知识整理
1、数的意义
（1）自然数：0、1、2、3、4……都是自然数。可以表示物体的个数或次数。自然数的个数是无限的，最小的自然数是0，没有最大的自然数。
（2）0：一个物体也没有，用0表示。0是最小的自然数。0还有其他多种用法，在写数记数中，可以用0来占位；在测量活动中，用0表示起点；在相反意义量的记录中，用0作分界点。
（3）负数：比0小的数是负数，比0大的数是正数。0既不是正数，也不是负数。
（4）小数：分母是10、100、1000……的十进分数可以写成小数。
（5）分数：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数。两个数相除的商可以用分数表示。
把单位“ 1”平均分成若干份，表示这样的一份的数叫做分数单位。
（6）百分数：表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数。百分数又叫做百分比或百分率。百分数是一种特殊的分数。
二、数的联系
1、整数与小数：整数和小数在计数方法上是一致的，都是用十进制计数法记录的。整数可以根据小数的基本性质改写成小数。
2、小数与分数：小数就是分母是10、100、1000……的十进分数，小数是特殊的分数。
3、分数与百分数：百分数虽然在形式上与分数是类似的，但在意义上有明显的不同。百分数只能表示一个数是另一个数的百分之几，所以也叫做百分比（百分率），而分数不仅可以表示一个数是另一个数的几分之几，也可以用来表示一个具体的数量。
4、正数与负数：以0为分界点，比0大的数就是正数，比0小的数就是负数。正数可以有正整数、正分数；负数可以有负整数、负分数。0既不是正数，也不是负数。
三、数位顺序表
1、数位、位数和计数单位：整数与小数都是按照十进制计数法写出的数，个、十、百……以及十分之一、百分之一……都是计数单位，各个计数单位所占的位置，叫做数位。
一个自然数数位的个数, 叫做位数；小数位数是以小数点右边的数位多少来定的
2、多位数的读法、写法：多位数从个位起，每四位分为一级，可分为个级、万级、亿级。读数时，从最高位起，一级一级的读。读万级或亿级的数时要按照个级的读法来读，并在后面加上级名。每一级末尾的0都不读，其他数位上不论连续有几个0，只读一个0。
写数时，先确定最高位是哪一级的哪个数位，然后从高位起，一级一级往下写，哪一位一个单位也没有，就在哪个数位上写0来占位。
3、小数的读法、写法：读小数时，整数部分按照整数读法来读（整数部分是0的读作“零”），小数
点读作“点”，小数部分顺次读出每个数位上的数字。
写小数时，整数部分按照整数写法来写（整数部分是0的写作“0”），小数点写在个位的右下面，小数部分顺次写出每个数位上的数字。
六、数的大小比较
包括整数、小数、分数的大小比较，也包括他们相互之间的大小比较。
七、数的性质
1、整除
（1）整除与除尽
整除：整数a 除以整数b(b≠0),除得的商是整数而没有余数, 我们就说数a 能被数b 整除, 或数b 能整除a. 。
除尽：数a 除以数b(b≠0),除得的商是整数或是有限小数, 这就叫做除尽.
整除是除尽的一种特殊情况, 整除也可以说是除尽, 但除尽不一定是整除.
（2）因数和倍数
如果数a 能被数b 整除(b≠0),a就叫做b 的倍数,b 就叫做a 的因数.
倍数：一个数的倍数的个数是无限的, 其中最小的倍数是它本身, 没有最大的倍数.
因数：一个数的因数的个数是有限的, 其中最小的约数是1, 最大的约数是它本身.
因数和倍数是相互依存的
（3）能被2.3.5整除的数的特征
能被2整除的数的特征：个位上是0,2,4,6,8,:
能被3整除的数的特征：个位上是0或5
能被5整除的数的特征：各个位上的数字的和能被3整除
能同时被2、5整除的数的特征：个位是0
能同时被2、3、5整除的数的特征：个位是0, 而且各个位上的数字的和能被3整除.
（4）偶数和奇数
一个自然数, 不是奇数就是偶数
偶数：能被2整除的数。最小的偶数是0
奇数：不能被2整除的数. 最小的奇数是1.
（5）质数和合数
质数（素数）：只有1和它本身两个因数。最小的质数是2.
合数：除了1和它本身还有别的因数。最小的合数是4.
1：既不是质数也不是合数
一个自然数根据因数的个数，可以分为1、质数和合数。
（6）最大公约数和最小公倍数
公约数, 最大公约数: 几个数公有的约数, 叫做这几个数的公约数; 其中最大的一个叫做这几个数的
最大公约数.
公倍数, 最小公倍数: 几个数公有的倍数, 叫做这几个数的公倍数, 其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数.
互质数: 公约数只有1的两个数叫做互质数.
