2015年长沙市初中毕业学业水平考试试卷
数 学
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项，本大题共12个小题，每小题3分，共36分） 1、 下列实数中，为无理数的是（ ） A.0.2 B.
1
C. 2
D. －5
2、下列运算中，正确的是（ ）
2234
A 、x ÷x =x B. 、(x 2) 3=x 6 C 、3x -2x =1 D 、 (a -b )=a -b
2
3、2014年，长沙地铁2号线的开通运营，极大地缓解了城市中心的交通压力，为我市再次获评“中国最具幸福感城市”提供了有力支撑，据统计，长沙地铁2号线每天承运力约为185000人次，则数据185000用科学计数法表示为（ ）
A. 1.85⨯105 B. 1.85⨯104 C. 1.8⨯105 D. 18.5⨯104 4、下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ）
5、下列命题中，为真命题的是（ ）
A. 六边形的内角和为360° B. 多边形的外角和与边数有关 C. 矩形的对角线互相垂直 D. 三角形两边的和大于第三边
⎧2+x >06、在数轴上表示不等式组⎨的解集，正确的是（ ）
2x -6≤0⎩
D
A
3
B
3
C
3
3
7、一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋30双，各种尺码的销售量如下表所示，你认为商家更应
A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 8、下列说法中正确的是（ ）
A. “打开电视机，正在播《动物世界》”是必然事件
B. 某种彩票的中奖概率为千分之一，说明每买1000张彩票，一定有一张中奖
C. 抛掷一枚质地均匀的硬币一次，出现正面朝上的概率为三分之一 D. 想了解长沙市所有城镇居民的人均年收入水平，宜采用抽样调查 9、一次函数y =-2x +1的图像不经过（ ）
A 、 第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限 10、如图，过△ABC 的顶点A ，作BC 边上的高，以下作法正确的是（ ） B
C
D
A
11、如图，为测量一颗与地面垂直的树OA 的高度，在距离树的底端30米的B 处，测得树顶A 的仰角∠ABO 为α，则树OA 的高度为（ ）A
A .
30
米 B .30sin α米 C . 30t αa 米n D .30cos α米 tan α
12、长沙红星大市场某种高端品牌的家用电器，若按标价打八折销售该电器一件，则可获纯利润500元，其利润率为20%，现如果按同一标价打九折销售该电器一件，那么获得的纯利润为（ ） A.562.5元 B.875元 C.550元 D.750元 二、填空题
13、一个不透明的袋子中装有3个黑球，2个白球，这些球的形状、大小、质地完全相同，即除颜色外无其他差别，在看不见球的条件下，随机从袋中摸出1个球，则摸出白球的概率是 。 14、圆心角是60°且半径为2的扇形的面积为π）。
+ （结果保留根号） 15。16、分式方程
57
=的解为 x x -2
B
E
17、如图，在△ABC 中，DE||BC,AD:AB=1：3，DE=6，则BC 的长是。 18、如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上的一点，若BC=6， AB=10，OD ⊥BC 于点D ，则OD 的长为。
C
第17题图
A
第18题图
三、解答题
19、计算：⎛1⎫+4cos60o -|-3| ⎪⎝2⎭
-1
20、
21、中华文明，源远流长：中华汉字，寓意深广。为了传承优秀传统文化，某校团委组织了一次全校3000名学生参加的“汉字听写”大赛，赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于50分。为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况，随机抽取了200名学生的成绩（成绩x 取整数，总分100分）作为样本进行整理，得到下列不完整的统计图表：
先化简，再求值：(x +y )(x -y ) -x (x +y ) +2xy ，其中x =(3-π) 0, y =2
