本科毕业论文（设计）
题 目 二维双曲线型方程的交替方向隐格式解法
院（系） 数学系
专 业 数学与应用数学
学生姓名 周玲玲
学 号 10022156 指导教师 陈淼超 职称 讲师
论文字数 9500
完成日期: 2014年6月8日
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日期： 日期：
二维双曲型方程的交替方向隐格式解法
摘要
在解决偏微分方程中二维双曲线型方程的问题求解初边值问题时，显示格式的稳定性是有条件的，并且多维的稳定性条件更严，为得到稳定性好的格式，隐式格式受到重视。用隐式格式求解二维问题得到的线性方程组其系数矩阵为宽带状，因此求解不甚便利，采用交替方向隐式（ADI ）格式可以避免此问题。本文以基本概念和基本方法为主，同时结合算例实现算法。
第一部分介绍二维双曲线型方程的交替方向隐格式解法的基本概
2∂2u 2∂u 念，引入本文的研究对象——二维波动方程： 2=a 2，x ∈R ，∂t ∂t
t ∈(0, T ]
第二部分介绍上述方程的二维双曲线型方程的交替方向隐格式及这种格式的存在性、收敛性与稳定性。
第三部分通过算例检验二维双曲线型方程的交替方向隐格式的可行性。
关键词：二维双曲型方程；交替方向隐格式；存在性；收敛性；稳定性
I
Alternating direction implicit method for
2-D hyperbolic equation
Abstract
In solving partial differential equations to solve the two-dimensional hyperbolic equation in the initial boundary value problem, the stability of the display format is conditional, and the stability conditions of multidimensionalmore strict, in order to get the good
for stability of thescheme, implicit attention. By using implicit scheme solving the
two-dimensional problem of linear equationswhose coefficient matrix is a broad band, thus solving thenot very convenient, using the alternating direction implicit(ADI) scheme can avoid this problem. In this paper, the basic concepts and basic method, at the same timealgorithm with an example.
The first part is the introduction of two dimensionalhyperbolic equation of alternating direction implicit methodbasic concept -- two-dimensional wave equation, the object of study is introduced in this paper:,,
The second part introduces the existence and stability oftwo dimensional hyperbolic equations, the convergence of the above equation alternating direction implicit schemeand this format.
Feasibility of alternating direction implicit scheme third part through the examples to test two-dimensionalhyperbolic equation.
Keywords : hyperbolic equation, alternating direction implicit scheme, existence, convergence, stability
II
目 录
摘要 ..................................................... I Abstract ................................................ II
1. 前言 ................................................... 1
2. 差分格式的建立 ......................................... 2
2.1差分格式的求解 . .................................... 4
2.1.1算例 ............................................ 6
3. 差分格式解的先验估计式 ................................. 8
4. 差分格式解的存在性、收敛性和稳定性 ..................... 9
4.1存在性 ............................................ 9
4.2收敛性 ........................................... 10
4.3稳定性 ........................................... 12
参考文献 ................................................ 13
致谢 .................................................... 14
附页 .................................................... 15
1. 前言
微分方程有着广泛的自然科学与工程技术的背景，例如热传导问题，流体力学问题，波动问题都可以用微分方程来刻画。然而，实际的运用中，大部分偏微分方程的解很难以解析形式表示出来，人们将研究的重心逐渐的向偏微分方程的数值解方向转移，众多科研家在研究偏微分方程的数值解方面做出了巨大的贡献， 。
变分法，有限差分法与有限元方法是目前运用最为广泛的偏微分方程的数值解法。其中，有限差分法以其 的特点被广大研究者所认可和研究。然而，利用有限差分法在求解偏微分方程的时也会有诸多的不足之处，比如不同步长情况下的稳定性与精度相差很多，因此，经过几代科学家的不懈努力，众多稳定性好，精度高的差分格式被提出，比如 。
在差分格式中，解决偏微分方程中二维双曲线方程的问题求解初边值问题时，显示格式的稳定性是有条件的，并且多维的稳定性条件更严，为得到稳定性好的格式，隐式格式受到重视。用隐式格式求解二维问题得到的线性方程组其系数矩阵为宽带状，因此求解不甚便利，采用交替方向隐式（ADI ）格式可以避免此问题。
本文将从基本概念和基本方法入手，通过简单的二维波动方程，介绍二维双曲线型方程的交替方向隐格式解法及其简单的实际应用，起到初步介绍偏微分方程数值解法的目的。
1
2. 差分格式的建立
作为模型，考虑二维波动方程的初边值问题
∂2u ⎛∂2u ∂2u ⎫- -2⎪=f (x , y , z ), (x , y , t )∈Ω⨯(0, T ], （5.16-1） 22 ⎪∂t ∂y ⎭⎝∂x
u (x , y , 0) =φ(x , y ), ∂u (x , y , 0) =ψ(x , y ), (x , y )∈ (5.16-2) ∂t
u (x , y , t ) =α(x , y , t ) , (x , y )∈Γ, 0≤t ≤T , (5.16-3) 其中Ω=(0, 1) ⨯(0, 1), Γ为Ω的边界，且当（x , y ) ∈Γ时，α（x , y , 0) =φ(x , y ), ∂α(x , y , 0) t =ψ(x , y ).
