第５４卷第１期吉林大学学报（理学版）
ＪｏｕｒｎａｌｏｆＪｉｌｉｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（ＳｃｉｅｎｃｅＥｄｉｔｉｏｎ）
Ｖｏｌ－５４
Ｊａｎ
Ｎｏ．１
２０１６
２０１６年１月
ｄｏｉ：ｌＯ．１３４１３／ｊ．ｃｎｋｉ．ｊｄｘｂｌｘｂ．２０１６．０１．１１
严格对角占优Ｍ一矩阵的逆矩阵无穷范数的新上界
王
蝰
（贵州民族大学理学院，贵阳５５００２５）
摘要：利用逆矩阵元素的范围，给出严格对角占优Ｍ一矩阵的逆矩阵无穷范数上界新的估计式，进而得到严格对角占优Ｍ一矩阵最小特征值下界的估计式，并给出了严格ａ一对角占优Ｍ一矩阵的逆矩阵的无穷范数新上界．理论分析和数值实例表明，新估计式改进了已有的
结果．
关键词：对角占优；Ｍ一矩阵；上界；最小特征值中图分类号：０１５１．２１
文献标志码：Ａ
文章编号：１６７卜５４８９（２０１６）０１～００６１一０５
ＮｅｗＵｐｐｅｒＢｏｕｎｄｓＩｂｒｔｈｅＩｎｆｉｎｉｔｙＮｏｎｎｏｆＩｎｖｅｒｓｅ
ＳｔｒｉｃｔｌｙＤｉａｇｏｎａｌｌｙＤ０ｍｉｎａｎｔ
ＷＡＮＧＦｅｎｇ
（ＣｏＺＺＰｇＰｏ，ＳｆｉＰ行ｃＰ，Ｇ“波＾ｏ“Ｍｉｎ２“【ｒｋｉ＂Ｐｒｓｉｆｙ，ＧＭｉｙⅡ”ｇ５５００２５，Ｃ＾ｉ”ｄ）
Ｍａｔｒｉｘ
ｏｆ
Ｍ—Ｍａｔｒｉｘ
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｂａｓｅｄ
ｏｎ
ｔｈｅｒａｎｇｅｆｏｒｔｈｅｅｌｅｍｅｎｔｓｏｆｉｎｖｅｒｓｅｍａｔｒｉｘ，
ａ
ａ
ｎｅｗｕｐｐｅｒｂｏｕｎｄｏｆｔｈｅｉｎｆｉｎｉｔｙ
ｓｏ
ａｓ
ｎｏｒｍｏｆｉｎＶｅｒｓｅｍａｔｒｉｘｏｆ
ｓｔｒｉｃｔｌｙｄｉａｇｏｎａｌｌｙｄｏｍｉｎａｎｔＭ—ｍａｔｒｉｘｗａｓｐｒｅｓｅｎｔｅｄ
ｔｏ
ｏｂｔａｉｎ
ａ
ｌｏｗｅｒｂｏｕｎｄｏｆｔｈｅｍｉｎｉｍｕｍｅｉｇｅｎｖａｌｕｅｏｆｔｈｅＭ—ｍａｔ“ｘ．ｉｎｆｉｎｉｔｙｎｏｒｍｏｆ
ｉｎＶｅｒｓｅ
Ｍｅａｎｗｈｉｌｅ，
ａ
ｎｅｗｕｐｐｅｒ
ｂｏｕｎｄｏｆｔｈｅ
Ｔｈｅｏｒｙ
ｍａｔｒｉｘｏｆ
ａ
ｓｔｒｉｃｔｌｙ口一ｄｉａｇｏｎａｌｌｙｄｏｍｉｎａｎｔＭ—ｍａｔｒｉｘｗａｓｇｉｖｅｎ．
ａｎａｌｙｓｉｓａｎｄｎｕｍｅｒｉｃａｌｅｘａｍｐｌｅｓｓｈｏｗｔｈａｔｔｈｅｓｅｂｏｕｎｄｓｉｍｐｒｏｖｅｅｘｉｓｔｅｄｒｅｓｕｌｔｓ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｄｉａｇｏｎａｌｄｏｍｉｎａｎｃｅ；Ｍ—ｍａｔｒｉｘ；ｕｐｐｅｒｂｏｕｎｄ；ｍｉｎｉｍｕｍｅｉｇｅｎｖａｌｕｅ
０
引
目
Ｍ一矩阵在矩阵论、计算数学、物理学、生物学、经济学等诸多领域应用广泛．目前，关于严格对角占优Ｍ一矩阵Ａ的逆矩阵的无穷范数ＩＩ
Ａ．１
ｌ｜。的上界估计问题已得到了一系列较好的结果ｍ５Ｉ．本文
继续考虑ＩＡ－１忆。的上界估计问题，给出一些新的估计式．数值实例表明，这些新估计式改进了文献［卜４］中的相应结果．
设嗯”“７表示全体行阶实方阵的集合，Ｎ表示全体正整数的集合。设Ａ∈嗯”“，Ａ≥ｏ表示Ａ为非负矩阵，ｌＤ（Ａ）表示Ａ的谱半径．若Ａ＝（日。）∈Ｒ”硒且盘。，≤０（睁！歹），则称Ａ为Ｚ－矩阵，记为Ａ∈Ｚ。．设Ａ∈Ｚ一则Ａ可表示为Ａ一Ⅱ一Ｂ，其中：ｓ为实数；Ｊ为单位阵；Ｂ≥０．当ｓ＞．０（Ｂ）时，称Ａ为Ｍ一矩阵．用ｒ（Ａ）表示Ｍ一矩阵Ａ的最小特征值．
收稿日期：２０１５一０５一０４．作者简介：王
网络出版时间：２０１５一ｌｌ１８．
峰（１９８１一），男。汉族，博士，副教授，从事矩阵理论及其应用的研究，Ｅ—ｍａｉｌ：ｗａｎｇｆ９９１＠１６３．ｃｏｍ．
基金项目：国家自然科学基金（批准号：１１３６１０７４）、贵州省科学技术基金（批准号：［２０１５］２０７３）、贵州省科技厅联合基金（批准号
［２０１５］７２０６）、贵州省教育厅自然科学基金（批准号：［２０１５］４２０）和贵州民族大学科研基金（批准号：１５ｘＲＹ００４）．
网络出版地址：ｈｔｔｐ：／／ｗｗｗ．ｃｎｋｉ．ｎｅｔ／ｋｃｍｓ／ｄｅｔａｉｌ／２２．１３４０．（）．２０１５１１１８．１０１３．００２．ｈｔｍｌ．
