工程力学练习册答案

第3章

2-1. 已知：ACABCD，P10kN，求A、B处约束反力。 解：取杆ACD为研究对象，受力如图。

mA0,FCsin450ACP2AC0



FC2P28.28kN

F

x

0,FCcos450FAx0

FAx10kN()

,F0Fsin45FAyP0 yC

FAy10kN()

2-2. 已知力P的作用线垂直于AB杆，BC杆与P力的作用线夹角为45，杆BC垂直于

杆CD，力Q的作用线与CD杆的夹角为60。P1kN，求系统平衡时Q＝？

解：分别取节点B、C为研究对象，受力如图。 对于节点B：对于节点C：

Fx0，P

FBCcos4500F

x

'0，FBCQcos3000联立上两式解得：Q

2626

PkN 33

2-3. 图示结构中，AB杆水平，AC杆与AB杆的夹角为30，杆件的自重不计，

W10kN，求B、C处反力。 解：取整体为研究对象，受力如图。

F

y

0，FCsin300WFTcos4500

FC(22)W34.14kN(压)

F

X

0,FBFCcos

300FTsin4500

FB15.43kN()

2-4. 已知：M1200Nm，M2500Nm，ACCDAB0.8m， 求A、C处支反力。

解：取杆ACD为研究对象，受力如图。

m

A

0，FCsin4500.8M1M20

FC375NFB

2-5. 已知AD杆上固接一销钉，此销钉可以在BC杆的滑道内无摩擦地滑动，系统平衡在图示位置，BC与AD成45，M11000Nm，求M2。 解：取杆AD为研究对象，受力如图。

m

A

0,FCcos450ACM10

取杆BC为研究对象，受力如图。

'

,Fm0BC

AC

M20 0

cos45

M1

2000N.m 联立上两式解得：M2

cos2450

2-6. AB60cm，滑轮半径为R10cm，BCBD20cm，W1800N，求A处反力和CD绳的张力。

解：取整体为研究对象，受力如图。

m

A

0,FCsin450(AB20)FT10W(AB10)0

FC1909.5N

F

x

0，FAxFCcos450FT0

C

FAx3150N

Fy0，FAyFCsin450W0

FAy3150N

2-7. ABBD4m，BCCE6m，求A、B、C、D处反力。

解:取杆AD为研究对象，受力如图。

F

x

0，14FDx0

FDx4kN()

12

mA0,4

414FDy40

2

FDy2kN()

F

y

0，FAFDy0

FA2kN()

1取杆AD为研究对象，受力如图。

F

x

0，FBxFDx0

FBx4kN()

1'

F6F42620 , m0CDxB

2

FC8.67kN()

F

y

0，FBy8.672620

FBy1.33kN()

2-8. 力P作用在BC杆的中点，求A、B处反力。 解：取杆BC为研究对象，受力如图。

，

FBCcos45Pm0BC

BC

cos4502

FB4kN()

取整体为研究对象，受力如图。

xy

F F

0，FAx0

0，FAyFBP410

0,MAFB4P3411.50

MA14kN.m（逆时针）

FAy8kN()

m

A

第5章 轴向拉伸和压缩

2.1 求图示杆11、22、及33截面上的轴力。 解：11截面，取右段如(a) 由Fx0，得 FN10

22截面，取右段如(b) 由Fx0，得 FN2P

(a)(b)

33截面，取右段如(c)

由Fx0，得 FN30

(

c)

2.2 图示杆件截面为正方形，边长a20cm，杆长l4m，P10kN，比重2kN/m。在考虑杆本身自重时，11和22截面上的轴力。

3

解：11截面，取右段如(a) 由

F

x

0，得

4

FN

1la2/40.08kN

N1

/4

22截面，取右段如(b) 由

F

x

0，得

2

FN23la/4P10.24kN

(a)

N2/4

4

2

2.3 横截面为10cm的钢杆如图所示，已知P20kN，

Q20kN。试作轴力图并求杆的总伸长及杆下端横截面

上的正应力。E钢200GPa。

kN

cmcm

kN

cm

FN图

解：轴力图如图。 杆的总伸长：

FNlEA 200000.122105m9

200100.001l2

杆下端横截面上的正应力：



FN20000

20MPa A1000

2.4 两种材料组成的圆杆如图所示，已知直径d40mm，杆的总伸长

l1.26102cm。试求荷载P及在P作用下杆内的最大正应力。（E铜80GPa，

E钢200GPa）。 解：由lFNl，得

EA

1.26104P(

40.440.6

) 926926

20010401080104010

解得： P16.7kN

杆内的最大正应力：

F416700N13.3MPa

A402

2.5 在作轴向压缩试验时，在试件的某处分别安装两个杆件变形仪，其放大倍数各为kA1200，kB1000，标距长为s20cm，受压后变形仪的读数增量为。 nA36mm，nB10mm，试求此材料的横向变形系数（即泊松比）