在结点(x i , y i , t k )处考虑方程（5.16-1）. 由泰勒展开式可得
+1k -1+1k -1⎛2 k ⎫τ4
222k k k ij + ij ij + ij 2⎪+∂x ∂y ∂t ij =f ij k +ℜij ∂ - ∂x +∂y ⎪422⎝⎭2t k ij
1≤i . j ≤m -1, 1≤k ≤n -1, (5.17-1) 0
ij =φ(x i , y j ), 0≤i , j ≤m (5.17-2) 1
ij =φ(x i , y j ) +τψ(x i , y j ) +1/2τ2[φxx (x i , y j ) +φyy (x i , y j ) +f (x i , y j , 0)]+ωij ,
0≤i , j ≤m , (5.17-3)
k D t u ij =1[α(x i , y j , t k +1) -α(x i , y j , t k -1)] , 2τ
(i , j ) ∈γ, 1≤k ≤n -1, (5.17-4) 其中
f ij k =f (x i , y j , t k ), 1≤i , j ≤m -1, 1≤k ≤n -1,
4k ∂4u (x i , y j , ij k ) ∂4u (x i , y j , ij k ) ⎫⎤2⎡1∂u (x i , y j , ij ) 1⎛⎪⎥τ =⎢- +42222 ⎪⎥4⎝∂t ∂x ∂t ∂y ∂t ⎣12⎭⎦
4k -14k +11⎡∂u (ηij , y j , t k -1) ∂u (ηij , y i , t k +1) -+⎢424⎣∂x ∂x 4⎢
2
+1∂4u (x i , k -
ij , t k -1)
∂y 4∂4u (x i , ij k +1, t kk +1) ⎤2τ4222k +⎥h +∂x ∂y ∂t ij 44∂y ⎥⎦
1≤i , j ≤m -1, 1≤k ≤n -1,
k k -1k +1ξij , ij k ∈(t k -1, t k +1), ηij ηij ∈(x i -1, x i +1),
ij k -1, ij k +1∈(y i -1, y i +1),
3∂u (x i , y j , t ) 1τωij =⎰(τ-t ) 2dt , 0≤i , j ≤m . 302∂t
且存在常数, 使得
k ij ≤(τ2+h 2), 1≤i , j ≤m -1, 1≤k ≤n -1, （5.18-1） ωij ≤3, 0≤i , j ≤m , （5.18-2） δx ωi +1/2, j ≤τ3, 1≤i ≤m -1, 0≤j ≤m , (5.18-3) δy ωi , j +1/2≤τ3, 0≤i ≤m , 0≤j ≤m -1, (5.18-4) δx δy ωi +1/2, j +1/2≤τ3, 1≤i , j ≤m -1 (5.18-5)
对定解问题（5.16-1）～(5.16-3)建立如下差分格式
k +1k -1k +1k -1⎛2u ij ⎫τ4
222k +u ij u ij +u ij 2⎪+δx δy δt u ij =f ij k δu - ∂x +∂y ⎪422⎝⎭2t k ij
1≤i . j ≤m -1, 1≤k ≤n -1, (5.19-1) 0u ij =φ(x i , y j ), 0≤i , j ≤m (5.19-2) 1=φ(x i , y j ) +τψ(x i , y j ) +1/2τ2[φxx (x i , y j ) +φyy (x i , y j ) +f (x i , y j , 0)]+ωij , u ij
0≤i , j ≤m , (5.19-3)
k D t u ij =1[α(x i , y j , t k +1) -α(x i , y j , t k -1)] , 2τ
(i , j ) ∈γ, 1≤k ≤n -1, (5.19-4) (5.19-4)等价于
2l u ij =α(x i , y j , t 2l ), (i , j ) ∈γ, 2≤2l ≤n ;
3
2l +11u ij =α(x i , y j , t 2l +1) +u ij -α(x i , y j , t 1), (i , j ) ∈γ, 3≤2l +1≤n 差分格式(5.19-1) ～(5.19-4)的结点图式见图5.5.
图5.5. 差分格式(5.19-1) ～(5.19-4)的结点图
2.1差分格式的求解
注意到
k +1k -1u ij +u ij
2=k +1k k -1u ij -2u ij +u ij
21k k k +u ij =τ2∂t 2u ij +u ij , 2
可将(5.19-1) ～(5.19-4)写为
τ4
222k ⎛122k k δx δy δt u ij =f ij k ∂u -(δ+δ) δt u ij +u ij +4⎝22k
t ij 2x 2y )
或
4
⎛τ22⎫⎛τ22⎫2k k k 22 ⎪ ⎪=+f δu u (δ+δ) I-δI-δij ， ij x y x ⎪ y ⎪t ij 22⎝⎭⎝⎭
1≤i . j ≤m -1, 1≤k ≤n -1, （5.20）
令
⎛τ22⎫2k ij = I-2δy ⎪⎪δt u ij ，
⎝⎭则有
⎛τ22⎫k k 22
⎪+， （5.21-1） =f u (δ+δ) I-δij ij ij x y x ⎪2⎝⎭⎛τ22⎫2k I-2δy ⎪⎪δt u ij =ij . （5.21-2） ⎝⎭
k -1k 当第k -1层、第k 层的值｛u ij , u ij , 0≤i , j ≤m ｝已知时，由（5.21-1）
求出过渡层上的值｛ij , 1≤i , j ≤m -1｝：对任意固定的j (1≤j ≤m -1) ，取边界条件
0j
⎛τ22⎫2k ⎛τ22⎫2k
= I-2δy ⎪⎪δt u 0j ， mj = I-2δy ⎪⎪δt u mj ， （5.22-1） ⎝⎭⎝⎭
求解
⎛τ22⎫k k 22
⎪ +， 1≤i , j ≤m -1， （5.22-2） =f u (δ+δ) I-δij ij ij x y x ⎪2⎭⎝
得到｛ij , 1≤i , j ≤m -1｝.
当｛ij , 1≤i , j ≤m -1｝已求出时，由 （5.21-2）求出第k +1层上u
k +1
的值｛u ij ：对固定的i (1≤i ≤m -1) ，取边界条件 , 1≤i , j ≤m -1｝
D t u i k 0=
1
[α(x i , y 0, t k +1) -α(x i , y 0, t k -1)] ， （5.23-1） 2τ1k
D t u im =[α(x i , y m , t k +1) -α(x i , y m , t k -1)]
2τ
求解
⎛τ22⎫2k I-2δy ⎪⎪δt ij =ij . 1≤j ≤m -1， （5.23-2） ⎝⎭
5
得到｛δt 2 k ij ，1≤j ≤m -1｝. 最后由
k +1k k k -1 u ij =τ2δt 2u ij +2u ij -u ij , 1≤i , j ≤m -1 k +1得到{u ij , 1≤i , j ≤m -1}.
（5.22-1）和（5.22-2）是关于x 方向的隐格式，（5.23-1）和 （5.23-2）
是关于y 方向的隐格式. 它们均是三对角线性方程组，可用追赶法求解. 我们把 （5.21-1）和（5.21-2）称为交替方向隐格式. 2.1.1算例
用交替方向隐格式（5.22-1）和（5.22-2）计算定解问题
∂2u ⎛∂2u ∂2u ⎫11/2(x +y ) -t
- +2⎪=e ， 0
u (x , y , 0) =e u (0, y , t ) =e u (x , 0, t ) =e
1
(x +y ) -t 2
(x +y ) -t ∂u (x , y , 0) 2
， 0
∂t
1
1y -t 2
， u (1, y , t ) =e ， u (x , 1, t ) =e
1
(1+y ) -t 2
， 0≤y ≤1，0≤t ≤1，
1x -t 21
(1+x ) -t 2
， 0
该定解问题的精确解为u (x , y , t ) =e
1
(x +y ) -t 2
表3.2给出了取h =1/10, τ=1/10时计算得到的部分数值结果. 表3.3给出了取不同步长时数值解的最大误差
k
E ∞(h , τ) =max |u (x i , y i , t k ) -u ij |.
1≤i , i ≤m -1
1≤k ≤n
从表3.3可以看出，当空间步长和时间步长同时缩小到原来的1/2时，最大误差约缩小为原来的1/4.
图3.5和图3.6分别给出了t=1时精确解得曲面图和取步长
h =1/10, τ=1/10所得数值解的曲面图；图3.7给出了t=1时取不同步长所得数
值解的误差曲面图.
