点、直线、平面之间的关系
㈠ 平面的基本性质
公理一：如果一条直线上有两点在一个平面内，那么直线在平面内。 公理二：不共线的三点确定一个平面。 推论一：直线与直线外一点确定一个平面。 推论二：两条相交直线确定一个平面。 推论三：两条平行直线确定一个平面。
公理三：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有公共点，这些公共点的集合是一条直线(两个平面的交线) 。
㈡ 空间图形的位置关系
1 直线与直线的位置关系(相交、平行、异面)
1.1 平行线的传递公理：平行于同一直线的两条直线相互平行。 即：a ∥b ，b ∥
c 1.2 异面直线
定义：不在任何一个平面内的两条直线称为异面直线。 1.3 异面直线所成的角
⑴ 异面直线成角的范围：(0°，90°]. ⑵ 作异面直线成角的方法：平移法。
注意：找异面直线所成角时，经常把一条异面直线平移到另一条异面直线的特殊点(如中点、端点等) ，形成异面直线所成的角。
2 直线与平面的位置关系(直线在平面内、相交、平行) 3 平面与平面的位置关系(平行、斜交、垂直)
㈢ 平行关系(包括线面平行和面面平行) 1 线面平行
1.1 线面平行的定义：平面外的直线与平面无公共点，则称为直线和平面平行。 1.2 判定定理：
1.3 性质定理：
１
a ∥c
2 线面角：
2.1 直线与平面所成的角(简称线面角) ：若直线与平面斜交，则平面的斜线与该斜线在平面内射影的夹角θ。 2.2 线面角的范围：θ∈[0°，90°]
3 面面平行
3.2 面面平行的判定定理：
⑴ 判定定理1：如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么两个平面相互平行。 即：
推论：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面的两条线段，那么这两个平面平行。即：
⑵ 判定定理2：垂直于同一条直线的两平面互相平行。即：
3.3 面面平行的性质定理 ⑴ (面面平行 ⑵
⑶ 夹在两个平行平面间的平行线段相等。
㈣ 垂直关系(包括线面垂直和面面垂直) 1 线面垂直
1.1 线面垂直的定义：若一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于平面。
1.2 线面垂直的判定定理：
２
图2-5 判定1推论
图2-3 线面角
3.1 面面平行的定义：空间两个平面没有公共点，则称为两平面平行。
线面平行)
图2-6 判定
2
1.3 线面垂直的性质定理：
⑴ 若直线垂直于平面，则它垂直于平面内任意一条直线。
即
⑵ 垂直于同一平面的两直线平行。 即：
★1.4 三垂线定理及其逆定理
已知PO ⊥α，斜线PA 在平面α内的射影为OA ，a 是平面 α内的一条直线。
① 三垂线定理：若a ⊥OA ，则a ⊥PA 。即垂直射影则垂直斜线。
② 三垂线定理逆定理：若a ⊥PA ，则a ⊥OA 。即垂直斜线则垂直射影。 2 面面斜交和二面角
2.1 二面角的定义：两平面α、β相交于直线l ，直线a 是α内的一条直线，它过l 上的一点O 且垂直于l ，直线b 是β内的一条直线，它也过O 点，也垂直于l ，则直线a 、b 所形成的角称为α、β的二面角的平面角，记作∠α-l-β。 2.2 二面角的范围：∠α-l-β ∈[0°,180°]
3 面面垂直
3.1 面面垂直的定义：若二面角α-l-β的平面角为90°，则两平面α⊥β。 3.2 判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。 即：
3.3 面面垂直的性质定理
⑴ 若两面垂直，则这两个平面的二面角的平面角为90°； ⑵ ⑶ ⑷
３
图2-11 面面垂直性质3 图2-10 面面垂直性质
2
图2-7
斜线定理
例题分析
例1、(1)已知异面直线a,b 所成的角为700, 则过空间一定点O, 与两条异面直线a,b 都成600角的直线有( ) 条.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
(2)异面直线a,b 所成的角为θ, 空间中有一定点O, 过点O 有3条直线与a,b 所成角
都是60, 则θ的取值可能是 ( ).
A. 30 B. 50 C. 60 D. 90
例2、已知PA ⊥矩形ABCD 所在平面，M 、N 分别是AB 、PC 的中点. 求证：MN ⊥AB ；
例3、如图，直三棱柱ABC-A 1B 1C 1的底面ABC
0，AC=1，C 点到AB 1的距离为CE=
3
，D 为AB 的中点2
（1）求证：AB 1⊥平面CED ；
（2）求异面直线AB 1与CD 之间的距离； （
3）求二面角B 1—AC —B 的平面角.
