哈尔滨商业大学毕业设计（论文）
关于伴随矩阵性质的探讨
学 生 姓 名 杨强
指 导 教 师 于宪君
专 业 数学与应用数学
学 院 基础科学学院
年 月 日
Graduation Project (Thesis) Harbin University of Commerce
Study on the Production of High Maltose Syrup by Enzyme
Student
Supervisor
Specialty
School
201x -0x- x x
毕业设计（论文）任务书
毕业设计（论文）审阅评语
毕业设计（论文）审阅评语
毕业设计（论文）答辩评语
摘 要
伴随矩阵是矩阵理论及线性代数中的一个基本概念, 是许多数学分支研
究的重要工具。伴随矩阵作为矩阵中较为特殊的一类, 其理论和应用有自身的特点。 本文首先回顾了伴随矩阵的定义和基本性质，继而介绍伴随矩阵在其行列式、秩等方面的基本性质, 数乘矩阵、乘积矩阵、分块矩阵的伴随矩阵的运算性质及伴随矩阵在逆等方面的运算性质, 研究矩阵与其伴随矩阵的关联性质，主要介绍由矩阵的对称性、正定性、奇异性、正交性推出伴随矩阵的对称性、正定性、奇异性、正交性。还研究伴随矩阵在特征值与特征向量等方面的性质，最后给出m 重伴随矩阵的定义及其一般形式，研究ｍ重伴随矩阵的相应的性质。。 【关键词】：伴随矩阵 性质
Abstract
摘 要 ................................................................................................................................ I Abstract . ................................................................................................................................ II 1 绪 论 ........................................................................................................................... 1 2 伴随矩阵的运算性质 ..................................................................................................... 0 3 矩阵与其伴随矩阵的关联性质 ..................................................................................... 2 4 两伴随矩阵间的关系性质 ............................................................................................. 4 5 伴随矩阵的特征值与特征向量的性质 ......................................................................... 0 6 矩阵A 的m 重伴随矩阵的性质 ................................................................................... 2 7 例题 ................................................................................................................................. 6 参考文献 ............................................................................................................................... 9 致谢
1 绪 论
1.1 伴随矩阵的基本概念
1.1.1 定义1 设矩阵A=(Aij ) n ×n ，将矩阵a ij 所在的第i 行第j 列元素划去后，剩余的(n-1)2各元素按原来的排列顺序组成的n-1阶矩阵所确定的行列式成为元素a ij 的余子式，记为M ij ，称（-1）i+jM ij 为元素a ij 的代数余子式。
⎡a 11⎢a
1.1.2 定义2 设A ij 是矩阵A =⎢21
⎢... ⎢⎣a n 1⎡A 11⎢A *
式，矩阵A =⎢12
⎢... ⎢⎣A 1n
A 21A 22... A 2n
... ... ... A 3n
a 12a 22... a 22
... a 1n ⎤... a 2n ⎥⎥中元素a ij 的代数余子... ... ⎥
⎥... a nn ⎦
A n 1⎤A n 2⎥⎥为A 的伴随矩阵。 ... ⎥⎥A nn ⎦
1.2 伴随矩阵的基本性质
1.2.1 设A 为n 阶矩阵，则AA *=A*A=|A|E
证明： 由行列式按一列（行）展开的公式得出
⎡d 0 0⎤⎢0d 0⎥⎢⎥**
AA =AA=⎢ 0⎥=d E, 其中d =A 。 （1）
⎢⎥ 0⎢⎥⎢⎣0000d ⎥⎦
该性质可以用来求矩阵的逆和伴随矩阵，是最直接常用的方法，也是最
一般的用法。