n

解：纵向应变： AA360.0015

skA201200

n10

横向应变： BB0.0005

skB201000

1

泊松比为： B

A3

2.6 图示结构中AB梁的变形和重量可忽略不计，杆1为钢质圆杆，直径

d120mm，E1200GPa，杆2为铜质圆杆，直径d225mm，E2100GPa，

试问：

⑴荷载P加在何处，才能使加力后刚梁AB仍保持水平？ ⑵若此时P30kN，则两杆内正应力各为多少？ 解： FN1Px/2。FN2P(2x)/2

⑴要使刚梁AB持水平，则杆1和杆2的伸长量相等，有

Px1.54P(2x)14

22

2002010025

解得：x0.9209m

4300000.9209

44MPa

2202

4300001.0791

2FN2/A24P(2x)/2d233MPa 2

225

2.7 横截面为圆形的钢杆受轴向拉力P100kN，若杆的相对伸长不能超过

⑵ 1FN1/A14Px/2d2

12000

，应力不得超过120MPa，试求圆杆的直径。E钢200GPa

P

[]得 A

4P4100000

32.6mm 6

[]12010

解：由强度条件 d

由刚度条件lP得

l

EA

d

4Pl41000002000

35.7mm. 则圆杆的直径lE200109

d36mm。

2.8 由两种材料组成的变截面杆如图所示。AB、BC的横截面面积分别为

AAB20cm2和ABC10cm2。若Q2P，钢的许用应力[]1160MPa，铜的许用应力[]2120MPa，试求其许用荷载[P]。 解：由钢的强度条件P[]得

A

kN P1A1[]11000120120由铜的强度条件2P[]得

A

P2A2[]2/22000160/2160kN 故许用荷载[P]120kN

2.9 结构如图所示，水平梁CD的刚度很大，可忽略其变形，AB为一钢杆（E钢200GPa），直径d3cm，a1m，试问：

⑴若在AB杆上装有杠杆变形仪，加力后其读数增量为14.3格（每格代表

1

，杠杆仪标距smm）

1000

2cm，试问P为多少？

⑵若AB杆材料的许用应力[]160MPa，试求结构的许用荷载P及此时D点的位移。

解：⑴AB杆的内力为：FN2P

AB杆的应变为：

14.37.15104

100020

则 PEA/2200

302

42

7.1510450.5kN

⑵ PA[]/2

302

42

16056.55kN

AB杆的应变为： 



E

8104

AB杆的变形为： ll8104m

D点的位移为： D2l2l1.6103m

第6章 扭转

3.1 图示圆轴的直径d100mm，l50cm，M17kNm，M25kNm，

G82GPa，

⑴试作轴的扭矩图； ⑵求轴的最大切应力；

⑶求C截面对A截面的相对扭转角AC。 解：⑴扭矩图如图。

⑵轴的最大切应力 maxTBC16500025.5MPa 3

Wp

10

2kNm

⑶C截面对A截面的相对扭转角AC

ACTABlTBCl(25)100050321.86103rad

4

GIp

GIp

8200010

3.2 已知变截面圆轴上的M118kNm，M212kNm。试求轴的最大切应力和最大单位长度扭转角。G80GPa 解：BCTBC1612000488.9MPa 3

Wp

5

AB

TAB1630000

362.2MPa 3Wp7.5



maxBC488.9MPa

30kNm

BC

TBC3212000

0.244rad/m 4

GIp8005

AB

TAB3230000

0.121rad/m 4

GIp8007.5

BC0.244rad/m max

3.3 图示钢圆轴（G80GPa）所受扭矩分别为M180kNm，M2120kNm，及M340kNm。已知：材料的许用切应力[]50MPa，L130cm ，L270cm，许用单位长度扭转角[]0.25/m。求轴的直径。 解：按强度条件maxTmax[]计算

Wp

d316T1680000201mm

6

[]

5010

GIp

T按强度条件maxmax[]计算

80000180 d32Tmax32219.8mm 29

G[]80100.25

40kNm

故，轴的直径取d220mm

3.4 实心轴和空心轴通过牙嵌离合器连在一起，已知轴的转速n100r/min，

1

传递功率P7.35kW，[]20MPa。试选择实心轴的直径d1和内外径比值为的

2空心轴的外径D2。

解：求扭矩：

T9550

P7.359550701.925Nm n100

d116T701.92556.3mm 6

[]2010

16T16701.92516357.6mm 46[](1)201015

D故，实心轴的直径d156.3mm，空心轴的外径D57.6mm，内径d28.8mm 3.5 今欲以一内外径比值为0.6的空心轴来代替一直径为40cm的实心轴，在两轴的许用切应力相等和材料相同的条件下，试确定空心轴的外径，并比较两轴的重量。

解：要使两轴的工作应力相等，有W空W实，即

33

d空 d空d实3（10.64）d实

1

41.9cm 4

10.6

两轴的重量比

222

G空A空d空（10.62）41.9（10.6） 0.7024 22G实A实d实40

3.6 图示传动轴的转速为200r/min，从主动轮2上传来的功率是58.8kW，由从动轮1、3、4和5分别输出18.4kW、11kW、22.05kW和7.35kW。已知材料的许用切应力[]20MPa，单位长度扭转角[]0.5/m，切变模量

G82GPa。试按强度和刚度条件选择轴的直径。 解：求扭矩：

P22.05T4955095501052.89Nm

n200P18.4P58.8

T195509550878.6Nm， T2955095502807.7Nm

n200n200

P7.35P11

350.96Nm T395509550525.25Nm， T595509550

n200n200

最大扭矩Tmax1929.1Nm 按强度条件maxTmax

Wp

[]计算： d16T161929.178.9mm 6

[]2010

按刚度条件Tmax[]计算： d32Tmax321929.118072.4mm

29

GIp

G[]82100.5

故，轴的直径取d78.9mm

3.7 图示某钢板轧机传动简图，传动轴直径d320mm，今用试验方法测得45方向的max89MPa，问传动轴承受的转矩M是多少？

解：由max，则

MWp

d3

16



32389

16

572.6kNm

3.8 空心轴外径D120mm，内径d60mm，受外力偶矩如图。

M1M25kNm，M316kNm，M46kNm。已知材料的G80GPa，

许用切应力[]40MPa，许用单位长度扭转角

[]0.2/m。试校核此轴。 解：最大扭矩Tmax10kNm



校核强度条件：

max

Tmax161610000

31.44MPa[]40MPa 3

Wp1215

校核刚度条件：

max

Tmax321610000180

0.375o/m[]0.2o/m 24

GIp8001215

故，轴的强度满足，但刚度条件不满足。

3.9 传动轴长L510mm，其直径D50mm，当将此轴的一段钻空成内径

d125mm的内腔，而余下的一段钻成d238mm的内腔。设切应力不超过

70MPa。试求：

⑴此轴所能承受的扭转力偶M的许可值；

⑵若要求两段轴长度内的扭转角相等，则两段的长度各为多少？ 解：⑴此轴能承受的扭转力偶M

34

MWmin[]D(10.76)701144.9Nm

16

⑵要使两段轴长度内的扭转角相等，即

4

Tl!l1Ip1Tl210.5 即1.41 4GIp1GIp2l2Ip210.76

故，L1

1.411

510298.4mm，L2510211.6mm 2.412.41

附录I 截面的几何性质

Ⅰ.1、试求图示图形对y轴的静矩Sy，并求形心坐标zC。 解：dAb(z)dz；b(z)2Rz

SyzdA

A

22

2zRzdz

R

22

2

2



R

2Rzd(Rz)R3

3

2

2

zC

SyA



3R/34R

 2

R/23

3

Ⅰ.2 试求图示图形的形心坐标yC和zC。

(a)

