常用逻辑用语知识点

逻辑连接词，全称量词，存在量词

知识点一：逻辑联结词：

“ ”、“ ”、“ ”这些词叫做逻辑联结词.

（1）不含逻辑联结词的命题叫简单命题，由简单命题与逻辑联结词构成的命题叫复合命题. （2）复合命题的构成形式：

①p或q；②p且q；③非p（即命题p的否定）. （3

）复合命题的真假判断（利用真值表）：

真 真 假 假

注意：

（1）逻辑 连结词“或”的理解是难点，“或”有三层含义，以“p或q”为例：一是p成立

且q不成立， 二是p不成立但q成立 ，三是p成立且q也成立。可以类比于集合中“（2）“或”、“且”联结的命题的否定形式：

“p或q”的否定是 ； “p且q” 的否定是 . （3） 对命题的否定只是否定命题的结论；否命题，既否定题设，又否定结论。

要注意逻辑联结词“或”“且”“非”与集合中的“并”“交”“补”是相关的

例1． 已知命题

或

”.

真 假 真 假

非

p:所有有理数都是实数，命题q:正数的对数都是负数，

则下列命题中为真命题的是（ ） A．(p)q

例2．若

B．

pq C．(p)(q) D．(p)(q)

p是真命题，q是假命题，则（ ）

pq是真命题 (B)pq是假命题 (C)p是真命题 (D)q是真命题

（A）

知识点二：全称量词与存在量词：

1.（1）短语“ （2）短语“ 存在一个 、 至少有一个 ”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“ ”表示。 2．全称命题与特称命题

（1）含有 量词的命题叫全称命题。

全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为： . （2）含有 量词的命题叫特称命题。

特称命题“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为：

2. 对含有一个量词的命题进行否定：（I）对含有一个量词的全称命题的否定 全称命题p：

，他的否定

： 全称命题的否定是 。

（II）对含有一个量词的特称命题的否定 特称命题p：注意：

（1） 命题的否定与命题的否命题是不同的.

命题的否定 命题的否命题

，他的否定

： 特称命题的否定是 。

题型分析

题型一:含有逻辑联结词的命题真假判定

例1．已知命题p1：函数y2x2x在R上为增函数，p2：函数y2x2x在R上为减函数，则在命题

q1:p1p2；q2:p1p2；q3:p1p2；q4:p1(p2)中真命题是（ ）

A.q1，q3 B．q2，q3 C．q1，q4 D．q2，q4 例2.下列各组命题中，满足“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为真的是（） A.

p:0；q:0

B.p:在△ABC中，若cos2Acos2B，则AB；q: ysinx在第一象限是增函数。 C. p: ab2ab(a,bR)；q:不等式xx的解集为(,0)

x2y2

1的一条准线方程是x4 D. p:圆(x1)(y2)1的面积被直线x1平分；q:椭圆43

题型二：全称命题与特称命题真假的判断

2

2

1. 要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M中每一个元素，验证要判断全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个

，使

成立；

不成立可；

，使

2. 要判断一个特称命题的真假，依据：只要在限定集合M中，至少能找到一个

成立，则这个特称命题就是真命题，否则就是假命题.

例3.写出下列命题的否定，并判断其真假

1

0； （2）q：所有的正方形都是矩形； 423

（3）r：x0R,x02x020； (4) s：至少有一个实数x0，使x010

2

（1）p：xR,xx

例4. 下列命题错误的是（ ）

A．对于命题p:xR，使得xx10，则p为：xR，均有xx10

2

2

22

B．命题“若x3x20，则x1”的逆否命题为“若x1， 则x3x20”

C．若pq为假命题，则p,q均为假命题

2

D．“x2”是“x3x20”的充分不必要条件

11p2:x(0,1),log1xlog1xp1:x(0,),()x()x

23， 23例5.下列4个命题：

p3：

A.

1

x(0,),()xlog1x

22

， p4：

11

x(0,),()xlog1x

323

.其中的真命题是（ ）

p1,p3 （ B）p1,p4 C. p2,p3 D. p2,p4

题型三：与逻辑联结词，全（特）称命题有关的参数问题

由p或q为真，知p、q必有其一为真，由p且q为假，知p、q必有一个为假，所以，“p假且q真”或“p真且q假”.可先求出命题p及命题q为真的条件，再分类讨论．

例6.已知命题p：“x[1,2],x2a0”，命题q：“x0R,x02ax02a0”，若命题“p且q”是真命题，求实数a的取值范围．

例7．命题p：关于x的不等式x2ax40对任意xR恒成立；

2

2

命题q：函数y(a1)xb在R上递增

若pq为真，而pq为假，求实数a的取值范围。

例8.设有两个命题：p: 关于x的不等式x+(a－1)x+a>0的解集是R；q:f(x)=log(2a2a1)

2

2

x是减函数。且p

和q至少有一个为真命题, 求实数a的取值范围.