1.2.2 n 阶矩阵A 可逆的充分必要条件是矩阵A 的行列式不等于零，即
A *
。 A ≠0, 且A =A
-1
证明： 由性质(1)知AA
A *A *A *-1
A =A=E⇒A = A A A
*
=A
*
A=A E ，故
该性质用来直接求逆矩阵，对于求逆矩阵和矩阵的证明问题非常有用
1.2.3 若A 为非奇异矩阵，则(A -1) *=(A *)-1。
证明： 因为(kA ) -1=
A =A (A *) -1 故(A *)-1=
1-1
A ，由性质2两边取逆可得 k
A
， A
另一方面，由性质2
1 （A -1) -1=
1A -1
(A -1) *=A (A -1)*⇒(A -1) *=
1
A ， A
由(A -1) *=(A *)-1。
该性质说明了A 的逆的伴随矩阵和A 的联系，
1.3 伴随矩阵秩的性质
R (A )=n ; ⎧n ,
1.3.1 设A 是n 阶矩阵，则R A *=⎪⎨1, R (A )=n -1;
⎪0, R (A )
()
证明： （1）当R (A )=n A ≠0，由性质2A *=A 所以R (A *)=n 。
n -1
≠0,
（2）当R (A )=n -1时，有A =0。于是，由AA *=A E =0知A *的列向量都是方程组AX =0的解。由于R (A )=n -1，则齐次线性方程组AX =0的解向量组的秩为n -(n -1) =1，知A *的列向量组的秩为1，即列秩为1，故
R (A *)=1。
(3) 当R (A )
不为0的n -1阶子式，故R (A *)=0。
1.3.2 (A *)
*
=A
n -2
A ，特别，当n =2时，A *
()
*
=A 。
证明： 当A 可逆，即A ≠0时，由性质1得
(A )(A )
*
**
=A *E 。
*
-1
n -1
所以，(A *)=A *(A *)=A
⋅
1n -2
⋅A =A A 。 A
*
*
*
n -2
当A 不可逆，即A =0时，R (A *)=0, 所以(A *)=O。因此(A *)=A
()
A
1.3.3
设n 阶矩阵A 的秩是n (n ≥2)，那么存在数k 使得(A *)=kA *
2
证明： 由定理2得，R (A *)=1，于是必存在A *的一
个列向量(a 1a 2 a n )T
⎛a 1⎫ ⎪ a ⎪A *= 2⎪(b 1
⎪ a ⎪⎝n ⎭
使得
b 2 b n )
。 因此，
(A )
，
*2
⎛a 1⎫ ⎪ a ⎪= 2⎪(b 1
⎪ a ⎪⎝n ⎭
b 2
⎛a 1⎫ ⎪ a ⎪
b n ) 2⎪(b 1
⎪ a ⎪⎝n ⎭
b 2
⎛a 1⎫ ⎪
⎫ a 2⎪⎛n
b n )= ⎪ ∑b i a i ⎪(b 1b 2 b n )=kA *
⎭ ⎪⎝i =1 a ⎪⎝n ⎭
这里
k =∑b i a i
i =1
n
。
2 伴随矩阵的运算性质
2.1 乘积矩阵的伴随矩阵的运算性质 2.1.1 (AB ) *=B *A *
证明：由性质1.2.2注可知，A *=A A -1,
知(AB ) *=(AB ) -1=A B B -1A -1=B *A -1=B *A * 证毕
2.1.2 设A 为n (n >1)阶方阵，k 为任意非零常数, 则(kA )*=k n -1A *。
证明： 设A =(a ij )，
⎛k n -1A 11 k n -1A n 1⎫⎛ka 11 ka 1n ⎫ ⎪ ⎪*
⎪=k n -1A *. ⎪， (kA )= kA =
k n -1A k n -1A ⎪ ka ⎪
⎝n 1 ka nn ⎭1n nn ⎭⎝
证毕。
2.1.3 ｎ阶矩阵A 1, A 2，...... A m (m ≥2) ，则
**
(A 1, A 2,...... A m ) *=(A m ) *(A m -1) *...... A 2A 1，证明过程同上过程
2.1.4 (A m ) *=(A *) m
证明：令A 1=A 2=...... A m =A ，则A m =A 1A 2...... A m
(A 1A 2...... A m ) *=(A m ) *(A m -1) *...... A 2A 1=(A *) m 。
*
*
证毕。
2.2 转置矩阵的伴随矩阵的运算性质
2.2.1 (A ' ) *=(A *) ' 。
⎡a 11⎢a
证明：设ｎ阶矩阵A =⎢21
⎢... ⎢⎣a n 1
a 12a 22... a 22
... a 1n ⎤... a 2n ⎥⎥ 则 ... ... ⎥
⎥... a nn ⎦
⎡A 11⎢A *
A =⎢12
⎢... ⎢⎣A 1n
A 21A 22... A 2n
... ... ... A 3n
A n 1⎤⎡A 11
⎢A A n 2⎥*' ⎥ (A ) =⎢21⎢... ... ⎥
⎥⎢A nn ⎦⎣A n 1
A 12A 22
... A n 2
... A 1n ⎤... A 2n ⎥⎥ ... ... ⎥
⎥
... A nn ⎦
⎡a 11⎢a '
A =⎢12
⎢... ⎢⎣a 1n
a 21a 22... a 2n
... a n 1⎤⎡A 11
⎢A ... a n 2⎥' *⎥ (A ) =⎢21⎢... ... ... ⎥
⎥⎢... a nn ⎦⎣A n 1
A 12A 22
... A n 2
... A 1n ⎤... A 2n ⎥⎥ ... ... ⎥
⎥
... A nn ⎦
其A ij (i , j =1, 2,...... n ) 是A 中元素a ij 的代数余子式，由结果分析知 (A ' ) *=(A *) ' 。 证毕
哈尔滨商业大学毕业设计（论文）
关于伴随矩阵性质的探讨
