离心率的五种求法
离心率是圆锥曲线中的一个重要的几何性质，在高考中频繁出现. 椭圆的离心率01，抛物线的离心率e=1． 直接求出a,c，求解e 一、
已知标准方程或a,c易求时，可利用离心率公式e=c来求解。
a
y2
例1. 过双曲线C：x-2=1(b>0)的左顶点A作斜率为1的直线l，若l与双曲线M的
b
两条渐近线分别相交于点B、C，且|AB|=|BC|，则双曲线M的离心率是（ ）
2
A. B. 5 C.
D.
23
分析：这里的a=1,c=b2，即可利用定义求解。
解：易知A（-1，0），则直线l的方程为y=x+1。直线与两条渐近线y=-bx和y=bx的交点分别为B(-
1b1b
,)、C(,)，又|AB|=|BC|，可解得b2=9，则b+1b+1b-1b-1
c=故有e=
c
=，从而选A。
a
二、变用公式e=c=双曲线
)，e=c=椭圆)，整体求出e
aa22
4xy例2. 已知双曲线的一条渐近线方程为y=x，则双曲线-=1(a>0,b>0)
a2b23
的离心率为（ ） A.
54
B. 33
C.
5
4
D.
3 2
分析：本题已知b=
a
4
，不能直接求出a、c，可用整体代入套用公式。 3
4
解：因为双曲线的一条渐近线方程为y=x，所以 b=
4，则
3a3
e=
c5
==，从而选A。 a3
x2y2
1.设双曲线2-2=1（a＞0,b＞0）的渐近线与抛物线y=x2+1相切，则该双曲线的
ab
离心率等于( C )
1
bxx2y2
解：由题双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为y=，代入抛物线方
aab
2
b程整理得ax-bx+a=0，因渐近线与抛物线相切，所以b-4a=0，即=4a2
222
∴e===x2y2
2.过双曲线2-2=1(a>0,b>0)的右顶点A作斜率为-1的直线，该直线与双曲线的
ab
uuruuur
两条渐近线的交点分别为B,C．若AB=1BC，则双曲线的离心率是 ( )
2
A
B
答案：C
【解析】对于A(a,0)，则直线方程为x+y-a=0，直线与两渐近线的交点为B，C，
⎛abab⎫⎛a22a2b2a2b ab⎫a2ab
,B ,,-)，BC=(22,-22),AB= -⎪,C(⎪，
a-ba-ba-ba-b⎝a+ba+b⎭⎝a+ba+b⎭
uuruuur2
22b因此 2AB=BC,∴4a=b，即2=4，∴e===ax2y2
3.过椭圆2+2=1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，
ab
若∠F1PF2=60，则椭圆的离心率为( )
A11． D．
232b23b2 b=2a,即=2从而可得【解析】因为P(-c,±)，再由∠F1PF2=60有
aaa23
，故选B
∴e===
3
2
三、构造a、c的齐次式，解出e
根据题设条件，借助a、b、c之间的关系，构造a、c的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e的一元方程，从而解得离心率e。
x2y2
例3.已知椭圆2+2=1(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且
ab
uuruur
BF⊥x轴， 直线AB交y轴于点P．若AP=2PB，则椭圆的离心率是（ ）
11． C． D．
322
A
uuruur1
【解析】对于椭圆，因为AP=2PB，则OA=2OF,∴a=2c,∴e=
2
x2y2
1.设F1和F2为双曲线2-2=1(a>0,b>0)的两个焦点, 若F1，F2，P(0,2b)是正
ab
三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为( ) A．
35
B．2 C． D．3 22
【解析】由tan
π
6
=
cc2222
有3c=4b=4(c-a),则e==2,故选B. =
a2b2.双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为F1、F2，∠F1MF2=1200，则双曲线的离心率为（ ）
A
B
6 C D
323
解：如图所示，不妨设M(0,b)，F1(-c,0)，
F2(c,0)，则
MF1=MF2=c2+b2，又F1F2=2c，
在∆F1MF2中， 由余弦定理，得cos∠F1MF2=
MF1+MF2-F1F2
2MF1⋅MF2
222
,
b2-c211c2+b2+c2+b2-4c2
=-即-=，∴， 2222
2b+c22c+b
(
)(
)
-a2136222
e==-3a=2c∵b=c-a，∴2，∴，∴，∴，故选B e=
2222c-a2
2
2
2
3.设△ABC是等腰三角形，∠ABC=120，则以A，B为焦点且过点C的双曲线的离
心率为（ B ）
3
A．
1+2
2
B．
1+ 2
C． 1+2
D．1+
4.设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B,如果直线FB与该双曲线的一条渐近
线垂直，那么此双曲线的离心率为( )
x2y2
解析：选D.不妨设双曲线的焦点在x轴上，设其方程为：2-2=1(a>0,b>0)，
ab
则一个焦点为F(c,0),B(0,b)
一条渐近线斜率为：
bbbb
，直线FB的斜率为：-，∴⋅(-)=-1，∴b2=ac acac
c2-a2-ac=0，解得
e=
c=
a5.设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若∆F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ D ）
A.
