函数的傅里叶展开
一、内容精要 （一） 基本概念
1.函数的傅里叶展开
标准区间[-l,l]上的三角函数系：
1,cos
πx
l
,sin
πx
l
,cos
2πx2πxnπxnπx
,sin, ,cos,sin, 具正交性。即成立：不同两个函数乘积llll
在[-l,l]上的积分为零，而自身平方在[-l,l]上的积分不为零. （二）重要定理与公式 定理7.12
（狄利克雷（Dirichlet）定理）如果f(x)是以T=2l为周期的周期函数，而
且f(x)在[-l,l]上分段光滑，那么f(x)的Fourier级数在任意点x处都收敛，并且收敛于f(x)在该点左、右极限的平均值，即
a0∞nπxnπxf(x-0)+f(x+0)
+∑(ancos+bnsin)=s(x)=,x∈(-∞,+∞), 2n=1ll2
其中an=
1lnπx1lnπx
f(x)cosdx,n=0,1,2, ;b=f(x)sin,n=1,2,3, . n⎰⎰-l-lllll
1．将周期T=2l且知道一个周期区间[-l,l]上表达式f(x)展成傅氏级数的步骤： （1）确定f(x)的周期T=2l；
1l1lnπx
f(x)dx,a=f(x)cosdx,n=1,2,3, n⎰⎰-l-llll1lnπx
dx,n=1,2,3, . 称为f(x)的傅里叶系数， bn=⎰f(x)sin
-lll
nπx
若f(x)为偶函数，由f(x)sin为奇函数，则bn=0,n=1,2, ,若f(x)为奇函数，知
l
nπx
f(x)cos为奇函数，则a0=0,an=0,n=1,2, ；
l
（2）计算 a0=
a0∞nπxnπx
（3）写出f(x)的傅里叶级数，+∑(ancos+bnsin);
2n=1ll
（4）
x∈(-∞,+∞),f(x)在x处连续⎧f(x),
a0∞nπxnπx⎪+∑(ancos+bnsin)=s(x)=⎨f(x-0)+f(x+0)2n=1ll,x∈(-∞,+∞),f(x)在x处不连续⎪2⎩
·293·
特别在x=±l+2kl处(k∈z)，傅氏级数和为注：s(x)是 周期函数，周期T=2l.
2．将定义[-l,l]上的函数f(x)展成傅里叶级数的步骤：
f(-l+0)+f(l-0)
.
2
1l1lnπx
dx,n=1,2,3, , （1）计算a0=⎰f(x)dx , an=⎰f(x)cos
l-ll-ll1lnπx
dx,n=1,2,3, . bn=⎰f(x)sin
-lll
同样，若f(x)为奇函数知a0=0,an=0,n=1,2,3, 若f(x)为偶函数，知bn=0,n=1,2,3, ；
（2）傅氏级数
⎧f(x),x∈(-l,l),且f(x)连续,
a0∞nπxnπx⎪
+∑(ancos+bnsin)=s(x)=⎨f(x-0)+f(x+0)
2n=1llx∈(-l,l)且f(x)不连续⎪2⎩
在x=±l处，傅氏级数的和为s(±l)=
f(-l+0)+f(l-0)
2
注：1.傅氏级数在某点收敛，与f(x)在该点是否有定义没关系. 2.s(x)是 周期函数，周期T=2l.
当x∈(2kl-l,2kl+l)时，x-2kl∈(-l,l)，则
s(x)=s(x-2kl)=
f(x-2kl-0)+f(x-2kl+0)f(-l+0)+f(l-0)
，s(2kl±l)=.
22
3．将定义在(0,l)上的函数展成正弦级数的步骤： （1）计算bn=
2ιnπx
f(x)sindx,n=1,2,3, , 而an=0,n=0,1,2,3, ； ⎰0ll
∞
x∈(0,l)且f(x)连续，⎧f(x)，
nπx⎪
（2）正弦级数∑bnsin =⎨f(x-0)+f(x+0)
l,x∈(0,l),且f(x)不连续。n=1⎪2⎩
s(0)=s(l)=0.
