图形与坐标 教学设计
教学设计思想
第一课时主要学习了根据图形特点和问题的需要而能够灵活建立直角坐标系。可先让学生尝试建立适当的直角坐标系，写出顶点坐标，然后与教科书给出的方法对比，最后在小组或全班交流选择坐标系的理由。第二、三课时主要学习图形上点坐标变化与图形变化的关系，要学生多动手描点、连线、测量，小组讨论，体会点的位置变化与点的坐标的变化规律。 教学目标
知识与技能
根据图形特点和问题的需要而能够灵活建立直角坐标系。
在同一直角坐标系中，感受坐标变化导致图形位置与形状的变化，并能找出变化规律。 通过探索图形上点的坐标变化与图形变换之间的关系，发展形象思维能力。 过程与方法
经历有选择性地建立直角坐标系并表示图形上点的坐标的过程；
经历图形上点坐标的变化导致图形位置与形状变化的探索过程，通过实际操作，小组讨论得出在同一直角坐标系中图形变换与点的坐标变化之间的关系。（多动手描点、连线、测量、体会点的位置变化与点的坐标的变化规律。）
情感态度价值观
进一步体会数形结合的思想；
通过归纳、总结变化规律，体会从特殊到一般的数学思想方法。
重点难点
重点：有选择性地建立直角坐标系并表示图形上点的坐标；图形上点坐标变化与图形变化的关系。
难点：图形的伸缩变换与坐标变化之间的关系。
教学方法
合作探究、小组讨论
教具准备
多媒体或投影仪
课时安排
3课时
教学设计过程
复习：
点的坐标。
新授
第一课时
把图形放在直角坐标系中，图形上的点就有了相应的坐标。
有一个边长为4的正方形。建立适当的坐标系，写出这个正方形各顶点的坐标。
（一）一起探究
1. 小明、小亮分别建立了图18—10(1)和图18—10(2)的直角坐标系。他们写出的正方形各顶点坐标相同吗?
2. 他们建立的坐标系各有什么优点?
3. 你还能用其他方法建立坐标系吗
?
注：可先让学生尝试建立适当的直角坐标系，写出顶点坐标，然后与教科书给出的两种方法对比；最后在小组或全班交流选择坐标系的理由，增进对图形对称性质及其他性质的理解。
事实上，在图18—10(1)中，正方形各顶点的坐标分别为A(0，4) ，B(0，0) ，C(4，0) ，D(4，4) 。
在图18—10(2)中，正方形各顶点的坐标分别为A(－2，2) ，B(－2，－2) ，C(2，－2) ，D(2，2) 。
图18—10(1)中的坐标系，使正方形三个顶点及两条边在坐标轴上且图形的其余部分都在第一象限；图18—10(2)中的坐标系，使整个图形既关于x 轴对称，又关于y 轴对称。
可见，应根据图形的特点及不同问题的需求，恰当建立坐标系，以方便各类问题的解决。
（二）做一做
如图18-11，在等腰三角形ABC 中，腰
AB=AC=，底边BC=4。
（1）请你在图18-11的网络图中建立适当的坐标系，并写出点A ，B ，C 的坐标。
（2）解释你选择这个坐标系的理由。
方法一：以BC 所在直线为x 轴，以BC 边上的高所在直线为y 轴，A （0，6）；B （－2，0）；C （2，0），这样能充分体现△ABC 是轴对称图形。
方法二：以点B 为原点，以BC 所在直线为x 轴，有A （2，6）；B （0，0）；C （4，0）这样可使△ABC 在第一象限。
（三）练习
如图，四边形BCDE 是一个边长为2的正方形，△ABC 是等边三角形。建立适当的坐标系，写出A ，B ，C ，D ，E 各点的坐标。
答案
方法一：以CD 所在直线为x 轴，以CD 的垂直平分线为y 轴，有A （0
，2；B （－1，2）；C （－1，0），D （1，0），E （1，2）。
方法二：以点C 为原点，以CD 所在直线为x 轴，有A （1
，2+；B （0，2）；C （0，0），D （2，0），E （2，2）。
（四）小结
引导学生总结本节的主要知识点。
（五）板书设计
第二课时
（一）一起探究
如图18—12，在平面直角坐标系中，封闭图形ABCDE 各顶点的坐标分别为A(0，0) ，B(2，
2) ，C(3，1) ，D(4，3.5) ，E(7，0) 。
1. 如果各顶点的横坐标都加2，纵坐标不变，并把得到的顶点依次连结，那么所得封闭图形与原图形相比，位置有怎样的变化?