2
2
B.
2-1
2
C. 2-
D.
-1
b2
PF2==2c⇒a2-c2=2ac解：由 a
化为齐次式e2+2e-1=0⇒e=
1
x2y2
6.双曲线2-2=1(a
>0,b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，过F1作倾斜角为30的
ab
直线交双曲线右支于
M点，若MF2垂直于x轴，则双曲线的离心率为（ B ）
A
B
C
D．
3
x2y2
7.设F1，F2分别是双曲线2-2的左、右焦点，若双曲线上存在点A，∠F1AF2=90ab且AF1=3AF2，则双曲线的离心率为（ B ）
A B 4
C
D
ìAF1-AF2=2AF2=2aïï解í?a222ïïî(AF1)+(AF2)=(2c)
?e2
x2y2
8．如图，F1和F2分别是双曲线2-2=1（a>0,b>0）的两个焦点，A和B是
ab
以O为圆心，以OF1 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且∆F2AB是等边
三角形，则双曲线的离心率为（ ） A
B
C
2
D +1
6.解析：连接AF1，∠AF2F1=30°，|AF1|=c，|AF2|=3c，∴ 2a=1)c， 双曲线的离心率为
1+3，选D。
x2y2
9. 设F1、F2分别是椭圆2+2=1（a>b>0）的左、右焦点，P是其右准线上纵
ab
坐标为（c为半焦距）的点，且F1F2=F2P，则椭圆的离心率是（ ）
A
13-1-12
B C D
2222
x2y2
10.设双曲线2-2=1（0
ab
3
知原点到直线的距离为c，则双曲线的离心率为( )
4
A. 2 B. C. D.
23
3
解：由已知，直线L的方程为bx+ay-ab=0，由点到直线的距离公式，得
aba2+b2
=
c， 4
又c2=a2+b2, ∴4ab=3c2,两边平方，得16a2c2-a2=3c4，整理得
()
3e4-16e2+16=0，
c2a2+b2b2422
=1+>2e=4，得e=4或e=，又0
3aaa
∴e=2，故选A
2
2
x2y2
11.知F1、F2是双曲线2-2=1（a>0,b>0）的两焦点，以线段F1F2为边作正三角
ab
形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ）
5
A. 4+2 B. 3-1 C. 解：如图，设MF1的中点为P
，
3+1
D. 3+1 2
cc
Q∠OF1P=600,PF1=c,∴xP=-,yP=即P(-2222c3c把P点坐标代人双曲线方程，有-2=1， 24a4b
化简得e4-8e2+4=0
解得e=1e=，故选D 四、第二定义法
由圆锥曲线的统一定义（或称第二定义）知离心率e是动点到焦点的距离与相应准线的距离比，特别适用于条件含有焦半径的圆锥曲线问题。
x2y2
例4：设椭圆2-2=1（a>0,b>0）的右焦点为F1，右准线为l1，若过F1且垂直
ab
于x轴的弦的长等于点F1到l1的距离，则椭圆的离心率是解：如图所示，AB是过F1且垂直于x轴的弦，
∵AD⊥l1于D，∴为F1到准线l1的距离，根据椭圆的第二定义，
1ABAF11
e===
ADAD2
1．在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为（ ）