万方数据
６２
吉林大学学报（理学版）第５４卷
为讨论方便，引进下述记号：设Ａ一（ｎｉ）∈Ｒ以”，ｉ，ｊ，是∈Ｎ，睁！Ｊ，记
刚Ａ）一善ｋＩ，ｃ舶）一蚤ｈ，Ｉ，引Ａ）一臀，ｍ）＿｛ｉ∈…ｔ＜１）＇
“Ａ）一由，塞。ｈＩ＾（Ａ）一恶葚｛；到口ｉＩ儿ｉｌ）㈡（Ａ）一Ｍ）＿０，
如（Ａ）一————上午毒］————一，ｍ一（Ａ）一————上笸与Ｔ一，Ａ““’一
１）ｄ，（Ａ）≤１，ｉ∈Ｎ；
２）Ｊ（Ａ）≠ｐ；
ｋＩ＋∑ｋ协（Ａ）
ｋＩ＋∑ｋｋ（Ａ）
ａｉ
…
“ｎＩ
以”ｆ
…
口Ｍ
显然，若－，（Ａ）一Ｎ，则矩阵Ａ即为严格对角占优矩阵．若Ａ一（ｎ。）∈吨”“’满足下列３个条件：
３）对Ｖｉ硭Ｊ（Ａ），存在非零元素序列ｎｑ口ｖ。…ｍ，ｔ，其中ｉ≠ｉ・，ｉ・≠ｉｚ，…，ｉ，≠志，愚∈．厂（Ａ）．则称Ａ为弱链对角占优矩阵比］．
引理１［２：
设Ａ一（以。）∈吨袱”是弱链对角占优Ｍ一矩阵，Ｂ—Ａ∽“’，Ａ－１＝（ａｉ），且Ｂ＿１一（阮），则
㈨一去，ａ，－一去荟陬卜％），％一去荟风（＿‰），ａｉ一岛＋鳓，荟风卜吼１），
其中△一ｎ。，一∑以。。（∑卢岳ａ，。）＞ｏ．若．，（Ａ）一Ｎ，则△≥ｎ・，（１一ｄ－（Ａ）ｚ・（Ａ））≥ａ－－（１一ｄ・（Ａ））．
引理２Ⅲ
设Ａ一（ｎ。）∈吨耐”是严格对角占优Ｍ一矩阵，则
△≥Ⅱｌｌ（１一ｄ１（Ａ）Ｚｌ（Ａ））＞ｎｌｌ（１一ｄＩ（Ａ））＞Ｏ．
引理３［６１
设Ａ一（ｎ。）∈吨”“７是严格对角占优Ｍ一矩阵，则Ａ＿１一（ａｉ）满足
ａ。≤ｍ，，（Ａ）ａ“≤ｍ，（Ａ）ａｉ，
ｊ，ｉ∈Ｎ，
ｊ≠ｉ．
，，．
引理４［６３设Ａ一（口。）∈Ｒ积”是严格对角占优Ｍ一矩阵，则Ａ＿１一（ａｉ）满足
一冬ａｉ冬
ｎｌｌ
１
／／
Ｊ｛¨
观川ｍ，（Ａ）’
１
Ｊ≠４
ｉ∈Ｎ．
：㈦引理５［２］设Ａ一（ｎｉ）∈吨积”是弱链对角占优Ｍ一矩阵，Ａ＿１一（ａｕ）且ｒ—ｒ（Ａ），则
ｒ≤则训，ｒ≤罂ａＸ｛善ａｉ），ｒ≥删善ｎ。），丰≤ｒ≤÷，
其中：Ｔ一罢肾｛善ａｕ｝＝｜Ｉ一忆州一删善ａ。｝・
１
严格对角占优矩阵Ａ的ｌＩ
Ａ＿１
ＩＩ。。的上界
；ｌ～’文献［１］给出了严格对角占优矩阵的逆矩阵的无穷范数上界估计：设Ａ＝（ｎｉ）∈嗵脓”是严格对角
苦优矩阵，则
。
｛ｌ
ｌ
悄。１忆≤翼警ｊ瓦Ｆｉ丽｝‘
？∈Ｎ
ｆ
１
］
ｌ“ｉ
ｌ一
ｏ’
／』ｌ“¨ｌ
丈献Ｃ３］给出了严格对角占优Ｍ一矩阵的逆矩阵的无穷范数新上界估计，并证明了新估计式优于
一忆、≤志＋封志垂（南）］＜志＋塞［南莺（，＋南）］．
万方数据
茸（，＋Ｆ专万）］＜骞（去垂Ｆｂ）．ｃ２，
（３）
第１期
王
峰：严格对角占优Ｍ一矩阵的逆矩阵无穷范数的新上界
一
６３
————————————————————————————————————————————————————————一
本文继续给出严格对角占优Ｍ一矩阵Ａ的逆矩阵无穷范数ＩｌＡ，Ｉ｜。。的新上界估计式．
定理１
设Ａ一（口ｉ）∈嗵”。”是严格对角占优Ｍ一矩阵，Ｂ—Ａ‘２㈨，Ａ—ｌ一（口。）且Ｂ一－一（岛），则
Ａ１｜｜。，≤
Ｊ＝２
１
ｎ。。一∑Ｉ以。，１研，。（Ａ）
＋Ｆ百‰悃。１忆．
（４）
证明：令７。（Ａ）一∑口Ⅱ，ＭＡ一｜｜Ａ一１｜｜。。，帆一ｌＩＢ一，忆，则ＭＡ—ｍａｘ田，（Ａ），
’
Ｊ∈Ｎ
Ｊ∈Ｎ
Ｍ。一罂眵｛∑ｐｊ｝．由引理１、引理２和引理５知
２冬Ｊ每”２≤，≤Ｈ
小Ａ，一㈨＋骞％≤去＋去塞ｃ一口¨，塞风≤去＋去塞ｃ一‰，％≤
去＋Ｆ‰帆≤
１
△’１一ｄ１（Ａ）Ｚ】（Ａ）…５、
‰一∑ｈｊ研“Ａ）
＋『二磊袅而．’１一ｄｌ（Ａ）Ｚ１（Ａ）’
当２≤ｉ≤胛，２≤歹≤卯时，由引理１和引理３得
。∑㈣＆
一吼
一△
ａ
≤△・ｍ“（Ａ）・口ｌｌ—ｍ，１（Ａ）＜ｌ，
口。一风＋口。，∑风（一日。。）≤岛＋口。，研，。（Ａ）＜岛＋口，，．
女＝２
故当２≤ｉ≤行时，由引理４得
７
Ａ
＝口
“铆・（Ａ）＋ＭＢ≤（去＋＃‰）“Ａ）＋ＭＢ≤
＋
。∑斛
％
≤
口
ｍ
Ａ、，＋
∑（岛＋ａ。，ｍ。（Ａ））≤ｍ，。（Ａ）叩。（Ａ）＋ＭＢ≤
Ｊ＝２
去＋Ｆ＝‰≤１
△’１一ｄ】（Ａ）￡。（Ａ）、
盘。。一∑Ｉ口。，Ｊ
