第五章
静态输出反馈观测器和静态输出反馈、观测器和
动态补偿器
§5-1静态输出反馈和极点配置
一、静态输出反馈的性质
若给定线性时不变系统方程为
=A x +B u x （5-1）y =C x
若取静态输出反馈控制律u =K y +v
可以得到闭环系统的动态方程为（5-2)
=(A +BKC ) x +B v , y =C x x (5−3)
=(A +BKC ) x +B v , y =C x x
v B x ∫
A x C y
K
闭环系统结构图
定理5-1反馈规律（5-2）不改变系统的可观测性。）不改变系统的可观测性证明根据等式
⎡s I −(A +BCK ) ⎤⎡I =⎢⎢⎥C ⎣⎦⎣0−BK ⎤⎡s I −A ⎤⎥⎢⎥I ⎦⎣C ⎦(5-4)(54)
由于（5-4）式右端第）式右端第一个矩阵是非奇异阵，因此个矩阵是非奇异阵，因此对任意的s 和K ，均有
⎡s I −(A +BKC ) ⎤⎡s I −A ⎤rank ⎢=rank ⎢⎥⎥C ⎣⎦⎣C ⎦(5−5)
证完。
可见，系统（A +BKC , C ）可观测的充分必要条件是系统（A , C ）可观测。这表明）可观测这表明静态输出反馈不改变系统的可观测性。
如果系统（A , C ）不可观测，由（）不可观测由（5-555）可知，）可知静态输出反馈不会改变系统的不可观测模态。推论：u =K y +v 的反馈律不改变系统的可控性。证明：把（把A +BKC ）中的中KC 看作是状态反馈增益看作态馈阵，而状态反馈不改变系统的可控性。证完。
状态反馈与输出反馈比较(在极点配置方面)
1. 状态反馈：K 是p ×n 的矩阵。闭环特征方程
det [s I −(A +BK )]
与期望多项式比较得到的是非线性方程(p >1)1) 或线性方程(p =1)；p >1时可转化为p =1的情形，这时方程仍有解。这时方程仍有解
2. 输出反馈：K 是p ×q 的矩阵。闭环特征方程
det [s I −(A +BKC )]
与望多式较得的般与期望多项式比较得到的一般是非线性方程。线性
参考文献：郭雷主编, 控制理论导论——从基本概念到研究前沿, 科学出版社, 2005.
线性时不变系统的观测器
和动态补偿器动态补
一、状态估计的方案及K x 观测器的定义
1. 状态观测器状态观测器
最早的观测器是具有同样动态方程的模型系统，用模型系统的状态变量作为系统状态变量的估计值统的状态变量作为系统状态变量的估计值。
u B ∫
A
ˆx C y 原系统B ∫
A ˆx
ˆ=A x ˆ+B u x 模型
令误差
则ˆ :=x −x x :=A x x
若系统可观测，通过输入/输出可确定出x (0)，并可将观
ˆ(0)设置得和原系统测器的初始值x 设置得和原系统一样。样。
这种方案的主要缺点是：
1) 模型系统的A 、B B 难与真实系统一致，因此，很难满足误难与真实系统致因此很难满足误差
t →∞ˆ) =0(x −x lim(ˆ0, u ∀x 0, x
2) 每次运行均需要重新确定初始值。若两系统的初始值设置不同且矩阵A 又具有右半平面的极点，则误差将发散：不同，且矩阵又具有右半平面的极点则误差将发散
=e x (0)→∞x A t
由于以上方案未能利用系统的输出信息对误差进行校正，所以是一个开环估值。这种方案的抗干扰能力稳定性和鲁棒性都是不能满足要求的力、稳定性和鲁棒性都是不能满足要求的。
一般系统的输入量u 和输出量y 均为已知，因此希望利用n ×q ˆ=A x ˆ+B u +G (y −C x ˆ) =(A −GC ) x ˆ+B u +G y , G ∈R x y =CC x 与的偏差信号来修正的值的值，这样就形这样就形ˆˆˆx y =C x =A x +B u =(A −GC) x +B u +Gy ˆ :=x −x x x 成了图5-3的闭环估计方案。 =(A −GC ) x =(A −GC ) x +GC x +B u −B u −G y ⇒x x
开环方案
B
∫
A
C
G
B
估计器
ˆx
∫
A 图5-3
ˆx
C
在图5-3中虚线框出的部分称为状态观测器或状态估计器它是个动态系统以原系统的输入量u 态估计器，它是一个动态系统，
和输出量y 作为它的输入量，而观测器的输出量是原系统的状态变量的估计值x 应当满足ˆ，应当满足