例9. 已知p：x2mx10有两个不等的负根，q：4x24(m2)x10无实根．若p或q为真，p且q为假，求m的取值范围．

例10.已知下列三条抛物线：①y1x24ax4a3，②y2x2(a1)xa2，③y3x22ax2a中至少有一条与x轴有交点，求实数a的取值范围.

课后加油站

1.若非空集合A,B,C满足ABC，且B不是A的子集，则( )

A.“xC”是“xA”的充分条件但不是必要条件 B.“xC”是“xA”的必要条件但不是充分条件 C.“xC”是“xA”的充要条件

D.“xC”既不是“xA”的充分条件也不是“xA”必要条件

2. “x12成立”是“x(x3)0成立”的 ( )

A．充分不必要条件 B.必要不充分条件

C．充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

3.设f(x)，g(x)是定义在R上的函数，h(x)f(x)g(x)，则“f(x)，

g(x)均为偶函数”是“h(x)为偶函数”的

A．充要条件 B．充分而不必要的条件

C．必要而不充分的条件 D．既不充分也不必要的条件 4.已知命题p：xR,sinx1，则

（ ）

（ ）

A.p:xR,sinx1 B.p:xR,sinx1 C.p:xR,sinx1 D.p:xR,sinx1

2

5.命题：“若x1，则1x1”的逆否命题是

2

（ ）

，或x1 A.若x1，则x1

2

B.若1x1，则x1

，或x1，则x21 D.若x1，或x1，则x21 C.若x1

6.(2007山东)命题“对任意的xR,x3x210”的否定是 （ ）

A.不存在xR,x3x210

B.存在xR,x3x210

C.存在xR,x3x210 D.对任意的xR,x3x210

7.设集合M{x|0x3}，N{x|0x2}，那么“aM”是“aN”的 （ ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

1x2

8.设p：x－x－20>0,q：

x2

2

A.充分不必要条件 C.充要条件 9.（2）“m=

B.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

1

”是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m－2)x+(m+2)y－3=0 2

相互垂直”的 ( ) A.充分必要条件 B.充分而不必要条件 C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 10.对任意实数a，b，c，给出下列命题：①“ab”是“acbc”充要条件； ②“a5是无理数”是“a

22

是无理数”的充要条件③“a>b”是“a>b”的充分条件；④“a

逻辑连接词，全称量词，存在量词

知识点一：逻辑联结词：

“ ”、“ ”、“ ”这些词叫做逻辑联结词.

（1）不含逻辑联结词的命题叫简单命题，由简单命题与逻辑联结词构成的命题叫复合命题. （2）复合命题的构成形式：

①p或q；②p且q；③非p（即命题p的否定）. （3

）复合命题的真假判断（利用真值表）：

真 真 假 假

注意：

（1）逻辑 连结词“或”的理解是难点，“或”有三层含义，以“p或q”为例：一是p成立

且q不成立， 二是p不成立但q成立 ，三是p成立且q也成立。可以类比于集合中“（2）“或”、“且”联结的命题的否定形式：

“p或q”的否定是 ； “p且q” 的否定是 . （3） 对命题的否定只是否定命题的结论；否命题，既否定题设，又否定结论。

要注意逻辑联结词“或”“且”“非”与集合中的“并”“交”“补”是相关的

例1． 已知命题

或

”.

真 假 真 假

非

p:所有有理数都是实数，命题q:正数的对数都是负数，

则下列命题中为真命题的是（ ） A．(p)q

例2．若

B．

pq C．(p)(q) D．(p)(q)

p是真命题，q是假命题，则（ ）

pq是真命题 (B)pq是假命题 (C)p是真命题 (D)q是真命题

（A）

知识点二：全称量词与存在量词：

1.（1）短语“ （2）短语“ 存在一个 、 至少有一个 ”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“ ”表示。 2．全称命题与特称命题

（1）含有 量词的命题叫全称命题。

全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为： . （2）含有 量词的命题叫特称命题。

特称命题“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为：

2. 对含有一个量词的命题进行否定：（I）对含有一个量词的全称命题的否定 全称命题p：

，他的否定

： 全称命题的否定是 。

（II）对含有一个量词的特称命题的否定 特称命题p：注意：

（1） 命题的否定与命题的否命题是不同的.