注： s(x)是奇函数、 周期函数，周期T=2l 当x∈(-l,0)时，有-x∈(0,l)，s(x)=-s(-x)=-当x∈(2kl-l,2kl+l)时，x-2kl∈(-l,l)，则
f(-x+0)+f(x-0)
2
s(x)=s(x-2kl).
4．将定义在(0,l)上的函数展成余弦级数的步骤：
· ·294
2τ2τnπx
dx;n=1,2,3, ，（1）计算a0=⎰f(x)dx， an=⎰f(x)cos
l0l0l
而bn=0,n=1,2,3, ；
⎧f(x),x∈(0,l）且f(x)连续，a0∞nπx⎪
（2）余弦级数 +∑ancos=s(x)=⎨f(x-0)+f(x+0)
2n=1l,x∈(0,l）且f(x)不连续.⎪2⎩
s(0)=limf(x); s(l)=limx→ι'f(x). x→0+
注： s(x)是偶函数、 周期函数，周期T=2l 当x∈(-l,0)时，有-x∈(0,l)，s(x)=s(-x)=当x∈(2kl-l,2kl+l)时，x-2kl∈(-l,l)，则
f(-x+0)+f(x-0)
2s(x)=s(x-2kl).
二、考题类型、解题策略及典型例题
类型1.1函数展成傅里叶级数
解题策略 函数展成傅里叶级数的方法比较规范，技巧不大。可按内容提要中函数展成傅里
叶级数的步骤去做，关健在于计算a0,an,bn(n=1,2,3, )，要利用定积分，很多情况下要利用分部积分，需要仔细，在计算之前，考察f(x)是奇函数，则an=0(n=0,1,2, ),f(x)是偶函数，则
bn=0(n=1,2, )，以简化计算.
例11.1 函数f(x)=x2,x∈[0,π]试求
（1）f(x)在[0,π]上的正弦级数； （2）f(x)在[0,π]上的余弦级数； （3）f(x)在[0,π]上以π为周期的傅里叶级数.
解 （1）由f(x)在[0,π]上展成正弦级数，有an=0,n=0,1,2, , bn=
2
π
⎰
π
2⎡-x2cosnx2xsinnx2cosnx⎤π
xsinnxdx=⎢++⎥0 23
π⎣nnn⎦
2
2π(-1)n4[1-(-1)n]
-,n=1,2, , =3
nπn
因此，f(x)=x在[0,π]上展开的正弦级数为
2
·295·
⎧x2,0≤x
∑⎨ -⎬sinnx=⎨3
πn=1⎩nn⎭⎩0,x=π.
2
∞
[]
（2）由f(x)在[0,π]上展成余弦级数，则bn=0,n=1,2,3, ,a0=
2
π
⎰
π
2
x2dx=π2,
3
an=
2
π
⎰
π
2⎡x2sinnx2xcosnx2sinnx⎤π4(-1)n
xsinnxdx=⎢+-,n=1,2, , ⎥0=
π⎣nn2n3⎦n2
2
(-1)n
因此，f(x)在[0,π]上的余弦展开式为+4∑2cosnx=x2,0≤x≤π.