t →∞
ˆ) =0 =lim(lim x (x −x
t →∞
ˆ(ˆ0∀u , x ((0)) =x 0, x (0)) =x
据图5-3所表示的关系可写出观测器部分的状态方程
ˆ=A x ˆ+B u +G (y −C x ˆ) =(A −GC ) x ˆ+B u +G y x
⎡u ⎤ ˆ=(A −GC ) x ˆ+[B G ]⎢⎥x
⎣y ⎦
⎡u ⎤ ˆ=A 1x ˆ+B 1u 1, A 1:=A −G C, B 1:=[B G ], u 1:=⎢⎥⇔x
⎣y ⎦
ˆy 1=I x
2K x 观测器2. K
在某些工程实际问题中，产生状态估计值的目的是反馈量K x x ，这里K 是状态反馈阵。因此，完全可以直接讨论如何产生状态的线性组合K x 的估计值，而没有必要去产生状态的估计值x 。直接构造K x 观测器有可能使观测器的维数降低，简化控制器的设计。
=Ax +Bu x
y =Cx
ˆx
用n 维状
态观测器作反馈：为估值。
ˆ∈R x
n
观测器
K
=Ax +Bu x
y =Cx
w
观测器
用K x 观测器作反作馈：维数可以较低，较低容易实现。
t →∞
lim(K x −w ) =0，K ∈R
l ×n
, ∀x 0, z 0, u
定义5-1：设线性时不变系统
∑：(A，B ，C ）(x , y , u )
的状态是不能直接量测的，而另一状态变量为z 的动态系统∑0称为是系统∑的K x 观测器，如果观测器如果∑0以∑的输入u 和输出y 为其输入，
r ⎧ =f (z , u , y ), z ∈R ⎪z
∑0:⎨l
⎪⎩w =g (z , u , y ), w ∈R
且对给定的常数矩阵K ，∑0的输出w 满足
t →∞
lim(K x −w ) =0，K ∈R
l ×n
, ∀x 0, z 0, u
若在上述定义中，K=I，则若在上述定义中则∑0称为状态观测器或状态
估计器。
u
Σ:(A,B,C A B C )
y
Σ0:K x 观测器,状态：z , 输出：w
=f (z , u ) =f (z ,(z (u , y )) w =g (z , u , y )
满足lim(K x −w ) =0∀x 0, z 0, u
t →∞
图：K x 观测器∑0，K=I时退化为状态观测器什么条件下这样的状态观测器一定存在？
二、状态观测器的存在性、n 维基本状态观测器和n 维基本K x 观测器
1.状态观测器的存在性
定理5-9对线性时不变系统（A ，B ，C ），若系统可检测（若系统中不可观测的模态是稳定模态，则称系统是可检测的。可检测是可镇定的对偶提法），则其状则其状态观测器存在。测存在证明因为（A ，B ，C ）不是可观测时，可按可观测性进行结构分解，故这里不妨假定（A ，B ，C ）已具有如下形式已具有如下形式：
⎡A 110⎤
A =⎢⎥
⎣A 21A 22⎦⎡B 1⎤B =⎢⎥
⎣B 2⎦
C =[C 10]
其中(A11, C1) 可观测，A 22的特征值具负实部。现构造如下的动态系统
ˆ=A x ˆ+B u +G (y −C x ˆ) x
根据前面的分析：
=(A −GC ) x x
⎡A 110⎤A =⎢⎥
⎣A 21A 22⎦
有
⎡G 1⎤G =⎢⎥
⎣G 2⎦
0⎤
x ⎥A 22⎦
C =[C 10]
A G C −⎡1111 =⎢x
⎣A 21−G 2C 1
因为
T T (A 11, C 1
T 1
)
可控，适当选择可控当选择G ，可使可使的特征值均具负实部，亦即的特征值均具负实部亦即
A 11−G 1C 1
的特征值均具负实部；而A 22是系统的不可观测部分，由可检测的假定，A 22的特征值具有负实部，故系统渐近稳定，即
t →∞
T A 11
T T −C 1G 1
=0, lim x
ˆ0, u ∀x 0, x
证完证完。
于是定理得证于是定理得证。
2. n 维基本状态观测器和n 维基本K x 观测器
定理5-9说明如果系统可检测，状态观测器总是存在的，并且观测器可取成（5-27）式的形式，即
ˆ=(A −GC ) x ˆ+B u +G y x
ˆw =I x
(5−27)
同样，K x 观测器也是存在的，可以取为
ˆ=(A −GC ) x ˆ+B u +G y x
ˆw =K x
(5-28)