(图与编程见附页)
6
表3.2算例3,1部分结点处数值解，精确解和误差的绝对值(h =1/100, τ=1/100)
表3.3 算例3.1取不同步长时数值解的最大误差E ∞(h , τ)
7
3. 差分格式解的先验估计式
k
定理3.1 设{v ij , 0≤i , j ≤m , 0≤k ≤m }为差分方程组 k +1k -1k +1k -1
⎛2u ij ⎫τ4222k +u ij u ij +u ij
2k ⎪+δx δy δt u ij =g ij δu - ∂x +∂y
⎪22⎝⎭42
t
k ij
1≤i , j ≤m -1, 1≤k ≤n -1, （5.24-1）
0u ij =φij ， 0≤i , j ≤m ， （5.24-2） 1u ij =ψij ， 0≤i , j ≤m ， （5.24-3） k D t ˆv ij =0， (i , j ) ∈γ, 1≤k ≤n -1, （5.24-4）
的解，则对任意步长s (s ≡τ/h ) ，有
E =e 其中
E =h
k
k
3
k τ2
⎛03k -1l E +2τ∑g
l =1⎝
2
⎫
⎪，1≤k ≤n ， ⎭
1k +⎛⎫2 ⎪δδδv ∑x y t 11. i +, j +⎪i , j =0⎝22⎭m -1
2
i , j =1
∑(δv
m -1
k +1/2
t ij
)
1⎛k +12τ4h 2k 2⎫+ v +v ⎪+
11⎭⎝24
k
证明 用2h 2D t ˆv ij 乘以（5.24-1）的两边，并对i , j 求和，得到
2h
2
i , j =1
∑(δ
2
x
m -1
2k t ij
v
)(
k +1k -1k +1k -1
⎛2v ij ⎫+v ij v ij +v ij
2k ⎪D ˆv ij D v -2h ∑ δx +δy
⎪t 22i , j =1⎭⎝k
ˆij t
)
2
m -1
+
τ4
2
h
2
i , j =1
∑(δ
m -1
δδv
2
y 2k t ij
)D v
k ˆij t
=2h
2
i , j =1
∑g
m -1
k
ij k
， 1≤k ≤n -1, （5.24-5） D t ˆv ij
注意到
1212⎤⎡m -1⎛m -1k +⎫k -⎫⎛m -122⎪2⎪⎥1⎢h 2 22k k δv -h δv ∑∑t ij t ij ， 2h ∑(δt v ij )(D t ˆv ij )= ⎪ ⎪τ⎢i , j +1⎝i , j =1⎝i , j =1⎭⎭⎥⎣⎦
8
⎛2v
-2h ∑ δx
i , j =1⎝
2m -1
k +1
ij
+v 2
k -1ij
+δ
2y
v
k +1ij
+v 2
k -1ij
k +12k -12⎫⎛ v 1-v 1⎪⎫⎭， k ⎪D t ˆv ij =⎝
⎪2τ⎭
2211⎡⎤m -1⎛m -1⎛k +k -⎫⎫12k 2222k 222⎥， 2h ∑(δx δy δt v ij )D t ˆv ij =⎢h ∑ δx δy δt v 11⎪-h ∑ δx δy δt v 11⎪ ⎪ ⎪i +, j +i +, j +τ⎢i , j =0⎝i , j =1i , j =0⎝22⎭22⎭⎥⎣⎦
m -1
2h
2
i , j =1
∑g D v ≤h
k
ij
m -1
k ˆij t
2
i , j =1
∑(g ij ) +h
2
m -1
2
i , j =1
∑(D v )
m -1
k 2
ˆij t
≤g k ≤g
2
k 2
1212⎤⎡m -1⎛m -1k +k -⎫⎛⎫122⎪2⎪⎥ +⎢h 2∑ δv +h δv ∑t ij ⎪ t ij ⎪⎥2⎢i , j +1 i , j =1⎝⎭⎝⎭⎦⎣
1
+(E k +E k -1) ， 2
由5.25得 1
(E k +E k -1) ≤g k 或
2
1
+(E k +E k -1) ， 1≤k ≤n -1, 2
⎛τ⎫k ⎛τ⎫k -1k 2
， 1≤k ≤n -1, 1-E ≤1+E +τg ⎪ ⎪
⎝2⎭⎝2⎭
当τ≤2/3时，有
23⎛3⎫
E k ≤ 1+τ⎪E k -1+τg k ， 1≤k ≤n -1,
2⎝2⎭
由Gronwall 不等式，可得
E ≤e
k
3
k τ2
⎛03k l E +τ∑g
2l =1⎝
2
⎫
⎪， 1≤k ≤n -1, ⎭
定理完毕.
4. 差分格式解的存在性、收敛性和稳定性
4.1存在性
定理5.2.2差分格式 (5.19-1)——(5.19-4)是唯一可解的.
9
证明 差分格式(5.19-1)——(5.19-4)是线性的. 考虑 其齐次方程组
k +1k -1k +1k -1
⎛⎫τ4222k u +u u +u ij ij ij ij 2k 22⎪+δx δy δt u ij =0 δt u ij - ∂x +∂y ⎪422⎝⎭
1≤i , j ≤m -1, 1≤k ≤n -1,
u ij =0， 0≤i , j ≤m ， 1u ij =0， 0≤i , j ≤m ，
k D t ˆv ij =0， (i , j ) ∈γ, 1≤k ≤n -1,
由定理5.2.1，有
k +1/2h 2∑δt u ij
i , j =1m -1
()
1⎛k +12τ4h 2k 2⎫+ u +u ⎪+
11⎭2⎝4
1
k +⎛⎫2 D x D y δt u 11⎪. =0 ∑ i +, j +⎪i , j =0⎝22⎭m -1
1≤k ≤n ，
易知
k
u ij =0, 0≤i , j ≤m , 1≤k ≤n .
因而差分方程组是(5.19-1)——(5.19-4)唯一可解的.
4.2收敛性
定理5.2.3设(x , y , t ) 0≤x , y ≤1, 0≤t ≤T 为定解问题(5.16-1)——
k (5.16-3)的解，u ij , 0≤i , j ≤m , 0≤k ≤n }为差分格式(5.19-1)——(5.19-4)
{
的解.
记
k k
， 0≤i , j ≤m , 0≤k ≤n ， e ij =u (x i , y j , t k ) -u ij
则对任意的步长比s =τ/h , 有
10
2
⎛k +1⎫21k +12⎛3⎫⎛73⎫22⎪ h ∑ δt e ij ⎪+⎛ e 1+e k 1⎫⎪≤exp T ⎪ +T ⎪2(τ2+h 2) 2,
⎭2⎝⎝2⎭⎝42⎭i , j =1⎝⎭
m -1
1≤k ≤n -1,
其中由(5.18-1)——(5.18-5)定义.