学 生 姓 名 杨强
指 导 教 师 于宪君
专 业 数学与应用数学
学 院 基础科学学院
年 月 日
Graduation Project (Thesis) Harbin University of Commerce
Study on the Production of High Maltose Syrup by Enzyme
Student
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Specialty
School
201x -0x- x x
毕业设计（论文）任务书
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摘 要
伴随矩阵是矩阵理论及线性代数中的一个基本概念, 是许多数学分支研
究的重要工具。伴随矩阵作为矩阵中较为特殊的一类, 其理论和应用有自身的特点。 本文首先回顾了伴随矩阵的定义和基本性质，继而介绍伴随矩阵在其行列式、秩等方面的基本性质, 数乘矩阵、乘积矩阵、分块矩阵的伴随矩阵的运算性质及伴随矩阵在逆等方面的运算性质, 研究矩阵与其伴随矩阵的关联性质，主要介绍由矩阵的对称性、正定性、奇异性、正交性推出伴随矩阵的对称性、正定性、奇异性、正交性。还研究伴随矩阵在特征值与特征向量等方面的性质，最后给出m 重伴随矩阵的定义及其一般形式，研究ｍ重伴随矩阵的相应的性质。。 【关键词】：伴随矩阵 性质
Abstract
摘 要 ................................................................................................................................ I Abstract . ................................................................................................................................ II 1 绪 论 ........................................................................................................................... 1 2 伴随矩阵的运算性质 ..................................................................................................... 0 3 矩阵与其伴随矩阵的关联性质 ..................................................................................... 2 4 两伴随矩阵间的关系性质 ............................................................................................. 4 5 伴随矩阵的特征值与特征向量的性质 ......................................................................... 0 6 矩阵A 的m 重伴随矩阵的性质 ................................................................................... 2 7 例题 ................................................................................................................................. 6 参考文献 ............................................................................................................................... 9 致谢
1 绪 论
1.1 伴随矩阵的基本概念
1.1.1 定义1 设矩阵A=(Aij ) n ×n ，将矩阵a ij 所在的第i 行第j 列元素划去后，剩余的(n-1)2各元素按原来的排列顺序组成的n-1阶矩阵所确定的行列式成为元素a ij 的余子式，记为M ij ，称（-1）i+jM ij 为元素a ij 的代数余子式。
⎡a 11⎢a
1.1.2 定义2 设A ij 是矩阵A =⎢21
⎢... ⎢⎣a n 1⎡A 11⎢A *
式，矩阵A =⎢12
⎢... ⎢⎣A 1n
A 21A 22... A 2n
... ... ... A 3n
a 12a 22... a 22
... a 1n ⎤... a 2n ⎥⎥中元素a ij 的代数余子... ... ⎥
⎥... a nn ⎦
A n 1⎤A n 2⎥⎥为A 的伴随矩阵。 ... ⎥⎥A nn ⎦
1.2 伴随矩阵的基本性质
1.2.1 设A 为n 阶矩阵，则AA *=A*A=|A|E
证明： 由行列式按一列（行）展开的公式得出
⎡d 0 0⎤⎢0d 0⎥⎢⎥**
AA =AA=⎢ 0⎥=d E, 其中d =A 。 （1）
⎢⎥ 0⎢⎥⎢⎣0000d ⎥⎦
该性质可以用来求矩阵的逆和伴随矩阵，是最直接常用的方法，也是最