（55-2727）和（55-2828）的观测器分别称为n 维基本状态观
测器和n 维基本K x 观测器。
3.可任意配置观测器极点的条件
定理5-10线性时不变系统（A ，B ，C ）的状态观测器（5-27）可任意配置特征值的充分必要条件是（A ，C ）可观测。
证明令定理5-9的证明中A 22的维数为零，即可证的维数为零即可证明本定理。这个定理相当于（A ，B ，C ）的极点用状态反馈可任意配置的对偶形式状态反馈可任意配置的对偶形式。证完证完。
三、单输入单输出系统的状态观测器
对单输对单输入、单输出系统，若单输出系统若((A, b, c) , , ) 可观测，状态观测器的极点配置问题可按以下步骤来解决：
n
n −1
1. 记det(s I −A ）=s +a 1s +" +a n −1s +a n 。
因原系统（A, c)A ) 可观测，对其作等价变换后有可观测对其作等价变换后有
注意到经变换后的系统是可控标准形的对偶形式，于是不难得到变换阵P(不是P −1！) 为
⎡a n −1⎢a ⎢n −2P =⎢#
⎢⎢a 1⎢⎣1
a n −2" a 11⎤⎡c ⎤
⎢cA ⎥⎥1⎥⎥⎢
⎥⎢#⎥$
⎥⎥⎢
10⎥⎥⎢
⎢cA n −1⎥⎥⎦⎣⎦
例：给定系统(A , b , c )如下：
⎡100⎤⎡1⎤⎢⎥⎢⎥A =⎢021⎥, b =⎢0⎥, c =[110]⎢⎢⎣002⎥⎦⎣1⎥⎦
容易验证这个系统是可观测的现在构造极点在容易验证这个系统是可观测的。现在构造极点在{−3, −4, −5}的状态观测器：
1. A 阵的特征多项式为s −5s +8s −4=0;
2. 根据以根据以上介绍的变换阵，有介绍的变换阵，有
⎡8−51⎤⎡110⎤⎡42−1⎤⎡111⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−1
P =⎢−510⎥⎢121⎥=⎢−4−31⎥, P =⎢−1−10⎥
⎢⎢⎣100⎥⎦⎢⎣144⎥⎦⎢⎣110⎥⎦⎣124⎥⎦
3
2
3.期望的多项式为f (s )=s +12s +47s +60;
3
2
四、K x 观测器的结构条件
线性时不变系统（A ，B ，C ）的观测器也是一个线性时不变系统，其一般形式如下：
=F r ×r z +N r ×p u +G r ×q y ⎧⎪z Σ0:⎨
=E +M w z y ⎪l ×r l ×q ⎩
(5−29)
问题：上述系统中的矩阵满足什么条件时，系统
∑0才可以构成（A ，B ，C ）的一个K x 观测器？即：t →∞时，有
K x −w →0若是，w 就给出了K x 的渐近估计。
M
y u
G N
z
∫
F
z
E
w
Σ0
⎧z =F z +N u +G y
:⎨
⎩w =E z +M y
(5−29)
注：要特别注意现在讨论的一般K x 观测器与前面讨论的n n 维基本状态观测器、维基本状态观测器n 维基本K x 观测器间的差别。观测器间的差别在这里，一般K x 观测器的维数为r 。
1预备定理1. 预备定理
问题：若t →∞时，问题时K x −w →0，那么，在那么在状态变量z 和x 之间是否也存在类似的线性渐近关系，即是否存在P ，使
t →∞lim (P x −z ) =0, ∀x 0, z 0, u (5−30) 成立? 因此，首先研究系统状态变量x 和观测器的状态变量z 之间的关系。
定理5-11若系统（A, B, C）可控，那么，若对某个P 阵有关系
t →∞lim (P x −z ) =0, ∀x 0, z 0, u （5−30）成立，则下列条件成立：
(1)R e λi (F )
(5−31) (2)PA −FP =GC ；
(3)N =PB 。
反之，如果（1）成立，且P 阵满足（2）、（3），则（5-30）式成立。
证明充分性。要证明若(1)成立，P 满足(2)、(3)，则有(1)R e λi (F )
t →∞li (P x −z ) =0, lim 0∀x 0, z 0, u 。() PA −FP =GC ；(2)
(3)N =PB 。
令e ：=P x −z
对e 求导数，有求导数有
(Gy =GC x ) =F z z +N u +G y =P x −z =P (A x +B u ) −(F z +N u +G y ) e =(PA −GC ) x +（PB u −N u ）-F z