解：（a）选择原来坐标

zC

A1z1CA2z2C

A1A2

200010060

20mm22

200100

22

（b）建立坐标如图

AzA2z2C

zC11C

A1A2



20160801003015

48.55mm

2016010030

yC

A1y1CA2y2C

A1A2

20160101003070

39mm

2016010030

(b

)

Ⅰ.3、试求图示图形的Iy、 Iz和Iyz。

2

解：IyzdA

A

h0

b31

dzbh3 h4

同理：

IzydA

A

2

b

h21

y(hy)dyhb3 b12

IyzzydA

A

bhz

h00



1

yzdydzb2h2

8

Ⅰ.4、试求图示图形对形心轴的IyC和 IzC。 解：（a）建立如图坐标

zC

A1z1CA2z2CA3z3C40180(130)2

55.7A1A2A324018024080

IyCIyC1IyC2IyC3

112[40180340180(13055.7)2]240803240801212

4

18818.2864cm

IzCIzC1IzC2IzC3

112[403180401801002]24038023808cm1212

（b）建立如图坐标

zC

A1z1CA2z2CA3z3C80160(140)36060130

18.68mm

A1A2A38016036060100200

IyCIyC1IyC2IyC3

11

16080380160158.682100200320010018.68212121

36060360360(13018.68)211686.6246cm412

IzCIzC1IzC2IzC3



111

360360200100316038027725.33cm4121212

（c）建立坐标如图

zC

A1z1CA2z2C60100(20)

25.3mm 2

A1A26010020

IyCIyC1IyC2

1

601003601005.3212(



64

40420225.32)424cm4

IzCIzC1IzC2



1603100204167cm1264

4

第7章 弯曲应力

4.1、作图示结构的弯矩图和剪力图，并求最大弯矩Mmax和最大剪力FQ,max。（内力方程法）

F

Q

FQ

M

M

FQmaxP；Mmax2Pa FQmax

49211

qa； Mmaxqa 636

2

FQ

4

M

3qa2/4

5

qa2

2

FQmaxqa；Mmax

FQmax

qa

332

qa；Mmaxqa2

44FQ

2

2

M

FQ

M

FQ

4

M

qL

2

FQmaxqL；

5

qa； 4

MmaxqL2

FQmax

Mmax

32

qa

4

qa

Q

6

121211

qa ；Mmaxqa 672

FQmaxqa；Mmaxqa2 FQmax

4.2、作图示结构的弯矩图和剪力图，并求最大弯矩Mmax和最大剪力FSmax。（简

易方法）

q

qa

/2

FQ

M

5qa

/8

FQmax3qa；Mmax5qa2 FQmax

51

qa；Mmaxqa2 28

FQ

P

FQ

M

M

FQmax

12121111

qa；Mmaxqa Mmaxqa2 FQmaxqa ；6672

Q

Q

M

qa

FQmaxqa；

32

qa 4

Mmaxqa2 FQmaxqa； Mmax

qa

/6

Q

M

FQmax

555

qa；Mmaxqa2 FQmaxqa；Mmaxqa2 646

Q

Q

M

qa/2

FQmaxqa；Mmaxqa2 FSmaxqa；Mmaxqa2

4.3、截面为No24工字型的梁，受力如图所示。 ⑴ 试求梁的最大正应力和最大切应力； ⑵ 绘出危险截面上正应力及切应力的分布图。 解：⑴、作内力图如右。

Mmax67.2kNm FSmax168kN

W400cm3

z

max



M

max Wz

67200

168MPa 400

Iz/Sz

20.4cm

F

Smax



FSSmaxz

Izb

分布图

M

168000

82.35MPa

20410

⑵、危险截面在D的左侧。应力分布如图。

4.4、外径为25cm，壁厚为5mm的铸铁管简支梁，跨度为12m，铸铁的容重

17.8g/cm3。若管内装满水（容重21g/cm3）。试求管内的最大正应力。

解：原结构化为满均布力作用的简支梁。其集度为：

cm

q[(252242)7.82421]9.8

44

737N/m

1

Mmax73712213266Nm

8



Wz

D3

32

(1(

244

))231cm3 25

max

Mmax13266

57.4MPa Wz231

4.5、图示一铸铁梁。若[t]30MPa，[c]60MPa，试校核此梁的强度。 解：弯矩图如图。

Mmax4kNm

M



max

2.5kNm

由比较可知B截面由拉应力控制， 而最大C截面也由拉应力控制。

Iz763cm4

B,max

My452100BBt27.3MPa

Iz763MCyCt2.588100

28.8MPa[t] Iz763

M

C,max

因此该梁强度足。

4.6、吊车主梁如图所示。跨度l8m，试问当小车运行到什么位置时，梁内的弯矩最大，并求许用起重荷载。已知

[]100MPa。 PP

解：F1(7.85x)，F2(0.15x)

88P

M1(x)(7.85x)x

8PP

M2(x)(7.85x)(x0.3)0.15

82

1

Wz597cm3

h30cmIz8950cm4

令

dM1(x)dM2(x)

0或0； 得 x3775mm或x3925mm dxdx

P

(2la)20.856P(Nm) 16l

由强度条件

故 Mmax

max

Mmax0.856P

100 6

Wz57910

hD

、圆形、及管形（2）

2）bd

得： P3.88kN

4.7、若梁的[]160MPa，试分别选择矩形（

三种截面，并比较其经济性。 解：弯矩图如图。

Mmax6.25kNm 由强度条件max

Mmax

[]： Wz

5kNm

kNm

1.25kNm

矩形： Wz

h77.6mm

3Mmax23

b，得 b38.8mm； 32[]