证明 将(5.17-1)——(5.17-4)的分别与(5.19-1)——(5.19-4)相减，可得误差方程
k +1k -1k +1k -1
⎛⎫τ4222k e +e e +e ij ij ij ij 2k 22k ⎪+δx δy δt e ij =ij δt e ij - ∂x +∂y ⎪422⎝⎭
1≤i , j ≤m -1, 1≤k ≤n -1,
e ij =0， 0≤i , j ≤m ， 1e ij =0， 0≤i , j ≤m ，
k ∆t ˆe ij =0， (i , j ) ∈γ, 1≤k ≤n -1,
由定理5.2.1有
42
⎛k +1⎫1⎛k +12τh 2k 2⎫2⎪h ∑ δe +e +e + ⎪ t ij ⎪2⎝11⎭4i , j =1⎝⎭m -1
2
1
k +⎛⎫2 δx δy δt e 11⎪∑ i +, j +⎪i , j =0⎝22⎭m -1
2
≤e
3
k τ2
1⎡m -1
1⎛12τ4h 22202⎫2⎢h ∑(δt e ij ) + e +e ⎪+
1⎭2⎝14⎢i , j =1
⎣21
⎛⎫3k -12m -1l 2⎤2 δx δy δt e 11⎪+τ∑h ∑ij ⎥∑ i +, j +⎪2l =1i , j =1⎥i , j =0⎝22⎭⎦m -1
)
1≤k ≤n -1,
应用(5.18-1)——(5.18-5)可得
⎛k +1⎫1⎛k +12⎛3⎫⎛73⎫2k 2⎫2⎪ h ∑ δt e ij ⎪+ e +e ⎪≤exp T ⎪ +T ⎪2(τ2+h 2) 2,
11⎭2⎝⎝2⎭⎝42⎭i , j =1⎝⎭
m -1
2
1≤k ≤n -1,
定理证毕.
11
4.3稳定性
定理5.2.4差分格式(5.19-1)——(5.19-4)对任意的步长s 在下述意义下
k
对初值和右端函数是稳定的：设u ij , 0≤i , j ≤m , 0≤k ≤n }为差分方程组
k +1k -1k +1k -1
⎛⎫τ4222k u +u u +u ij ij ij ij 2k 22⎪+δx δy δt u ij =f ij k δt u ij - ∂x +∂y ⎪422⎝⎭
{
1≤i . j ≤m -1, 1≤k ≤n -1,
u ij =φij ， 0≤i , j ≤m ， 1u ij =ψij ， 0≤i , j ≤m ， k D t ˆv ij =0， (i , j ) ∈γ, 1≤k ≤n -1,
的解，则有
142
k +⎫⎛1⎛k +12τh 2k 2⎫2⎪h ∑ δu +u +u + ⎪ t ij ⎪11⎭2⎝4i , j =1⎝⎭m -13
k τ2
2
1k +⎛⎫2 δx δy δt u 11⎪∑ i +, j +⎪i , j =0⎝22⎭m -1
21⎤k -1⎛⎫23l
δx δy δt u 211⎪+τ∑f ⎥， ∑ i +, j +⎪2l =1⎥i , j =0⎝22⎭⎦m -1
2
≤e
142⎡m -1
221τh 22102⎢h ∑(δt u ij ) +⎛ u 1+u 1⎫⎪+
⎭2⎝4⎢i , j =1
⎣
0≤k ≤n -1,
证明直接应用定理5.2.1.
12
参考文献
[1]陆金甫，关治. 偏微分方程数值解法[M]．北京：清华大学出版社.2004． [2]LeVeque R J ．Numerical Methods for Conservation Law s ．Basel ： Birkhauser Velag ，1990．
[3]徐长发，李红．偏微分方程数值解法[M]. 武汉: 华中科技大学出版社.2000． [4]李荣华. 偏微分方程数值解法[M]. 北京: 高等教育出版社.2010.
[5] 孙志忠，李雪玲. 反应扩散方程的紧交替方向的差分方法. 计算数学, 2005, 27(2):209–224.
[6]R ．A ．Adams ．Sobolev Spaces[M]．New York：Academic Press，(1975)． [7] 张志跃. 一类非线性发展方程的交替分段显隐并行数值方法. 计算力学学报, 2002,19(2):154–158.
[8] Deng D, Zhang Z. A new high-order algorithm for a class of nonlinear evolution equation. J. Phys.A: Math. Theor., 2008, 41:015202.
[9]J ．C ．Xu and J ．Zou ．Some nonoverlapping domain decomposition methods[J]．SIAM- Rev，40(4)，(1998)，857-914． [10]W ．Z ．Dai ．Compact ADI method for solving parabolic
Differential equations[J]．Numer ．Methods for PDE，18(2002)，129-142．
13
致谢
在我的论文设计过程中，陈淼超老师从选题指导、论文框架到细节修改，都给予了我细致的指导，提出了很多宝贵的意见与建议，老师以其严谨求实的治学态度、高度的敬业精神、兢兢业业、孜孜以求的工作作风和大胆创新的进取精神对我产生重要影响。同时也感谢和我同组的组员，在设备上和技术上都给了我很大的帮助。另外，在校图书馆查找资料的时候，图书馆的老师也给我提供了很多方面的支持与帮助。在此向帮助和指导过我的各位老师表示最衷心的感谢！
这篇论文是在老师的精心指导和同组的伙伴们以及学校图书馆的工作人员的大力支持下才完成的
感谢所有授我以业的老师，没有这些年知识的积淀，我没有这么大的动力和信心完成这篇论文。感恩之余，诚恳地请各位老师对我的论文多加批评指正，由于我的学术水平有限，所写论文难免有不足之处，恳请各位老师和学友批评和指正！
谨以此致谢最后，我要向百忙之中抽时间对本文进行审阅的各位老师表示衷心的感谢。
14
附页
算例2.1.1的编程：
a =2 a τ111取h =，τ=，则r =2=，满足稳定性条件 h 21010
a τ111另取h =，τ=，则r =2=，亦满足稳定性条件 h 22020
a τ111另取h =，τ=，则r =2=，亦满足稳定性条件 h 24040
format long
a=2;
l=1;
T=1;
N=10;
M=10;
h=l/N;
to=T/M;
r=(a*to)/h^2;
for j=1:N+1
x(j)=(j-1)*h;
for k=1:M+1
t(k)=(k-1)*to;
u(j,k)=exp(x(j)+2*t(k));
end
end
u %求解精确解
for j=1:N+1
x(j)=(j-1)*h;
us(j,1)=exp(x(j));
end
for k=1:M+1
15
t(k)=(k-1)*to;
us(1,k)=exp(2*t(k));
us(N+1,k)=exp(1+2*t(k));
end
for k=2:M+1
for j=2:N
us(j,k)=r*us(j-1,k-1)+(1-2*r)*u(j,k-1)+r*us(j+1,k-1); end
end
us %求解数值解
for k=1:M+1
for j=1:N+1
R(j,k)=abs(u(j,k)-us(j,k));
end
end
R %计算误差
Rmax=max(max(R)) %求误差的最大值
精确解与数值解的比较：
x=0:0.1:1;
hold on
plot(x,u(:,M+1),'b' );
plot(x,us(:,M+1),'y' );
title('t=1，h=1/10，τ=1/10时精确解和数值解的比较' )
text(0.05,21,' 蓝：精确解' );
text(0.05,20,' 黄：数值解' );
hold off
取不同步长时的误差比较：
x=0:1/10:1;
y=0:1/20:1;
z=0:1/40:1;
hold on
plot(x,R(:,M+1),'b' );
hold off
M 分别取10，20，40
16
本科毕业论文（设计）
题 目 二维双曲线型方程的交替方向隐格式解法
院（系） 数学系
专 业 数学与应用数学
学生姓名 周玲玲
学 号 10022156 指导教师 陈淼超 职称 讲师
论文字数 9500
完成日期: 2014年6月8日
巢湖学院本科毕业论文(设计) 诚信承诺书
本人郑重声明：所呈交的本科毕业论文(设计) ，是本人在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。
本人签名：
日期：
巢湖学院本科毕业论文 (设计) 使用授权说明