FP =(PA −GC ) x −F z =FP x −F z =F e
=F e ⇒e
则显然对任意的x 0, z 0, u , 有
e (t ) =e e (0)=e F t F t (P x 0−z 0)
所以有t →∞lim e (t ) =lim (P x −z ) =0t →∞
必要性。设对任意的
x 0, z 0, u
都有
t →∞lim(P x −z ) =0
要证(1)∼(3)成立。取u =0 , x 0=0，则由
=A x +B u , y =C x x
可知x =0, 从而，y =0。此时，由(5-29)：
=F z +N u +G y ⎧z Σ0:⎨⎩w =E z +M y (5−29)
可得
=F z z
而且由(5-30)(530)
t →∞lim (P x −z ) =0, ∀x 0, z 0, u (5−30) 故有：
0=lim (P x (t ) −z (t )) =−lim z (t ) t →∞t →∞
⇒lim z (t ) =0, ∀z 0t →∞
⇒R e λi (F )
这就是（）。1
下面证(2)和(3)。因为
=P x −z =P (A x +B u ) −(F z +N u +G y ) e
=F (P x −z ) +(PA −F P −G C ) x +(P B −N ) u =F e +(PA −FP −G C ) x +(PB −N ) u
W Q
记
PA −FP −GC=WGC W
PB −N=Q，
要证W 、Q 为零，即为零即(2)、(3)成立。对微分方程取拉成立对微分方程取拉氏变换，并解出e (s ) ：
se (s ) −e (0)=F e (s ) +W x (s ) +Q u (s )
e (s ) =(s I −F ) e (0)+(s I −F ) [W x (s ) +Q u (s )]−1−1
由条件
t →∞li e (t ) =0lim
可知
s →0lim se (s ) =0
取x 0=00，有
x (s ) =(s Ι−A ) B u (s ) −1
又取z 0=0，这时
所以
s →0e (0)=Px (0)−z (0)=Px 0 −z 0 = 0−1−1lim se (s ) =lim(s Ι−F ) [W (s Ι−A ) B +Q ]su (s ) =0s →0
因为F 非奇异非奇异，故必须有故须有
s →0lim[W (s Ι−A ) B +Q ]su (s ) =0−1
又由于u (s ) 的任意性，故必须有
W (s Ι−A ) B +Q ≡0
⇒W (s Ι−A ) B ≡0，Q =0−1−1
否则，可以找到u ，使
s →0lim[W (s Ι−A ) B +Q ]su (s ) ≠0−1
考虑到系统是可控的，在复数域上(s I −A) -1B B 行线性无关，立即推得W=0。注意到
W=PAW PA −FP −GC ，Q =PBPB −N ，
则W=0、Q=0意味定理中的结论(2)、(3)，从而，定理的全部结论得证。证完。
在定理5-11中取r =n ，P=I，有
推论5-11若系统（A ，B ，C ）可控，则（5-29）
=F z +N u +G y ⎧z Σ0:⎨⎩w =z (A .1)
成为（A ，B ，C ）的n 维状态观测器的充要条件为
() (1)
(2)
(3) Re λi (F )
证明充分性：证明：充分性若P=I，(A.2)式成立，则式成立则
=(A −GC ) z +B u +G y z (A .3)
又根据定理5-11，
t →∞lim (x −z ) =0∀x 0, z 0, u
这说明(A.3) (A.3)就是就是一个状态观测器。个状态观测器。
必要性：若(A.1)是一个n 维状态观测器，根据定义5-1，
t →∞lim (x −z ) =0∀x 0, z 0, u
根据定理5-11，考虑到P=I，有
(1)
(2)()
(3)Re λi (F )
推论5-11表明（A ，B ，C ）的n 维状态观测器必具有（5-27）的形式：
ˆ=(A −GC ) x ˆ+B u +G y x
ˆw =I x (5−27)
证完。证完