122
C D
224
AF2222
解：e= ==
AD12
A 2 B
2．在给定双曲线中，过焦点垂直于实轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为则该双曲线的离心率为（ ） A
1
，2
2
B 2 C D 2 2
五、构建关于e的不等式，求e的取值范围
6
x2y2
1．已知双曲线2-2=1（a>0,b>0）的右焦点为F，若过点F且倾斜角为600
ab
的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ） A [1,2] B (1,2) C [2,+∞) D (2,+∞)
x2y2
2．椭圆2+2=1（a>b>0）的焦点为F1、F2，两条准线与x轴的交点分别为
ab
M、N，若MN≤2F1F2，则该椭圆离心率的取值范围是（ ）
A． 0,⎥
2
⎛⎝
1⎤⎦
B． 0,
⎛ ⎝2⎤⎥ 2⎦
C．⎢,1⎪
⎡1⎫⎣2⎭
D．⎢
⎡2⎫
,1⎪ ⎪⎣2⎭
x2y2
1.双曲线2-2=1(a>0,b>0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60o的直线与双
ab
b
曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率，
a
c2a2+b2b2
≥4，∴ e≥2，选C ∴
≥，离心率e=2=2
aaax2y2
2.椭圆2+2=1(a>b>0)的焦点为F1，F2，两条准线与x轴的交点分别为
ab
a2a2
M，N，若|MN|=2，|F1F2|=2c，MN≤2F1F2，则≤2c，该椭圆离心率
cc
2e≥，选D
2
M总在椭圆内部，则椭圆3.已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足MF1⋅MF2=0的点
离心率的取值范围是（C）
A．(0,1) B．(0,] C．(0,
1
2 D． 22
M总在椭圆内部，所以c
x2y2
4.设a>1，则双曲线2-=1的离心率e的取值范围是（ B ）
a(a+1)2
A．
7
B． C．(2，5) D．(2
离心率的五种求法
离心率是圆锥曲线中的一个重要的几何性质，在高考中频繁出现. 椭圆的离心率01，抛物线的离心率e=1． 直接求出a,c，求解e 一、
已知标准方程或a,c易求时，可利用离心率公式e=c来求解。
a
y2
例1. 过双曲线C：x-2=1(b>0)的左顶点A作斜率为1的直线l，若l与双曲线M的
b
两条渐近线分别相交于点B、C，且|AB|=|BC|，则双曲线M的离心率是（ ）
2
A. B. 5 C.
D.
23
分析：这里的a=1,c=b2，即可利用定义求解。
解：易知A（-1，0），则直线l的方程为y=x+1。直线与两条渐近线y=-bx和y=bx的交点分别为B(-
1b1b
,)、C(,)，又|AB|=|BC|，可解得b2=9，则b+1b+1b-1b-1
c=故有e=
c
=，从而选A。
a
二、变用公式e=c=双曲线
)，e=c=椭圆)，整体求出e
aa22
4xy例2. 已知双曲线的一条渐近线方程为y=x，则双曲线-=1(a>0,b>0)
a2b23
的离心率为（ ） A.
54
B. 33
C.
5
4
D.