频数学生人数
80
[1**********]010
请根据所给的信息，解答下列问题： （1）a , b ;
成绩/分
（2）请补全频数分布直方图；
（3）这次比赛成绩的中位数会落在 分数段； （4）若成绩在90分以上（包括90分）的为“优”等，则该校参加这次比赛的3000名学生中成绩“优”等的大约有多少人？
22、如图，在菱形ABCD 中，AB=2，∠ABC=60°，对角线AC 、BD 相交于点O ，将对角线AC 所在的直线绕点O 顺时针旋转角α（0°
和点F 。
（1）求证：△AOE ≌△COF ； （2）当α=30°时，求线段EF 的长度。
23、现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展，据调查，长沙市某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件。现假定该公司每月的投递总件数的增长率相同：
（1）求该快递公司投递快递总件数的月平均增长率；
（2）如果平均每人每月最多可投递快递0.6万件，那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年6月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？
24、如图，在直角坐标系中，⊙M 经过原点O （0,0），点
A 与点
B 0, ，点D 在劣弧OA 上，连接BD 交x 轴于点C ，且∠COD=∠CBO 。 （1）求⊙M 的半径； （2）求证：BD 平分∠ABO ；
（3）在线段BD 的延长线上找一点E ，使得直线AE 恰为⊙M 的切线，求此时点E 的坐标。
(
24题图
25、在直角坐标系中，我们不妨将横坐标，纵坐标均为整数的点称之为“中国结”。 （1
）求函数y =+2的图像上所有“中国结”的坐标； （2）求函数y =
k
（k ≠0，k 为常数）的图像上有且只有两个“中国结”，试求出常数k 的值与相应x
“中国结”的坐标；
（3）若二次函数y =(k 2-3k +2) x 2+(2k 2-4k +1) x +k 2-k (k 为常数) 的图像与x 轴相交得到两个不同的“中国结”，试问该函数的图像与x 轴所围成的平面图形中（含边界），一共包含有多少个“中国结”？
2
若关于的二次函数y =ax +bx +c (a >0, c >0, a 、b 、c 是常数) 与x 轴交于两个不同的点x 26、
A (x 1,0), B(x 2,0)(0
(1)当x 1=c =2, a =
1
时，求x 2与b 的值； 3
(2)当x 1=2c 时，试问△ABM 能否为等边三角形？判断并证明你的结论；
(3)当x 1=mc (m >0) 时，记△MAB ，△PAB 的面积分别为S1，S2，若△BPO ∽△PAO ，且S1=S2,求m 的值。
第26题图
一、选择题：
二、填空题：
三、解答题：
⎛1⎫
19
、 ⎪+4cos60o -|-3|⎝2⎭
解：原式＝2＋2－3＋3 ＝4
20、(x +y )(x -y ) -x (x +y ) +2xy ，其中x =(3-π) 0, y =2
-1
解：原式＝x 2-y 2-x 2-xy +2xy ＝xy -y 2
当：x =(3-π) 0=1, y =2 原式＝2⨯1-22 ＝-2
21、 （1）
a =0.30⨯200b =30÷200
=60 =0. 15
(2)略
(3) 80≤x
20
⨯3000=1200 80
22、如图，在菱形ABCD 中，AB=2，∠ABC=60°，对角线AC 、BD 相交于点O ，将对角线AC 所在的直线绕点O 顺时针旋转角α（0°
B
和点F 。
(1)求证：△AOE ≌△COF ；
(2)当α=30°时，求线段EF 的长度。 (1)证明：略
(2)解：易知∠CAE=60°，又已知∠A0E=30°
可得：△AEO 为直角三角形，∠A0E=30°∠AE=90°， 并易求AO ＝1 故可求得：OE
＝
，从而求得EF
2
23、现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展，据调查，长沙市某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件。现假定该公司每月的投递总件数的增长率相同：