第五章
静态输出反馈观测器和静态输出反馈、观测器和
动态补偿器
§5-1静态输出反馈和极点配置
一、静态输出反馈的性质
若给定线性时不变系统方程为
=A x +B u x （5-1）y =C x
若取静态输出反馈控制律u =K y +v
可以得到闭环系统的动态方程为（5-2)
=(A +BKC ) x +B v , y =C x x (5−3)
=(A +BKC ) x +B v , y =C x x
v B x ∫
A x C y
K
闭环系统结构图
定理5-1反馈规律（5-2）不改变系统的可观测性。）不改变系统的可观测性证明根据等式
⎡s I −(A +BCK ) ⎤⎡I =⎢⎢⎥C ⎣⎦⎣0−BK ⎤⎡s I −A ⎤⎥⎢⎥I ⎦⎣C ⎦(5-4)(54)
由于（5-4）式右端第）式右端第一个矩阵是非奇异阵，因此个矩阵是非奇异阵，因此对任意的s 和K ，均有
⎡s I −(A +BKC ) ⎤⎡s I −A ⎤rank ⎢=rank ⎢⎥⎥C ⎣⎦⎣C ⎦(5−5)
证完。
可见，系统（A +BKC , C ）可观测的充分必要条件是系统（A , C ）可观测。这表明）可观测这表明静态输出反馈不改变系统的可观测性。
如果系统（A , C ）不可观测，由（）不可观测由（5-555）可知，）可知静态输出反馈不会改变系统的不可观测模态。推论：u =K y +v 的反馈律不改变系统的可控性。证明：把（把A +BKC ）中的中KC 看作是状态反馈增益看作态馈阵，而状态反馈不改变系统的可控性。证完。
状态反馈与输出反馈比较(在极点配置方面)
1. 状态反馈：K 是p ×n 的矩阵。闭环特征方程
det [s I −(A +BK )]
与期望多项式比较得到的是非线性方程(p >1)1) 或线性方程(p =1)；p >1时可转化为p =1的情形，这时方程仍有解。这时方程仍有解
2. 输出反馈：K 是p ×q 的矩阵。闭环特征方程
det [s I −(A +BKC )]
与望多式较得的般与期望多项式比较得到的一般是非线性方程。线性
参考文献：郭雷主编, 控制理论导论——从基本概念到研究前沿, 科学出版社, 2005.
线性时不变系统的观测器
和动态补偿器动态补
一、状态估计的方案及K x 观测器的定义
1. 状态观测器状态观测器
最早的观测器是具有同样动态方程的模型系统，用模型系统的状态变量作为系统状态变量的估计值统的状态变量作为系统状态变量的估计值。
u B ∫
A
ˆx C y 原系统B ∫
A ˆx
ˆ=A x ˆ+B u x 模型
令误差
则ˆ :=x −x x :=A x x
若系统可观测，通过输入/输出可确定出x (0)，并可将观
ˆ(0)设置得和原系统测器的初始值x 设置得和原系统一样。样。
这种方案的主要缺点是：
1) 模型系统的A 、B B 难与真实系统一致，因此，很难满足误难与真实系统致因此很难满足误差
t →∞ˆ) =0(x −x lim(ˆ0, u ∀x 0, x
2) 每次运行均需要重新确定初始值。若两系统的初始值设置不同且矩阵A 又具有右半平面的极点，则误差将发散：不同，且矩阵又具有右半平面的极点则误差将发散
=e x (0)→∞x A t
由于以上方案未能利用系统的输出信息对误差进行校正，所以是一个开环估值。这种方案的抗干扰能力稳定性和鲁棒性都是不能满足要求的力、稳定性和鲁棒性都是不能满足要求的。
一般系统的输入量u 和输出量y 均为已知，因此希望利用n ×q ˆ=A x ˆ+B u +G (y −C x ˆ) =(A −GC ) x ˆ+B u +G y , G ∈R x y =CC x 与的偏差信号来修正的值的值，这样就形这样就形ˆˆˆx y =C x =A x +B u =(A −GC) x +B u +Gy ˆ :=x −x x x 成了图5-3的闭环估计方案。 =(A −GC ) x =(A −GC ) x +GC x +B u −B u −G y ⇒x x
开环方案
B
∫
A
C
G
B
估计器
ˆx
∫
A 图5-3
ˆx
C
在图5-3中虚线框出的部分称为状态观测器或状态估计器它是个动态系统以原系统的输入量u 态估计器，它是一个动态系统，
和输出量y 作为它的输入量，而观测器的输出量是原系统的状态变量的估计值x 应当满足ˆ，应当满足