例4、在直角梯形ABCD 中，∠A=∠D=90°，AB ＜CD ，SD ⊥平面ABCD ，AB=AD=a，SD=2a ，在线段SA 上取一点E （不含端点）使EC=AC，截面CDE 与SB 交于点F 。
（1）求证：四边形EFCD 为直角梯形； （2）求二面角B-EF-C 的平面角的正切值； 例5．如图，在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中， 求证：A 1C ⊥平BDC 1；
４
点、直线、平面之间的关系
㈠ 平面的基本性质
公理一：如果一条直线上有两点在一个平面内，那么直线在平面内。 公理二：不共线的三点确定一个平面。 推论一：直线与直线外一点确定一个平面。 推论二：两条相交直线确定一个平面。 推论三：两条平行直线确定一个平面。
公理三：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有公共点，这些公共点的集合是一条直线(两个平面的交线) 。
㈡ 空间图形的位置关系
1 直线与直线的位置关系(相交、平行、异面)
1.1 平行线的传递公理：平行于同一直线的两条直线相互平行。 即：a ∥b ，b ∥
c 1.2 异面直线
定义：不在任何一个平面内的两条直线称为异面直线。 1.3 异面直线所成的角
⑴ 异面直线成角的范围：(0°，90°]. ⑵ 作异面直线成角的方法：平移法。
注意：找异面直线所成角时，经常把一条异面直线平移到另一条异面直线的特殊点(如中点、端点等) ，形成异面直线所成的角。
2 直线与平面的位置关系(直线在平面内、相交、平行) 3 平面与平面的位置关系(平行、斜交、垂直)
㈢ 平行关系(包括线面平行和面面平行) 1 线面平行
1.1 线面平行的定义：平面外的直线与平面无公共点，则称为直线和平面平行。 1.2 判定定理：
1.3 性质定理：
１
a ∥c
2 线面角：
2.1 直线与平面所成的角(简称线面角) ：若直线与平面斜交，则平面的斜线与该斜线在平面内射影的夹角θ。 2.2 线面角的范围：θ∈[0°，90°]
3 面面平行
3.2 面面平行的判定定理：
⑴ 判定定理1：如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么两个平面相互平行。 即：
推论：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面的两条线段，那么这两个平面平行。即：
⑵ 判定定理2：垂直于同一条直线的两平面互相平行。即：
3.3 面面平行的性质定理 ⑴ (面面平行 ⑵
⑶ 夹在两个平行平面间的平行线段相等。
㈣ 垂直关系(包括线面垂直和面面垂直) 1 线面垂直
1.1 线面垂直的定义：若一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于平面。
1.2 线面垂直的判定定理：
２
图2-5 判定1推论
图2-3 线面角
3.1 面面平行的定义：空间两个平面没有公共点，则称为两平面平行。
线面平行)
图2-6 判定
2
1.3 线面垂直的性质定理：
⑴ 若直线垂直于平面，则它垂直于平面内任意一条直线。
即
⑵ 垂直于同一平面的两直线平行。 即：
★1.4 三垂线定理及其逆定理
已知PO ⊥α，斜线PA 在平面α内的射影为OA ，a 是平面 α内的一条直线。
① 三垂线定理：若a ⊥OA ，则a ⊥PA 。即垂直射影则垂直斜线。
② 三垂线定理逆定理：若a ⊥PA ，则a ⊥OA 。即垂直斜线则垂直射影。 2 面面斜交和二面角
2.1 二面角的定义：两平面α、β相交于直线l ，直线a 是α内的一条直线，它过l 上的一点O 且垂直于l ，直线b 是β内的一条直线，它也过O 点，也垂直于l ，则直线a 、b 所形成的角称为α、β的二面角的平面角，记作∠α-l-β。 2.2 二面角的范围：∠α-l-β ∈[0°,180°]
3 面面垂直
3.1 面面垂直的定义：若二面角α-l-β的平面角为90°，则两平面α⊥β。 3.2 判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。 即：
3.3 面面垂直的性质定理
⑴ 若两面垂直，则这两个平面的二面角的平面角为90°； ⑵ ⑶ ⑷
３
图2-11 面面垂直性质3 图2-10 面面垂直性质
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图2-7
斜线定理
例题分析
例1、(1)已知异面直线a,b 所成的角为700, 则过空间一定点O, 与两条异面直线a,b 都成600角的直线有( ) 条.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
(2)异面直线a,b 所成的角为θ, 空间中有一定点O, 过点O 有3条直线与a,b 所成角
都是60, 则θ的取值可能是 ( ).
A. 30 B. 50 C. 60 D. 90
例2、已知PA ⊥矩形ABCD 所在平面，M 、N 分别是AB 、PC 的中点. 求证：MN ⊥AB ；
例3、如图，直三棱柱ABC-A 1B 1C 1的底面ABC
0，AC=1，C 点到AB 1的距离为CE=
3
，D 为AB 的中点2
（1）求证：AB 1⊥平面CED ；
（2）求异面直线AB 1与CD 之间的距离； （
3）求二面角B 1—AC —B 的平面角.
例4、在直角梯形ABCD 中，∠A=∠D=90°，AB ＜CD ，SD ⊥平面ABCD ，AB=AD=a，SD=2a ，在线段SA 上取一点E （不含端点）使EC=AC，截面CDE 与SB 交于点F 。
（1）求证：四边形EFCD 为直角梯形； （2）求二面角B-EF-C 的平面角的正切值； 例5．如图，在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中， 求证：A 1C ⊥平BDC 1；
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