一、三角形中的三角函数
（1）内角和定理：三角形三角和为π，任意两角和与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余．锐角三角形⇔三内角都是锐角⇔三内角的余弦值为正值⇔任⇔
（2）正弦定理：===2R （R 为三角形外接圆的半径）． 注意：已知三角形两边一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解．
222(b +c ) 2-a 2=-1等，（3）余弦定理：a =b +c -2bc cos A ,cos A =2bc 2bc 222
常选用余弦定理鉴定三角形的类型．
（4）面积公式：S =ah a =ab sin C =． 224R
二、数 列
1．数列的通项、数列项的项数，递推公式与递推数列，数列的通项与数列的前n 项和公式的关系：a n ={S 1,(n =1) ． S n -S n -1,(n ≥2)
注意：a n =(a n -a n -1) +(a n -1-a n -2) + +(a 2-a 1) +a 1；a n =
2．等差数列{a n }中：
（1）等差数列公差的取值与等差数列的单调性． a n a n -1a ⋅⋅ ⋅2⋅a 1．a n -1a n -2a 1
（2）a n =a 1+(n -1) d =a m +(n -m ) d ；p +q =m +n ⇒a p +a q =a m +a n ．
（3）{a n 1+(k -1) m }、{ka n }也成等差数列．
（4）两等差数列对应项和（差）组成的新数列仍成等差数列．
（5）a 1+a 2+ +a m , a k +a k +1+ +a k +m -1, 仍成等差数列．
（6）S n =n (a 1+a n ) n (n -1) d d S d ，S n =n 2+(a 1-) n ，a n =2n -1，，S n =na 1+2n -12222
A n a =f (n ) ⇒n =f (2n -1) ． B n b n
（7）a p =q , a q =p (p ≠q ) ⇒a p +q =0；S p =q , S q =p (p ≠q ) ⇒S p +q =-(p +q ) ；S m +n =S m +S n +mnd ．
（8）“首正”的递减等差数列中，前n 项和的最大值是所有非负项之和；
“首负”的递增等差数列中，前n 项和的最小值是所有非正项之和；
（9）有限等差数列中，奇数项和与偶数项和的存在必然联系，由数列的总项数是偶数还是奇数决定．若总项数为偶数，则“偶数项和”－“奇数项和”＝总项数的一半与其公差的积；若总项数为奇数，则“奇数项和”－“偶数项和”＝此数列的中项．
（10）两数的等差中项惟一存在．在遇到三数或四数成等差数列时，常考虑选用“中项关系”转化求解．
（11）判定数列是否是等差数列的主要方法有：定义法、中项法、通项法、和式法、图像法（也就是说数列是等差数列的充要条件主要有这五种形式）．
3．等比数列{a n }中：
（1）等比数列的符号特征（全正或全负或一正一负），等比数列的首项、公比与等比数列的单调性．
（2）a n =a 1q n -1=a m q n -m ； p +q =m +n ⇒b p ⋅b q =b m ⋅b n ．
（3）{|a n |}、{a n 1+(k -1) m }、{ka n }成等比数列；{a n }、{b n }成等比数列⇒{a n b n }成等比数列．
（4）两等比数列对应项积（商）组成的新数列仍成等比数列．
（5）a 1+a 2+ +a m , a k +a k +1+ +a k +m -1, 成等比数列．
⎧na 1 (q =1) ⎧na 1 (q =1) ⎪⎪=⎨a 1n （6）S n =⎨a 1-a n q a 1(1-q n ) ． a 1-q + (q ≠1) = (q ≠1) ⎪1-q ⎪1-q 1-q 1-q ⎩⎩
特别：a -b =(a -b )(a n n n -1+a n -2b +a n -3b 2+ +ab n -2+b n -1) ．
（7）S m +n =S m +q m S n =S n +q n S m ．
（8）“首大于1”的正值递减等比数列中，前n 项积的最大值是所有大于或等于1的项的积；“首小于1”的正值递增等比数列中，前n 项积的最小值是所有小于或等于1的项的积；
（9）有限等比数列中，奇数项和与偶数项和的存在必然联系，由数列的总项数是偶数
还是奇数决定．若总项数为偶数，则“偶数项和”＝“奇数项和”与“公比”的积；若总项数为奇数，则“奇数项和”＝“首项”加上“公比”与“偶数项和”积的和．
（10）并非任何两数总有等比中项．仅当实数a , b 同号时，实数a , b 存在等比中项．对同号两实数a , b
的等比中项不仅存在，而且有一对G =两实数要么没有等比中项（非同号时），如果有，必有一对（同号时）．在遇到三数或四数成等差数列时，常优先考虑选用“中项关系”转化求解．