互质数的几种特殊情况：
①两个数都是质数, 这两个数一定互质.
②相邻的两个数互质.
③1和任何数都互质.
求最大公约数和最小公倍数
①如果较小数是较大数的因数, 那么较小数就是这两个数的最大公约数; 较大数就是这两个数的最小公倍数.
②如果两个数互质, 它们的最大公因数就是1; 最小公倍数就是它们的积.
③一般情况：可以根据最大公因数和最小公倍数的意义去找，也可以利用短除法去找。
2、小数的基本性质：小数的末尾添上0或去掉0，小数的大小不变。根据小数的基本性质，可以化简小数、根据需要把整数或小数改写成指定的几位小数。
3、分数的基本性质：分数的分子和分母都乘或除以一个相同的数（0除外），分数的大小不变。根据分数的基本性质，可以化简分数和通分。 一、整数、小数、分数四则运算的意义
乘法的意义：一个数乘整数是求几个相同加数和的简便运算；一个数与小数相乘可以看成是求这个数的十分之几、百分之几……是多少；一个数与分数相乘可以看成是求这个数的几分之几是多少。（重点讲解）
从他们的意义中可以知道：减法是加法的逆运算，除法是乘法的逆运算。可以运用运算间的这种关系进行验算。
二、运算形式
口算、笔算、估算、用计算器计算，同时进一步明确口算、笔算、估算的基本要求，这是计算能力的保底要求。第87页第1题明确了应该掌握的口算：两位数加、减两位数（和不超过100）及相应的小数加、减法；两位数乘、除以一位数（积不超过100）及相应的小数乘、除法；简单的分数四则运算。第2题明确了应该掌握的笔算：三位数的加、减法及相应的小数加减法；三位数乘、除以两位数及相应的小数乘除法；比较简单的分数四则计算。第3题是应能进行的估算：估计三位数加、减法的结果大约是几百（或比几百多一些，比几百少一些）；估计两位数乘两位数的积大约是几千（几千几百）。另外，如果三位数除以两位数的商是两位数，说出商是几十多。
三、四则混合运算的顺序
同级运算：在一个只有加减或乘除的算式里，按照从左到右的顺序进行计算。
二级运算：在一个既有加减又有乘除的算式中，按照先乘除后加减的顺序进行计算。
在有括号的算式中，先算小括号里的，再算中括号里的，最后算大括号里的。
四、运算法则
加减法的法则：计算整数加减法把相同数位对齐，计算小数加减法要把小数点对齐，计算分数加减法要先通分化成同分母分数，其实质都是要把相同计算单位的数相加减。
乘除法的法则：小数乘除法通常转化成整数乘除法进行计算，然后考虑积或商的小数点定位；分数除法通常转化成分数乘法进行计算。
五、运算定律和性质
加法交换律： A+B=B+A
加法结合律：（A+B)+C=A+(B+C)
乘法交换律： A×B=B×A
乘法结合律： A×B×C=A×(B×C)
乘法分配律： (A+B)×C=A×C+B×C
减法性质： A-B-C=A-(B+C)
除法性质： A÷B÷C=A÷(B×C)
A×C-B×C=(A-B)×C
(A+B)÷C=A÷C+B÷C
六、探索运算规律
计算的过程，不仅仅是运用计算法则机械演算的过程，也是观察分析、不断探索和总结各种运算规律的过程。一般，探索运算规律分成这几个阶段：
计算给定的题组或试算简单的几道题→观察算式和计算结果有何特点→比较找出不同算式的共同之处，形成规律的猜测→自主举例进一步验证规律→周密思考中确认规律。
运算规律：
积的变化规律：一个因数不变，另一个因数乘几，得到的积等于原来的积乘几。
商不变规律：被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变。
（商不变规律与小数的基本性质、分数的基本性质的内在关系） 一、用字母表示数
1、 用字母表示数的意义
①用字母不仅可以表示未知数，还可以表示已知量；不仅可以表示特定的数，还可以表示一定范围内变化着的数。
②含有字母的式子可以看作数量间的关系，也可以看做运算的结果。
2、用字母表示数的规则
①数字与字母、字母与字母相乘时，乘号可以记作“· ”，或者省略不写，数字要写在字母的前面。
②当1与任何字母相乘时，1省略不写。
③在一个问题中，不同的量用不同的字母来表示，而不能用同一个字母表示。
④用含有字母的式子表示问题的答案时，除法结果一般要写成分数形式；如果式子中有加、减、乘、除运算时，要先进行适当的运算，再用括号把含有字母的式子括起来，并在括号后面写上单位名称。 ⑤具体问题中，字母表示的数总是有一定范围的。
3、用字母表示常见的数量关系
如路程、速度和时间的关系（s 、v 、t ）和总价、单价和数量的关系（a 、b 、c ）等
4、 用字母表示运算定律和运算性质
加法交换律、结合律；乘法交换律、结合律和分配律等