＋『二磊袅而．
。１一ｄ】（Ａ）Ｚ】（Ａ）‘
ｍ，。（Ａ’
’＝２
再由式（５），（６）得
Ａ叫ＩＪ。。≤
１
盆。。一∑｝盘。，Ｉ搬，，（Ａ’
＋Ｆｉ‰悃。１忆．
。１一ｄ。（Ａ）Ｚ１（Ａ）”一
“～‘
从而式（４）得证．
对式（４）应用迭代法可得如下定理：
定理２
设Ａ一（ｎｉ）∈豫“”是严格对角占优Ｍ一矩阵，则Ａ１
ｌＩ。。≤
１
‰一∑‰ｌ优；。（Ａ）
２
Ｉ吼。一；刍，
Ｅ＝２
赢＋塞ｅ忑５
‰亘可蒜１．㈩
应用定理２可得：推论ｌ
设Ａ＝（ａｉ）∈嗵“”是严格对角占优Ｍ一矩阵，则
舢，≥卜一
１
＋
ｈ一∑Ｉ
ｃ
Ｊｍ女ｌ（Ａ）
。∑础口。一∑ｋ口“一厶Ｉ
ｎ４
＾＝ｌ十１
注１
由Ａ一（ｎ。）∈吨耐”是严格对角占优矩阵知
蕊垂南¨
ｏ≤“，（Ａ），ｚ，（Ａ）＜１，
口ｉ“，（Ａ）一∑Ｉ口。『，ｉ≠ｊ，
ｉ，ｊ∈Ｎ．
々＝计ｌ
故估计式（７）优于估计式（３），即
万方数据
（５）…
（６）…
６４
吉林大学学报（理学版）
第５４卷
１
＋
＆。。一∑ｆ＆。；ｆｍｅ，（Ａ）
＾＝２
。∑㈣
—百‰亘鬲志丽１≤丽—蒜＋塞（丽ｉ蒜重Ｆ蒜）．
ｎｉ一∑ｋ阢（Ａ）’１１“ｐ…～…Ｊ、
Ａ＿１
２
严格口一对角占优矩阵Ａ的ＩＩ
Ｉｌ。的上界
ｎｉ
设Ａ一（盘，；）∈ｃ“”，若存在口∈［ｏ，１］，使得ｌ
占优矩阵‘７｜．
引理６［８３引理７嘲定理３
Ｊ＞ａＲｉ（Ａ）＋（１一ａ）ｃ，（Ａ），则称Ａ为严格ａ一对角
设Ａ，Ｂ∈吨”硒，且Ａ与Ａ—Ｂ是非奇异的，则（Ａ—Ｂ）一１一Ａ＿１＋Ａ＿１Ｂ（Ｊ—Ａ＿１Ｂ）＿１Ａ～．若ｆｆＡ一１忆．＜１，则Ｉ—Ａ是非奇异的，且ｆｆ（ｊ～Ａ）＿１ｆｆ。，
≤击．
１
设Ａ＝（ｎｉ）∈吨”。”是严格旷对角占优Ｍ一矩阵，ａ∈（ｏ，１］．若｛ｉ∈ＮＲ，（Ａ）＞ｃ。（Ａ））≠力，
１
且妒ｌ（Ａ）＜ｍａｘ
ｌ≤ｆ≤”
ａ（Ｒ，（Ａ）
Ａ＿１忆。≤Ｆ讯万而等等酉丽
ｌ≮！起＂
则
（８）
其中
１
妒ｌ（Ａ）一
＋
ｎ。ｔ
训。（Ａ）～∑Ｉ
＾＝２
Ｉ们。。（Ａ）
１≤ｊ≤”
。∑础ｕ，（Ａ）一∑ｆｎ。ｆｍ“（Ａ）’１
磊了吾蕊亟南１，
～“”。““ｊ’
ｉ—ｊ，
Ｒ。（Ａ）＞Ｃ。（Ａ），
ｕ。（Ａ）一ｍａｘ｛口ｉ，ａｉ＋口（Ｒ，（Ａ）一Ｃ，（Ａ））｝．
证明：令Ａ—Ｂ—Ｃ，Ｂ一（６。），Ｃ一（ｆ。），且
ｆａｉ＋ａ（Ｒ，（Ａ）一Ｃ，（Ａ）），
～
ｌ吼，
ｆａ（Ｒ；（Ａ）一Ｃ，（Ａ）），
其他；
ｉ—Ｊ，
Ｒ，（Ａ）＞Ｃ。（Ａ），
ｑ
Ｉｏ，
其他．
对任意的ｉ∈｛ｉ∈ＮＩＲ，（Ａ）＞ｃ，（Ａ）），有６ｉ一日ｉ＋ａ（Ｒ。（Ａ）一ｃ，（Ａ））＞Ｒ，（Ａ）一Ｒ，（Ｂ）；对任意的
ｉ∈｛ｉ∈Ｎ１Ｒ。（Ａ）≤Ｃ，（Ａ）），有
６ｉ一口ｉ＞状。（Ａ）＋（１一ａ）Ｃ。（Ａ）≥Ｒ：（Ａ）一Ｒ：（Ｂ）．
因此，Ｂ是严格对角占优Ｍ一矩阵．
由定理２和Ｂ的定义得Ｂ－１｜１。≤
＾＝２
１
＋
６。。一∑‰Ｉ‰（Ｂ）
１
。∑瑚
ｕ，（Ａ）一∑１＆。ｔＩｍｔ，（Ａ）
女一２
＿忐莺高］＝蕊专去蕊垂去卜跳
６ｉ一∑‰帆（曰）９一吖一“小～ｊ
１
ｕ。（Ａ）一∑１
ｎ。Ｉ
ｍ。（Ａ）’１
“。““。““】
川…一
再由定理条件得
ｆ｜Ｂ叫ｃ｜｜，，≤ｌ｜Ｂ－１ｉｌ。｜１ｃ｜ｆ。≤９。（Ａ）ｍａｘｎ（Ｒ，（Ａ）一ｃ：（Ａ））＜１．
Ｉ≮ｆ≈”
进而由引理６和引理７得
｜｜Ａ“｜｜…一ＩＪ（Ｂ—ｃ）＿１Ｊｌ。。一｜ＪＢ－１＋Ｂ＿１ｃ（Ｊ—Ｂ叫ｃ）“Ｂ—ｌ｜。＝
｜ｌＢ“｜１。＋Ｉ｜Ｂ－１ｃ１｜。：《（Ｉ—Ｂ－１Ｃ）＿１｜｜。。｜｜Ｂ－１｜Ｉ。。≤
万方数据
第１期
王，峰：严格对角占优Ｍ一矩阵的逆矩阵无穷范数的新上界
６５
Ｂ＿１Ｃ｜Ｉ
１一｜｜Ｂ－１ｃ｜｜…“～
”。、’
１一｜｜Ｂ＿１ｃ｜｜。。
≤
翌！！垒１
１一妒１（Ａ）ｍａｘ口（Ｒ，（Ａ）一Ｃ，（Ａ））’
１≤ｌ≤”
于是式（８）得证．３
数值实例
例ｌ设
３２
—１
２８
—３一ｌ
２７
～ｌ～２～４
４０
一２—３
Ｏ
—４—４一２—２—５
３０
—２
Ｏ
—３一１—２—４—１—２—２３８
０
—１—１—４—２—４—５—３—４２８—３
—４—３—４—５—１—３—４一ｌ—３２６
—４—１—３—５
Ａ—
—２
０
