§6.3 几种主要的椭球公式
过椭球面上任意一点可作一条垂直于椭球面的法线，包含这条法线的平面叫做法截面，法截面同椭球面交线叫法截线（或法截弧）。包含椭球面一点的法线，可作无数多个法截面，相应有无数多个法截线。椭球面上的法截线曲率半径不同于球面上的法截线曲率半径都等于圆球的半径，而是不同方向的法截弧的曲率半径都不相同。
6.3.1子午圈曲率半径
子午椭圆的一部分上取一微分弧长DK =ds ，
相应地有坐标增量dx ，点n 是微分弧dS 的曲率中
心，于是线段Dn 及Kn 便是子午圈曲率半径M 。
任意平面曲线的曲率半径的定义公式为：
M =dS dB
子午圈曲率半径公式为：
M =M = a (1-e ) W 32 c N 或 M =V 3V 2
M 与纬度B 有关．它随B 的增大而增大，变化规律如下表所示：
6.3.2卯酉圈曲率半径
过椭球面上一点的法线，可作无限个法截
面，其中一个与该点子午面相垂直的法截面同椭
球面相截形成的闭合的圈称为卯酉圈。在图中
PE E '即为过P 点的卯酉圈。卯酉圈的曲率半径
用N 表示。
为了推导N 的表达计算式，过P 点作以O '
为中心的平行圈PHK 的切线PT ，该切线位于垂
直于子午面的平行圈平面内。因卯酉圈也垂直于
子午面，故PT 也是卯酉圈在P 点处的切线。即
所以PT 是平行圈PHK 及卯酉圈PT 垂直于Pn 。
PE E '在P 点处的公切线。
卯酉圈曲率半径可用下列两式表示：
N =N =a W c V
6.3.3 任意法截弧的曲率半径
子午法截弧是南北方向，其方位角为0°或180°。卯
酉法截弧是东西方向，其方位角为90°或270°。现在来讨
论方位角为A 的任意法截弧的曲率半径R A 的计算公式。
任意方向A 的法截弧的曲率半径的计算公式如下：
R A =N N = 1+η2cos 2A 1+e '2cos 2B cos 2A
（7-87）
6.3.4 平均曲率半径
在实际际工程应用中，根据测量工作的精度要求，在一定范围内，把椭球面当成具有适当半径的球面。取过地面某点的所有方向R A 的平均值来作为这个球体的半径是合适的。这个球面的半径——平均曲率半径R ：
R =MN
或
R =b c N a ===W 2V 2V W 2(1-e 2)
因此，椭球面上任意一点的平均曲率半径R 等于该点子午圈曲率半径M 和卯酉圈曲率半径N 的几何平均值。
6.3.5 子午线弧长计算公式
子午椭圆的一半，它的端点与极点相重合；而赤道又把子午线分成对称的两部分。 如图所示，取子午线上某微分弧P P '=dx ，令P 点纬度为B ，
P '点纬度为B +dB ，P 点的子午圈曲率半径为M ，于是有：
dx =MdB
从赤道开始到任意纬度B 的平行圈之间的弧长可由下列积分求
出：
X =⎰MdB 0B
式中M 可用下式表达：
M =
a 0-a 2cos 2B +a 4cos 4B -a 6cos 6B +a 8cos 8B
a 0=m 0+
a 2
其中： a 4
a 6
a 8m 23535⎫+m 4+m 6+m 8+ ⎪2816128⎪m 2m 4157⎪=++m 6+m 8⎪223216⎪m 437⎪=+m 6+m 8⎬ 81632⎪m 6m 8⎪=+⎪3216⎪m ⎪=8⎪128⎭
经积分，进行整理后得子午线弧长计算式：
a a a a X =a 0B -2sin 2B +4sin 4B -6sin 6B +8sin 8B 2468
为求子午线上两个纬度B 1及B 2间的弧长，只需按上式分别算出相应的X 1及X 2，而后取差：∆X =X 2-X 1，该∆X 即为所求的弧长。
克拉索夫斯基椭球子午线弧长计算公式：
X =111134. 861B -16036. 480sin 2B +16. 828sin 4B -0. 022sin 6B
X =111134. 861B -32005. 780sin B cos B -133. 929sin 3B cos B -0. 697sin 5B cos B
1975年国际椭球子午线弧长计算公式：
X =111133. 005B -16038. 528sin 2B +16. 833sin 4B -0. 022sin 6B