（11）判定数列是否是等比数列的方法主要有：定义法、中项法、通项法、和式法（也就是说数列是等比数列的充要条件主要有这四种形式）．
4．等差数列与等比数列的联系
（1）如果数列{a n }成等差数列，那么数列{A n }（A n 总有意义）必成等比数列．
（2）如果数列{a n }成等比数列，那么数列{loga |a n |}(a >0, a ≠1) 必成等差数列．
（3）如果数列{a n }既成等差数列又成等比数列，那么数列{a n }是非零常数数列；但数列{a n }是常数数列仅是数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件．
（4）如果两等差数列有公共项，那么由他们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数．
如果一个等差数列与一个等比数列有公共项顺次组成新数列，那么常选用“由特殊到一般的方法”进行研讨，且以其等比数列的项为主，探求等比数列中那些项是他们的公共项，并构成新的数列．
注意：（1）公共项仅是公共的项，其项数不一定相同，即研究a n =b m ．但也有少数问题中研究a n =b n ，这时既要求项相同，也要求项数相同．（2的中项转化和通项转化法．
5．数列求和的常用方法：
（1）公式法：①等差数列求和公式（三种形式），
②等比数列求和公式（三种形式）， 2222③1+2+3+ +n =n (n +1) ，1+2+3+ +n =n (n +1)(2n +1) ，a a 26
1+3+5+ +(2n -1) =n 2，1+3+5+ +(2n +1) =(n +1) 2．
（2）分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在
一起，再运用公式法求和．
（3）倒序相加法：在数列求和中，若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前n 和公式的推导方法）．
（4）错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法，将其和转化为“一个新的的等比数列的和”求解（注意：一般错位相减后，其中“新等比数列的项数是原数列的项数减一的差”！）（这也是等比数列前n 和公式的推导方法之一）．
（5）裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和．常用裂项形式有： ①
②=-， n (n +1) n n +1=(-) ， 特别声明： 运用等比数列求和公式，务必检查其公比与1的关系，必要时分类讨论．
（6）通项转换法。
三、不等式
1．（1）解不等式是求不等式的解集，最后务必有集合的形式表示；不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值．
（2）解分式不等式f (x )>a (a ≠0)的一般解题思路是什么？（移项通分，分子分母分解g x ）；
（3）含有两个绝对值的不等式如何去绝对值？（一般是根据定义分类讨论、平方转化或换元转化）；
（4）解含参不等式常分类等价转化，必要时需分类讨论．注意：按参数讨论，最后按参数取值分别说明其解集，但若按未知数讨论，最后应求并集．
2．利用重要不等式a +b ≥2ab 以及变式ab ≤() 等求函数的最值时，务必注意a ，2
2
b ∈R （或a ，b 非负），且“等号成立”时的条件是积ab 或和a ＋b 其中之一应是定值（一正二定三等四同时）． +
≥≥≥（根据目标不等式左右的运算结构选3
+用）
a 、b 、c ∈R ，a +b +c ≥ab +bc +ca （当且仅当a =b =c 时，取等号）
4．比较大小的方法和证明不等式的方法主要有：差比较法、商比较法、函数性质法、综合法、分析法
5．含绝对值不等式的性质： 222
a 、b 同号或有0⇔|a +b |=|a |+|b |≥||a |-|b ||=|a -b |；
a 、b 异号或有0⇔|a -b |=|a |+|b |≥||a |-|b ||=|a +b |．
注意：不等式恒成立问题的常规处理方式？（常应用方程函数思想和“分离变量法”转化为最值问题）．
6．不等式的恒成立, 能成立, 恰成立等问题
（1）．恒成立问题
若不等式f (x )>A 在区间D 上恒成立, 则等价于在区间D 上f (x )min >A
若不等式f (x )
（2）．能成立问题
若在区间D 上存在实数x 使不等式f (x )>A 成立, 即f (x )>A 在区间D 上能成
立, ,则等价于在区间D 上f (x )max >A
若在区间D 上存在实数x 使不等式f (x )
立, ,则等价于在区间D 上的f (x )min
（3）．恰成立问题
若不等式f (x )>A 在区间D 上恰成立, 则等价于不等式f (x )>A 的解集为D ．
若不等式f (x )