—３—５—２
０
—３—３
０
—３—４—２一ｌ—２—３
０
一１
２７．０１
～５～１～１～４～１—２
—４—２—２—３—４
一５３６一２—４—１
—３—３—４—１
—４一ｌ—３—３
—１一３—２
—１
易知Ａ是严格对角占优Ｍ一矩阵，应用式（１）～（３），分别可得０Ａ＿１｜｜。。≤１００，Ｉ｜Ａ＿１｜Ｉ。。≤
１４．０３８
１，ＩＩ
Ａ－１
ＩＩ。。≤６．４８２１．但应用式（７）得ｌＡ叫ＩＩ。。≤１．２７０
一２
８．
例２设Ａ—Ｉ～１
０
３—２
４
一ｌ
易知Ａ不是严格对角占优Ｍ一矩阵，而Ａ是严格口一对角占优Ｍ一矩阵（口一ｏ．５）．因此，不能用式（１）～（３）估计Ｉｌ
Ａ＿１
ｌＩ…但应用式（８）得｜｜Ａ＿１｜｜。≤６．４１４
６．
综上可见，本文给出了严格对角占优Ｍ一矩阵的逆矩阵的无穷范数上界新的估计式，改进了文献［１—４］中的相关结果．数值算例表明，新估计式优于文献［１—４］中的相应结果．
参
［１］
［２］
考文献
ａ
ＶａｒａｈＪＭ．ＡＬｏｗｅｒＢｏｕｎｄｆｏｒｔｈｅｓｍａｌＩｅｓｔｓｉｎｇｕｌａｒＶａｌｕｅｏｆＳｈｉｖａｋｕｍａｒＰＮ．ＷｉｌｌｉａｍｓＪＪ．ＹＥＱｉａｎｇ，ｅｔａ１．Ｍ—ＭａｔｒｉｃｅｓｗｉｔｈＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ
ｔｏ
Ｍａｔ“ｘ［Ｊ］．Ｉ。ｉｎｅａｒ
ＡｌｇｅｂｒａＡｐｐｌ，１９７５，１１（１）：３—５．
ｔｏ
（）ｎＴｗｏ－ＳｉｄｅｄＢｏｕｎｄｓＲｅｌａｔｅｄ
ＷｅａｋｌｙＤｉａｇｏｎａｌｌｙＤｏｍｉｎａｎｔ
ＤｉｇｉｔａＩＣｉｒｃｕｉｔＴｉｎｇｚｈｕ．
Ｄｙｎａｍｉｃｓ［Ｊ］．ＳＩＡＭ
Ｂｏｕｎｄ
ｆｏｒ
ＪＭａｔｒｉｘＡｎａｌＡｐｐｌ，１９９６，１７（２）：２９８—３１２．
［３］［４］
ＣＨＥＮＧＧｕａｎｇｈｕｉ，
ＨＵＡＮＧ
ＡｎＵｐｐｅｒＩ｜Ａ－１｜｜、
ｏｆ
ｓｔｒｉｃｔｌｙＤｉａｇｏｎａｌｌｙ
Ｄｏｍｉｎａｎｔ
Ｍ—Ｍａｔｒｉｃｅｓ［Ｊ］．Ｌｉｎｅａｒ
ｗＡＮＧＰｉｎｇ．Ａｎ
ｕｐｐｅｒ
Ａｌｇｅｂｒａ１ｔｓＡｐｐｌ，２００７，４２６（２／３）：６６７—６７３．Ｂｏｕｎｄ
ｆｏｒ｜ＪＡ一１｜｜。ｏｆＳｔｒｉｃｔｌｙＤｉａｇｏｎａｌｌｙＤｏｍｉｎａｎｔＭ—Ｍａｔｒｉｃｅｓ［Ｊ］．Ｌｉｎｅａｒ
ＡｌｇｅｂｒａＩｔｓ
ＡｐｐＩ，２００９，４３１（５／６／７）：５１１：５１７．
［５］［６］［７］
ＨＵＡＮＧＴｉｎｇｚｈｕ，ＺＨＵＹａｎ，Ｅｓｔｉｍａｔｉ６ｎｏｆ１１Ａ＿１｜｜。
ｆｏｒＷｅａｋｌｙＣｈａｉｎｅｄＤｉａｇｏｎａｌｌｙＤａｍｉｎａｎｔＭ—Ｍａｔｒｉｃｅｓ
［Ｊ］．ＬｉｎｅａｒＡｌｇｅｂｒａＩｔｓＡｐｐｌ，２０１０，４３２（＃／３）：６７０一６７７．
ＨａｄａｍａｒｄＰｒｏｄｕｃｔｏｆ
ａｎ
ＣＨＥＮＦｕｂｉｎｇ．ＮｅｗＩｎｅｑｕａｌｉｔｉｅｓｆｏｒｔｈｅＭ—ＭａｔｒｉｘａｎｄＩｔｓＩｎｖｅｒｓｅ［Ｊ／（）Ｉ。］．ＪＩｎｅｑｕａｌ
Ａｐｐｌ，２０１５０１３１，ｄｏｉ：１０．１１８６／Ｓ１３６６０—０１５一０５５５一１．
邰志艳，李庆春．非奇异Ｈ一矩阵的一组新判定［Ｊ］．吉林大学学报（理学版），２０】４，５２（６）：¨７】一¨７５．
（ＴＡＩｚｈｉｙａｎ，ＬＩ
Ｑｉｎｇｃｈｕｎ．
Ａｓｅｔ
ｏｆＮｅｗｃｒｉｔｅｒｉａｆｏｒＮｏｎｓｉｎｇｕｌａｒＨ—Ｍａｔｒｉｃｅｓ［Ｊ］．ＪｏｕｒｎａｌｏｆＪｉｌｉｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ
（ＳｃｉｅｎｃｅＥｄｉｔｉｏｎ），２０１４，５２（６）：１１７１—１１７５．）
［８］徐树方．矩阵计算的理论与方法［Ｍ］．北京：北京大学出版社，１９９ｊ．（ＸＵ
ＭａｔｒｉｘＣｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ［Ｍ］．Ｂｅｉｊｉｎｇ：ＰｅｋｉｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙＰｒｅｓｓ，１９９５．）
Ｓｈｕｆａｎｇ．ＴｈｅｏｒｙａｎｄＭｅｔｈｏｄｓａｂｏｕｔ
（责任编辑：赵立芹）
万方数据