本人完全了解巢湖学院有关收集、保留和使用毕业论文 (设计) 的规定，即：本科生在校期间进行毕业论文(设计) 工作的知识产权单位属巢湖学院。学校根据需要，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许毕业论文 (设计) 被查阅和借阅；学校可以将毕业论文(设计) 的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编毕业，并且本人电子文档和纸质论文的内容相一致。
保密的毕业论文(设计) 在解密后遵守此规定。
本人签名：
导师签名：
日期： 日期：
二维双曲型方程的交替方向隐格式解法
摘要
在解决偏微分方程中二维双曲线型方程的问题求解初边值问题时，显示格式的稳定性是有条件的，并且多维的稳定性条件更严，为得到稳定性好的格式，隐式格式受到重视。用隐式格式求解二维问题得到的线性方程组其系数矩阵为宽带状，因此求解不甚便利，采用交替方向隐式（ADI ）格式可以避免此问题。本文以基本概念和基本方法为主，同时结合算例实现算法。
第一部分介绍二维双曲线型方程的交替方向隐格式解法的基本概
2∂2u 2∂u 念，引入本文的研究对象——二维波动方程： 2=a 2，x ∈R ，∂t ∂t
t ∈(0, T ]
第二部分介绍上述方程的二维双曲线型方程的交替方向隐格式及这种格式的存在性、收敛性与稳定性。
第三部分通过算例检验二维双曲线型方程的交替方向隐格式的可行性。
关键词：二维双曲型方程；交替方向隐格式；存在性；收敛性；稳定性
I
Alternating direction implicit method for
2-D hyperbolic equation
Abstract
In solving partial differential equations to solve the two-dimensional hyperbolic equation in the initial boundary value problem, the stability of the display format is conditional, and the stability conditions of multidimensionalmore strict, in order to get the good
for stability of thescheme, implicit attention. By using implicit scheme solving the
two-dimensional problem of linear equationswhose coefficient matrix is a broad band, thus solving thenot very convenient, using the alternating direction implicit(ADI) scheme can avoid this problem. In this paper, the basic concepts and basic method, at the same timealgorithm with an example.
The first part is the introduction of two dimensionalhyperbolic equation of alternating direction implicit methodbasic concept -- two-dimensional wave equation, the object of study is introduced in this paper:,,
The second part introduces the existence and stability oftwo dimensional hyperbolic equations, the convergence of the above equation alternating direction implicit schemeand this format.
Feasibility of alternating direction implicit scheme third part through the examples to test two-dimensionalhyperbolic equation.
Keywords : hyperbolic equation, alternating direction implicit scheme, existence, convergence, stability
II
目 录
摘要 ..................................................... I Abstract ................................................ II
1. 前言 ................................................... 1
2. 差分格式的建立 ......................................... 2
2.1差分格式的求解 . .................................... 4
2.1.1算例 ............................................ 6
3. 差分格式解的先验估计式 ................................. 8
4. 差分格式解的存在性、收敛性和稳定性 ..................... 9
4.1存在性 ............................................ 9
4.2收敛性 ........................................... 10
4.3稳定性 ........................................... 12
参考文献 ................................................ 13
致谢 .................................................... 14
附页 .................................................... 15
1. 前言
微分方程有着广泛的自然科学与工程技术的背景，例如热传导问题，流体力学问题，波动问题都可以用微分方程来刻画。然而，实际的运用中，大部分偏微分方程的解很难以解析形式表示出来，人们将研究的重心逐渐的向偏微分方程的数值解方向转移，众多科研家在研究偏微分方程的数值解方面做出了巨大的贡献， 。
变分法，有限差分法与有限元方法是目前运用最为广泛的偏微分方程的数值解法。其中，有限差分法以其 的特点被广大研究者所认可和研究。然而，利用有限差分法在求解偏微分方程的时也会有诸多的不足之处，比如不同步长情况下的稳定性与精度相差很多，因此，经过几代科学家的不懈努力，众多稳定性好，精度高的差分格式被提出，比如 。
在差分格式中，解决偏微分方程中二维双曲线方程的问题求解初边值问题时，显示格式的稳定性是有条件的，并且多维的稳定性条件更严，为得到稳定性好的格式，隐式格式受到重视。用隐式格式求解二维问题得到的线性方程组其系数矩阵为宽带状，因此求解不甚便利，采用交替方向隐式（ADI ）格式可以避免此问题。
本文将从基本概念和基本方法入手，通过简单的二维波动方程，介绍二维双曲线型方程的交替方向隐格式解法及其简单的实际应用，起到初步介绍偏微分方程数值解法的目的。
1
2. 差分格式的建立
作为模型，考虑二维波动方程的初边值问题
∂2u ⎛∂2u ∂2u ⎫- -2⎪=f (x , y , z ), (x , y , t )∈Ω⨯(0, T ], （5.16-1） 22 ⎪∂t ∂y ⎭⎝∂x
u (x , y , 0) =φ(x , y ), ∂u (x , y , 0) =ψ(x , y ), (x , y )∈ (5.16-2) ∂t
u (x , y , t ) =α(x , y , t ) , (x , y )∈Γ, 0≤t ≤T , (5.16-3) 其中Ω=(0, 1) ⨯(0, 1), Γ为Ω的边界，且当（x , y ) ∈Γ时，α（x , y , 0) =φ(x , y ), ∂α(x , y , 0) t =ψ(x , y ).