园形： Wz



32

d3，得 d32Mmax

73.6mm；

[]

管形： Wz



32

D3(14)，得 D32Mmax

75.2mm； 4

(1)[]

三面积之比： A矩形：A圆形：A管形3010:4254:3331 矩形最优，管形次之，圆形最差。

4.8、圆截面为d140mm的钢梁AB。B点由圆钢杆BC支承，已知d220mm。梁及杆的[]160MPa，试求许用均布荷载q。

39

解：1、约束力 FAyq； FNq

44

2、作AB梁的内力图 3、强度计算 Mq/2

AB梁：maxmax3[]

Wzd1/32得： q

d

3

1

3q/4

[]2.01kN/m

q

16

BC杆：

FN9q/4

2[] A2d2/4

5q/4/2

FQ

M

得： q

d22

9

q/32

[]22.34kN/m

故取q2.01kN/m

4.9、若[]160MPa，[]100MPa，试确定图示梁空心截面壁的厚度t（各边厚度相等）。

解：作内力图

bh3(b2t)(h2t)3

Iz

1212 1

(10b3t18b2t214bt34t4)3

150kN

b(h/2)2(b2t)(h/2t)2

S

22

(2t35bt24b2t)/2

*

z,max

FQ

26.756.7kN

25kNm

M

由max得： 由max得：

Mmaxh

[] Iz2

*

FQ,maxSz,max

Iz2t

[]

4.10、简支梁如图，试求梁的最底层纤维的总伸长。 qlq

解：Mxxx2 （0xl)

22

底层纤维的应力 x

q

Mx3q(lxx)



Wzbh2

2

底层纤维处于单向应力状态

2

l3q(lxx)3q(lxx2)ql3

dx x； l

0EEbh2Ebh22Ebh2

x

4.11、矩形截面简支梁由圆柱形木材刨成。已知P5kN，a1.5m，

[]10MPa ，试确定此矩形截面的比值（使其截面的抗弯截面系数具有最

大值）及所需木柱的最小直径d。

bh21

(bd2b3) 解： Wz66

h

b

2d 3

Pa

由

Wzd

0；得 b；hb

由 max

Mmax6Pa

[] d2Wz

d233

d

9Pa

227mm，取d230mm []

4.12、悬臂梁受力如图a，若假想沿中性层把梁分开成上下两部分：

⑴试求中性层截面上切应力沿x轴的变化规律；（参考图b） ⑵试说明梁被截下部分的由什么力来平衡。

解：（1）、FQ(x)qx； （0xl) 对于矩形截面梁，中性层的切应力 x,max

3qx

 2A2bh3FQ

q

(a

)(b)

被截下部分的由固定端的正应力来平衡

4.13、用钢板加固的木梁如图，若木梁与钢板之间不能相互滑动，钢的

E1210GPa，木的E210GPa，试求木材及钢板中的最大工作正应力。 解：变形几何关系：

y

y



y

物理关系：1E1



，2E2



将钢板宽度变换为：b Mmax7.5kNm yC

E2

b2100mm E1

C

Ay

A

ii

i



100200105521002.5

70mm

10020052100

3

bh13bh22

bh(10570)bh2(702.5)2139cm4 Iz1212

木max

Mmax

y17.28MPa Iz

钢max

MmaxE

y2279.3MPa IzE1

4.14、图示铸铁梁，若h10cm，t2.5cm。欲使得最大拉应力与最大压应力之

1

比为，试确定尺寸b应是多少？

3

y1

解：tmax,t

ycmax,c3

得：yc由yc

3

h7.5cm 4

ii

t

Ay

A

i



b105(b2.5)7.53.75

7.5

10b(b2.5)7.5

解得：b22.5cm

第8章 弯曲刚度

5.1、试用积分法求梁（EI为已知）的：

⑴ 挠曲线方程；

⑵ A截面挠度及B截面的转角；

⑶ 最大挠度和最大转角。

max

7Pa2qa3

(顺时针) (顺时针) maxA6EI6EI

2



1q3qa2

(xx） EI641q4qa3

w(xx）

EI2412

qa45qa4

wA() wA()

24EI24EIqa3qa3

B(顺时针) B(顺时针)

3EI8EIwmaxwx3a/2

1

9qa4

 wmaxwA

128EI

qx

(3x410l2x27l4)。试求： 360EIl

5.2、已知直梁的挠曲线方程为：y(x)⑴ 梁中间截面（x

l

）上的弯矩； 2

⑵ 最大弯矩：

⑶ 分布荷载的变化规律。

q32

(xlx) 解：1）、MEIy6l

dMlql2

0；得 x 2）、由，代入得 Mmax dx9d2Mq

x，即荷载分布规律。 3）、由 qdx2l

5.3、若图示梁（EI为常数）A截面的转角A0，试求比值。 解：在左边力作用下产生 Pbl



6EI

在右边力作用下产生

Pal



3EI

共同作用

PblPal

0 A

6EI3EI

得 a:b1:2

ab

P

5.4、若图示梁（EI为常数）的挠曲线在A截面处出现一拐点（转折点）。试求

M1比值 M1

M2

M2

解：分别作 与 作用下的弯矩图。 A点出现拐点表示该处M0。

则 M

2M1M2

0 33

M11

 M22

1

5.5、图示悬臂梁（EI为常数），截面为矩形，已知[]。试求在满足强度条件下梁的最大挠度。 解：MmaxPl max

M6Pl

max2[] Wzbh

bh2

[] P6l

wmax

Pl3bh2[]2l 3EI18EI

P

作用后未5.6、重量为P的直梁(EI为常数)放置在水平刚性平面上，若受力

提起部分保持与平面密合，试求提起部分的长度a。

解：由于A处的wA0；A0；M

A0 由平衡条件

PPa

MAaa0

3l22

则： al

3

第3章

2-1. 已知：ACABCD，P10kN，求A、B处约束反力。 解：取杆ACD为研究对象，受力如图。

mA0,FCsin450ACP2AC0



FC2P28.28kN

F

x

0,FCcos450FAx0

FAx10kN()