5、 用字母表示几何图形的周长、面积、体积计算公式。
二、简易方程
1、方程和等式
等式：表示相等关系的式子叫做等式。
方程：含有未知数的等式叫做方程。
他们的关系如下：
2、解方程。
解方程：求方程中未知数的值的过程叫做解方程。
解方程的依据：等式的性质。
① 等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果仍然是等式。
② 等式两边同时乘或除以同一个不等于0的数，所得结果仍然是等式。
3、列方程法解决问题的一般步骤
①弄清题意，确定未知数并用x 表示（也可以用其他字母表示）。
②找出题中的数量之间的相等关系。
③ 列方程，解方程。
④ 检查或验算，写出答案。
五、比例尺
一幅图的比例尺是指图上距离与实际距离的比。即
图上距离：实际距离=比例尺
比例尺的种类：数字比例尺和线段比例尺
六、按比例分配
把一个数量按照一定的比来进行分配，这种分配的方法叫做按比例分配。
方法：①求出每一份表示多少，再根据分配的份数求出相应的结果。
②根据两个量之间的关系，求出每一个量的结果。（乘法或除法都可）
（一）量的计量
1、长度单位是用来测量物体的长度的。常用的长度单位有：千米、米、分米、厘米、毫米。
23、面积单位是用来测量物体的表面或平面图形的大小的。常用的面积单位有：平方千米、公顷、平方米、平方分米、平方厘米。
4、测量和计算土地面积，通常用公顷作单位。边长100米的正方形土地，面积是1公顷。
5、测量和计算大面积的土地，通常用平方千米作单位。边长1000米的正方形土地，面积是1平方千米。
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、体积单位是用来测量物体所占空间的大小的。常用的体积单位有：立方米、立方分米（升）、立方厘米（毫升）。
8、体积单位：（1000）
9、常用的质量单位有：吨、千克、克。
10、质量单位：
11、常用的时间单位有：世纪、年、季度、月、旬、日、时、分、秒。
12、时间单位：（60）
13、高级单位的名数改写成低级单位的名数应该乘以进率；
低级单位的名数改写成高级单位的名数应该除以进率。
14、常用计量单位用字母表示：
（二）、平面图形【认识、周长、面积】
1、用直尺把两点连接起来，就得到一条线段；把线段的一端无限延长，可以得到一条射线；把线段的两端无限延长，可以得到一条直线。线段、射线都是直线上的一部分。线段有两个端点，长度是有限的；射线只有一个端点，直线没有端点，射线和直线都是无限长的。
2、从一点引出两条射线，就组成了一个角。角的大小与两边叉开的大小有关，与边的长短无关。角的大小的计量单位是（埃 ?SPAN lang=EN-US>
3、角的分类：小于90度的角是锐角；等于90度的角是直角；大于90度小于180度的角是钝角；等于180度的角是平角；等于360度的角是周角。
4、相交成直角的两条直线互相垂直；在同一平面不相交的两条直线互相平行。
5、三角形是由三条线段围成的图形。围成三角形的每条线段叫做三角形的边，每两条线段的交点叫做三角形的顶点。
6、三角形按角分，可以分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。按边分，可以分为等边三角形、等腰三角形和任意三角形。
7、三角形的内角和等于180度。
8、在一个三角形中，任意两边之和大于第三边。
9、在一个三角形中，最多只有一个直角或最多只有一个钝角。
10、四边形是由四条边围成的图形。常见的特殊四边形有：平行四边形、长方形、正方形、梯形。
11、圆是一种曲线图形。圆上的任意一点到圆心的距离都相等，这个距离就是圆的半径的长。通过圆心并且两端都在圆的线段叫做圆的直径。
12、有一些图形，把它沿着一条直线对折，直线两侧的图形能够完全重合，这样的图形就是轴对称图形。这条直线叫做对称轴。
13、围成一个图形的所有边长的总和就是这个图形的周长。
14、物体的表面或围成的平面图形的大小，叫做它们的面积。
15、平面图形的面积计算公式推导：
【1】平行四边形面积公式的推导过程？
（1）把平行四边形通过剪切、平移可以转化成一个长方形。
（2）长方形的长等于平行四边形的底，长方形的宽等于平行四边形的高，长方形的面积等于平行四边形的面积。
（3）因为：长方形面积=长×宽，所以：平行四边形面积=底×高。即：S=ah。
【2】三角形面积公式的推导过程？
（1）用两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形。