在结点(x i , y i , t k )处考虑方程（5.16-1）. 由泰勒展开式可得
+1k -1+1k -1⎛2 k ⎫τ4
222k k k ij + ij ij + ij 2⎪+∂x ∂y ∂t ij =f ij k +ℜij ∂ - ∂x +∂y ⎪422⎝⎭2t k ij
1≤i . j ≤m -1, 1≤k ≤n -1, (5.17-1) 0
ij =φ(x i , y j ), 0≤i , j ≤m (5.17-2) 1
ij =φ(x i , y j ) +τψ(x i , y j ) +1/2τ2[φxx (x i , y j ) +φyy (x i , y j ) +f (x i , y j , 0)]+ωij ,
0≤i , j ≤m , (5.17-3)
k D t u ij =1[α(x i , y j , t k +1) -α(x i , y j , t k -1)] , 2τ
(i , j ) ∈γ, 1≤k ≤n -1, (5.17-4) 其中
f ij k =f (x i , y j , t k ), 1≤i , j ≤m -1, 1≤k ≤n -1,
4k ∂4u (x i , y j , ij k ) ∂4u (x i , y j , ij k ) ⎫⎤2⎡1∂u (x i , y j , ij ) 1⎛⎪⎥τ =⎢- +42222 ⎪⎥4⎝∂t ∂x ∂t ∂y ∂t ⎣12⎭⎦
4k -14k +11⎡∂u (ηij , y j , t k -1) ∂u (ηij , y i , t k +1) -+⎢424⎣∂x ∂x 4⎢
2
+1∂4u (x i , k -
ij , t k -1)
∂y 4∂4u (x i , ij k +1, t kk +1) ⎤2τ4222k +⎥h +∂x ∂y ∂t ij 44∂y ⎥⎦
1≤i , j ≤m -1, 1≤k ≤n -1,
k k -1k +1ξij , ij k ∈(t k -1, t k +1), ηij ηij ∈(x i -1, x i +1),
ij k -1, ij k +1∈(y i -1, y i +1),
3∂u (x i , y j , t ) 1τωij =⎰(τ-t ) 2dt , 0≤i , j ≤m . 302∂t
且存在常数, 使得
k ij ≤(τ2+h 2), 1≤i , j ≤m -1, 1≤k ≤n -1, （5.18-1） ωij ≤3, 0≤i , j ≤m , （5.18-2） δx ωi +1/2, j ≤τ3, 1≤i ≤m -1, 0≤j ≤m , (5.18-3) δy ωi , j +1/2≤τ3, 0≤i ≤m , 0≤j ≤m -1, (5.18-4) δx δy ωi +1/2, j +1/2≤τ3, 1≤i , j ≤m -1 (5.18-5)
对定解问题（5.16-1）～(5.16-3)建立如下差分格式
k +1k -1k +1k -1⎛2u ij ⎫τ4
222k +u ij u ij +u ij 2⎪+δx δy δt u ij =f ij k δu - ∂x +∂y ⎪422⎝⎭2t k ij
1≤i . j ≤m -1, 1≤k ≤n -1, (5.19-1) 0u ij =φ(x i , y j ), 0≤i , j ≤m (5.19-2) 1=φ(x i , y j ) +τψ(x i , y j ) +1/2τ2[φxx (x i , y j ) +φyy (x i , y j ) +f (x i , y j , 0)]+ωij , u ij
0≤i , j ≤m , (5.19-3)
k D t u ij =1[α(x i , y j , t k +1) -α(x i , y j , t k -1)] , 2τ
(i , j ) ∈γ, 1≤k ≤n -1, (5.19-4) (5.19-4)等价于
2l u ij =α(x i , y j , t 2l ), (i , j ) ∈γ, 2≤2l ≤n ;
3
2l +11u ij =α(x i , y j , t 2l +1) +u ij -α(x i , y j , t 1), (i , j ) ∈γ, 3≤2l +1≤n 差分格式(5.19-1) ～(5.19-4)的结点图式见图5.5.
图5.5. 差分格式(5.19-1) ～(5.19-4)的结点图
2.1差分格式的求解
注意到
k +1k -1u ij +u ij
2=k +1k k -1u ij -2u ij +u ij
21k k k +u ij =τ2∂t 2u ij +u ij , 2
可将(5.19-1) ～(5.19-4)写为
τ4
222k ⎛122k k δx δy δt u ij =f ij k ∂u -(δ+δ) δt u ij +u ij +4⎝22k
t ij 2x 2y )
或
4
⎛τ22⎫⎛τ22⎫2k k k 22 ⎪ ⎪=+f δu u (δ+δ) I-δI-δij ， ij x y x ⎪ y ⎪t ij 22⎝⎭⎝⎭
1≤i . j ≤m -1, 1≤k ≤n -1, （5.20）
令
⎛τ22⎫2k ij = I-2δy ⎪⎪δt u ij ，
⎝⎭则有
⎛τ22⎫k k 22
⎪+， （5.21-1） =f u (δ+δ) I-δij ij ij x y x ⎪2⎝⎭⎛τ22⎫2k I-2δy ⎪⎪δt u ij =ij . （5.21-2） ⎝⎭
k -1k 当第k -1层、第k 层的值｛u ij , u ij , 0≤i , j ≤m ｝已知时，由（5.21-1）
求出过渡层上的值｛ij , 1≤i , j ≤m -1｝：对任意固定的j (1≤j ≤m -1) ，取边界条件
0j
⎛τ22⎫2k ⎛τ22⎫2k
= I-2δy ⎪⎪δt u 0j ， mj = I-2δy ⎪⎪δt u mj ， （5.22-1） ⎝⎭⎝⎭
求解
⎛τ22⎫k k 22
⎪ +， 1≤i , j ≤m -1， （5.22-2） =f u (δ+δ) I-δij ij ij x y x ⎪2⎭⎝
得到｛ij , 1≤i , j ≤m -1｝.
当｛ij , 1≤i , j ≤m -1｝已求出时，由 （5.21-2）求出第k +1层上u
k +1
的值｛u ij ：对固定的i (1≤i ≤m -1) ，取边界条件 , 1≤i , j ≤m -1｝
D t u i k 0=
1
[α(x i , y 0, t k +1) -α(x i , y 0, t k -1)] ， （5.23-1） 2τ1k
D t u im =[α(x i , y m , t k +1) -α(x i , y m , t k -1)]
2τ
求解
⎛τ22⎫2k I-2δy ⎪⎪δt ij =ij . 1≤j ≤m -1， （5.23-2） ⎝⎭
5
得到｛δt 2 k ij ，1≤j ≤m -1｝. 最后由
k +1k k k -1 u ij =τ2δt 2u ij +2u ij -u ij , 1≤i , j ≤m -1 k +1得到{u ij , 1≤i , j ≤m -1}.
（5.22-1）和（5.22-2）是关于x 方向的隐格式，（5.23-1）和 （5.23-2）
是关于y 方向的隐格式. 它们均是三对角线性方程组，可用追赶法求解. 我们把 （5.21-1）和（5.21-2）称为交替方向隐格式. 2.1.1算例
用交替方向隐格式（5.22-1）和（5.22-2）计算定解问题
∂2u ⎛∂2u ∂2u ⎫11/2(x +y ) -t
- +2⎪=e ， 0
u (x , y , 0) =e u (0, y , t ) =e u (x , 0, t ) =e
1
(x +y ) -t 2
(x +y ) -t ∂u (x , y , 0) 2
， 0
∂t
1
1y -t 2
， u (1, y , t ) =e ， u (x , 1, t ) =e
1
(1+y ) -t 2
， 0≤y ≤1，0≤t ≤1，
1x -t 21
(1+x ) -t 2
， 0
该定解问题的精确解为u (x , y , t ) =e
1
(x +y ) -t 2
表3.2给出了取h =1/10, τ=1/10时计算得到的部分数值结果. 表3.3给出了取不同步长时数值解的最大误差
k
E ∞(h , τ) =max |u (x i , y i , t k ) -u ij |.
1≤i , i ≤m -1
1≤k ≤n
从表3.3可以看出，当空间步长和时间步长同时缩小到原来的1/2时，最大误差约缩小为原来的1/4.
图3.5和图3.6分别给出了t=1时精确解得曲面图和取步长
h =1/10, τ=1/10所得数值解的曲面图；图3.7给出了t=1时取不同步长所得数
值解的误差曲面图.