X =111133. 005B -32009. 858sin B cos B -133. 960sin 3B cos B -0. 698sin 5B cos B
6.3.6 底点纬度计算
在高斯投影反算时，已知高斯平面直角坐标（X ，Y ）反求其大地坐标（L ，B ）。首先X 当作中央子午线上弧长，反求其纬度，此时的纬度称为底点纬度或垂直纬度。计算底点纬度的公式可以采用迭代解法和直接解法。
（1）迭代法
在克拉索夫斯基椭球上计算时，迭代开始时设
B 1. 8611 f =X /111134
以后每次迭代按下式计算：
B i
f +1=(X -F (B i
f )) /111134. 8611
F (B i
f ) =-16036. 4803sin 2B i
f +16. 8281sin 4B i
f -0. 0220sin 6B i
f
重复迭代直至B i
f +1-B i
f
在1975年国际椭球上计算时，也有类似公式。
（2）直接解法
1975年国际椭球：
β=X /6367452. 133
B f =B +{50228976+[293697+(2383+22cos 2β) cos 2β]cos 2β}⨯10-10⨯sin βcos β 克拉索夫斯基椭球：
β=X /6367588. 4969
B f =β+{50221746+[293622+(2350+22cos 2β) cos 2β]cos 2β}
6.3.7 大地线
椭球面上两点间的最短程曲线叫做大地线。在微分几何中，大地线（又称测地线）另有这样的定义：“大地线上每点的密切面（无限接近的三个点构成的平面）都包含该点的曲面法线”，亦即“大地线上各点的主法线与该点的曲面法线重合”
。因
假如在椭球模型表面A , B 两点之间，画出相对法截线如
图所示，然后在A , B 两点上各插定一个大头针，并紧贴着椭
球面在大头针中间拉紧一条细橡皮筋，并设橡皮筋和椭球面之
间没有摩擦力，则橡皮筋形成一条曲线，恰好位于相对法截线
之间，这就是一条大地线。由于橡皮筋处于拉力之下，所以它
实际上是两点间的最短线。
在椭球面上进行测量计算时，应当以两点间的大地线为依据。在地面上测得的方向、距离等，应当归算成相应大地线的方向、距离。
§6.3 几种主要的椭球公式
过椭球面上任意一点可作一条垂直于椭球面的法线，包含这条法线的平面叫做法截面，法截面同椭球面交线叫法截线（或法截弧）。包含椭球面一点的法线，可作无数多个法截面，相应有无数多个法截线。椭球面上的法截线曲率半径不同于球面上的法截线曲率半径都等于圆球的半径，而是不同方向的法截弧的曲率半径都不相同。
6.3.1子午圈曲率半径
子午椭圆的一部分上取一微分弧长DK =ds ，
相应地有坐标增量dx ，点n 是微分弧dS 的曲率中
心，于是线段Dn 及Kn 便是子午圈曲率半径M 。
任意平面曲线的曲率半径的定义公式为：
M =dS dB
子午圈曲率半径公式为：
M =M = a (1-e ) W 32 c N 或 M =V 3V 2
M 与纬度B 有关．它随B 的增大而增大，变化规律如下表所示：
6.3.2卯酉圈曲率半径
过椭球面上一点的法线，可作无限个法截
面，其中一个与该点子午面相垂直的法截面同椭
球面相截形成的闭合的圈称为卯酉圈。在图中
PE E '即为过P 点的卯酉圈。卯酉圈的曲率半径
用N 表示。
为了推导N 的表达计算式，过P 点作以O '
为中心的平行圈PHK 的切线PT ，该切线位于垂
直于子午面的平行圈平面内。因卯酉圈也垂直于
子午面，故PT 也是卯酉圈在P 点处的切线。即
所以PT 是平行圈PHK 及卯酉圈PT 垂直于Pn 。
PE E '在P 点处的公切线。
卯酉圈曲率半径可用下列两式表示：
N =N =a W c V
6.3.3 任意法截弧的曲率半径
子午法截弧是南北方向，其方位角为0°或180°。卯
酉法截弧是东西方向，其方位角为90°或270°。现在来讨
论方位角为A 的任意法截弧的曲率半径R A 的计算公式。
任意方向A 的法截弧的曲率半径的计算公式如下：
R A =N N = 1+η2cos 2A 1+e '2cos 2B cos 2A
（7-87）
6.3.4 平均曲率半径
在实际际工程应用中，根据测量工作的精度要求，在一定范围内，把椭球面当成具有适当半径的球面。取过地面某点的所有方向R A 的平均值来作为这个球体的半径是合适的。这个球面的半径——平均曲率半径R ：