（1） 求该快递公司投递快递总件数的月平均增长率；
（2）如果平均每人每月最多可投递快递0.6万件，那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年6月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？
（1）这是一个增长率问题：直接套用公式： 解：设月平均增长率为x ，依题意得：
10(1+x ) 2=1.21
解之得：x 1=-2.1 (不合舍去) x 2=0.1
（2）解：计算出6月份的快递总件数：12.1⨯(1+0.1) =13.31
(13.31-0.6⨯21) ÷0.6≈1.18（故需要增加2人）
24、如图，在直角坐标系中，⊙M 经过原点O （0,0），点
A 与点
B 0, ，点D 在劣弧OA 上，连接BD 交x 轴于点C ，且∠COD=∠CBO 。 （1）求⊙M 的半径；
（2）求证：BD 平分∠ABO ；
（3）在线段BD 的延长线上找一点E ，
使得直线AE 恰为⊙M 的切线，求此时点E 的坐标。
解：（1）在Rt △ABO 中，可以求出AB 的长 ∵
A ，
B 0, ∴OA
,OB
∵Rt △ABO ，∠AOB ＝90°，OA
∴AB
＝∴⊙M
（2）∵∠ABD ＝∠AOD ，∠COD=∠CBO
∴∠ABD ＝∠CBO ∴BD 平分∠ABO
（3）作出符合题意的图形如右，过点E 作EN ⊥y 轴于点
∵Rt △ABO 中，,OB ，AB ＝∴∠BAO ＝30°，∠A BO ＝60° ∵BD 平分∠ABO
∴∠C BO ＝∠ABD ＝30° ∵EA 是⊙M 的切线 ∴∠EAB ＝90°
∵Rt △EAB ，∠EAB ＝90°，∠ABD ＝30°，AB ＝∴BE (24题图
(24题图
∵Rt △ENB ，∠ENB ＝90°，∠OBC ＝30°，BE ∴NE BN ＝
∴ON ＝BN －OB
∴点E
25、在直角坐标系中，我们不妨将横坐标，纵坐标均为整数的点称之为“中国结”。 （1
）求函数y =+2的图像上所有“中国结”的坐标； （2）求函数y =
k
（k ≠0，k 为常数）的图像上有且只有两个“中国结”，试求出常数k 的值与相应x
“中国结”的坐标；
（3）若二次函数y =(k 2-3k +2) x 2+(2k 2-4k +1) x +k 2-k (k 为常数) 的图像与x 轴相交得到两个不同的“中国结”，试问该函数的图像与x 轴所围成的平面图形中（含边界），一共包含有多少个“中国结”？
解：（1）根据：有理数＋无理数＝无理数，可知x =0, y =1
(2)∵由题意可知k 一定是整数；则(1,k ),(k ,1),(-1, -k ),(-k , -1) 都是它的中国结坐标 ∴k =±1
∴当k =1时，中国结坐标为(1,1),(-1, -1) 当k =-1时，中国结坐标为(-1,1),(1, -1)
（3）由题可知：(k -3k +2) x +(2k -4k +1) x +k -k =0 即：[(k -2) x -(k -1)]⋅[(k -1) x -k ]=0
2
2
2
2
k -1k
，x 2= k -2k -1k -1k
∴x 1=，x 2=都是整数；
k -2k -1k -11k 1
=1+=1+∴, 是整数， k -2k -2k -1k -111即：，是整数，
k -1k -2
11m -1
1=不妨设：k -1=(m 是整数），则k -2=－
m m
1m ∵整数，故是整数
m -1k -2
所以，m =2
∴x 1=
可以解出：k =
3 2
1213x -x + 424
求出其解析式为：y =-
作出其草图，可以求出中国结坐标了
（－3,0），（－2,0），（－1,0）（－1,1），（0,0），（1,0）
2
若关于的二次函数y =ax +bx +c (a >0, c >0, a 、b 、c 是常数) 与x 轴交于两个不同的点x 26、
A (x 1,0), B(x 2,0)(0
1
(1)当x 1=c =2, a =时，求x 2与b 的值；
3
(2)当x 1=2c 时，试问△ABM 能否为等边三角形？ 判断并证明你的结论；
(3)当x 1=mc (m >0) 时，记△MAB ，△PAB 的面积分别为S1，