(图与编程见附页)
6
表3.2算例3,1部分结点处数值解，精确解和误差的绝对值(h =1/100, τ=1/100)
表3.3 算例3.1取不同步长时数值解的最大误差E ∞(h , τ)
7
3. 差分格式解的先验估计式
k
定理3.1 设{v ij , 0≤i , j ≤m , 0≤k ≤m }为差分方程组 k +1k -1k +1k -1
⎛2u ij ⎫τ4222k +u ij u ij +u ij
2k ⎪+δx δy δt u ij =g ij δu - ∂x +∂y
⎪22⎝⎭42
t
k ij
1≤i , j ≤m -1, 1≤k ≤n -1, （5.24-1）
0u ij =φij ， 0≤i , j ≤m ， （5.24-2） 1u ij =ψij ， 0≤i , j ≤m ， （5.24-3） k D t ˆv ij =0， (i , j ) ∈γ, 1≤k ≤n -1, （5.24-4）
的解，则对任意步长s (s ≡τ/h ) ，有
E =e 其中
E =h
k
k
3
k τ2
⎛03k -1l E +2τ∑g
l =1⎝
2
⎫
⎪，1≤k ≤n ， ⎭
1k +⎛⎫2 ⎪δδδv ∑x y t 11. i +, j +⎪i , j =0⎝22⎭m -1
2
i , j =1
∑(δv
m -1
k +1/2
t ij
)
1⎛k +12τ4h 2k 2⎫+ v +v ⎪+
11⎭⎝24
k
证明 用2h 2D t ˆv ij 乘以（5.24-1）的两边，并对i , j 求和，得到
2h
2
i , j =1
∑(δ
2
x
m -1
2k t ij
v
)(
k +1k -1k +1k -1
⎛2v ij ⎫+v ij v ij +v ij
2k ⎪D ˆv ij D v -2h ∑ δx +δy
⎪t 22i , j =1⎭⎝k
ˆij t
)
2
m -1
+
τ4
2
h
2
i , j =1
∑(δ
m -1
δδv
2
y 2k t ij
)D v
k ˆij t
=2h
2
i , j =1
∑g
m -1
k
ij k
， 1≤k ≤n -1, （5.24-5） D t ˆv ij
注意到
1212⎤⎡m -1⎛m -1k +⎫k -⎫⎛m -122⎪2⎪⎥1⎢h 2 22k k δv -h δv ∑∑t ij t ij ， 2h ∑(δt v ij )(D t ˆv ij )= ⎪ ⎪τ⎢i , j +1⎝i , j =1⎝i , j =1⎭⎭⎥⎣⎦
8
⎛2v
-2h ∑ δx
i , j =1⎝
2m -1
k +1
ij
+v 2
k -1ij
+δ
2y
v
k +1ij
+v 2
k -1ij
k +12k -12⎫⎛ v 1-v 1⎪⎫⎭， k ⎪D t ˆv ij =⎝
⎪2τ⎭
2211⎡⎤m -1⎛m -1⎛k +k -⎫⎫12k 2222k 222⎥， 2h ∑(δx δy δt v ij )D t ˆv ij =⎢h ∑ δx δy δt v 11⎪-h ∑ δx δy δt v 11⎪ ⎪ ⎪i +, j +i +, j +τ⎢i , j =0⎝i , j =1i , j =0⎝22⎭22⎭⎥⎣⎦
m -1
2h
2
i , j =1
∑g D v ≤h
k
ij
m -1
k ˆij t
2
i , j =1
∑(g ij ) +h
2
m -1
2
i , j =1
∑(D v )
m -1
k 2
ˆij t
≤g k ≤g
2
k 2
1212⎤⎡m -1⎛m -1k +k -⎫⎛⎫122⎪2⎪⎥ +⎢h 2∑ δv +h δv ∑t ij ⎪ t ij ⎪⎥2⎢i , j +1 i , j =1⎝⎭⎝⎭⎦⎣
1
+(E k +E k -1) ， 2
由5.25得 1
(E k +E k -1) ≤g k 或
2
1
+(E k +E k -1) ， 1≤k ≤n -1, 2
⎛τ⎫k ⎛τ⎫k -1k 2
， 1≤k ≤n -1, 1-E ≤1+E +τg ⎪ ⎪
⎝2⎭⎝2⎭
当τ≤2/3时，有
23⎛3⎫
E k ≤ 1+τ⎪E k -1+τg k ， 1≤k ≤n -1,
2⎝2⎭
由Gronwall 不等式，可得
E ≤e
k
3
k τ2
⎛03k l E +τ∑g
2l =1⎝
2
⎫
⎪， 1≤k ≤n -1, ⎭
定理完毕.
4. 差分格式解的存在性、收敛性和稳定性
4.1存在性
定理5.2.2差分格式 (5.19-1)——(5.19-4)是唯一可解的.
9
证明 差分格式(5.19-1)——(5.19-4)是线性的. 考虑 其齐次方程组
k +1k -1k +1k -1
⎛⎫τ4222k u +u u +u ij ij ij ij 2k 22⎪+δx δy δt u ij =0 δt u ij - ∂x +∂y ⎪422⎝⎭
1≤i , j ≤m -1, 1≤k ≤n -1,
u ij =0， 0≤i , j ≤m ， 1u ij =0， 0≤i , j ≤m ，
k D t ˆv ij =0， (i , j ) ∈γ, 1≤k ≤n -1,
由定理5.2.1，有
k +1/2h 2∑δt u ij
i , j =1m -1
()
1⎛k +12τ4h 2k 2⎫+ u +u ⎪+
11⎭2⎝4
1
k +⎛⎫2 D x D y δt u 11⎪. =0 ∑ i +, j +⎪i , j =0⎝22⎭m -1
1≤k ≤n ，
易知
k
u ij =0, 0≤i , j ≤m , 1≤k ≤n .
因而差分方程组是(5.19-1)——(5.19-4)唯一可解的.
4.2收敛性
定理5.2.3设(x , y , t ) 0≤x , y ≤1, 0≤t ≤T 为定解问题(5.16-1)——
k (5.16-3)的解，u ij , 0≤i , j ≤m , 0≤k ≤n }为差分格式(5.19-1)——(5.19-4)
{
的解.
记
k k
， 0≤i , j ≤m , 0≤k ≤n ， e ij =u (x i , y j , t k ) -u ij
则对任意的步长比s =τ/h , 有
10
2
⎛k +1⎫21k +12⎛3⎫⎛73⎫22⎪ h ∑ δt e ij ⎪+⎛ e 1+e k 1⎫⎪≤exp T ⎪ +T ⎪2(τ2+h 2) 2,
⎭2⎝⎝2⎭⎝42⎭i , j =1⎝⎭
m -1
1≤k ≤n -1,
其中由(5.18-1)——(5.18-5)定义.