3 2
分析：本题已知b=
a
4
，不能直接求出a、c，可用整体代入套用公式。 3
4
解：因为双曲线的一条渐近线方程为y=x，所以 b=
4，则
3a3
e=
c5
==，从而选A。 a3
x2y2
1.设双曲线2-2=1（a＞0,b＞0）的渐近线与抛物线y=x2+1相切，则该双曲线的
ab
离心率等于( C )
1
bxx2y2
解：由题双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为y=，代入抛物线方
aab
2
b程整理得ax-bx+a=0，因渐近线与抛物线相切，所以b-4a=0，即=4a2
222
∴e===x2y2
2.过双曲线2-2=1(a>0,b>0)的右顶点A作斜率为-1的直线，该直线与双曲线的
ab
uuruuur
两条渐近线的交点分别为B,C．若AB=1BC，则双曲线的离心率是 ( )
2
A
B
答案：C
【解析】对于A(a,0)，则直线方程为x+y-a=0，直线与两渐近线的交点为B，C，
⎛abab⎫⎛a22a2b2a2b ab⎫a2ab
,B ,,-)，BC=(22,-22),AB= -⎪,C(⎪，
a-ba-ba-ba-b⎝a+ba+b⎭⎝a+ba+b⎭
uuruuur2
22b因此 2AB=BC,∴4a=b，即2=4，∴e===ax2y2
3.过椭圆2+2=1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，
ab
若∠F1PF2=60，则椭圆的离心率为( )
A11． D．
232b23b2 b=2a,即=2从而可得【解析】因为P(-c,±)，再由∠F1PF2=60有
aaa23
，故选B
∴e===
3
2
三、构造a、c的齐次式，解出e
根据题设条件，借助a、b、c之间的关系，构造a、c的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e的一元方程，从而解得离心率e。
x2y2
例3.已知椭圆2+2=1(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且
ab
uuruur
BF⊥x轴， 直线AB交y轴于点P．若AP=2PB，则椭圆的离心率是（ ）
11． C． D．
322
A
uuruur1
【解析】对于椭圆，因为AP=2PB，则OA=2OF,∴a=2c,∴e=
2
x2y2
1.设F1和F2为双曲线2-2=1(a>0,b>0)的两个焦点, 若F1，F2，P(0,2b)是正
ab
三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为( ) A．
35
B．2 C． D．3 22
【解析】由tan
π
6
=
cc2222
有3c=4b=4(c-a),则e==2,故选B. =
a2b2.双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为F1、F2，∠F1MF2=1200，则双曲线的离心率为（ ）
A
B
6 C D
323
解：如图所示，不妨设M(0,b)，F1(-c,0)，
F2(c,0)，则
MF1=MF2=c2+b2，又F1F2=2c，
在∆F1MF2中， 由余弦定理，得cos∠F1MF2=
MF1+MF2-F1F2
2MF1⋅MF2
222
,
b2-c211c2+b2+c2+b2-4c2
=-即-=，∴， 2222
2b+c22c+b
(
)(
)
-a2136222
e==-3a=2c∵b=c-a，∴2，∴，∴，∴，故选B e=
2222c-a2
2
2
2
3.设△ABC是等腰三角形，∠ABC=120，则以A，B为焦点且过点C的双曲线的离
心率为（ B ）
3
A．
1+2
2
B．
1+ 2
C． 1+2
D．1+
4.设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B,如果直线FB与该双曲线的一条渐近
线垂直，那么此双曲线的离心率为( )
x2y2
解析：选D.不妨设双曲线的焦点在x轴上，设其方程为：2-2=1(a>0,b>0)，
ab
则一个焦点为F(c,0),B(0,b)
一条渐近线斜率为：
bbbb
，直线FB的斜率为：-，∴⋅(-)=-1，∴b2=ac acac
c2-a2-ac=0，解得
e=
c=
a5.设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若∆F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ D ）
A.
2
2
B.
2-1
2
C. 2-
D.
-1
b2
PF2==2c⇒a2-c2=2ac解：由 a
化为齐次式e2+2e-1=0⇒e=
1
x2y2
6.双曲线2-2=1(a
>0,b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，过F1作倾斜角为30的
ab
直线交双曲线右支于
M点，若MF2垂直于x轴，则双曲线的离心率为（ B ）
A
B
C
D．
3
x2y2
7.设F1，F2分别是双曲线2-2的左、右焦点，若双曲线上存在点A，∠F1AF2=90ab且AF1=3AF2，则双曲线的离心率为（ B ）
A B 4
C
D
ìAF1-AF2=2AF2=2aïï解í?a222ïïî(AF1)+(AF2)=(2c)
?e2
x2y2
8．如图，F1和F2分别是双曲线2-2=1（a>0,b>0）的两个焦点，A和B是
ab
以O为圆心，以OF1 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且∆F2AB是等边
三角形，则双曲线的离心率为（ ） A
B
C
2
D +1
6.解析：连接AF1，∠AF2F1=30°，|AF1|=c，|AF2|=3c，∴ 2a=1)c， 双曲线的离心率为
1+3，选D。
x2y2
9. 设F1、F2分别是椭圆2+2=1（a>b>0）的左、右焦点，P是其右准线上纵
ab
坐标为（c为半焦距）的点，且F1F2=F2P，则椭圆的离心率是（ ）
A
13-1-12
B C D
2222
x2y2
10.设双曲线2-2=1（0
ab
3
知原点到直线的距离为c，则双曲线的离心率为( )