（2）平行四边形的底等于三角形的底，平行四边形的高等于三角形的高，三角形面积等于和它等底等高的平行四边形面积的一半
（3）因为：平行四边形面积=底×高，所以：三角形面积=底×高÷2。即：S=ah÷2。
【3】梯形面积公式的推导过程？
（1）用两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形。
（2）平行四边形的底等于梯形的上底和下底的和，平行四边形的高等于梯形的高，梯形面积等于平行四边形面积的一半。
（3）因为：平行四边形面积=底×高，所以：梯形面积=（上底＋下底）×高÷2。即：S=（a+b）h ÷2。
【4】画图说明圆面积公式的推导过程？
（1）把圆分成若干等份，剪开后，拼成了一个近似的长方形。
（2）长方形的长相当于圆周长的一半，宽相当于圆的半径。
（3）因为：长方形面积=长×宽，所以：圆面积=πr ×r=πr2。即：S=πr2。
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17、常用数据：
（三）、立体图形【认识表面积、体积】
1、长方体、正方体都有6个面，12条棱，8个顶点。正方体是特殊的长方体。
2、圆柱的特征：一个侧面、两个底面、无数条高。
3、圆锥的特征：一个侧面、一个底面、一个顶点、一条高。
4、表面积：立体图形所有面的面积的和，叫做这个立体图形的表面积。
5、体积：物体所占空间的大小叫做物体的体积。容器所能容纳其它物体的体积叫做容器的容积。
6、圆柱和圆锥三种关系：
（1）等底等高：体积1︰3
（2）等底等体积：高1︰3
（3）等高等体积：底面积1︰3
7、等底等高的圆柱和圆锥：
（1）圆锥体积是圆柱的1/3，（2）圆柱体积是圆锥的3倍，
（3）圆锥体积比圆柱少2/3，（4）圆柱体积比圆锥多2倍。
8、等底等高的圆柱和圆锥：锥1、差2、柱3、和4。
9、立体图形公式推导：
【1】圆柱的侧面展开后得到一个什么图形？这个图形的各部分与圆柱有何关系？（圆柱侧面积公式的推导过程）
(十二册数学书21-22页)
（1）圆柱的侧面展开后一般得到一个长方形。
（2）长方形的长相当于圆柱的底面周长，长方形的宽相当于圆柱的高。
（3）因为：长方形面积=长×宽，所以：圆柱侧面积=底面周长×高。
（4）圆柱的侧面展开后还可能得到一个正方形。
正方形的边长=圆柱的底面周长=圆柱的高。
【2】我们在学习圆柱体积的计算公式时，是把圆柱转化成以前学过的一种立体图形（近似的）进行推导的，请你说出这种立体图形的名称以及它与圆柱体有关部分之间的关系？
图(十二册数学书25页)
（1）把圆柱分成若干等份，切开后拼成了一个近似的长方体。
（2）长方体的底面积等于圆柱的底面积，长方体的高等于圆柱的高。
（3）因为：长方体体积=底面积×高，所以：圆柱体积=底面积×高。
即：V=Sh。
【3】请画图说明圆锥体积公式的推导过程？
（1）找来等底等高的空圆锥和空圆柱各一只。
（2）将圆锥装满沙子，倒入圆柱中，发现三次正好装满，将圆柱里的沙子倒入圆锥中，发现三次正好倒完。
（3）通过实验发现：圆锥的体积等于和它等底等高的圆柱体积的三分之一；圆柱的体积等于和它
等底等高的圆锥体积的三倍。即：V=1/3Sh。
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1、变换图形位置的方法有平移、旋转等，在变换位置时，每个图形的相应顶点、线段、曲线应同步平移，旋转相同的角度。
2、不改变图形的形状，只改变它的大小时，通常要使每个图形的要素，如长方形的长与宽，三角形的底与高等同时按相同比例放大或缩小。
3、对称图形是对称轴两边的图形经对折后能够完全重合，而不是完全相同。
1、当我们处在实际生活及情景中，面对教短距离时，通常用上、下、前、
后来描述具体位置。
2、当我们面对地图、方位图时，通常用东、西、南、北，南偏东、北偏东„„来描述方向。再结合所示比例尺计算出具体距离，把方向与距离结合起来确定位置。
（一）统计
1、我们通常都是通过打勾、画圆、划“正”字的方法进行数据的收集和整理。
2、常见的统计图有条形统计图、折线统计图和扇形统计图三种。
3、条形统计图的特点：从图中能清楚地看出各种数量的多少，便于比较。
4、折线统计图的特点：不但能看出各种数量的多少，而且还能够清楚地表示出数量增减变化的情况。
5、扇形统计图的特点：表示各部分和总数之间，以及部分与部分之间的关系。
6、中位数、众数、平均数
（二）可能性
2、在可能性相同的情况下，比赛游戏规则是公平的。
知识整理
1、数的意义
（1）自然数：0、1、2、3、4……都是自然数。可以表示物体的个数或次数。自然数的个数是无限的，最小的自然数是0，没有最大的自然数。