,F0Fsin45FAyP0 yC

FAy10kN()

2-2. 已知力P的作用线垂直于AB杆，BC杆与P力的作用线夹角为45，杆BC垂直于

杆CD，力Q的作用线与CD杆的夹角为60。P1kN，求系统平衡时Q＝？

解：分别取节点B、C为研究对象，受力如图。 对于节点B：对于节点C：

Fx0，P

FBCcos4500F

x

'0，FBCQcos3000联立上两式解得：Q

2626

PkN 33

2-3. 图示结构中，AB杆水平，AC杆与AB杆的夹角为30，杆件的自重不计，

W10kN，求B、C处反力。 解：取整体为研究对象，受力如图。

F

y

0，FCsin300WFTcos4500

FC(22)W34.14kN(压)

F

X

0,FBFCcos

300FTsin4500

FB15.43kN()

2-4. 已知：M1200Nm，M2500Nm，ACCDAB0.8m， 求A、C处支反力。

解：取杆ACD为研究对象，受力如图。

m

A

0，FCsin4500.8M1M20

FC375NFB

2-5. 已知AD杆上固接一销钉，此销钉可以在BC杆的滑道内无摩擦地滑动，系统平衡在图示位置，BC与AD成45，M11000Nm，求M2。 解：取杆AD为研究对象，受力如图。

m

A

0,FCcos450ACM10

取杆BC为研究对象，受力如图。

'

,Fm0BC

AC

M20 0

cos45

M1

2000N.m 联立上两式解得：M2

cos2450

2-6. AB60cm，滑轮半径为R10cm，BCBD20cm，W1800N，求A处反力和CD绳的张力。

解：取整体为研究对象，受力如图。

m

A

0,FCsin450(AB20)FT10W(AB10)0

FC1909.5N

F

x

0，FAxFCcos450FT0

C

FAx3150N

Fy0，FAyFCsin450W0

FAy3150N

2-7. ABBD4m，BCCE6m，求A、B、C、D处反力。

解:取杆AD为研究对象，受力如图。

F

x

0，14FDx0

FDx4kN()

12

mA0,4

414FDy40

2

FDy2kN()

F

y

0，FAFDy0

FA2kN()

1取杆AD为研究对象，受力如图。

F

x

0，FBxFDx0

FBx4kN()

1'

F6F42620 , m0CDxB

2

FC8.67kN()

F

y

0，FBy8.672620

FBy1.33kN()

2-8. 力P作用在BC杆的中点，求A、B处反力。 解：取杆BC为研究对象，受力如图。

，

FBCcos45Pm0BC

BC

cos4502

FB4kN()

取整体为研究对象，受力如图。

xy

F F

0，FAx0

0，FAyFBP410

0,MAFB4P3411.50

MA14kN.m（逆时针）

FAy8kN()

m

A

第5章 轴向拉伸和压缩

2.1 求图示杆11、22、及33截面上的轴力。 解：11截面，取右段如(a) 由Fx0，得 FN10

22截面，取右段如(b) 由Fx0，得 FN2P

(a)(b)

33截面，取右段如(c)

由Fx0，得 FN30

(

c)

2.2 图示杆件截面为正方形，边长a20cm，杆长l4m，P10kN，比重2kN/m。在考虑杆本身自重时，11和22截面上的轴力。

3

解：11截面，取右段如(a) 由

F

x

0，得

4

FN

1la2/40.08kN

N1

/4

22截面，取右段如(b) 由

F

x

0，得

2

FN23la/4P10.24kN

(a)

N2/4

4

2

2.3 横截面为10cm的钢杆如图所示，已知P20kN，

Q20kN。试作轴力图并求杆的总伸长及杆下端横截面

上的正应力。E钢200GPa。

kN

cmcm

kN

cm

FN图

解：轴力图如图。 杆的总伸长：

FNlEA 200000.122105m9

200100.001l2

杆下端横截面上的正应力：



FN20000

20MPa A1000

2.4 两种材料组成的圆杆如图所示，已知直径d40mm，杆的总伸长

l1.26102cm。试求荷载P及在P作用下杆内的最大正应力。（E铜80GPa，

E钢200GPa）。 解：由lFNl，得

EA

1.26104P(

40.440.6

) 926926

20010401080104010

解得： P16.7kN

杆内的最大正应力：

F416700N13.3MPa

A402

2.5 在作轴向压缩试验时，在试件的某处分别安装两个杆件变形仪，其放大倍数各为kA1200，kB1000，标距长为s20cm，受压后变形仪的读数增量为。 nA36mm，nB10mm，试求此材料的横向变形系数（即泊松比）