3n=1n
∞
π2
π
（3）由2l=π,l= =
π
2
, a0=
2
π
⎰
222π2
xdx=π, an=⎰xcos2nxdx
3π0
2
2⎡12111⎤π
xsin2nx+xcos2nx-sin2nx=,n=1,2, , 0232⎢⎥π⎣2n2n4nn⎦
bn=
2
π
⎰
π
2⎡-x2cos2nxxsin2nxcos2nx⎤ππxsin2nxdx=⎢++=-,n=1,2, . ⎥023
π⎣2nn2n4n⎦
2
因此f(x)在[0,π]上的傅叶里级数是
π3
π⎛1⎫
+∑ 2cos2nx-sin2nx⎪=x2,0
∞
这个例子告诉我，可以根据不同的需要，把一函数采用不同的方式展开为相应形式的傅里叶级
数形式，以便有利于解决问题。
cos(2n+1)nxπ2π2
例11.2 证明等式∑=-x,-1≤x≤1，并由此求数项级数 2
84(2n+1)n=0
∞
∞
11
的和。 ∑∑22
n=0(2n+1)n=1n
∞
证 只要把f(x)=x在[-1,1]上展成余弦级数，由f(x)是偶函数，则bn=0,n=1,2,3,
121212[(-1)n-1]
,n=1,2,3, , a0=⎰xdx=1, an=⎰xcosnπxdx=2⎰xcosnπdx=2200101πn
由f(x)在-1≤x≤1上连续，且f(-1)=f(1)，得
1∞2(-1)n-11∞-4
+∑cosnπx=+cos(2m+1)πx=x,-1≤x≤1, ∑2n=1π2n22m=0π2(2m+1)2
∞
cos(2n+1)πxπ2π21π2
所以∑=-|x|,-1≤x≤1. 在上述等式中令x=0得∑=, 22
848(2n+1)n=0n=0(2n+1)
∞
[]
· ·296
∞∞∞
1111
由∑2是正项收敛级数，∑2=∑+, ∑22
n=1nn=1nn=0(2n+1)n=1(2n)∞
∞∞3∞11π21π2
=,从而∑2=. ∑=∑4n=1n2n=0(2n+1)286n=1n
1⎧x,0≤x≤⎪a0∞⎪2
S(x)=+∑ancosnπx，-∞
2n=1
⎪2-2x,1
an=2⎰f(x)cosnπxdx(n=0,1,2, ),求S(-).
02
1
分析 由余弦级数S(x)为偶函数，为周期函数，周期T=2，利用这些性质把S(-)转化到（0，1）上的函数值，从而与f(x)联系上。
5
2
1111f(-0)+f(+0)+(2-2⋅)
51111=3. 解S(-)=S(-2-)=S(-)=S()=f()==22222224
·297·
函数的傅里叶展开
一、内容精要 （一） 基本概念
1.函数的傅里叶展开
标准区间[-l,l]上的三角函数系：
1,cos
πx
l
,sin
πx
l
,cos
2πx2πxnπxnπx
,sin, ,cos,sin, 具正交性。即成立：不同两个函数乘积llll
在[-l,l]上的积分为零，而自身平方在[-l,l]上的积分不为零. （二）重要定理与公式 定理7.12
（狄利克雷（Dirichlet）定理）如果f(x)是以T=2l为周期的周期函数，而
且f(x)在[-l,l]上分段光滑，那么f(x)的Fourier级数在任意点x处都收敛，并且收敛于f(x)在该点左、右极限的平均值，即
a0∞nπxnπxf(x-0)+f(x+0)
+∑(ancos+bnsin)=s(x)=,x∈(-∞,+∞), 2n=1ll2
其中an=
1lnπx1lnπx
f(x)cosdx,n=0,1,2, ;b=f(x)sin,n=1,2,3, . n⎰⎰-l-lllll
1．将周期T=2l且知道一个周期区间[-l,l]上表达式f(x)展成傅氏级数的步骤： （1）确定f(x)的周期T=2l；
1l1lnπx
f(x)dx,a=f(x)cosdx,n=1,2,3, n⎰⎰-l-llll1lnπx
dx,n=1,2,3, . 称为f(x)的傅里叶系数， bn=⎰f(x)sin
-lll
nπx
若f(x)为偶函数，由f(x)sin为奇函数，则bn=0,n=1,2, ,若f(x)为奇函数，知
l
nπx
f(x)cos为奇函数，则a0=0,an=0,n=1,2, ；
l
（2）计算 a0=
a0∞nπxnπx
（3）写出f(x)的傅里叶级数，+∑(ancos+bnsin);
2n=1ll
（4）
x∈(-∞,+∞),f(x)在x处连续⎧f(x),
a0∞nπxnπx⎪+∑(ancos+bnsin)=s(x)=⎨f(x-0)+f(x+0)2n=1ll,x∈(-∞,+∞),f(x)在x处不连续⎪2⎩
·293·
特别在x=±l+2kl处(k∈z)，傅氏级数和为注：s(x)是 周期函数，周期T=2l.