若△BPO ∽△PAO ，且S1=S2,求m 的值。 解：（1）由题意可知
第26题图
12
x +bx +2=03
⎧⎧x 2=3⎪x 1=2⎪其中⎪解之得：⎨5 1⎪b =-⎪⎨x 1⋅x 2
=2÷3⎩3⎪
1⎪
x 1+x 2=-b ÷⎪3⎩
c ⎧
⎪x 1⋅x 2=a
(2)解：由题意可得：⎪
b ⎪
⎨x 1+x 2=-③
a ⎪
⎪x 1=2c ⎪⎩
AB=x 2-x 1=
11-4ac -2c = 2a 2a
解之得：x 2=
1b
，x 2=--2c 2a a
b 2-4ac 1-4ac
=⋅代入①得： 4a 22a
即：b 2-4ac -4ac ) ∵4ac =-1-2b
∴b 2-(-1-2b ) =-(-1-2b )]
b 1
-2c = a 2a
整理得：4ac =-1-2b
即：-
若△ABM 为等边三角形，则NM =
AB ① 整理得：b 2+(2-b +1-=0 即：(b +1)(b +1-=0 解得：
（由③可知，不合舍去）
b 2-4ac
MN ＝
4a
由：x 1+x 2=-将x 2=
b 1= a a
1
，x 1=2c 代入上式可得： 2a
2c =
1 2a
故，它不可能是等边三角形。 （3） 11
S ∆PAB =AB ⨯PO , S ∆MAB =AB ⨯MN 22
b 2-4ac c =
4a
S ∆PAB =S ∆MAB ∴MN =PO b 2即：-4ac
∵△ c =BPO ∽△PAO
4a ∴
∴PO B 0
AO =PO
∴PO 2=AO ⨯BO
即：
c 2=x c
1⋅x 2=
a
∴ac =1
∴b 2-4ac =4ac ∴b 2=8ac
=8
∴b 1=-b 2=
不合舍去）
1
c
x 2-+c =0
解此方程两根分别为：x 1=1) c , x 2=1) c
故可得：m =
1
2015年长沙市初中毕业学业水平考试试卷
数 学
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项，本大题共12个小题，每小题3分，共36分） 1、 下列实数中，为无理数的是（ ） A.0.2 B.
1
C. 2
D. －5
2、下列运算中，正确的是（ ）
2234
A 、x ÷x =x B. 、(x 2) 3=x 6 C 、3x -2x =1 D 、 (a -b )=a -b
2
3、2014年，长沙地铁2号线的开通运营，极大地缓解了城市中心的交通压力，为我市再次获评“中国最具幸福感城市”提供了有力支撑，据统计，长沙地铁2号线每天承运力约为185000人次，则数据185000用科学计数法表示为（ ）
A. 1.85⨯105 B. 1.85⨯104 C. 1.8⨯105 D. 18.5⨯104 4、下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ）
5、下列命题中，为真命题的是（ ）
A. 六边形的内角和为360° B. 多边形的外角和与边数有关 C. 矩形的对角线互相垂直 D. 三角形两边的和大于第三边
⎧2+x >06、在数轴上表示不等式组⎨的解集，正确的是（ ）
2x -6≤0⎩
D
A
3
B
3
C
3
3
7、一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋30双，各种尺码的销售量如下表所示，你认为商家更应
A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 8、下列说法中正确的是（ ）
A. “打开电视机，正在播《动物世界》”是必然事件
B. 某种彩票的中奖概率为千分之一，说明每买1000张彩票，一定有一张中奖
C. 抛掷一枚质地均匀的硬币一次，出现正面朝上的概率为三分之一 D. 想了解长沙市所有城镇居民的人均年收入水平，宜采用抽样调查 9、一次函数y =-2x +1的图像不经过（ ）
A 、 第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限 10、如图，过△ABC 的顶点A ，作BC 边上的高，以下作法正确的是（ ） B
C
D
A
11、如图，为测量一颗与地面垂直的树OA 的高度，在距离树的底端30米的B 处，测得树顶A 的仰角∠ABO 为α，则树OA 的高度为（ ）A
A .