一般的用法。
1.2.2 n 阶矩阵A 可逆的充分必要条件是矩阵A 的行列式不等于零，即
A *
。 A ≠0, 且A =A
-1
证明： 由性质(1)知AA
A *A *A *-1
A =A=E⇒A = A A A
*
=A
*
A=A E ，故
该性质用来直接求逆矩阵，对于求逆矩阵和矩阵的证明问题非常有用
1.2.3 若A 为非奇异矩阵，则(A -1) *=(A *)-1。
证明： 因为(kA ) -1=
A =A (A *) -1 故(A *)-1=
1-1
A ，由性质2两边取逆可得 k
A
， A
另一方面，由性质2
1 （A -1) -1=
1A -1
(A -1) *=A (A -1)*⇒(A -1) *=
1
A ， A
由(A -1) *=(A *)-1。
该性质说明了A 的逆的伴随矩阵和A 的联系，
1.3 伴随矩阵秩的性质
R (A )=n ; ⎧n ,
1.3.1 设A 是n 阶矩阵，则R A *=⎪⎨1, R (A )=n -1;
⎪0, R (A )
()
证明： （1）当R (A )=n A ≠0，由性质2A *=A 所以R (A *)=n 。
n -1
≠0,
（2）当R (A )=n -1时，有A =0。于是，由AA *=A E =0知A *的列向量都是方程组AX =0的解。由于R (A )=n -1，则齐次线性方程组AX =0的解向量组的秩为n -(n -1) =1，知A *的列向量组的秩为1，即列秩为1，故
R (A *)=1。
(3) 当R (A )
不为0的n -1阶子式，故R (A *)=0。
1.3.2 (A *)
*
=A
n -2
A ，特别，当n =2时，A *
()
*
=A 。
证明： 当A 可逆，即A ≠0时，由性质1得
(A )(A )
*
**
=A *E 。
*
-1
n -1
所以，(A *)=A *(A *)=A
⋅
1n -2
⋅A =A A 。 A
*
*
*
n -2
当A 不可逆，即A =0时，R (A *)=0, 所以(A *)=O。因此(A *)=A
()
A
1.3.3
设n 阶矩阵A 的秩是n (n ≥2)，那么存在数k 使得(A *)=kA *
2
证明： 由定理2得，R (A *)=1，于是必存在A *的一
个列向量(a 1a 2 a n )T
⎛a 1⎫ ⎪ a ⎪A *= 2⎪(b 1
⎪ a ⎪⎝n ⎭
使得
b 2 b n )
。 因此，
(A )
，
*2
⎛a 1⎫ ⎪ a ⎪= 2⎪(b 1
⎪ a ⎪⎝n ⎭
b 2
⎛a 1⎫ ⎪ a ⎪
b n ) 2⎪(b 1
⎪ a ⎪⎝n ⎭
b 2
⎛a 1⎫ ⎪
⎫ a 2⎪⎛n
b n )= ⎪ ∑b i a i ⎪(b 1b 2 b n )=kA *
⎭ ⎪⎝i =1 a ⎪⎝n ⎭
这里
k =∑b i a i
i =1
n
。
2 伴随矩阵的运算性质
2.1 乘积矩阵的伴随矩阵的运算性质 2.1.1 (AB ) *=B *A *
证明：由性质1.2.2注可知，A *=A A -1,
知(AB ) *=(AB ) -1=A B B -1A -1=B *A -1=B *A * 证毕
2.1.2 设A 为n (n >1)阶方阵，k 为任意非零常数, 则(kA )*=k n -1A *。
证明： 设A =(a ij )，
⎛k n -1A 11 k n -1A n 1⎫⎛ka 11 ka 1n ⎫ ⎪ ⎪*
⎪=k n -1A *. ⎪， (kA )= kA =
k n -1A k n -1A ⎪ ka ⎪
⎝n 1 ka nn ⎭1n nn ⎭⎝
证毕。
2.1.3 ｎ阶矩阵A 1, A 2，...... A m (m ≥2) ，则
**
(A 1, A 2,...... A m ) *=(A m ) *(A m -1) *...... A 2A 1，证明过程同上过程
2.1.4 (A m ) *=(A *) m
证明：令A 1=A 2=...... A m =A ，则A m =A 1A 2...... A m
(A 1A 2...... A m ) *=(A m ) *(A m -1) *...... A 2A 1=(A *) m 。
*
*
证毕。
2.2 转置矩阵的伴随矩阵的运算性质
2.2.1 (A ' ) *=(A *) ' 。
⎡a 11⎢a
证明：设ｎ阶矩阵A =⎢21
⎢... ⎢⎣a n 1
a 12a 22... a 22
... a 1n ⎤... a 2n ⎥⎥ 则 ... ... ⎥
⎥... a nn ⎦
⎡A 11⎢A *
A =⎢12
⎢... ⎢⎣A 1n
A 21A 22... A 2n
... ... ... A 3n
A n 1⎤⎡A 11
⎢A A n 2⎥*' ⎥ (A ) =⎢21⎢... ... ⎥
⎥⎢A nn ⎦⎣A n 1
A 12A 22
... A n 2
... A 1n ⎤... A 2n ⎥⎥ ... ... ⎥
⎥
... A nn ⎦
⎡a 11⎢a '
A =⎢12
⎢... ⎢⎣a 1n
a 21a 22... a 2n
... a n 1⎤⎡A 11
⎢A ... a n 2⎥' *⎥ (A ) =⎢21⎢... ... ... ⎥
⎥⎢... a nn ⎦⎣A n 1
A 12A 22
... A n 2
... A 1n ⎤... A 2n ⎥⎥ ... ... ⎥
⎥
... A nn ⎦
其A ij (i , j =1, 2,...... n ) 是A 中元素a ij 的代数余子式，由结果分析知 (A ' ) *=(A *) ' 。 证毕