R =MN
或
R =b c N a ===W 2V 2V W 2(1-e 2)
因此，椭球面上任意一点的平均曲率半径R 等于该点子午圈曲率半径M 和卯酉圈曲率半径N 的几何平均值。
6.3.5 子午线弧长计算公式
子午椭圆的一半，它的端点与极点相重合；而赤道又把子午线分成对称的两部分。 如图所示，取子午线上某微分弧P P '=dx ，令P 点纬度为B ，
P '点纬度为B +dB ，P 点的子午圈曲率半径为M ，于是有：
dx =MdB
从赤道开始到任意纬度B 的平行圈之间的弧长可由下列积分求
出：
X =⎰MdB 0B
式中M 可用下式表达：
M =
a 0-a 2cos 2B +a 4cos 4B -a 6cos 6B +a 8cos 8B
a 0=m 0+
a 2
其中： a 4
a 6
a 8m 23535⎫+m 4+m 6+m 8+ ⎪2816128⎪m 2m 4157⎪=++m 6+m 8⎪223216⎪m 437⎪=+m 6+m 8⎬ 81632⎪m 6m 8⎪=+⎪3216⎪m ⎪=8⎪128⎭
经积分，进行整理后得子午线弧长计算式：
a a a a X =a 0B -2sin 2B +4sin 4B -6sin 6B +8sin 8B 2468
为求子午线上两个纬度B 1及B 2间的弧长，只需按上式分别算出相应的X 1及X 2，而后取差：∆X =X 2-X 1，该∆X 即为所求的弧长。
克拉索夫斯基椭球子午线弧长计算公式：
X =111134. 861B -16036. 480sin 2B +16. 828sin 4B -0. 022sin 6B
X =111134. 861B -32005. 780sin B cos B -133. 929sin 3B cos B -0. 697sin 5B cos B
1975年国际椭球子午线弧长计算公式：
X =111133. 005B -16038. 528sin 2B +16. 833sin 4B -0. 022sin 6B
X =111133. 005B -32009. 858sin B cos B -133. 960sin 3B cos B -0. 698sin 5B cos B
6.3.6 底点纬度计算
在高斯投影反算时，已知高斯平面直角坐标（X ，Y ）反求其大地坐标（L ，B ）。首先X 当作中央子午线上弧长，反求其纬度，此时的纬度称为底点纬度或垂直纬度。计算底点纬度的公式可以采用迭代解法和直接解法。
（1）迭代法
在克拉索夫斯基椭球上计算时，迭代开始时设
B 1. 8611 f =X /111134
以后每次迭代按下式计算：
B i
f +1=(X -F (B i
f )) /111134. 8611
F (B i
f ) =-16036. 4803sin 2B i
f +16. 8281sin 4B i
f -0. 0220sin 6B i
f
重复迭代直至B i
f +1-B i
f
在1975年国际椭球上计算时，也有类似公式。
（2）直接解法
1975年国际椭球：
β=X /6367452. 133
B f =B +{50228976+[293697+(2383+22cos 2β) cos 2β]cos 2β}⨯10-10⨯sin βcos β 克拉索夫斯基椭球：
β=X /6367588. 4969
B f =β+{50221746+[293622+(2350+22cos 2β) cos 2β]cos 2β}
6.3.7 大地线
椭球面上两点间的最短程曲线叫做大地线。在微分几何中，大地线（又称测地线）另有这样的定义：“大地线上每点的密切面（无限接近的三个点构成的平面）都包含该点的曲面法线”，亦即“大地线上各点的主法线与该点的曲面法线重合”
。因
假如在椭球模型表面A , B 两点之间，画出相对法截线如
图所示，然后在A , B 两点上各插定一个大头针，并紧贴着椭
球面在大头针中间拉紧一条细橡皮筋，并设橡皮筋和椭球面之
间没有摩擦力，则橡皮筋形成一条曲线，恰好位于相对法截线
之间，这就是一条大地线。由于橡皮筋处于拉力之下，所以它
实际上是两点间的最短线。
在椭球面上进行测量计算时，应当以两点间的大地线为依据。在地面上测得的方向、距离等，应当归算成相应大地线的方向、距离。