第５４卷第１期吉林大学学报（理学版）
ＪｏｕｒｎａｌｏｆＪｉｌｉｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（ＳｃｉｅｎｃｅＥｄｉｔｉｏｎ）
Ｖｏｌ－５４
Ｊａｎ
Ｎｏ．１
２０１６
２０１６年１月
ｄｏｉ：ｌＯ．１３４１３／ｊ．ｃｎｋｉ．ｊｄｘｂｌｘｂ．２０１６．０１．１１
严格对角占优Ｍ一矩阵的逆矩阵无穷范数的新上界
王
蝰
（贵州民族大学理学院，贵阳５５００２５）
摘要：利用逆矩阵元素的范围，给出严格对角占优Ｍ一矩阵的逆矩阵无穷范数上界新的估计式，进而得到严格对角占优Ｍ一矩阵最小特征值下界的估计式，并给出了严格ａ一对角占优Ｍ一矩阵的逆矩阵的无穷范数新上界．理论分析和数值实例表明，新估计式改进了已有的
结果．
关键词：对角占优；Ｍ一矩阵；上界；最小特征值中图分类号：０１５１．２１
文献标志码：Ａ
文章编号：１６７卜５４８９（２０１６）０１～００６１一０５
ＮｅｗＵｐｐｅｒＢｏｕｎｄｓＩｂｒｔｈｅＩｎｆｉｎｉｔｙＮｏｎｎｏｆＩｎｖｅｒｓｅ
ＳｔｒｉｃｔｌｙＤｉａｇｏｎａｌｌｙＤ０ｍｉｎａｎｔ
ＷＡＮＧＦｅｎｇ
（ＣｏＺＺＰｇＰｏ，ＳｆｉＰ行ｃＰ，Ｇ“波＾ｏ“Ｍｉｎ２“【ｒｋｉ＂Ｐｒｓｉｆｙ，ＧＭｉｙⅡ”ｇ５５００２５，Ｃ＾ｉ”ｄ）
Ｍａｔｒｉｘ
ｏｆ
Ｍ—Ｍａｔｒｉｘ
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｂａｓｅｄ
ｏｎ
ｔｈｅｒａｎｇｅｆｏｒｔｈｅｅｌｅｍｅｎｔｓｏｆｉｎｖｅｒｓｅｍａｔｒｉｘ，
ａ
ａ
ｎｅｗｕｐｐｅｒｂｏｕｎｄｏｆｔｈｅｉｎｆｉｎｉｔｙ
ｓｏ
ａｓ
ｎｏｒｍｏｆｉｎＶｅｒｓｅｍａｔｒｉｘｏｆ
ｓｔｒｉｃｔｌｙｄｉａｇｏｎａｌｌｙｄｏｍｉｎａｎｔＭ—ｍａｔｒｉｘｗａｓｐｒｅｓｅｎｔｅｄ
ｔｏ
ｏｂｔａｉｎ
ａ
ｌｏｗｅｒｂｏｕｎｄｏｆｔｈｅｍｉｎｉｍｕｍｅｉｇｅｎｖａｌｕｅｏｆｔｈｅＭ—ｍａｔ“ｘ．ｉｎｆｉｎｉｔｙｎｏｒｍｏｆ
ｉｎＶｅｒｓｅ
Ｍｅａｎｗｈｉｌｅ，
ａ
ｎｅｗｕｐｐｅｒ
ｂｏｕｎｄｏｆｔｈｅ
Ｔｈｅｏｒｙ
ｍａｔｒｉｘｏｆ
ａ
ｓｔｒｉｃｔｌｙ口一ｄｉａｇｏｎａｌｌｙｄｏｍｉｎａｎｔＭ—ｍａｔｒｉｘｗａｓｇｉｖｅｎ．
ａｎａｌｙｓｉｓａｎｄｎｕｍｅｒｉｃａｌｅｘａｍｐｌｅｓｓｈｏｗｔｈａｔｔｈｅｓｅｂｏｕｎｄｓｉｍｐｒｏｖｅｅｘｉｓｔｅｄｒｅｓｕｌｔｓ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｄｉａｇｏｎａｌｄｏｍｉｎａｎｃｅ；Ｍ—ｍａｔｒｉｘ；ｕｐｐｅｒｂｏｕｎｄ；ｍｉｎｉｍｕｍｅｉｇｅｎｖａｌｕｅ
０
引
目
Ｍ一矩阵在矩阵论、计算数学、物理学、生物学、经济学等诸多领域应用广泛．目前，关于严格对角占优Ｍ一矩阵Ａ的逆矩阵的无穷范数ＩＩ
Ａ．１
ｌ｜。的上界估计问题已得到了一系列较好的结果ｍ５Ｉ．本文
继续考虑ＩＡ－１忆。的上界估计问题，给出一些新的估计式．数值实例表明，这些新估计式改进了文献［卜４］中的相应结果．
设嗯”“７表示全体行阶实方阵的集合，Ｎ表示全体正整数的集合。设Ａ∈嗯”“，Ａ≥ｏ表示Ａ为非负矩阵，ｌＤ（Ａ）表示Ａ的谱半径．若Ａ＝（日。）∈Ｒ”硒且盘。，≤０（睁！歹），则称Ａ为Ｚ－矩阵，记为Ａ∈Ｚ。．设Ａ∈Ｚ一则Ａ可表示为Ａ一Ⅱ一Ｂ，其中：ｓ为实数；Ｊ为单位阵；Ｂ≥０．当ｓ＞．０（Ｂ）时，称Ａ为Ｍ一矩阵．用ｒ（Ａ）表示Ｍ一矩阵Ａ的最小特征值．
收稿日期：２０１５一０５一０４．作者简介：王
网络出版时间：２０１５一ｌｌ１８．
峰（１９８１一），男。汉族，博士，副教授，从事矩阵理论及其应用的研究，Ｅ—ｍａｉｌ：ｗａｎｇｆ９９１＠１６３．ｃｏｍ．
基金项目：国家自然科学基金（批准号：１１３６１０７４）、贵州省科学技术基金（批准号：［２０１５］２０７３）、贵州省科技厅联合基金（批准号
［２０１５］７２０６）、贵州省教育厅自然科学基金（批准号：［２０１５］４２０）和贵州民族大学科研基金（批准号：１５ｘＲＹ００４）．
网络出版地址：ｈｔｔｐ：／／ｗｗｗ．ｃｎｋｉ．ｎｅｔ／ｋｃｍｓ／ｄｅｔａｉｌ／２２．１３４０．（）．２０１５１１１８．１０１３．００２．ｈｔｍｌ．