t →∞
ˆ) =0 =lim(lim x (x −x
t →∞
ˆ(ˆ0∀u , x ((0)) =x 0, x (0)) =x
据图5-3所表示的关系可写出观测器部分的状态方程
ˆ=A x ˆ+B u +G (y −C x ˆ) =(A −GC ) x ˆ+B u +G y x
⎡u ⎤ ˆ=(A −GC ) x ˆ+[B G ]⎢⎥x
⎣y ⎦
⎡u ⎤ ˆ=A 1x ˆ+B 1u 1, A 1:=A −G C, B 1:=[B G ], u 1:=⎢⎥⇔x
⎣y ⎦
ˆy 1=I x
2K x 观测器2. K
在某些工程实际问题中，产生状态估计值的目的是反馈量K x x ，这里K 是状态反馈阵。因此，完全可以直接讨论如何产生状态的线性组合K x 的估计值，而没有必要去产生状态的估计值x 。直接构造K x 观测器有可能使观测器的维数降低，简化控制器的设计。
=Ax +Bu x
y =Cx
ˆx
用n 维状
态观测器作反馈：为估值。
ˆ∈R x
n
观测器
K
=Ax +Bu x
y =Cx
w
观测器
用K x 观测器作反作馈：维数可以较低，较低容易实现。
t →∞
lim(K x −w ) =0，K ∈R
l ×n
, ∀x 0, z 0, u
定义5-1：设线性时不变系统
∑：(A，B ，C ）(x , y , u )
的状态是不能直接量测的，而另一状态变量为z 的动态系统∑0称为是系统∑的K x 观测器，如果观测器如果∑0以∑的输入u 和输出y 为其输入，
r ⎧ =f (z , u , y ), z ∈R ⎪z
∑0:⎨l
⎪⎩w =g (z , u , y ), w ∈R
且对给定的常数矩阵K ，∑0的输出w 满足
t →∞
lim(K x −w ) =0，K ∈R
l ×n
, ∀x 0, z 0, u
若在上述定义中，K=I，则若在上述定义中则∑0称为状态观测器或状态
估计器。
u
Σ:(A,B,C A B C )
y
Σ0:K x 观测器,状态：z , 输出：w
=f (z , u ) =f (z ,(z (u , y )) w =g (z , u , y )
满足lim(K x −w ) =0∀x 0, z 0, u
t →∞
图：K x 观测器∑0，K=I时退化为状态观测器什么条件下这样的状态观测器一定存在？
二、状态观测器的存在性、n 维基本状态观测器和n 维基本K x 观测器
1.状态观测器的存在性
定理5-9对线性时不变系统（A ，B ，C ），若系统可检测（若系统中不可观测的模态是稳定模态，则称系统是可检测的。可检测是可镇定的对偶提法），则其状则其状态观测器存在。测存在证明因为（A ，B ，C ）不是可观测时，可按可观测性进行结构分解，故这里不妨假定（A ，B ，C ）已具有如下形式已具有如下形式：
⎡A 110⎤
A =⎢⎥
⎣A 21A 22⎦⎡B 1⎤B =⎢⎥
⎣B 2⎦
C =[C 10]
其中(A11, C1) 可观测，A 22的特征值具负实部。现构造如下的动态系统
ˆ=A x ˆ+B u +G (y −C x ˆ) x
根据前面的分析：
=(A −GC ) x x
⎡A 110⎤A =⎢⎥
⎣A 21A 22⎦
有
⎡G 1⎤G =⎢⎥
⎣G 2⎦
0⎤
x ⎥A 22⎦
C =[C 10]
A G C −⎡1111 =⎢x
⎣A 21−G 2C 1
因为
T T (A 11, C 1
T 1
)
可控，适当选择可控当选择G ，可使可使的特征值均具负实部，亦即的特征值均具负实部亦即
A 11−G 1C 1
的特征值均具负实部；而A 22是系统的不可观测部分，由可检测的假定，A 22的特征值具有负实部，故系统渐近稳定，即
t →∞
T A 11
T T −C 1G 1
=0, lim x
ˆ0, u ∀x 0, x
证完证完。
于是定理得证于是定理得证。
2. n 维基本状态观测器和n 维基本K x 观测器
定理5-9说明如果系统可检测，状态观测器总是存在的，并且观测器可取成（5-27）式的形式，即
ˆ=(A −GC ) x ˆ+B u +G y x
ˆw =I x
(5−27)
同样，K x 观测器也是存在的，可以取为
ˆ=(A −GC ) x ˆ+B u +G y x
ˆw =K x