证明 将(5.17-1)——(5.17-4)的分别与(5.19-1)——(5.19-4)相减，可得误差方程
k +1k -1k +1k -1
⎛⎫τ4222k e +e e +e ij ij ij ij 2k 22k ⎪+δx δy δt e ij =ij δt e ij - ∂x +∂y ⎪422⎝⎭
1≤i , j ≤m -1, 1≤k ≤n -1,
e ij =0， 0≤i , j ≤m ， 1e ij =0， 0≤i , j ≤m ，
k ∆t ˆe ij =0， (i , j ) ∈γ, 1≤k ≤n -1,
由定理5.2.1有
42
⎛k +1⎫1⎛k +12τh 2k 2⎫2⎪h ∑ δe +e +e + ⎪ t ij ⎪2⎝11⎭4i , j =1⎝⎭m -1
2
1
k +⎛⎫2 δx δy δt e 11⎪∑ i +, j +⎪i , j =0⎝22⎭m -1
2
≤e
3
k τ2
1⎡m -1
1⎛12τ4h 22202⎫2⎢h ∑(δt e ij ) + e +e ⎪+
1⎭2⎝14⎢i , j =1
⎣21
⎛⎫3k -12m -1l 2⎤2 δx δy δt e 11⎪+τ∑h ∑ij ⎥∑ i +, j +⎪2l =1i , j =1⎥i , j =0⎝22⎭⎦m -1
)
1≤k ≤n -1,
应用(5.18-1)——(5.18-5)可得
⎛k +1⎫1⎛k +12⎛3⎫⎛73⎫2k 2⎫2⎪ h ∑ δt e ij ⎪+ e +e ⎪≤exp T ⎪ +T ⎪2(τ2+h 2) 2,
11⎭2⎝⎝2⎭⎝42⎭i , j =1⎝⎭
m -1
2
1≤k ≤n -1,
定理证毕.
11
4.3稳定性
定理5.2.4差分格式(5.19-1)——(5.19-4)对任意的步长s 在下述意义下
k
对初值和右端函数是稳定的：设u ij , 0≤i , j ≤m , 0≤k ≤n }为差分方程组
k +1k -1k +1k -1
⎛⎫τ4222k u +u u +u ij ij ij ij 2k 22⎪+δx δy δt u ij =f ij k δt u ij - ∂x +∂y ⎪422⎝⎭
{
1≤i . j ≤m -1, 1≤k ≤n -1,
u ij =φij ， 0≤i , j ≤m ， 1u ij =ψij ， 0≤i , j ≤m ， k D t ˆv ij =0， (i , j ) ∈γ, 1≤k ≤n -1,
的解，则有
142
k +⎫⎛1⎛k +12τh 2k 2⎫2⎪h ∑ δu +u +u + ⎪ t ij ⎪11⎭2⎝4i , j =1⎝⎭m -13
k τ2
2
1k +⎛⎫2 δx δy δt u 11⎪∑ i +, j +⎪i , j =0⎝22⎭m -1
21⎤k -1⎛⎫23l
δx δy δt u 211⎪+τ∑f ⎥， ∑ i +, j +⎪2l =1⎥i , j =0⎝22⎭⎦m -1
2
≤e
142⎡m -1
221τh 22102⎢h ∑(δt u ij ) +⎛ u 1+u 1⎫⎪+
⎭2⎝4⎢i , j =1
⎣
0≤k ≤n -1,
证明直接应用定理5.2.1.
12
参考文献
[1]陆金甫，关治. 偏微分方程数值解法[M]．北京：清华大学出版社.2004． [2]LeVeque R J ．Numerical Methods for Conservation Law s ．Basel ： Birkhauser Velag ，1990．
[3]徐长发，李红．偏微分方程数值解法[M]. 武汉: 华中科技大学出版社.2000． [4]李荣华. 偏微分方程数值解法[M]. 北京: 高等教育出版社.2010.
[5] 孙志忠，李雪玲. 反应扩散方程的紧交替方向的差分方法. 计算数学, 2005, 27(2):209–224.
[6]R ．A ．Adams ．Sobolev Spaces[M]．New York：Academic Press，(1975)． [7] 张志跃. 一类非线性发展方程的交替分段显隐并行数值方法. 计算力学学报, 2002,19(2):154–158.
[8] Deng D, Zhang Z. A new high-order algorithm for a class of nonlinear evolution equation. J. Phys.A: Math. Theor., 2008, 41:015202.
[9]J ．C ．Xu and J ．Zou ．Some nonoverlapping domain decomposition methods[J]．SIAM- Rev，40(4)，(1998)，857-914． [10]W ．Z ．Dai ．Compact ADI method for solving parabolic
Differential equations[J]．Numer ．Methods for PDE，18(2002)，129-142．
13
致谢
在我的论文设计过程中，陈淼超老师从选题指导、论文框架到细节修改，都给予了我细致的指导，提出了很多宝贵的意见与建议，老师以其严谨求实的治学态度、高度的敬业精神、兢兢业业、孜孜以求的工作作风和大胆创新的进取精神对我产生重要影响。同时也感谢和我同组的组员，在设备上和技术上都给了我很大的帮助。另外，在校图书馆查找资料的时候，图书馆的老师也给我提供了很多方面的支持与帮助。在此向帮助和指导过我的各位老师表示最衷心的感谢！
这篇论文是在老师的精心指导和同组的伙伴们以及学校图书馆的工作人员的大力支持下才完成的
感谢所有授我以业的老师，没有这些年知识的积淀，我没有这么大的动力和信心完成这篇论文。感恩之余，诚恳地请各位老师对我的论文多加批评指正，由于我的学术水平有限，所写论文难免有不足之处，恳请各位老师和学友批评和指正！
谨以此致谢最后，我要向百忙之中抽时间对本文进行审阅的各位老师表示衷心的感谢。
14
附页
算例2.1.1的编程：
a =2 a τ111取h =，τ=，则r =2=，满足稳定性条件 h 21010
a τ111另取h =，τ=，则r =2=，亦满足稳定性条件 h 22020
a τ111另取h =，τ=，则r =2=，亦满足稳定性条件 h 24040
format long
a=2;
l=1;
T=1;
N=10;
M=10;
h=l/N;
to=T/M;
r=(a*to)/h^2;
for j=1:N+1
x(j)=(j-1)*h;
for k=1:M+1
t(k)=(k-1)*to;
u(j,k)=exp(x(j)+2*t(k));
end
end
u %求解精确解
for j=1:N+1
x(j)=(j-1)*h;
us(j,1)=exp(x(j));
end
for k=1:M+1
15
t(k)=(k-1)*to;
us(1,k)=exp(2*t(k));
us(N+1,k)=exp(1+2*t(k));
end
for k=2:M+1
for j=2:N
us(j,k)=r*us(j-1,k-1)+(1-2*r)*u(j,k-1)+r*us(j+1,k-1); end
end
us %求解数值解
for k=1:M+1
for j=1:N+1
R(j,k)=abs(u(j,k)-us(j,k));
end
end
R %计算误差
Rmax=max(max(R)) %求误差的最大值
精确解与数值解的比较：
x=0:0.1:1;
hold on
plot(x,u(:,M+1),'b' );
plot(x,us(:,M+1),'y' );
title('t=1，h=1/10，τ=1/10时精确解和数值解的比较' )
text(0.05,21,' 蓝：精确解' );
text(0.05,20,' 黄：数值解' );
hold off
取不同步长时的误差比较：
x=0:1/10:1;
y=0:1/20:1;
z=0:1/40:1;
hold on
plot(x,R(:,M+1),'b' );
hold off
M 分别取10，20，40
16