n

解：纵向应变： AA360.0015

skA201200

n10

横向应变： BB0.0005

skB201000

1

泊松比为： B

A3

2.6 图示结构中AB梁的变形和重量可忽略不计，杆1为钢质圆杆，直径

d120mm，E1200GPa，杆2为铜质圆杆，直径d225mm，E2100GPa，

试问：

⑴荷载P加在何处，才能使加力后刚梁AB仍保持水平？ ⑵若此时P30kN，则两杆内正应力各为多少？ 解： FN1Px/2。FN2P(2x)/2

⑴要使刚梁AB持水平，则杆1和杆2的伸长量相等，有

Px1.54P(2x)14

22

2002010025

解得：x0.9209m

4300000.9209

44MPa

2202

4300001.0791

2FN2/A24P(2x)/2d233MPa 2

225

2.7 横截面为圆形的钢杆受轴向拉力P100kN，若杆的相对伸长不能超过

⑵ 1FN1/A14Px/2d2

12000

，应力不得超过120MPa，试求圆杆的直径。E钢200GPa

P

[]得 A

4P4100000

32.6mm 6

[]12010

解：由强度条件 d

由刚度条件lP得

l

EA

d

4Pl41000002000

35.7mm. 则圆杆的直径lE200109

d36mm。

2.8 由两种材料组成的变截面杆如图所示。AB、BC的横截面面积分别为

AAB20cm2和ABC10cm2。若Q2P，钢的许用应力[]1160MPa，铜的许用应力[]2120MPa，试求其许用荷载[P]。 解：由钢的强度条件P[]得

A

kN P1A1[]11000120120由铜的强度条件2P[]得

A

P2A2[]2/22000160/2160kN 故许用荷载[P]120kN

2.9 结构如图所示，水平梁CD的刚度很大，可忽略其变形，AB为一钢杆（E钢200GPa），直径d3cm，a1m，试问：

⑴若在AB杆上装有杠杆变形仪，加力后其读数增量为14.3格（每格代表

1

，杠杆仪标距smm）

1000

2cm，试问P为多少？

⑵若AB杆材料的许用应力[]160MPa，试求结构的许用荷载P及此时D点的位移。

解：⑴AB杆的内力为：FN2P

AB杆的应变为：

14.37.15104

100020

则 PEA/2200

302

42

7.1510450.5kN

⑵ PA[]/2

302

42

16056.55kN

AB杆的应变为： 



E

8104

AB杆的变形为： ll8104m

D点的位移为： D2l2l1.6103m

第6章 扭转

3.1 图示圆轴的直径d100mm，l50cm，M17kNm，M25kNm，

G82GPa，

⑴试作轴的扭矩图； ⑵求轴的最大切应力；

⑶求C截面对A截面的相对扭转角AC。 解：⑴扭矩图如图。

⑵轴的最大切应力 maxTBC16500025.5MPa 3

Wp

10

2kNm

⑶C截面对A截面的相对扭转角AC

ACTABlTBCl(25)100050321.86103rad

4

GIp

GIp

8200010

3.2 已知变截面圆轴上的M118kNm，M212kNm。试求轴的最大切应力和最大单位长度扭转角。G80GPa 解：BCTBC1612000488.9MPa 3

Wp

5

AB

TAB1630000

362.2MPa 3Wp7.5



maxBC488.9MPa

30kNm

BC

TBC3212000

0.244rad/m 4

GIp8005

AB

TAB3230000

0.121rad/m 4

GIp8007.5

BC0.244rad/m max

3.3 图示钢圆轴（G80GPa）所受扭矩分别为M180kNm，M2120kNm，及M340kNm。已知：材料的许用切应力[]50MPa，L130cm ，L270cm，许用单位长度扭转角[]0.25/m。求轴的直径。 解：按强度条件maxTmax[]计算

Wp

d316T1680000201mm

6

[]

5010

GIp

T按强度条件maxmax[]计算

80000180 d32Tmax32219.8mm 29

G[]80100.25

40kNm

故，轴的直径取d220mm

3.4 实心轴和空心轴通过牙嵌离合器连在一起，已知轴的转速n100r/min，

1

传递功率P7.35kW，[]20MPa。试选择实心轴的直径d1和内外径比值为的

2空心轴的外径D2。

解：求扭矩：

T9550

P7.359550701.925Nm n100

d116T701.92556.3mm 6

[]2010

16T16701.92516357.6mm 46[](1)201015

D故，实心轴的直径d156.3mm，空心轴的外径D57.6mm，内径d28.8mm 3.5 今欲以一内外径比值为0.6的空心轴来代替一直径为40cm的实心轴，在两轴的许用切应力相等和材料相同的条件下，试确定空心轴的外径，并比较两轴的重量。

解：要使两轴的工作应力相等，有W空W实，即

33

d空 d空d实3（10.64）d实

1

41.9cm 4

10.6

两轴的重量比

222

G空A空d空（10.62）41.9（10.6） 0.7024 22G实A实d实40

3.6 图示传动轴的转速为200r/min，从主动轮2上传来的功率是58.8kW，由从动轮1、3、4和5分别输出18.4kW、11kW、22.05kW和7.35kW。已知材料的许用切应力[]20MPa，单位长度扭转角[]0.5/m，切变模量

G82GPa。试按强度和刚度条件选择轴的直径。 解：求扭矩：

P22.05T4955095501052.89Nm

n200P18.4P58.8

T195509550878.6Nm， T2955095502807.7Nm

n200n200

P7.35P11

350.96Nm T395509550525.25Nm， T595509550

n200n200

最大扭矩Tmax1929.1Nm 按强度条件maxTmax

Wp

[]计算： d16T161929.178.9mm 6

[]2010

按刚度条件Tmax[]计算： d32Tmax321929.118072.4mm

29

GIp

G[]82100.5

故，轴的直径取d78.9mm

3.7 图示某钢板轧机传动简图，传动轴直径d320mm，今用试验方法测得45方向的max89MPa，问传动轴承受的转矩M是多少？

解：由max，则

MWp

d3

16



32389

16

572.6kNm

3.8 空心轴外径D120mm，内径d60mm，受外力偶矩如图。

M1M25kNm，M316kNm，M46kNm。已知材料的G80GPa，

许用切应力[]40MPa，许用单位长度扭转角

[]0.2/m。试校核此轴。 解：最大扭矩Tmax10kNm



校核强度条件：

max

Tmax161610000

31.44MPa[]40MPa 3

Wp1215

校核刚度条件：

max

Tmax321610000180

0.375o/m[]0.2o/m 24

GIp8001215

故，轴的强度满足，但刚度条件不满足。

3.9 传动轴长L510mm，其直径D50mm，当将此轴的一段钻空成内径

d125mm的内腔，而余下的一段钻成d238mm的内腔。设切应力不超过

70MPa。试求：

⑴此轴所能承受的扭转力偶M的许可值；

⑵若要求两段轴长度内的扭转角相等，则两段的长度各为多少？ 解：⑴此轴能承受的扭转力偶M

34

MWmin[]D(10.76)701144.9Nm

16

⑵要使两段轴长度内的扭转角相等，即

4

Tl!l1Ip1Tl210.5 即1.41 4GIp1GIp2l2Ip210.76

故，L1

1.411

510298.4mm，L2510211.6mm 2.412.41

附录I 截面的几何性质

Ⅰ.1、试求图示图形对y轴的静矩Sy，并求形心坐标zC。 解：dAb(z)dz；b(z)2Rz

SyzdA

A

22

2zRzdz

R

22

2

2



R

2Rzd(Rz)R3

3

2

2

zC

SyA



3R/34R

 2

R/23

3

Ⅰ.2 试求图示图形的形心坐标yC和zC。

(a)