(5-28)
（55-2727）和（55-2828）的观测器分别称为n 维基本状态观
测器和n 维基本K x 观测器。
3.可任意配置观测器极点的条件
定理5-10线性时不变系统（A ，B ，C ）的状态观测器（5-27）可任意配置特征值的充分必要条件是（A ，C ）可观测。
证明令定理5-9的证明中A 22的维数为零，即可证的维数为零即可证明本定理。这个定理相当于（A ，B ，C ）的极点用状态反馈可任意配置的对偶形式状态反馈可任意配置的对偶形式。证完证完。
三、单输入单输出系统的状态观测器
对单输对单输入、单输出系统，若单输出系统若((A, b, c) , , ) 可观测，状态观测器的极点配置问题可按以下步骤来解决：
n
n −1
1. 记det(s I −A ）=s +a 1s +" +a n −1s +a n 。
因原系统（A, c)A ) 可观测，对其作等价变换后有可观测对其作等价变换后有
注意到经变换后的系统是可控标准形的对偶形式，于是不难得到变换阵P(不是P −1！) 为
⎡a n −1⎢a ⎢n −2P =⎢#
⎢⎢a 1⎢⎣1
a n −2" a 11⎤⎡c ⎤
⎢cA ⎥⎥1⎥⎥⎢
⎥⎢#⎥$
⎥⎥⎢
10⎥⎥⎢
⎢cA n −1⎥⎥⎦⎣⎦
例：给定系统(A , b , c )如下：
⎡100⎤⎡1⎤⎢⎥⎢⎥A =⎢021⎥, b =⎢0⎥, c =[110]⎢⎢⎣002⎥⎦⎣1⎥⎦
容易验证这个系统是可观测的现在构造极点在容易验证这个系统是可观测的。现在构造极点在{−3, −4, −5}的状态观测器：
1. A 阵的特征多项式为s −5s +8s −4=0;
2. 根据以根据以上介绍的变换阵，有介绍的变换阵，有
⎡8−51⎤⎡110⎤⎡42−1⎤⎡111⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−1
P =⎢−510⎥⎢121⎥=⎢−4−31⎥, P =⎢−1−10⎥
⎢⎢⎣100⎥⎦⎢⎣144⎥⎦⎢⎣110⎥⎦⎣124⎥⎦
3
2
3.期望的多项式为f (s )=s +12s +47s +60;
3
2
四、K x 观测器的结构条件
线性时不变系统（A ，B ，C ）的观测器也是一个线性时不变系统，其一般形式如下：
=F r ×r z +N r ×p u +G r ×q y ⎧⎪z Σ0:⎨
=E +M w z y ⎪l ×r l ×q ⎩
(5−29)
问题：上述系统中的矩阵满足什么条件时，系统
∑0才可以构成（A ，B ，C ）的一个K x 观测器？即：t →∞时，有
K x −w →0若是，w 就给出了K x 的渐近估计。
M
y u
G N
z
∫
F
z
E
w
Σ0
⎧z =F z +N u +G y
:⎨
⎩w =E z +M y
(5−29)
注：要特别注意现在讨论的一般K x 观测器与前面讨论的n n 维基本状态观测器、维基本状态观测器n 维基本K x 观测器间的差别。观测器间的差别在这里，一般K x 观测器的维数为r 。
1预备定理1. 预备定理
问题：若t →∞时，问题时K x −w →0，那么，在那么在状态变量z 和x 之间是否也存在类似的线性渐近关系，即是否存在P ，使
t →∞lim (P x −z ) =0, ∀x 0, z 0, u (5−30) 成立? 因此，首先研究系统状态变量x 和观测器的状态变量z 之间的关系。
定理5-11若系统（A, B, C）可控，那么，若对某个P 阵有关系
t →∞lim (P x −z ) =0, ∀x 0, z 0, u （5−30）成立，则下列条件成立：
(1)R e λi (F )
(5−31) (2)PA −FP =GC ；
(3)N =PB 。
反之，如果（1）成立，且P 阵满足（2）、（3），则（5-30）式成立。
证明充分性。要证明若(1)成立，P 满足(2)、(3)，则有(1)R e λi (F )
t →∞li (P x −z ) =0, lim 0∀x 0, z 0, u 。() PA −FP =GC ；(2)
(3)N =PB 。
令e ：=P x −z
对e 求导数，有求导数有
(Gy =GC x ) =F z z +N u +G y =P x −z =P (A x +B u ) −(F z +N u +G y ) e =(PA −GC ) x +（PB u −N u ）-F z
