方体，半径
算法与长方体半径算法相同
O 表面上的点，SA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，SA =AB =1，
BC O 的表面积等于（）
（A ）4π （B ）3π （C ）2π （D ）π 2. 锥体外接球
(1)正棱锥与圆锥外接球
OB 2=OH 2+BH 2⇒R 2=(PH-R) 2+AH 2
练习：1. 求棱长为a 的正四面体外接球的半径．（正四面体外接球半径是高的3
4
2. 正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，求该球的表面积．
思考：已知一个棱长为1的正方体，
（1）试探究如何切割可以得到一个棱长为2的正四面体？ （2）求出这个正四面体的外接球的半径.
(2)底面为直角三角形，一侧棱与底面垂直的三棱锥：补成长方体
练习：1. 已知三棱锥S-ABC ，从S 点出发的三条棱两两垂直且SA=1，SB=2，SC=3，则该三棱锥的外接球的半径为（ ）
2. 网格纸上的小正方形边长是1，粗实线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的外接球的表面积为（ ）
A.136π B.34π C.25π D.18π
专题三. 几何体及它的内切球
1. 正三棱柱，直三棱柱，圆柱内切球
2. V =1
3S 表面积 r （r 为内切球半径）
练习：求棱长为a 的正四面体内切球的半径．（正四面体内切球半径是高的1
4
A
3. 圆锥的内切球求法：利用轴截面结合平面几何知识求解
sin θ=
r 1
或S ∆PAB =周长⨯r
PH -r 2
r 为内切球半径，周长为三角形PAB 周长
8. 直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的各顶点都在同一球面上，若AB =AC =AA 1=2, ∠BAC =120︒，
则此球的表面积等于
专题练习
练习：1. 已知三棱锥S -ABC 的所有顶点都在球O 的求面上，∆ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC =2；则此棱锥的体积为（）
(A )
(B )
(C )
(D )
6632
3. 【2017江苏，6】 如图, 在圆柱O 1, O 2内有一个球O , 该球与圆柱下面及母线均相切. 记圆柱O 1, O 2的体积为V 1, 球O 的体积为V 2, 则值是_______.
4. 已知OA 为球O 的半径，过OA 的中点M 且垂直于OA 的平面截球
的上、
V 的V 2
面得
到圆M ，若圆M 的面积为3π，则球O 的表面积等于__________________.
5. 某圆锥的截面为边长为2的正三角形，则该圆锥的内切球的表面积为_______
6. （2013年高考课标Ⅰ卷（文））已知H 是球O 的直径AB 上一点, AH :HB =1:2, AB ⊥平面α, H 为垂足, α截球O 所得截面的面积为π, 则球O 的表面积为_______.
7. 已知三棱锥A —BCD 的所有棱长都为2，则该三棱锥的外接球的表面积为________．
空间几何体的三视图与球专项练习
专题一. 空间几何体的三视图
1. 某几何体的三视图如图所示，其俯视图是由一个半圆与其直径组成的图形，则该几何体的体积是__________，表面积是__________
2. 一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ） A. 18 B.1117 C.6 D.5
3. 【2017北京，文6】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）
（A ）60 （B ）30（C ）20 （D ）10
4. 一个多面体的三视图如图所示，其中正视图是正方形，
侧视图
是等腰三角形. 则该几何体的表面积为（ ） A ．88B ．98C ．108D ．158 专题二. 几何体及它的外接球
1. 柱体外接球
（1）长方体与外接球
(2R)2
=a 2
+b 2
+c 2
练习：【2017课标II ，文15】长方体的长、宽、高分别为3, 2,1，其顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为
__________
（2）三棱柱、圆柱与外接球
①正（直）三棱柱、圆柱外接球球心为两底外接圆圆心连线的中点
AE 23
求三角形ABC 外接圆半径R ：正弦定理
a sin A =b sin B =c
sin C =2R
求三角形ABC 内切圆半径r ：面积法S 11
∆ABC =2(a +b +c ) ⨯r =2ab sin C
练习：1. 设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )
（A ）πa 2 （B ）73
πa 2 （C ）11
3πa 2 （D ）5πa 2
2. 【2017课标3，理8】已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）
A ．π B ．
3π4 C ．π2 D ．π4
②底面有一角为直角的直三棱柱外接球求法
AB 的中点，半径算法同①
方法二：如图所以，将三棱柱补成长方体，半径
算法与长方体半径算法相同
O 表面上的点，SA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，SA =AB =1，
BC O 的表面积等于（）
（A ）4π （B ）3π （C ）2π （D ）π 2. 锥体外接球
(1)正棱锥与圆锥外接球
OB 2=OH 2+BH 2⇒R 2=(PH-R) 2+AH 2
练习：1. 求棱长为a 的正四面体外接球的半径．（正四面体外接球半径是高的3
4
2. 正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，求该球的表面积．
思考：已知一个棱长为1的正方体，
（1）试探究如何切割可以得到一个棱长为2的正四面体？ （2）求出这个正四面体的外接球的半径.
(2)底面为直角三角形，一侧棱与底面垂直的三棱锥：补成长方体
练习：1. 已知三棱锥S-ABC ，从S 点出发的三条棱两两垂直且SA=1，SB=2，SC=3，则该三棱锥的外接球的半径为（ ）
2. 网格纸上的小正方形边长是1，粗实线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的外接球的表面积为（ ）
A.136π B.34π C.25π D.18π
专题三. 几何体及它的内切球
1. 正三棱柱，直三棱柱，圆柱内切球
2. V =1
3S 表面积 r （r 为内切球半径）
练习：求棱长为a 的正四面体内切球的半径．（正四面体内切球半径是高的1
4
A
3. 圆锥的内切球求法：利用轴截面结合平面几何知识求解
sin θ=
r 1
或S ∆PAB =周长⨯r
PH -r 2
r 为内切球半径，周长为三角形PAB 周长
8. 直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的各顶点都在同一球面上，若AB =AC =AA 1=2, ∠BAC =120︒，
则此球的表面积等于
专题练习
练习：1. 已知三棱锥S -ABC 的所有顶点都在球O 的求面上，∆ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC =2；则此棱锥的体积为（）
(A )
(B )
(C )
(D )
6632
3. 【2017江苏，6】 如图, 在圆柱O 1, O 2内有一个球O , 该球与圆柱下面及母线均相切. 记圆柱O 1, O 2的体积为V 1, 球O 的体积为V 2, 则值是_______.
4. 已知OA 为球O 的半径，过OA 的中点M 且垂直于OA 的平面截球
的上、
V 的V 2
面得
到圆M ，若圆M 的面积为3π，则球O 的表面积等于__________________.
5. 某圆锥的截面为边长为2的正三角形，则该圆锥的内切球的表面积为_______
6. （2013年高考课标Ⅰ卷（文））已知H 是球O 的直径AB 上一点, AH :HB =1:2, AB ⊥平面α, H 为垂足, α截球O 所得截面的面积为π, 则球O 的表面积为_______.
7. 已知三棱锥A —BCD 的所有棱长都为2，则该三棱锥的外接球的表面积为________．