解：（a）选择原来坐标

zC

A1z1CA2z2C

A1A2

200010060

20mm22

200100

22

（b）建立坐标如图

AzA2z2C

zC11C

A1A2



20160801003015

48.55mm

2016010030

yC

A1y1CA2y2C

A1A2

20160101003070

39mm

2016010030

(b

)

Ⅰ.3、试求图示图形的Iy、 Iz和Iyz。

2

解：IyzdA

A

h0

b31

dzbh3 h4

同理：

IzydA

A

2

b

h21

y(hy)dyhb3 b12

IyzzydA

A

bhz

h00



1

yzdydzb2h2

8

Ⅰ.4、试求图示图形对形心轴的IyC和 IzC。 解：（a）建立如图坐标

zC

A1z1CA2z2CA3z3C40180(130)2

55.7A1A2A324018024080

IyCIyC1IyC2IyC3

112[40180340180(13055.7)2]240803240801212

4

18818.2864cm

IzCIzC1IzC2IzC3

112[403180401801002]24038023808cm1212

（b）建立如图坐标

zC

A1z1CA2z2CA3z3C80160(140)36060130

18.68mm

A1A2A38016036060100200

IyCIyC1IyC2IyC3

11

16080380160158.682100200320010018.68212121

36060360360(13018.68)211686.6246cm412

IzCIzC1IzC2IzC3



111

360360200100316038027725.33cm4121212

（c）建立坐标如图

zC

A1z1CA2z2C60100(20)

25.3mm 2

A1A26010020

IyCIyC1IyC2

1

601003601005.3212(



64

40420225.32)424cm4

IzCIzC1IzC2



1603100204167cm1264

4

第7章 弯曲应力

4.1、作图示结构的弯矩图和剪力图，并求最大弯矩Mmax和最大剪力FQ,max。（内力方程法）

F

Q

FQ

M

M

FQmaxP；Mmax2Pa FQmax

49211

qa； Mmaxqa 636

2

FQ

4

M

3qa2/4

5

qa2

2

FQmaxqa；Mmax

FQmax

qa

332

qa；Mmaxqa2

44FQ

2

2

M

FQ

M

FQ

4

M

qL

2

FQmaxqL；

5

qa； 4

MmaxqL2

FQmax

Mmax

32

qa

4

qa

Q

6

121211

qa ；Mmaxqa 672

FQmaxqa；Mmaxqa2 FQmax

4.2、作图示结构的弯矩图和剪力图，并求最大弯矩Mmax和最大剪力FSmax。（简

易方法）

q

qa

/2

FQ

M

5qa

/8

FQmax3qa；Mmax5qa2 FQmax

51

qa；Mmaxqa2 28

FQ

P

FQ

M

M

FQmax

12121111

qa；Mmaxqa Mmaxqa2 FQmaxqa ；6672

Q

Q

M

qa

FQmaxqa；

32

qa 4

Mmaxqa2 FQmaxqa； Mmax

qa

/6

Q

M

FQmax

555

qa；Mmaxqa2 FQmaxqa；Mmaxqa2 646

Q

Q

M

qa/2

FQmaxqa；Mmaxqa2 FSmaxqa；Mmaxqa2

4.3、截面为No24工字型的梁，受力如图所示。 ⑴ 试求梁的最大正应力和最大切应力； ⑵ 绘出危险截面上正应力及切应力的分布图。 解：⑴、作内力图如右。

Mmax67.2kNm FSmax168kN

W400cm3

z

max



M

max Wz

67200

168MPa 400

Iz/Sz

20.4cm

F

Smax



FSSmaxz

Izb

分布图

M

168000

82.35MPa

20410

⑵、危险截面在D的左侧。应力分布如图。

4.4、外径为25cm，壁厚为5mm的铸铁管简支梁，跨度为12m，铸铁的容重

17.8g/cm3。若管内装满水（容重21g/cm3）。试求管内的最大正应力。

解：原结构化为满均布力作用的简支梁。其集度为：

cm

q[(252242)7.82421]9.8

44

737N/m

1

Mmax73712213266Nm

8



Wz

D3

32

(1(

244

))231cm3 25

max

Mmax13266

57.4MPa Wz231

4.5、图示一铸铁梁。若[t]30MPa，[c]60MPa，试校核此梁的强度。 解：弯矩图如图。

Mmax4kNm

M



max

2.5kNm

由比较可知B截面由拉应力控制， 而最大C截面也由拉应力控制。

Iz763cm4

B,max

My452100BBt27.3MPa

Iz763MCyCt2.588100

28.8MPa[t] Iz763

M

C,max

因此该梁强度足。

4.6、吊车主梁如图所示。跨度l8m，试问当小车运行到什么位置时，梁内的弯矩最大，并求许用起重荷载。已知

[]100MPa。 PP

解：F1(7.85x)，F2(0.15x)

88P

M1(x)(7.85x)x

8PP

M2(x)(7.85x)(x0.3)0.15

82

1

Wz597cm3

h30cmIz8950cm4

令

dM1(x)dM2(x)

0或0； 得 x3775mm或x3925mm dxdx

P

(2la)20.856P(Nm) 16l

由强度条件

故 Mmax

max

Mmax0.856P

100 6

Wz57910

hD

、圆形、及管形（2）

2）bd

得： P3.88kN

4.7、若梁的[]160MPa，试分别选择矩形（

三种截面，并比较其经济性。 解：弯矩图如图。

Mmax6.25kNm 由强度条件max

Mmax

[]： Wz

5kNm

kNm

1.25kNm

矩形： Wz

h77.6mm

3Mmax23

b，得 b38.8mm； 32[]