30
米 B .30sin α米 C . 30t αa 米n D .30cos α米 tan α
12、长沙红星大市场某种高端品牌的家用电器，若按标价打八折销售该电器一件，则可获纯利润500元，其利润率为20%，现如果按同一标价打九折销售该电器一件，那么获得的纯利润为（ ） A.562.5元 B.875元 C.550元 D.750元 二、填空题
13、一个不透明的袋子中装有3个黑球，2个白球，这些球的形状、大小、质地完全相同，即除颜色外无其他差别，在看不见球的条件下，随机从袋中摸出1个球，则摸出白球的概率是 。 14、圆心角是60°且半径为2的扇形的面积为π）。
+ （结果保留根号） 15。16、分式方程
57
=的解为 x x -2
B
E
17、如图，在△ABC 中，DE||BC,AD:AB=1：3，DE=6，则BC 的长是。 18、如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上的一点，若BC=6， AB=10，OD ⊥BC 于点D ，则OD 的长为。
C
第17题图
A
第18题图
三、解答题
19、计算：⎛1⎫+4cos60o -|-3| ⎪⎝2⎭
-1
20、
21、中华文明，源远流长：中华汉字，寓意深广。为了传承优秀传统文化，某校团委组织了一次全校3000名学生参加的“汉字听写”大赛，赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于50分。为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况，随机抽取了200名学生的成绩（成绩x 取整数，总分100分）作为样本进行整理，得到下列不完整的统计图表：
先化简，再求值：(x +y )(x -y ) -x (x +y ) +2xy ，其中x =(3-π) 0, y =2
频数学生人数
80
[1**********]010
请根据所给的信息，解答下列问题： （1）a , b ;
成绩/分
（2）请补全频数分布直方图；
（3）这次比赛成绩的中位数会落在 分数段； （4）若成绩在90分以上（包括90分）的为“优”等，则该校参加这次比赛的3000名学生中成绩“优”等的大约有多少人？
22、如图，在菱形ABCD 中，AB=2，∠ABC=60°，对角线AC 、BD 相交于点O ，将对角线AC 所在的直线绕点O 顺时针旋转角α（0°
和点F 。
（1）求证：△AOE ≌△COF ； （2）当α=30°时，求线段EF 的长度。
23、现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展，据调查，长沙市某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件。现假定该公司每月的投递总件数的增长率相同：
（1）求该快递公司投递快递总件数的月平均增长率；
（2）如果平均每人每月最多可投递快递0.6万件，那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年6月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？
24、如图，在直角坐标系中，⊙M 经过原点O （0,0），点
A 与点
B 0, ，点D 在劣弧OA 上，连接BD 交x 轴于点C ，且∠COD=∠CBO 。 （1）求⊙M 的半径； （2）求证：BD 平分∠ABO ；
（3）在线段BD 的延长线上找一点E ，使得直线AE 恰为⊙M 的切线，求此时点E 的坐标。
(
24题图
25、在直角坐标系中，我们不妨将横坐标，纵坐标均为整数的点称之为“中国结”。 （1
）求函数y =+2的图像上所有“中国结”的坐标； （2）求函数y =
k
（k ≠0，k 为常数）的图像上有且只有两个“中国结”，试求出常数k 的值与相应x
“中国结”的坐标；
（3）若二次函数y =(k 2-3k +2) x 2+(2k 2-4k +1) x +k 2-k (k 为常数) 的图像与x 轴相交得到两个不同的“中国结”，试问该函数的图像与x 轴所围成的平面图形中（含边界），一共包含有多少个“中国结”？