4
A. 2 B. C. D.
23
3
解：由已知，直线L的方程为bx+ay-ab=0，由点到直线的距离公式，得
aba2+b2
=
c， 4
又c2=a2+b2, ∴4ab=3c2,两边平方，得16a2c2-a2=3c4，整理得
()
3e4-16e2+16=0，
c2a2+b2b2422
=1+>2e=4，得e=4或e=，又0
3aaa
∴e=2，故选A
2
2
x2y2
11.知F1、F2是双曲线2-2=1（a>0,b>0）的两焦点，以线段F1F2为边作正三角
ab
形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ）
5
A. 4+2 B. 3-1 C. 解：如图，设MF1的中点为P
，
3+1
D. 3+1 2
cc
Q∠OF1P=600,PF1=c,∴xP=-,yP=即P(-2222c3c把P点坐标代人双曲线方程，有-2=1， 24a4b
化简得e4-8e2+4=0
解得e=1e=，故选D 四、第二定义法
由圆锥曲线的统一定义（或称第二定义）知离心率e是动点到焦点的距离与相应准线的距离比，特别适用于条件含有焦半径的圆锥曲线问题。
x2y2
例4：设椭圆2-2=1（a>0,b>0）的右焦点为F1，右准线为l1，若过F1且垂直
ab
于x轴的弦的长等于点F1到l1的距离，则椭圆的离心率是解：如图所示，AB是过F1且垂直于x轴的弦，
∵AD⊥l1于D，∴为F1到准线l1的距离，根据椭圆的第二定义，
1ABAF11
e===
ADAD2
1．在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为（ ）
122
C D
224
AF2222
解：e= ==
AD12
A 2 B
2．在给定双曲线中，过焦点垂直于实轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为则该双曲线的离心率为（ ） A
1
，2
2
B 2 C D 2 2
五、构建关于e的不等式，求e的取值范围
6
x2y2
1．已知双曲线2-2=1（a>0,b>0）的右焦点为F，若过点F且倾斜角为600
ab
的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ） A [1,2] B (1,2) C [2,+∞) D (2,+∞)
x2y2
2．椭圆2+2=1（a>b>0）的焦点为F1、F2，两条准线与x轴的交点分别为
ab
M、N，若MN≤2F1F2，则该椭圆离心率的取值范围是（ ）
A． 0,⎥
2
⎛⎝
1⎤⎦
B． 0,
⎛ ⎝2⎤⎥ 2⎦
C．⎢,1⎪
⎡1⎫⎣2⎭
D．⎢
⎡2⎫
,1⎪ ⎪⎣2⎭
x2y2
1.双曲线2-2=1(a>0,b>0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60o的直线与双
ab
b
曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率，
a
c2a2+b2b2
≥4，∴ e≥2，选C ∴
≥，离心率e=2=2
aaax2y2
2.椭圆2+2=1(a>b>0)的焦点为F1，F2，两条准线与x轴的交点分别为
ab
a2a2
M，N，若|MN|=2，|F1F2|=2c，MN≤2F1F2，则≤2c，该椭圆离心率
cc
2e≥，选D
2
M总在椭圆内部，则椭圆3.已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足MF1⋅MF2=0的点
离心率的取值范围是（C）
A．(0,1) B．(0,] C．(0,
1
2 D． 22
M总在椭圆内部，所以c
x2y2
4.设a>1，则双曲线2-=1的离心率e的取值范围是（ B ）
a(a+1)2
A．
7
B． C．(2，5) D．(2