万方数据
６２
吉林大学学报（理学版）第５４卷
为讨论方便，引进下述记号：设Ａ一（ｎｉ）∈Ｒ以”，ｉ，ｊ，是∈Ｎ，睁！Ｊ，记
刚Ａ）一善ｋＩ，ｃ舶）一蚤ｈ，Ｉ，引Ａ）一臀，ｍ）＿｛ｉ∈…ｔ＜１）＇
“Ａ）一由，塞。ｈＩ＾（Ａ）一恶葚｛；到口ｉＩ儿ｉｌ）㈡（Ａ）一Ｍ）＿０，
如（Ａ）一————上午毒］————一，ｍ一（Ａ）一————上笸与Ｔ一，Ａ““’一
１）ｄ，（Ａ）≤１，ｉ∈Ｎ；
２）Ｊ（Ａ）≠ｐ；
ｋＩ＋∑ｋ协（Ａ）
ｋＩ＋∑ｋｋ（Ａ）
ａｉ
…
“ｎＩ
以”ｆ
…
口Ｍ
显然，若－，（Ａ）一Ｎ，则矩阵Ａ即为严格对角占优矩阵．若Ａ一（ｎ。）∈吨”“’满足下列３个条件：
３）对Ｖｉ硭Ｊ（Ａ），存在非零元素序列ｎｑ口ｖ。…ｍ，ｔ，其中ｉ≠ｉ・，ｉ・≠ｉｚ，…，ｉ，≠志，愚∈．厂（Ａ）．则称Ａ为弱链对角占优矩阵比］．
引理１［２：
设Ａ一（以。）∈吨袱”是弱链对角占优Ｍ一矩阵，Ｂ—Ａ∽“’，Ａ－１＝（ａｉ），且Ｂ＿１一（阮），则
㈨一去，ａ，－一去荟陬卜％），％一去荟风（＿‰），ａｉ一岛＋鳓，荟风卜吼１），
其中△一ｎ。，一∑以。。（∑卢岳ａ，。）＞ｏ．若．，（Ａ）一Ｎ，则△≥ｎ・，（１一ｄ－（Ａ）ｚ・（Ａ））≥ａ－－（１一ｄ・（Ａ））．
引理２Ⅲ
设Ａ一（ｎ。）∈吨耐”是严格对角占优Ｍ一矩阵，则
△≥Ⅱｌｌ（１一ｄ１（Ａ）Ｚｌ（Ａ））＞ｎｌｌ（１一ｄＩ（Ａ））＞Ｏ．
引理３［６１
设Ａ一（ｎ。）∈吨”“７是严格对角占优Ｍ一矩阵，则Ａ＿１一（ａｉ）满足
ａ。≤ｍ，，（Ａ）ａ“≤ｍ，（Ａ）ａｉ，
ｊ，ｉ∈Ｎ，
ｊ≠ｉ．
，，．
引理４［６３设Ａ一（口。）∈Ｒ积”是严格对角占优Ｍ一矩阵，则Ａ＿１一（ａｉ）满足
一冬ａｉ冬
ｎｌｌ
１
／／
Ｊ｛¨
观川ｍ，（Ａ）’
１
Ｊ≠４
ｉ∈Ｎ．
：㈦引理５［２］设Ａ一（ｎｉ）∈吨积”是弱链对角占优Ｍ一矩阵，Ａ＿１一（ａｕ）且ｒ—ｒ（Ａ），则
ｒ≤则训，ｒ≤罂ａＸ｛善ａｉ），ｒ≥删善ｎ。），丰≤ｒ≤÷，
其中：Ｔ一罢肾｛善ａｕ｝＝｜Ｉ一忆州一删善ａ。｝・
１
严格对角占优矩阵Ａ的ｌＩ
Ａ＿１
ＩＩ。。的上界
；ｌ～’文献［１］给出了严格对角占优矩阵的逆矩阵的无穷范数上界估计：设Ａ＝（ｎｉ）∈嗵脓”是严格对角
苦优矩阵，则
。
｛ｌ
ｌ
悄。１忆≤翼警ｊ瓦Ｆｉ丽｝‘
？∈Ｎ
ｆ
１
］
ｌ“ｉ
ｌ一
ｏ’
／』ｌ“¨ｌ
丈献Ｃ３］给出了严格对角占优Ｍ一矩阵的逆矩阵的无穷范数新上界估计，并证明了新估计式优于
一忆、≤志＋封志垂（南）］＜志＋塞［南莺（，＋南）］．
万方数据
茸（，＋Ｆ专万）］＜骞（去垂Ｆｂ）．ｃ２，
（３）
第１期
王
峰：严格对角占优Ｍ一矩阵的逆矩阵无穷范数的新上界
一
６３
————————————————————————————————————————————————————————一
本文继续给出严格对角占优Ｍ一矩阵Ａ的逆矩阵无穷范数ＩｌＡ，Ｉ｜。。的新上界估计式．
定理１
设Ａ一（口ｉ）∈嗵”。”是严格对角占优Ｍ一矩阵，Ｂ—Ａ‘２㈨，Ａ—ｌ一（口。）且Ｂ一－一（岛），则
Ａ１｜｜。，≤
Ｊ＝２
１
ｎ。。一∑Ｉ以。，１研，。（Ａ）
＋Ｆ百‰悃。１忆．
（４）
证明：令７。（Ａ）一∑口Ⅱ，ＭＡ一｜｜Ａ一１｜｜。。，帆一ｌＩＢ一，忆，则ＭＡ—ｍａｘ田，（Ａ），
’
Ｊ∈Ｎ
Ｊ∈Ｎ
Ｍ。一罂眵｛∑ｐｊ｝．由引理１、引理２和引理５知
２冬Ｊ每”２≤，≤Ｈ
小Ａ，一㈨＋骞％≤去＋去塞ｃ一口¨，塞风≤去＋去塞ｃ一‰，％≤
去＋Ｆ‰帆≤
１
△’１一ｄ１（Ａ）Ｚ】（Ａ）…５、
‰一∑ｈｊ研“Ａ）
＋『二磊袅而．’１一ｄｌ（Ａ）Ｚ１（Ａ）’
当２≤ｉ≤胛，２≤歹≤卯时，由引理１和引理３得
。∑㈣＆
一吼
一△
ａ
≤△・ｍ“（Ａ）・口ｌｌ—ｍ，１（Ａ）＜ｌ，
口。一风＋口。，∑风（一日。。）≤岛＋口。，研，。（Ａ）＜岛＋口，，．
女＝２
故当２≤ｉ≤行时，由引理４得
７
Ａ
＝口
“铆・（Ａ）＋ＭＢ≤（去＋＃‰）“Ａ）＋ＭＢ≤
＋
。∑斛
％
≤
口
ｍ
Ａ、，＋
∑（岛＋ａ。，ｍ。（Ａ））≤ｍ，。（Ａ）叩。（Ａ）＋ＭＢ≤
Ｊ＝２
去＋Ｆ＝‰≤１
△’１一ｄ】（Ａ）￡。（Ａ）、
盘。。一∑Ｉ口。，Ｊ