FP =(PA −GC ) x −F z =FP x −F z =F e
=F e ⇒e
则显然对任意的x 0, z 0, u , 有
e (t ) =e e (0)=e F t F t (P x 0−z 0)
所以有t →∞lim e (t ) =lim (P x −z ) =0t →∞
必要性。设对任意的
x 0, z 0, u
都有
t →∞lim(P x −z ) =0
要证(1)∼(3)成立。取u =0 , x 0=0，则由
=A x +B u , y =C x x
可知x =0, 从而，y =0。此时，由(5-29)：
=F z +N u +G y ⎧z Σ0:⎨⎩w =E z +M y (5−29)
可得
=F z z
而且由(5-30)(530)
t →∞lim (P x −z ) =0, ∀x 0, z 0, u (5−30) 故有：
0=lim (P x (t ) −z (t )) =−lim z (t ) t →∞t →∞
⇒lim z (t ) =0, ∀z 0t →∞
⇒R e λi (F )
这就是（）。1
下面证(2)和(3)。因为
=P x −z =P (A x +B u ) −(F z +N u +G y ) e
=F (P x −z ) +(PA −F P −G C ) x +(P B −N ) u =F e +(PA −FP −G C ) x +(PB −N ) u
W Q
记
PA −FP −GC=WGC W
PB −N=Q，
要证W 、Q 为零，即为零即(2)、(3)成立。对微分方程取拉成立对微分方程取拉氏变换，并解出e (s ) ：
se (s ) −e (0)=F e (s ) +W x (s ) +Q u (s )
e (s ) =(s I −F ) e (0)+(s I −F ) [W x (s ) +Q u (s )]−1−1
由条件
t →∞li e (t ) =0lim
可知
s →0lim se (s ) =0
取x 0=00，有
x (s ) =(s Ι−A ) B u (s ) −1
又取z 0=0，这时
所以
s →0e (0)=Px (0)−z (0)=Px 0 −z 0 = 0−1−1lim se (s ) =lim(s Ι−F ) [W (s Ι−A ) B +Q ]su (s ) =0s →0
因为F 非奇异非奇异，故必须有故须有
s →0lim[W (s Ι−A ) B +Q ]su (s ) =0−1
又由于u (s ) 的任意性，故必须有
W (s Ι−A ) B +Q ≡0
⇒W (s Ι−A ) B ≡0，Q =0−1−1
否则，可以找到u ，使
s →0lim[W (s Ι−A ) B +Q ]su (s ) ≠0−1
考虑到系统是可控的，在复数域上(s I −A) -1B B 行线性无关，立即推得W=0。注意到
W=PAW PA −FP −GC ，Q =PBPB −N ，
则W=0、Q=0意味定理中的结论(2)、(3)，从而，定理的全部结论得证。证完。
在定理5-11中取r =n ，P=I，有
推论5-11若系统（A ，B ，C ）可控，则（5-29）
=F z +N u +G y ⎧z Σ0:⎨⎩w =z (A .1)
成为（A ，B ，C ）的n 维状态观测器的充要条件为
() (1)
(2)
(3) Re λi (F )
证明充分性：证明：充分性若P=I，(A.2)式成立，则式成立则
=(A −GC ) z +B u +G y z (A .3)
又根据定理5-11，
t →∞lim (x −z ) =0∀x 0, z 0, u
这说明(A.3) (A.3)就是就是一个状态观测器。个状态观测器。
必要性：若(A.1)是一个n 维状态观测器，根据定义5-1，
t →∞lim (x −z ) =0∀x 0, z 0, u
根据定理5-11，考虑到P=I，有
(1)
(2)()
(3)Re λi (F )
推论5-11表明（A ，B ，C ）的n 维状态观测器必具有（5-27）的形式：
ˆ=(A −GC ) x ˆ+B u +G y x
ˆw =I x (5−27)
证完。证完