（2）0：一个物体也没有，用0表示。0是最小的自然数。0还有其他多种用法，在写数记数中，可以用0来占位；在测量活动中，用0表示起点；在相反意义量的记录中，用0作分界点。
（3）负数：比0小的数是负数，比0大的数是正数。0既不是正数，也不是负数。
（4）小数：分母是10、100、1000……的十进分数可以写成小数。
（5）分数：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数。两个数相除的商可以用分数表示。
把单位“ 1”平均分成若干份，表示这样的一份的数叫做分数单位。
（6）百分数：表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数。百分数又叫做百分比或百分率。百分数是一种特殊的分数。
二、数的联系
1、整数与小数：整数和小数在计数方法上是一致的，都是用十进制计数法记录的。整数可以根据小数的基本性质改写成小数。
2、小数与分数：小数就是分母是10、100、1000……的十进分数，小数是特殊的分数。
3、分数与百分数：百分数虽然在形式上与分数是类似的，但在意义上有明显的不同。百分数只能表示一个数是另一个数的百分之几，所以也叫做百分比（百分率），而分数不仅可以表示一个数是另一个数的几分之几，也可以用来表示一个具体的数量。
4、正数与负数：以0为分界点，比0大的数就是正数，比0小的数就是负数。正数可以有正整数、正分数；负数可以有负整数、负分数。0既不是正数，也不是负数。
三、数位顺序表
1、数位、位数和计数单位：整数与小数都是按照十进制计数法写出的数，个、十、百……以及十分之一、百分之一……都是计数单位，各个计数单位所占的位置，叫做数位。
一个自然数数位的个数, 叫做位数；小数位数是以小数点右边的数位多少来定的
2、多位数的读法、写法：多位数从个位起，每四位分为一级，可分为个级、万级、亿级。读数时，从最高位起，一级一级的读。读万级或亿级的数时要按照个级的读法来读，并在后面加上级名。每一级末尾的0都不读，其他数位上不论连续有几个0，只读一个0。
写数时，先确定最高位是哪一级的哪个数位，然后从高位起，一级一级往下写，哪一位一个单位也没有，就在哪个数位上写0来占位。
3、小数的读法、写法：读小数时，整数部分按照整数读法来读（整数部分是0的读作“零”），小数
点读作“点”，小数部分顺次读出每个数位上的数字。
写小数时，整数部分按照整数写法来写（整数部分是0的写作“0”），小数点写在个位的右下面，小数部分顺次写出每个数位上的数字。
六、数的大小比较
包括整数、小数、分数的大小比较，也包括他们相互之间的大小比较。
七、数的性质
1、整除
（1）整除与除尽
整除：整数a 除以整数b(b≠0),除得的商是整数而没有余数, 我们就说数a 能被数b 整除, 或数b 能整除a. 。
除尽：数a 除以数b(b≠0),除得的商是整数或是有限小数, 这就叫做除尽.
整除是除尽的一种特殊情况, 整除也可以说是除尽, 但除尽不一定是整除.
（2）因数和倍数
如果数a 能被数b 整除(b≠0),a就叫做b 的倍数,b 就叫做a 的因数.
倍数：一个数的倍数的个数是无限的, 其中最小的倍数是它本身, 没有最大的倍数.
因数：一个数的因数的个数是有限的, 其中最小的约数是1, 最大的约数是它本身.
因数和倍数是相互依存的
（3）能被2.3.5整除的数的特征
能被2整除的数的特征：个位上是0,2,4,6,8,:
能被3整除的数的特征：个位上是0或5
能被5整除的数的特征：各个位上的数字的和能被3整除
能同时被2、5整除的数的特征：个位是0
能同时被2、3、5整除的数的特征：个位是0, 而且各个位上的数字的和能被3整除.
（4）偶数和奇数
一个自然数, 不是奇数就是偶数
偶数：能被2整除的数。最小的偶数是0
奇数：不能被2整除的数. 最小的奇数是1.
（5）质数和合数
质数（素数）：只有1和它本身两个因数。最小的质数是2.
合数：除了1和它本身还有别的因数。最小的合数是4.
1：既不是质数也不是合数
一个自然数根据因数的个数，可以分为1、质数和合数。
（6）最大公约数和最小公倍数
公约数, 最大公约数: 几个数公有的约数, 叫做这几个数的公约数; 其中最大的一个叫做这几个数的
最大公约数.
公倍数, 最小公倍数: 几个数公有的倍数, 叫做这几个数的公倍数, 其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数.
互质数: 公约数只有1的两个数叫做互质数.