一、三角形中的三角函数
（1）内角和定理：三角形三角和为π，任意两角和与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余．锐角三角形⇔三内角都是锐角⇔三内角的余弦值为正值⇔任⇔
（2）正弦定理：===2R （R 为三角形外接圆的半径）． 注意：已知三角形两边一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解．
222(b +c ) 2-a 2=-1等，（3）余弦定理：a =b +c -2bc cos A ,cos A =2bc 2bc 222
常选用余弦定理鉴定三角形的类型．
（4）面积公式：S =ah a =ab sin C =． 224R
二、数 列
1．数列的通项、数列项的项数，递推公式与递推数列，数列的通项与数列的前n 项和公式的关系：a n ={S 1,(n =1) ． S n -S n -1,(n ≥2)
注意：a n =(a n -a n -1) +(a n -1-a n -2) + +(a 2-a 1) +a 1；a n =
2．等差数列{a n }中：
（1）等差数列公差的取值与等差数列的单调性． a n a n -1a ⋅⋅ ⋅2⋅a 1．a n -1a n -2a 1
（2）a n =a 1+(n -1) d =a m +(n -m ) d ；p +q =m +n ⇒a p +a q =a m +a n ．
（3）{a n 1+(k -1) m }、{ka n }也成等差数列．
（4）两等差数列对应项和（差）组成的新数列仍成等差数列．
（5）a 1+a 2+ +a m , a k +a k +1+ +a k +m -1, 仍成等差数列．
（6）S n =n (a 1+a n ) n (n -1) d d S d ，S n =n 2+(a 1-) n ，a n =2n -1，，S n =na 1+2n -12222
A n a =f (n ) ⇒n =f (2n -1) ． B n b n
（7）a p =q , a q =p (p ≠q ) ⇒a p +q =0；S p =q , S q =p (p ≠q ) ⇒S p +q =-(p +q ) ；S m +n =S m +S n +mnd ．
（8）“首正”的递减等差数列中，前n 项和的最大值是所有非负项之和；
“首负”的递增等差数列中，前n 项和的最小值是所有非正项之和；
（9）有限等差数列中，奇数项和与偶数项和的存在必然联系，由数列的总项数是偶数还是奇数决定．若总项数为偶数，则“偶数项和”－“奇数项和”＝总项数的一半与其公差的积；若总项数为奇数，则“奇数项和”－“偶数项和”＝此数列的中项．
（10）两数的等差中项惟一存在．在遇到三数或四数成等差数列时，常考虑选用“中项关系”转化求解．
（11）判定数列是否是等差数列的主要方法有：定义法、中项法、通项法、和式法、图像法（也就是说数列是等差数列的充要条件主要有这五种形式）．
3．等比数列{a n }中：
（1）等比数列的符号特征（全正或全负或一正一负），等比数列的首项、公比与等比数列的单调性．
（2）a n =a 1q n -1=a m q n -m ； p +q =m +n ⇒b p ⋅b q =b m ⋅b n ．
（3）{|a n |}、{a n 1+(k -1) m }、{ka n }成等比数列；{a n }、{b n }成等比数列⇒{a n b n }成等比数列．
（4）两等比数列对应项积（商）组成的新数列仍成等比数列．
（5）a 1+a 2+ +a m , a k +a k +1+ +a k +m -1, 成等比数列．
⎧na 1 (q =1) ⎧na 1 (q =1) ⎪⎪=⎨a 1n （6）S n =⎨a 1-a n q a 1(1-q n ) ． a 1-q + (q ≠1) = (q ≠1) ⎪1-q ⎪1-q 1-q 1-q ⎩⎩
特别：a -b =(a -b )(a n n n -1+a n -2b +a n -3b 2+ +ab n -2+b n -1) ．
（7）S m +n =S m +q m S n =S n +q n S m ．
（8）“首大于1”的正值递减等比数列中，前n 项积的最大值是所有大于或等于1的项的积；“首小于1”的正值递增等比数列中，前n 项积的最小值是所有小于或等于1的项的积；
（9）有限等比数列中，奇数项和与偶数项和的存在必然联系，由数列的总项数是偶数
还是奇数决定．若总项数为偶数，则“偶数项和”＝“奇数项和”与“公比”的积；若总项数为奇数，则“奇数项和”＝“首项”加上“公比”与“偶数项和”积的和．
（10）并非任何两数总有等比中项．仅当实数a , b 同号时，实数a , b 存在等比中项．对同号两实数a , b
的等比中项不仅存在，而且有一对G =两实数要么没有等比中项（非同号时），如果有，必有一对（同号时）．在遇到三数或四数成等差数列时，常优先考虑选用“中项关系”转化求解．