园形： Wz



32

d3，得 d32Mmax

73.6mm；

[]

管形： Wz



32

D3(14)，得 D32Mmax

75.2mm； 4

(1)[]

三面积之比： A矩形：A圆形：A管形3010:4254:3331 矩形最优，管形次之，圆形最差。

4.8、圆截面为d140mm的钢梁AB。B点由圆钢杆BC支承，已知d220mm。梁及杆的[]160MPa，试求许用均布荷载q。

39

解：1、约束力 FAyq； FNq

44

2、作AB梁的内力图 3、强度计算 Mq/2

AB梁：maxmax3[]

Wzd1/32得： q

d

3

1

3q/4

[]2.01kN/m

q

16

BC杆：

FN9q/4

2[] A2d2/4

5q/4/2

FQ

M

得： q

d22

9

q/32

[]22.34kN/m

故取q2.01kN/m

4.9、若[]160MPa，[]100MPa，试确定图示梁空心截面壁的厚度t（各边厚度相等）。

解：作内力图

bh3(b2t)(h2t)3

Iz

1212 1

(10b3t18b2t214bt34t4)3

150kN

b(h/2)2(b2t)(h/2t)2

S

22

(2t35bt24b2t)/2

*

z,max

FQ

26.756.7kN

25kNm

M

由max得： 由max得：

Mmaxh

[] Iz2

*

FQ,maxSz,max

Iz2t

[]

4.10、简支梁如图，试求梁的最底层纤维的总伸长。 qlq

解：Mxxx2 （0xl)

22

底层纤维的应力 x

q

Mx3q(lxx)



Wzbh2

2

底层纤维处于单向应力状态

2

l3q(lxx)3q(lxx2)ql3

dx x； l

0EEbh2Ebh22Ebh2

x

4.11、矩形截面简支梁由圆柱形木材刨成。已知P5kN，a1.5m，

[]10MPa ，试确定此矩形截面的比值（使其截面的抗弯截面系数具有最

大值）及所需木柱的最小直径d。

bh21

(bd2b3) 解： Wz66

h

b

2d 3

Pa

由

Wzd

0；得 b；hb

由 max

Mmax6Pa

[] d2Wz

d233

d

9Pa

227mm，取d230mm []

4.12、悬臂梁受力如图a，若假想沿中性层把梁分开成上下两部分：

⑴试求中性层截面上切应力沿x轴的变化规律；（参考图b） ⑵试说明梁被截下部分的由什么力来平衡。

解：（1）、FQ(x)qx； （0xl) 对于矩形截面梁，中性层的切应力 x,max

3qx

 2A2bh3FQ

q

(a

)(b)

被截下部分的由固定端的正应力来平衡

4.13、用钢板加固的木梁如图，若木梁与钢板之间不能相互滑动，钢的

E1210GPa，木的E210GPa，试求木材及钢板中的最大工作正应力。 解：变形几何关系：

y

y



y

物理关系：1E1



，2E2



将钢板宽度变换为：b Mmax7.5kNm yC

E2

b2100mm E1

C

Ay

A

ii

i



100200105521002.5

70mm

10020052100

3

bh13bh22

bh(10570)bh2(702.5)2139cm4 Iz1212

木max

Mmax

y17.28MPa Iz

钢max

MmaxE

y2279.3MPa IzE1

4.14、图示铸铁梁，若h10cm，t2.5cm。欲使得最大拉应力与最大压应力之

1

比为，试确定尺寸b应是多少？

3

y1

解：tmax,t

ycmax,c3

得：yc由yc

3

h7.5cm 4

ii

t

Ay

A

i



b105(b2.5)7.53.75

7.5

10b(b2.5)7.5

解得：b22.5cm

第8章 弯曲刚度

5.1、试用积分法求梁（EI为已知）的：

⑴ 挠曲线方程；

⑵ A截面挠度及B截面的转角；

⑶ 最大挠度和最大转角。

max

7Pa2qa3

(顺时针) (顺时针) maxA6EI6EI

2



1q3qa2

(xx） EI641q4qa3

w(xx）

EI2412

qa45qa4

wA() wA()

24EI24EIqa3qa3

B(顺时针) B(顺时针)

3EI8EIwmaxwx3a/2

1

9qa4

 wmaxwA

128EI

qx

(3x410l2x27l4)。试求： 360EIl

5.2、已知直梁的挠曲线方程为：y(x)⑴ 梁中间截面（x

l

）上的弯矩； 2

⑵ 最大弯矩：

⑶ 分布荷载的变化规律。

q32

(xlx) 解：1）、MEIy6l

dMlql2

0；得 x 2）、由，代入得 Mmax dx9d2Mq

x，即荷载分布规律。 3）、由 qdx2l

5.3、若图示梁（EI为常数）A截面的转角A0，试求比值。 解：在左边力作用下产生 Pbl



6EI

在右边力作用下产生

Pal



3EI

共同作用

PblPal

0 A

6EI3EI

得 a:b1:2

ab

P

5.4、若图示梁（EI为常数）的挠曲线在A截面处出现一拐点（转折点）。试求

M1比值 M1

M2

M2

解：分别作 与 作用下的弯矩图。 A点出现拐点表示该处M0。

则 M

2M1M2

0 33

M11

 M22

1

5.5、图示悬臂梁（EI为常数），截面为矩形，已知[]。试求在满足强度条件下梁的最大挠度。 解：MmaxPl max

M6Pl

max2[] Wzbh

bh2

[] P6l

wmax

Pl3bh2[]2l 3EI18EI

P

作用后未5.6、重量为P的直梁(EI为常数)放置在水平刚性平面上，若受力

提起部分保持与平面密合，试求提起部分的长度a。

解：由于A处的wA0；A0；M

A0 由平衡条件

PPa

MAaa0

3l22

则： al

3