互质数的几种特殊情况：
①两个数都是质数, 这两个数一定互质.
②相邻的两个数互质.
③1和任何数都互质.
求最大公约数和最小公倍数
①如果较小数是较大数的因数, 那么较小数就是这两个数的最大公约数; 较大数就是这两个数的最小公倍数.
②如果两个数互质, 它们的最大公因数就是1; 最小公倍数就是它们的积.
③一般情况：可以根据最大公因数和最小公倍数的意义去找，也可以利用短除法去找。
2、小数的基本性质：小数的末尾添上0或去掉0，小数的大小不变。根据小数的基本性质，可以化简小数、根据需要把整数或小数改写成指定的几位小数。
3、分数的基本性质：分数的分子和分母都乘或除以一个相同的数（0除外），分数的大小不变。根据分数的基本性质，可以化简分数和通分。 一、整数、小数、分数四则运算的意义
乘法的意义：一个数乘整数是求几个相同加数和的简便运算；一个数与小数相乘可以看成是求这个数的十分之几、百分之几……是多少；一个数与分数相乘可以看成是求这个数的几分之几是多少。（重点讲解）
从他们的意义中可以知道：减法是加法的逆运算，除法是乘法的逆运算。可以运用运算间的这种关系进行验算。
二、运算形式
口算、笔算、估算、用计算器计算，同时进一步明确口算、笔算、估算的基本要求，这是计算能力的保底要求。第87页第1题明确了应该掌握的口算：两位数加、减两位数（和不超过100）及相应的小数加、减法；两位数乘、除以一位数（积不超过100）及相应的小数乘、除法；简单的分数四则运算。第2题明确了应该掌握的笔算：三位数的加、减法及相应的小数加减法；三位数乘、除以两位数及相应的小数乘除法；比较简单的分数四则计算。第3题是应能进行的估算：估计三位数加、减法的结果大约是几百（或比几百多一些，比几百少一些）；估计两位数乘两位数的积大约是几千（几千几百）。另外，如果三位数除以两位数的商是两位数，说出商是几十多。
三、四则混合运算的顺序
同级运算：在一个只有加减或乘除的算式里，按照从左到右的顺序进行计算。
二级运算：在一个既有加减又有乘除的算式中，按照先乘除后加减的顺序进行计算。
在有括号的算式中，先算小括号里的，再算中括号里的，最后算大括号里的。
四、运算法则
加减法的法则：计算整数加减法把相同数位对齐，计算小数加减法要把小数点对齐，计算分数加减法要先通分化成同分母分数，其实质都是要把相同计算单位的数相加减。
乘除法的法则：小数乘除法通常转化成整数乘除法进行计算，然后考虑积或商的小数点定位；分数除法通常转化成分数乘法进行计算。
五、运算定律和性质
加法交换律： A+B=B+A
加法结合律：（A+B)+C=A+(B+C)
乘法交换律： A×B=B×A
乘法结合律： A×B×C=A×(B×C)
乘法分配律： (A+B)×C=A×C+B×C
减法性质： A-B-C=A-(B+C)
除法性质： A÷B÷C=A÷(B×C)
A×C-B×C=(A-B)×C
(A+B)÷C=A÷C+B÷C
六、探索运算规律
计算的过程，不仅仅是运用计算法则机械演算的过程，也是观察分析、不断探索和总结各种运算规律的过程。一般，探索运算规律分成这几个阶段：
计算给定的题组或试算简单的几道题→观察算式和计算结果有何特点→比较找出不同算式的共同之处，形成规律的猜测→自主举例进一步验证规律→周密思考中确认规律。
运算规律：
积的变化规律：一个因数不变，另一个因数乘几，得到的积等于原来的积乘几。
商不变规律：被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变。
（商不变规律与小数的基本性质、分数的基本性质的内在关系） 一、用字母表示数
1、 用字母表示数的意义
①用字母不仅可以表示未知数，还可以表示已知量；不仅可以表示特定的数，还可以表示一定范围内变化着的数。
②含有字母的式子可以看作数量间的关系，也可以看做运算的结果。
2、用字母表示数的规则
①数字与字母、字母与字母相乘时，乘号可以记作“· ”，或者省略不写，数字要写在字母的前面。
②当1与任何字母相乘时，1省略不写。
③在一个问题中，不同的量用不同的字母来表示，而不能用同一个字母表示。
④用含有字母的式子表示问题的答案时，除法结果一般要写成分数形式；如果式子中有加、减、乘、除运算时，要先进行适当的运算，再用括号把含有字母的式子括起来，并在括号后面写上单位名称。 ⑤具体问题中，字母表示的数总是有一定范围的。
3、用字母表示常见的数量关系
如路程、速度和时间的关系（s 、v 、t ）和总价、单价和数量的关系（a 、b 、c ）等
4、 用字母表示运算定律和运算性质