2．将定义[-l,l]上的函数f(x)展成傅里叶级数的步骤：
f(-l+0)+f(l-0)
.
2
1l1lnπx
dx,n=1,2,3, , （1）计算a0=⎰f(x)dx , an=⎰f(x)cos
l-ll-ll1lnπx
dx,n=1,2,3, . bn=⎰f(x)sin
-lll
同样，若f(x)为奇函数知a0=0,an=0,n=1,2,3, 若f(x)为偶函数，知bn=0,n=1,2,3, ；
（2）傅氏级数
⎧f(x),x∈(-l,l),且f(x)连续,
a0∞nπxnπx⎪
+∑(ancos+bnsin)=s(x)=⎨f(x-0)+f(x+0)
2n=1llx∈(-l,l)且f(x)不连续⎪2⎩
在x=±l处，傅氏级数的和为s(±l)=
f(-l+0)+f(l-0)
2
注：1.傅氏级数在某点收敛，与f(x)在该点是否有定义没关系. 2.s(x)是 周期函数，周期T=2l.
当x∈(2kl-l,2kl+l)时，x-2kl∈(-l,l)，则
s(x)=s(x-2kl)=
f(x-2kl-0)+f(x-2kl+0)f(-l+0)+f(l-0)
，s(2kl±l)=.
22
3．将定义在(0,l)上的函数展成正弦级数的步骤： （1）计算bn=
2ιnπx
f(x)sindx,n=1,2,3, , 而an=0,n=0,1,2,3, ； ⎰0ll
∞
x∈(0,l)且f(x)连续，⎧f(x)，
nπx⎪
（2）正弦级数∑bnsin =⎨f(x-0)+f(x+0)
l,x∈(0,l),且f(x)不连续。n=1⎪2⎩
s(0)=s(l)=0.
注： s(x)是奇函数、 周期函数，周期T=2l 当x∈(-l,0)时，有-x∈(0,l)，s(x)=-s(-x)=-当x∈(2kl-l,2kl+l)时，x-2kl∈(-l,l)，则
f(-x+0)+f(x-0)
2
s(x)=s(x-2kl).
4．将定义在(0,l)上的函数展成余弦级数的步骤：
· ·294
2τ2τnπx
dx;n=1,2,3, ，（1）计算a0=⎰f(x)dx， an=⎰f(x)cos
l0l0l
而bn=0,n=1,2,3, ；
⎧f(x),x∈(0,l）且f(x)连续，a0∞nπx⎪
（2）余弦级数 +∑ancos=s(x)=⎨f(x-0)+f(x+0)
2n=1l,x∈(0,l）且f(x)不连续.⎪2⎩
s(0)=limf(x); s(l)=limx→ι'f(x). x→0+
注： s(x)是偶函数、 周期函数，周期T=2l 当x∈(-l,0)时，有-x∈(0,l)，s(x)=s(-x)=当x∈(2kl-l,2kl+l)时，x-2kl∈(-l,l)，则
f(-x+0)+f(x-0)
2s(x)=s(x-2kl).
二、考题类型、解题策略及典型例题
类型1.1函数展成傅里叶级数
解题策略 函数展成傅里叶级数的方法比较规范，技巧不大。可按内容提要中函数展成傅里
叶级数的步骤去做，关健在于计算a0,an,bn(n=1,2,3, )，要利用定积分，很多情况下要利用分部积分，需要仔细，在计算之前，考察f(x)是奇函数，则an=0(n=0,1,2, ),f(x)是偶函数，则
bn=0(n=1,2, )，以简化计算.
例11.1 函数f(x)=x2,x∈[0,π]试求
（1）f(x)在[0,π]上的正弦级数； （2）f(x)在[0,π]上的余弦级数； （3）f(x)在[0,π]上以π为周期的傅里叶级数.