命题的否定 命题的否命题

，他的否定

： 特称命题的否定是 。

题型分析

题型一:含有逻辑联结词的命题真假判定

例1．已知命题p1：函数y2x2x在R上为增函数，p2：函数y2x2x在R上为减函数，则在命题

q1:p1p2；q2:p1p2；q3:p1p2；q4:p1(p2)中真命题是（ ）

A.q1，q3 B．q2，q3 C．q1，q4 D．q2，q4 例2.下列各组命题中，满足“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为真的是（） A.

p:0；q:0

B.p:在△ABC中，若cos2Acos2B，则AB；q: ysinx在第一象限是增函数。 C. p: ab2ab(a,bR)；q:不等式xx的解集为(,0)

x2y2

1的一条准线方程是x4 D. p:圆(x1)(y2)1的面积被直线x1平分；q:椭圆43

题型二：全称命题与特称命题真假的判断

2

2

1. 要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M中每一个元素，验证要判断全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个

，使

成立；

不成立可；

，使

2. 要判断一个特称命题的真假，依据：只要在限定集合M中，至少能找到一个

成立，则这个特称命题就是真命题，否则就是假命题.

例3.写出下列命题的否定，并判断其真假

1

0； （2）q：所有的正方形都是矩形； 423

（3）r：x0R,x02x020； (4) s：至少有一个实数x0，使x010

2

（1）p：xR,xx

例4. 下列命题错误的是（ ）

A．对于命题p:xR，使得xx10，则p为：xR，均有xx10

2

2

22

B．命题“若x3x20，则x1”的逆否命题为“若x1， 则x3x20”

C．若pq为假命题，则p,q均为假命题

2

D．“x2”是“x3x20”的充分不必要条件

11p2:x(0,1),log1xlog1xp1:x(0,),()x()x

23， 23例5.下列4个命题：

p3：

A.

1

x(0,),()xlog1x

22

， p4：

11

x(0,),()xlog1x

323

.其中的真命题是（ ）

p1,p3 （ B）p1,p4 C. p2,p3 D. p2,p4

题型三：与逻辑联结词，全（特）称命题有关的参数问题

由p或q为真，知p、q必有其一为真，由p且q为假，知p、q必有一个为假，所以，“p假且q真”或“p真且q假”.可先求出命题p及命题q为真的条件，再分类讨论．

例6.已知命题p：“x[1,2],x2a0”，命题q：“x0R,x02ax02a0”，若命题“p且q”是真命题，求实数a的取值范围．

例7．命题p：关于x的不等式x2ax40对任意xR恒成立；

2

2

命题q：函数y(a1)xb在R上递增

若pq为真，而pq为假，求实数a的取值范围。

例8.设有两个命题：p: 关于x的不等式x+(a－1)x+a>0的解集是R；q:f(x)=log(2a2a1)

2

2

x是减函数。且p

和q至少有一个为真命题, 求实数a的取值范围.

例9. 已知p：x2mx10有两个不等的负根，q：4x24(m2)x10无实根．若p或q为真，p且q为假，求m的取值范围．

例10.已知下列三条抛物线：①y1x24ax4a3，②y2x2(a1)xa2，③y3x22ax2a中至少有一条与x轴有交点，求实数a的取值范围.

课后加油站

1.若非空集合A,B,C满足ABC，且B不是A的子集，则( )

A.“xC”是“xA”的充分条件但不是必要条件 B.“xC”是“xA”的必要条件但不是充分条件 C.“xC”是“xA”的充要条件

D.“xC”既不是“xA”的充分条件也不是“xA”必要条件

2. “x12成立”是“x(x3)0成立”的 ( )

A．充分不必要条件 B.必要不充分条件

C．充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

3.设f(x)，g(x)是定义在R上的函数，h(x)f(x)g(x)，则“f(x)，

g(x)均为偶函数”是“h(x)为偶函数”的

A．充要条件 B．充分而不必要的条件

C．必要而不充分的条件 D．既不充分也不必要的条件 4.已知命题p：xR,sinx1，则

（ ）

（ ）

A.p:xR,sinx1 B.p:xR,sinx1 C.p:xR,sinx1 D.p:xR,sinx1

2

5.命题：“若x1，则1x1”的逆否命题是

2

（ ）

，或x1 A.若x1，则x1

2

B.若1x1，则x1

，或x1，则x21 D.若x1，或x1，则x21 C.若x1

6.(2007山东)命题“对任意的xR,x3x210”的否定是 （ ）

A.不存在xR,x3x210

B.存在xR,x3x210

C.存在xR,x3x210 D.对任意的xR,x3x210

7.设集合M{x|0x3}，N{x|0x2}，那么“aM”是“aN”的 （ ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

1x2

8.设p：x－x－20>0,q：

x2

2

A.充分不必要条件 C.充要条件 9.（2）“m=

B.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

1

”是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m－2)x+(m+2)y－3=0 2

相互垂直”的 ( ) A.充分必要条件 B.充分而不必要条件 C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 10.对任意实数a，b，c，给出下列命题：①“ab”是“acbc”充要条件； ②“a5是无理数”是“a

22

是无理数”的充要条件③“a>b”是“a>b”的充分条件；④“a