＋『二磊袅而．
。１一ｄ】（Ａ）Ｚ】（Ａ）‘
ｍ，。（Ａ’
’＝２
再由式（５），（６）得
Ａ叫ＩＪ。。≤
１
盆。。一∑｝盘。，Ｉ搬，，（Ａ’
＋Ｆｉ‰悃。１忆．
。１一ｄ。（Ａ）Ｚ１（Ａ）”一
“～‘
从而式（４）得证．
对式（４）应用迭代法可得如下定理：
定理２
设Ａ一（ｎｉ）∈豫“”是严格对角占优Ｍ一矩阵，则Ａ１
ｌＩ。。≤
１
‰一∑‰ｌ优；。（Ａ）
２
Ｉ吼。一；刍，
Ｅ＝２
赢＋塞ｅ忑５
‰亘可蒜１．㈩
应用定理２可得：推论ｌ
设Ａ＝（ａｉ）∈嗵“”是严格对角占优Ｍ一矩阵，则
舢，≥卜一
１
＋
ｈ一∑Ｉ
ｃ
Ｊｍ女ｌ（Ａ）
。∑础口。一∑ｋ口“一厶Ｉ
ｎ４
＾＝ｌ十１
注１
由Ａ一（ｎ。）∈吨耐”是严格对角占优矩阵知
蕊垂南¨
ｏ≤“，（Ａ），ｚ，（Ａ）＜１，
口ｉ“，（Ａ）一∑Ｉ口。『，ｉ≠ｊ，
ｉ，ｊ∈Ｎ．
々＝计ｌ
故估计式（７）优于估计式（３），即
万方数据
（５）…
（６）…
６４
吉林大学学报（理学版）
第５４卷
１
＋
＆。。一∑ｆ＆。；ｆｍｅ，（Ａ）
＾＝２
。∑㈣
—百‰亘鬲志丽１≤丽—蒜＋塞（丽ｉ蒜重Ｆ蒜）．
ｎｉ一∑ｋ阢（Ａ）’１１“ｐ…～…Ｊ、
Ａ＿１
２
严格口一对角占优矩阵Ａ的ＩＩ
Ｉｌ。的上界
ｎｉ
设Ａ一（盘，；）∈ｃ“”，若存在口∈［ｏ，１］，使得ｌ
占优矩阵‘７｜．
引理６［８３引理７嘲定理３
Ｊ＞ａＲｉ（Ａ）＋（１一ａ）ｃ，（Ａ），则称Ａ为严格ａ一对角
设Ａ，Ｂ∈吨”硒，且Ａ与Ａ—Ｂ是非奇异的，则（Ａ—Ｂ）一１一Ａ＿１＋Ａ＿１Ｂ（Ｊ—Ａ＿１Ｂ）＿１Ａ～．若ｆｆＡ一１忆．＜１，则Ｉ—Ａ是非奇异的，且ｆｆ（ｊ～Ａ）＿１ｆｆ。，
≤击．
１
设Ａ＝（ｎｉ）∈吨”。”是严格旷对角占优Ｍ一矩阵，ａ∈（ｏ，１］．若｛ｉ∈ＮＲ，（Ａ）＞ｃ。（Ａ））≠力，
１
且妒ｌ（Ａ）＜ｍａｘ
ｌ≤ｆ≤”
ａ（Ｒ，（Ａ）
Ａ＿１忆。≤Ｆ讯万而等等酉丽
ｌ≮！起＂
则
（８）
其中
１
妒ｌ（Ａ）一
＋
ｎ。ｔ
训。（Ａ）～∑Ｉ
＾＝２
Ｉ们。。（Ａ）
１≤ｊ≤”
。∑础ｕ，（Ａ）一∑ｆｎ。ｆｍ“（Ａ）’１
磊了吾蕊亟南１，
～“”。““ｊ’
ｉ—ｊ，
Ｒ。（Ａ）＞Ｃ。（Ａ），
ｕ。（Ａ）一ｍａｘ｛口ｉ，ａｉ＋口（Ｒ，（Ａ）一Ｃ，（Ａ））｝．
证明：令Ａ—Ｂ—Ｃ，Ｂ一（６。），Ｃ一（ｆ。），且
ｆａｉ＋ａ（Ｒ，（Ａ）一Ｃ，（Ａ）），
～
ｌ吼，
ｆａ（Ｒ；（Ａ）一Ｃ，（Ａ）），
其他；
ｉ—Ｊ，
Ｒ，（Ａ）＞Ｃ。（Ａ），
ｑ
Ｉｏ，
其他．
对任意的ｉ∈｛ｉ∈ＮＩＲ，（Ａ）＞ｃ，（Ａ）），有６ｉ一日ｉ＋ａ（Ｒ。（Ａ）一ｃ，（Ａ））＞Ｒ，（Ａ）一Ｒ，（Ｂ）；对任意的
ｉ∈｛ｉ∈Ｎ１Ｒ。（Ａ）≤Ｃ，（Ａ）），有
６ｉ一口ｉ＞状。（Ａ）＋（１一ａ）Ｃ。（Ａ）≥Ｒ：（Ａ）一Ｒ：（Ｂ）．
因此，Ｂ是严格对角占优Ｍ一矩阵．
由定理２和Ｂ的定义得Ｂ－１｜１。≤
＾＝２
１
＋
６。。一∑‰Ｉ‰（Ｂ）
１
。∑瑚
ｕ，（Ａ）一∑１＆。ｔＩｍｔ，（Ａ）
女一２
＿忐莺高］＝蕊专去蕊垂去卜跳
６ｉ一∑‰帆（曰）９一吖一“小～ｊ
１
ｕ。（Ａ）一∑１
ｎ。Ｉ
ｍ。（Ａ）’１
“。““。““】
川…一
再由定理条件得
ｆ｜Ｂ叫ｃ｜｜，，≤ｌ｜Ｂ－１ｉｌ。｜１ｃ｜ｆ。≤９。（Ａ）ｍａｘｎ（Ｒ，（Ａ）一ｃ：（Ａ））＜１．
Ｉ≮ｆ≈”
进而由引理６和引理７得
｜｜Ａ“｜｜…一ＩＪ（Ｂ—ｃ）＿１Ｊｌ。。一｜ＪＢ－１＋Ｂ＿１ｃ（Ｊ—Ｂ叫ｃ）“Ｂ—ｌ｜。＝
｜ｌＢ“｜１。＋Ｉ｜Ｂ－１ｃ１｜。：《（Ｉ—Ｂ－１Ｃ）＿１｜｜。。｜｜Ｂ－１｜Ｉ。。≤
万方数据
第１期
王，峰：严格对角占优Ｍ一矩阵的逆矩阵无穷范数的新上界
６５
Ｂ＿１Ｃ｜Ｉ
１一｜｜Ｂ－１ｃ｜｜…“～
”。、’
１一｜｜Ｂ＿１ｃ｜｜。。
≤
翌！！垒１
１一妒１（Ａ）ｍａｘ口（Ｒ，（Ａ）一Ｃ，（Ａ））’
１≤ｌ≤”
于是式（８）得证．３
数值实例
例ｌ设
３２
—１
２８
—３一ｌ
２７
～ｌ～２～４
４０
一２—３
Ｏ
—４—４一２—２—５
３０
—２
Ｏ
—３一１—２—４—１—２—２３８
０
—１—１—４—２—４—５—３—４２８—３
—４—３—４—５—１—３—４一ｌ—３２６
—４—１—３—５
Ａ—
—２
０