加法交换律、结合律；乘法交换律、结合律和分配律等
5、 用字母表示几何图形的周长、面积、体积计算公式。
二、简易方程
1、方程和等式
等式：表示相等关系的式子叫做等式。
方程：含有未知数的等式叫做方程。
他们的关系如下：
2、解方程。
解方程：求方程中未知数的值的过程叫做解方程。
解方程的依据：等式的性质。
① 等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果仍然是等式。
② 等式两边同时乘或除以同一个不等于0的数，所得结果仍然是等式。
3、列方程法解决问题的一般步骤
①弄清题意，确定未知数并用x 表示（也可以用其他字母表示）。
②找出题中的数量之间的相等关系。
③ 列方程，解方程。
④ 检查或验算，写出答案。
五、比例尺
一幅图的比例尺是指图上距离与实际距离的比。即
图上距离：实际距离=比例尺
比例尺的种类：数字比例尺和线段比例尺
六、按比例分配
把一个数量按照一定的比来进行分配，这种分配的方法叫做按比例分配。
方法：①求出每一份表示多少，再根据分配的份数求出相应的结果。
②根据两个量之间的关系，求出每一个量的结果。（乘法或除法都可）
（一）量的计量
1、长度单位是用来测量物体的长度的。常用的长度单位有：千米、米、分米、厘米、毫米。
23、面积单位是用来测量物体的表面或平面图形的大小的。常用的面积单位有：平方千米、公顷、平方米、平方分米、平方厘米。
4、测量和计算土地面积，通常用公顷作单位。边长100米的正方形土地，面积是1公顷。
5、测量和计算大面积的土地，通常用平方千米作单位。边长1000米的正方形土地，面积是1平方千米。
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、体积单位是用来测量物体所占空间的大小的。常用的体积单位有：立方米、立方分米（升）、立方厘米（毫升）。
8、体积单位：（1000）
9、常用的质量单位有：吨、千克、克。
10、质量单位：
11、常用的时间单位有：世纪、年、季度、月、旬、日、时、分、秒。
12、时间单位：（60）
13、高级单位的名数改写成低级单位的名数应该乘以进率；
低级单位的名数改写成高级单位的名数应该除以进率。
14、常用计量单位用字母表示：
（二）、平面图形【认识、周长、面积】
1、用直尺把两点连接起来，就得到一条线段；把线段的一端无限延长，可以得到一条射线；把线段的两端无限延长，可以得到一条直线。线段、射线都是直线上的一部分。线段有两个端点，长度是有限的；射线只有一个端点，直线没有端点，射线和直线都是无限长的。
2、从一点引出两条射线，就组成了一个角。角的大小与两边叉开的大小有关，与边的长短无关。角的大小的计量单位是（埃 ?SPAN lang=EN-US>
3、角的分类：小于90度的角是锐角；等于90度的角是直角；大于90度小于180度的角是钝角；等于180度的角是平角；等于360度的角是周角。
4、相交成直角的两条直线互相垂直；在同一平面不相交的两条直线互相平行。
5、三角形是由三条线段围成的图形。围成三角形的每条线段叫做三角形的边，每两条线段的交点叫做三角形的顶点。
6、三角形按角分，可以分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。按边分，可以分为等边三角形、等腰三角形和任意三角形。
7、三角形的内角和等于180度。
8、在一个三角形中，任意两边之和大于第三边。
9、在一个三角形中，最多只有一个直角或最多只有一个钝角。
10、四边形是由四条边围成的图形。常见的特殊四边形有：平行四边形、长方形、正方形、梯形。
11、圆是一种曲线图形。圆上的任意一点到圆心的距离都相等，这个距离就是圆的半径的长。通过圆心并且两端都在圆的线段叫做圆的直径。
12、有一些图形，把它沿着一条直线对折，直线两侧的图形能够完全重合，这样的图形就是轴对称图形。这条直线叫做对称轴。
13、围成一个图形的所有边长的总和就是这个图形的周长。
14、物体的表面或围成的平面图形的大小，叫做它们的面积。
15、平面图形的面积计算公式推导：
【1】平行四边形面积公式的推导过程？
（1）把平行四边形通过剪切、平移可以转化成一个长方形。
（2）长方形的长等于平行四边形的底，长方形的宽等于平行四边形的高，长方形的面积等于平行四边形的面积。
（3）因为：长方形面积=长×宽，所以：平行四边形面积=底×高。即：S=ah。
【2】三角形面积公式的推导过程？
（1）用两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形。