解 （1）由f(x)在[0,π]上展成正弦级数，有an=0,n=0,1,2, , bn=
2
π
⎰
π
2⎡-x2cosnx2xsinnx2cosnx⎤π
xsinnxdx=⎢++⎥0 23
π⎣nnn⎦
2
2π(-1)n4[1-(-1)n]
-,n=1,2, , =3
nπn
因此，f(x)=x在[0,π]上展开的正弦级数为
2
·295·
⎧x2,0≤x
∑⎨ -⎬sinnx=⎨3
πn=1⎩nn⎭⎩0,x=π.
2
∞
[]
（2）由f(x)在[0,π]上展成余弦级数，则bn=0,n=1,2,3, ,a0=
2
π
⎰
π
2
x2dx=π2,
3
an=
2
π
⎰
π
2⎡x2sinnx2xcosnx2sinnx⎤π4(-1)n
xsinnxdx=⎢+-,n=1,2, , ⎥0=
π⎣nn2n3⎦n2
2
(-1)n
因此，f(x)在[0,π]上的余弦展开式为+4∑2cosnx=x2,0≤x≤π.
3n=1n
∞
π2
π
（3）由2l=π,l= =
π
2
, a0=
2
π
⎰
222π2
xdx=π, an=⎰xcos2nxdx
3π0
2
2⎡12111⎤π
xsin2nx+xcos2nx-sin2nx=,n=1,2, , 0232⎢⎥π⎣2n2n4nn⎦
bn=
2
π
⎰
π
2⎡-x2cos2nxxsin2nxcos2nx⎤ππxsin2nxdx=⎢++=-,n=1,2, . ⎥023
π⎣2nn2n4n⎦
2
因此f(x)在[0,π]上的傅叶里级数是
π3
π⎛1⎫
+∑ 2cos2nx-sin2nx⎪=x2,0
∞
这个例子告诉我，可以根据不同的需要，把一函数采用不同的方式展开为相应形式的傅里叶级
数形式，以便有利于解决问题。
cos(2n+1)nxπ2π2
例11.2 证明等式∑=-x,-1≤x≤1，并由此求数项级数 2
84(2n+1)n=0
∞
∞
11
的和。 ∑∑22
n=0(2n+1)n=1n
∞
证 只要把f(x)=x在[-1,1]上展成余弦级数，由f(x)是偶函数，则bn=0,n=1,2,3,
121212[(-1)n-1]
,n=1,2,3, , a0=⎰xdx=1, an=⎰xcosnπxdx=2⎰xcosnπdx=2200101πn
由f(x)在-1≤x≤1上连续，且f(-1)=f(1)，得
1∞2(-1)n-11∞-4
+∑cosnπx=+cos(2m+1)πx=x,-1≤x≤1, ∑2n=1π2n22m=0π2(2m+1)2
∞
cos(2n+1)πxπ2π21π2
所以∑=-|x|,-1≤x≤1. 在上述等式中令x=0得∑=, 22
848(2n+1)n=0n=0(2n+1)
∞
[]
· ·296
∞∞∞
1111
由∑2是正项收敛级数，∑2=∑+, ∑22
n=1nn=1nn=0(2n+1)n=1(2n)∞
∞∞3∞11π21π2
=,从而∑2=. ∑=∑4n=1n2n=0(2n+1)286n=1n
1⎧x,0≤x≤⎪a0∞⎪2
S(x)=+∑ancosnπx，-∞
2n=1
⎪2-2x,1
an=2⎰f(x)cosnπxdx(n=0,1,2, ),求S(-).
02
1
分析 由余弦级数S(x)为偶函数，为周期函数，周期T=2，利用这些性质把S(-)转化到（0，1）上的函数值，从而与f(x)联系上。
5
2
1111f(-0)+f(+0)+(2-2⋅)
51111=3. 解S(-)=S(-2-)=S(-)=S()=f()==22222224
·297·