2
若关于的二次函数y =ax +bx +c (a >0, c >0, a 、b 、c 是常数) 与x 轴交于两个不同的点x 26、
A (x 1,0), B(x 2,0)(0
(1)当x 1=c =2, a =
1
时，求x 2与b 的值； 3
(2)当x 1=2c 时，试问△ABM 能否为等边三角形？判断并证明你的结论；
(3)当x 1=mc (m >0) 时，记△MAB ，△PAB 的面积分别为S1，S2，若△BPO ∽△PAO ，且S1=S2,求m 的值。
第26题图
一、选择题：
二、填空题：
三、解答题：
⎛1⎫
19
、 ⎪+4cos60o -|-3|⎝2⎭
解：原式＝2＋2－3＋3 ＝4
20、(x +y )(x -y ) -x (x +y ) +2xy ，其中x =(3-π) 0, y =2
-1
解：原式＝x 2-y 2-x 2-xy +2xy ＝xy -y 2
当：x =(3-π) 0=1, y =2 原式＝2⨯1-22 ＝-2
21、 （1）
a =0.30⨯200b =30÷200
=60 =0. 15
(2)略
(3) 80≤x
20
⨯3000=1200 80
22、如图，在菱形ABCD 中，AB=2，∠ABC=60°，对角线AC 、BD 相交于点O ，将对角线AC 所在的直线绕点O 顺时针旋转角α（0°
B
和点F 。
(1)求证：△AOE ≌△COF ；
(2)当α=30°时，求线段EF 的长度。 (1)证明：略
(2)解：易知∠CAE=60°，又已知∠A0E=30°
可得：△AEO 为直角三角形，∠A0E=30°∠AE=90°， 并易求AO ＝1 故可求得：OE
＝
，从而求得EF
2
23、现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展，据调查，长沙市某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件。现假定该公司每月的投递总件数的增长率相同：
（1） 求该快递公司投递快递总件数的月平均增长率；
（2）如果平均每人每月最多可投递快递0.6万件，那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年6月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？
（1）这是一个增长率问题：直接套用公式： 解：设月平均增长率为x ，依题意得：
10(1+x ) 2=1.21
解之得：x 1=-2.1 (不合舍去) x 2=0.1
（2）解：计算出6月份的快递总件数：12.1⨯(1+0.1) =13.31
(13.31-0.6⨯21) ÷0.6≈1.18（故需要增加2人）
24、如图，在直角坐标系中，⊙M 经过原点O （0,0），点
A 与点
B 0, ，点D 在劣弧OA 上，连接BD 交x 轴于点C ，且∠COD=∠CBO 。 （1）求⊙M 的半径；
（2）求证：BD 平分∠ABO ；
（3）在线段BD 的延长线上找一点E ，
使得直线AE 恰为⊙M 的切线，求此时点E 的坐标。
解：（1）在Rt △ABO 中，可以求出AB 的长 ∵
A ，
B 0, ∴OA
,OB
∵Rt △ABO ，∠AOB ＝90°，OA
∴AB
＝∴⊙M
（2）∵∠ABD ＝∠AOD ，∠COD=∠CBO
∴∠ABD ＝∠CBO ∴BD 平分∠ABO
（3）作出符合题意的图形如右，过点E 作EN ⊥y 轴于点
∵Rt △ABO 中，,OB ，AB ＝∴∠BAO ＝30°，∠A BO ＝60° ∵BD 平分∠ABO
∴∠C BO ＝∠ABD ＝30° ∵EA 是⊙M 的切线 ∴∠EAB ＝90°
∵Rt △EAB ，∠EAB ＝90°，∠ABD ＝30°，AB ＝∴BE (24题图
(24题图
∵Rt △ENB ，∠ENB ＝90°，∠OBC ＝30°，BE ∴NE BN ＝
∴ON ＝BN －OB
∴点E