（11）判定数列是否是等比数列的方法主要有：定义法、中项法、通项法、和式法（也就是说数列是等比数列的充要条件主要有这四种形式）．
4．等差数列与等比数列的联系
（1）如果数列{a n }成等差数列，那么数列{A n }（A n 总有意义）必成等比数列．
（2）如果数列{a n }成等比数列，那么数列{loga |a n |}(a >0, a ≠1) 必成等差数列．
（3）如果数列{a n }既成等差数列又成等比数列，那么数列{a n }是非零常数数列；但数列{a n }是常数数列仅是数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件．
（4）如果两等差数列有公共项，那么由他们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数．
如果一个等差数列与一个等比数列有公共项顺次组成新数列，那么常选用“由特殊到一般的方法”进行研讨，且以其等比数列的项为主，探求等比数列中那些项是他们的公共项，并构成新的数列．
注意：（1）公共项仅是公共的项，其项数不一定相同，即研究a n =b m ．但也有少数问题中研究a n =b n ，这时既要求项相同，也要求项数相同．（2的中项转化和通项转化法．
5．数列求和的常用方法：
（1）公式法：①等差数列求和公式（三种形式），
②等比数列求和公式（三种形式）， 2222③1+2+3+ +n =n (n +1) ，1+2+3+ +n =n (n +1)(2n +1) ，a a 26
1+3+5+ +(2n -1) =n 2，1+3+5+ +(2n +1) =(n +1) 2．
（2）分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在
一起，再运用公式法求和．
（3）倒序相加法：在数列求和中，若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前n 和公式的推导方法）．
（4）错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法，将其和转化为“一个新的的等比数列的和”求解（注意：一般错位相减后，其中“新等比数列的项数是原数列的项数减一的差”！）（这也是等比数列前n 和公式的推导方法之一）．
（5）裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和．常用裂项形式有： ①
②=-， n (n +1) n n +1=(-) ， 特别声明： 运用等比数列求和公式，务必检查其公比与1的关系，必要时分类讨论．
（6）通项转换法。
三、不等式
1．（1）解不等式是求不等式的解集，最后务必有集合的形式表示；不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值．
（2）解分式不等式f (x )>a (a ≠0)的一般解题思路是什么？（移项通分，分子分母分解g x ）；
（3）含有两个绝对值的不等式如何去绝对值？（一般是根据定义分类讨论、平方转化或换元转化）；
（4）解含参不等式常分类等价转化，必要时需分类讨论．注意：按参数讨论，最后按参数取值分别说明其解集，但若按未知数讨论，最后应求并集．
2．利用重要不等式a +b ≥2ab 以及变式ab ≤() 等求函数的最值时，务必注意a ，2
2
b ∈R （或a ，b 非负），且“等号成立”时的条件是积ab 或和a ＋b 其中之一应是定值（一正二定三等四同时）． +
≥≥≥（根据目标不等式左右的运算结构选3
+用）
a 、b 、c ∈R ，a +b +c ≥ab +bc +ca （当且仅当a =b =c 时，取等号）
4．比较大小的方法和证明不等式的方法主要有：差比较法、商比较法、函数性质法、综合法、分析法
5．含绝对值不等式的性质： 222
a 、b 同号或有0⇔|a +b |=|a |+|b |≥||a |-|b ||=|a -b |；
a 、b 异号或有0⇔|a -b |=|a |+|b |≥||a |-|b ||=|a +b |．
注意：不等式恒成立问题的常规处理方式？（常应用方程函数思想和“分离变量法”转化为最值问题）．
6．不等式的恒成立, 能成立, 恰成立等问题
（1）．恒成立问题
若不等式f (x )>A 在区间D 上恒成立, 则等价于在区间D 上f (x )min >A
若不等式f (x )
（2）．能成立问题
若在区间D 上存在实数x 使不等式f (x )>A 成立, 即f (x )>A 在区间D 上能成
立, ,则等价于在区间D 上f (x )max >A
若在区间D 上存在实数x 使不等式f (x )
立, ,则等价于在区间D 上的f (x )min
（3）．恰成立问题
若不等式f (x )>A 在区间D 上恰成立, 则等价于不等式f (x )>A 的解集为D ．
若不等式f (x )