（2）平行四边形的底等于三角形的底，平行四边形的高等于三角形的高，三角形面积等于和它等底等高的平行四边形面积的一半
（3）因为：平行四边形面积=底×高，所以：三角形面积=底×高÷2。即：S=ah÷2。
【3】梯形面积公式的推导过程？
（1）用两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形。
（2）平行四边形的底等于梯形的上底和下底的和，平行四边形的高等于梯形的高，梯形面积等于平行四边形面积的一半。
（3）因为：平行四边形面积=底×高，所以：梯形面积=（上底＋下底）×高÷2。即：S=（a+b）h ÷2。
【4】画图说明圆面积公式的推导过程？
（1）把圆分成若干等份，剪开后，拼成了一个近似的长方形。
（2）长方形的长相当于圆周长的一半，宽相当于圆的半径。
（3）因为：长方形面积=长×宽，所以：圆面积=πr ×r=πr2。即：S=πr2。
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17、常用数据：
（三）、立体图形【认识表面积、体积】
1、长方体、正方体都有6个面，12条棱，8个顶点。正方体是特殊的长方体。
2、圆柱的特征：一个侧面、两个底面、无数条高。
3、圆锥的特征：一个侧面、一个底面、一个顶点、一条高。
4、表面积：立体图形所有面的面积的和，叫做这个立体图形的表面积。
5、体积：物体所占空间的大小叫做物体的体积。容器所能容纳其它物体的体积叫做容器的容积。
6、圆柱和圆锥三种关系：
（1）等底等高：体积1︰3
（2）等底等体积：高1︰3
（3）等高等体积：底面积1︰3
7、等底等高的圆柱和圆锥：
（1）圆锥体积是圆柱的1/3，（2）圆柱体积是圆锥的3倍，
（3）圆锥体积比圆柱少2/3，（4）圆柱体积比圆锥多2倍。
8、等底等高的圆柱和圆锥：锥1、差2、柱3、和4。
9、立体图形公式推导：
【1】圆柱的侧面展开后得到一个什么图形？这个图形的各部分与圆柱有何关系？（圆柱侧面积公式的推导过程）
(十二册数学书21-22页)
（1）圆柱的侧面展开后一般得到一个长方形。
（2）长方形的长相当于圆柱的底面周长，长方形的宽相当于圆柱的高。
（3）因为：长方形面积=长×宽，所以：圆柱侧面积=底面周长×高。
（4）圆柱的侧面展开后还可能得到一个正方形。
正方形的边长=圆柱的底面周长=圆柱的高。
【2】我们在学习圆柱体积的计算公式时，是把圆柱转化成以前学过的一种立体图形（近似的）进行推导的，请你说出这种立体图形的名称以及它与圆柱体有关部分之间的关系？
图(十二册数学书25页)
（1）把圆柱分成若干等份，切开后拼成了一个近似的长方体。
（2）长方体的底面积等于圆柱的底面积，长方体的高等于圆柱的高。
（3）因为：长方体体积=底面积×高，所以：圆柱体积=底面积×高。
即：V=Sh。
【3】请画图说明圆锥体积公式的推导过程？
（1）找来等底等高的空圆锥和空圆柱各一只。
（2）将圆锥装满沙子，倒入圆柱中，发现三次正好装满，将圆柱里的沙子倒入圆锥中，发现三次正好倒完。
（3）通过实验发现：圆锥的体积等于和它等底等高的圆柱体积的三分之一；圆柱的体积等于和它
等底等高的圆锥体积的三倍。即：V=1/3Sh。
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1、变换图形位置的方法有平移、旋转等，在变换位置时，每个图形的相应顶点、线段、曲线应同步平移，旋转相同的角度。
2、不改变图形的形状，只改变它的大小时，通常要使每个图形的要素，如长方形的长与宽，三角形的底与高等同时按相同比例放大或缩小。
3、对称图形是对称轴两边的图形经对折后能够完全重合，而不是完全相同。
1、当我们处在实际生活及情景中，面对教短距离时，通常用上、下、前、
后来描述具体位置。
2、当我们面对地图、方位图时，通常用东、西、南、北，南偏东、北偏东„„来描述方向。再结合所示比例尺计算出具体距离，把方向与距离结合起来确定位置。
（一）统计
1、我们通常都是通过打勾、画圆、划“正”字的方法进行数据的收集和整理。
2、常见的统计图有条形统计图、折线统计图和扇形统计图三种。
3、条形统计图的特点：从图中能清楚地看出各种数量的多少，便于比较。
4、折线统计图的特点：不但能看出各种数量的多少，而且还能够清楚地表示出数量增减变化的情况。
5、扇形统计图的特点：表示各部分和总数之间，以及部分与部分之间的关系。
6、中位数、众数、平均数
（二）可能性
2、在可能性相同的情况下，比赛游戏规则是公平的。