25、在直角坐标系中，我们不妨将横坐标，纵坐标均为整数的点称之为“中国结”。 （1
）求函数y =+2的图像上所有“中国结”的坐标； （2）求函数y =
k
（k ≠0，k 为常数）的图像上有且只有两个“中国结”，试求出常数k 的值与相应x
“中国结”的坐标；
（3）若二次函数y =(k 2-3k +2) x 2+(2k 2-4k +1) x +k 2-k (k 为常数) 的图像与x 轴相交得到两个不同的“中国结”，试问该函数的图像与x 轴所围成的平面图形中（含边界），一共包含有多少个“中国结”？
解：（1）根据：有理数＋无理数＝无理数，可知x =0, y =1
(2)∵由题意可知k 一定是整数；则(1,k ),(k ,1),(-1, -k ),(-k , -1) 都是它的中国结坐标 ∴k =±1
∴当k =1时，中国结坐标为(1,1),(-1, -1) 当k =-1时，中国结坐标为(-1,1),(1, -1)
（3）由题可知：(k -3k +2) x +(2k -4k +1) x +k -k =0 即：[(k -2) x -(k -1)]⋅[(k -1) x -k ]=0
2
2
2
2
k -1k
，x 2= k -2k -1k -1k
∴x 1=，x 2=都是整数；
k -2k -1k -11k 1
=1+=1+∴, 是整数， k -2k -2k -1k -111即：，是整数，
k -1k -2
11m -1
1=不妨设：k -1=(m 是整数），则k -2=－
m m
1m ∵整数，故是整数
m -1k -2
所以，m =2
∴x 1=
可以解出：k =
3 2
1213x -x + 424
求出其解析式为：y =-
作出其草图，可以求出中国结坐标了
（－3,0），（－2,0），（－1,0）（－1,1），（0,0），（1,0）
2
若关于的二次函数y =ax +bx +c (a >0, c >0, a 、b 、c 是常数) 与x 轴交于两个不同的点x 26、
A (x 1,0), B(x 2,0)(0
1
(1)当x 1=c =2, a =时，求x 2与b 的值；
3
(2)当x 1=2c 时，试问△ABM 能否为等边三角形？ 判断并证明你的结论；
(3)当x 1=mc (m >0) 时，记△MAB ，△PAB 的面积分别为S1，
若△BPO ∽△PAO ，且S1=S2,求m 的值。 解：（1）由题意可知
第26题图
12
x +bx +2=03
⎧⎧x 2=3⎪x 1=2⎪其中⎪解之得：⎨5 1⎪b =-⎪⎨x 1⋅x 2
=2÷3⎩3⎪
1⎪
x 1+x 2=-b ÷⎪3⎩
c ⎧
⎪x 1⋅x 2=a
(2)解：由题意可得：⎪
b ⎪
⎨x 1+x 2=-③
a ⎪
⎪x 1=2c ⎪⎩
AB=x 2-x 1=
11-4ac -2c = 2a 2a
解之得：x 2=
1b
，x 2=--2c 2a a
b 2-4ac 1-4ac
=⋅代入①得： 4a 22a
即：b 2-4ac -4ac ) ∵4ac =-1-2b
∴b 2-(-1-2b ) =-(-1-2b )]
b 1
-2c = a 2a
整理得：4ac =-1-2b
即：-
若△ABM 为等边三角形，则NM =
AB ① 整理得：b 2+(2-b +1-=0 即：(b +1)(b +1-=0 解得：
（由③可知，不合舍去）
b 2-4ac
MN ＝
4a
由：x 1+x 2=-将x 2=
b 1= a a
1
，x 1=2c 代入上式可得： 2a
2c =
1 2a
故，它不可能是等边三角形。 （3） 11
S ∆PAB =AB ⨯PO , S ∆MAB =AB ⨯MN 22
b 2-4ac c =
4a
S ∆PAB =S ∆MAB ∴MN =PO b 2即：-4ac
∵△ c =BPO ∽△PAO
4a ∴
∴PO B 0
AO =PO
∴PO 2=AO ⨯BO
即：
c 2=x c
1⋅x 2=
a
∴ac =1
∴b 2-4ac =4ac ∴b 2=8ac
=8
∴b 1=-b 2=
不合舍去）
1
c
x 2-+c =0
解此方程两根分别为：x 1=1) c , x 2=1) c
故可得：m =
1