—３—５—２
０
—３—３
０
—３—４—２一ｌ—２—３
０
一１
２７．０１
～５～１～１～４～１—２
—４—２—２—３—４
一５３６一２—４—１
—３—３—４—１
—４一ｌ—３—３
—１一３—２
—１
易知Ａ是严格对角占优Ｍ一矩阵，应用式（１）～（３），分别可得０Ａ＿１｜｜。。≤１００，Ｉ｜Ａ＿１｜Ｉ。。≤
１４．０３８
１，ＩＩ
Ａ－１
ＩＩ。。≤６．４８２１．但应用式（７）得ｌＡ叫ＩＩ。。≤１．２７０
一２
８．
例２设Ａ—Ｉ～１
０
３—２
４
一ｌ
易知Ａ不是严格对角占优Ｍ一矩阵，而Ａ是严格口一对角占优Ｍ一矩阵（口一ｏ．５）．因此，不能用式（１）～（３）估计Ｉｌ
Ａ＿１
ｌＩ…但应用式（８）得｜｜Ａ＿１｜｜。≤６．４１４
６．
综上可见，本文给出了严格对角占优Ｍ一矩阵的逆矩阵的无穷范数上界新的估计式，改进了文献［１—４］中的相关结果．数值算例表明，新估计式优于文献［１—４］中的相应结果．
参
［１］
［２］
考文献
ａ
ＶａｒａｈＪＭ．ＡＬｏｗｅｒＢｏｕｎｄｆｏｒｔｈｅｓｍａｌＩｅｓｔｓｉｎｇｕｌａｒＶａｌｕｅｏｆＳｈｉｖａｋｕｍａｒＰＮ．ＷｉｌｌｉａｍｓＪＪ．ＹＥＱｉａｎｇ，ｅｔａ１．Ｍ—ＭａｔｒｉｃｅｓｗｉｔｈＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ
ｔｏ
Ｍａｔ“ｘ［Ｊ］．Ｉ。ｉｎｅａｒ
ＡｌｇｅｂｒａＡｐｐｌ，１９７５，１１（１）：３—５．
ｔｏ
（）ｎＴｗｏ－ＳｉｄｅｄＢｏｕｎｄｓＲｅｌａｔｅｄ
ＷｅａｋｌｙＤｉａｇｏｎａｌｌｙＤｏｍｉｎａｎｔ
ＤｉｇｉｔａＩＣｉｒｃｕｉｔＴｉｎｇｚｈｕ．
Ｄｙｎａｍｉｃｓ［Ｊ］．ＳＩＡＭ
Ｂｏｕｎｄ
ｆｏｒ
ＪＭａｔｒｉｘＡｎａｌＡｐｐｌ，１９９６，１７（２）：２９８—３１２．
［３］［４］
ＣＨＥＮＧＧｕａｎｇｈｕｉ，
ＨＵＡＮＧ
ＡｎＵｐｐｅｒＩ｜Ａ－１｜｜、
ｏｆ
ｓｔｒｉｃｔｌｙＤｉａｇｏｎａｌｌｙ
Ｄｏｍｉｎａｎｔ
Ｍ—Ｍａｔｒｉｃｅｓ［Ｊ］．Ｌｉｎｅａｒ
ｗＡＮＧＰｉｎｇ．Ａｎ
ｕｐｐｅｒ
Ａｌｇｅｂｒａ１ｔｓＡｐｐｌ，２００７，４２６（２／３）：６６７—６７３．Ｂｏｕｎｄ
ｆｏｒ｜ＪＡ一１｜｜。ｏｆＳｔｒｉｃｔｌｙＤｉａｇｏｎａｌｌｙＤｏｍｉｎａｎｔＭ—Ｍａｔｒｉｃｅｓ［Ｊ］．Ｌｉｎｅａｒ
ＡｌｇｅｂｒａＩｔｓ
ＡｐｐＩ，２００９，４３１（５／６／７）：５１１：５１７．
［５］［６］［７］
ＨＵＡＮＧＴｉｎｇｚｈｕ，ＺＨＵＹａｎ，Ｅｓｔｉｍａｔｉ６ｎｏｆ１１Ａ＿１｜｜。
ｆｏｒＷｅａｋｌｙＣｈａｉｎｅｄＤｉａｇｏｎａｌｌｙＤａｍｉｎａｎｔＭ—Ｍａｔｒｉｃｅｓ
［Ｊ］．ＬｉｎｅａｒＡｌｇｅｂｒａＩｔｓＡｐｐｌ，２０１０，４３２（＃／３）：６７０一６７７．
ＨａｄａｍａｒｄＰｒｏｄｕｃｔｏｆ
ａｎ
ＣＨＥＮＦｕｂｉｎｇ．ＮｅｗＩｎｅｑｕａｌｉｔｉｅｓｆｏｒｔｈｅＭ—ＭａｔｒｉｘａｎｄＩｔｓＩｎｖｅｒｓｅ［Ｊ／（）Ｉ。］．ＪＩｎｅｑｕａｌ
Ａｐｐｌ，２０１５０１３１，ｄｏｉ：１０．１１８６／Ｓ１３６６０—０１５一０５５５一１．
邰志艳，李庆春．非奇异Ｈ一矩阵的一组新判定［Ｊ］．吉林大学学报（理学版），２０】４，５２（６）：¨７】一¨７５．
（ＴＡＩｚｈｉｙａｎ，ＬＩ
Ｑｉｎｇｃｈｕｎ．
Ａｓｅｔ
ｏｆＮｅｗｃｒｉｔｅｒｉａｆｏｒＮｏｎｓｉｎｇｕｌａｒＨ—Ｍａｔｒｉｃｅｓ［Ｊ］．ＪｏｕｒｎａｌｏｆＪｉｌｉｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ
（ＳｃｉｅｎｃｅＥｄｉｔｉｏｎ），２０１４，５２（６）：１１７１—１１７５．）
［８］徐树方．矩阵计算的理论与方法［Ｍ］．北京：北京大学出版社，１９９ｊ．（ＸＵ
ＭａｔｒｉｘＣｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ［Ｍ］．Ｂｅｉｊｉｎｇ：ＰｅｋｉｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙＰｒｅｓｓ，１９９５．）
Ｓｈｕｆａｎｇ．ＴｈｅｏｒｙａｎｄＭｅｔｈｏｄｓａｂｏｕｔ
（责任编辑：赵立芹）
万方数据