2. 如果各顶点的横坐标不变，纵坐标都减3，并把得到的顶点依次连结，那么所得封闭图形与原图形相比，位置有怎样的变化?
3. 如图18—13，如果图形A 3
B 3C 3D 3E 3与图形ABCDE 关于x 轴对称，那么这两个图形各对应顶点的坐标有什么关系?
注：对于1，教师可示范并引导如何叙述，对于2，3则可以先让学生小组交流，练习叙述，最后在班内统一。
实际上，我们有下列结果：
1. 横坐标加2后所得顶点的坐标分别为A 1(2，0) ，B 1(4，2) ，C 1(5，1) ，D 1(6，3.5) ，E 1(9，0) 。依次连结各点得图形A 1B 1C 1D 1E 1 (图18—14) 。图形A 1B 1C 1D 1E 1相当于图形ABCDE 向右平移了2个单位长度后得到的。
2. 纵坐标减3后所得顶点的坐标分别为A 2(0，－3) ，B 2(2，－1) ， C2 (3，－2) ，D 2(4，0.5) ，E 2(7，－3) 。依次连结各点得图形A 2B 2C 2D 2E 2(图18—15) 。图形A 2B 2C 2D 2E 2相当于图形ABCDE 向下平移了3个单位长度后得到的。
3. 新顶点的坐标分别为A 3(0，0) ，B 3(2，－2) ，C 3(3，－1) ，D 3(4，－3.5) ，E 3(7，0) 。图形A 3B 3C 3D 3E 3与图形ABCDE 对应顶点的横坐标相同，纵坐标互为相反数。
（二）做一做
对于图18—12中的图形ABCDE ，如果各顶点的横坐标变成它的相反数，纵坐标不变，把所得到的各点依次连结，那么所得新的图形与原图形相比，位置有怎样的变化? 请你先猜想出结论，再画图验证。
（三）练习
各三角形在直角坐标系中的位置如图所示。请你分别指出△A 1B 1C 1，△A 2B 2C 2，△A 3B 3C 3各顶点的坐标与△ABC 各顶点坐标之间的关系。
答案
△A 1B 1C 1各顶点的纵坐标与△ABC 相对应顶点的纵坐标相同，而横坐标比△ABC 相对应顶点的横坐标增大了4个单位。
△A 2B 2C 2各顶点的横坐标与△ABC 相对应顶点的横坐标相同，而纵坐标比△ABC 相对应顶点的纵坐标减小了4个单位。
△A 3B 3C 3各顶点的横坐标与△ABC 相对应顶点的横坐标相同，而纵坐标为其相反数。
（四）小结
引导学生总结本节的主要知识点。
（五）板书设计
第三课时
（一）一起探究
如图18—16，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 各顶点的坐标分别为A(
－2，0) ，B(4，－2) ，C(6，0) ，D(4，2) 。
1. 如果各顶点的横坐标不变，纵坐标都乘2，并把所得到的点依次连结，那么所得四边形与原四边形相比，形状有怎样的变化?
2. 如果各顶点的横坐标都乘1，纵坐标不变，并把所得到的各点依次连结，那么新四2
边形与原四边形相比，形状有怎样的变化?
注：注意引导学生掌握图形形状变化的叙述，并与位置变化的叙述对比，注意有哪些新的术语（还可以与生活中的语言对照）。
对于1，可以用橡皮筋演示当B ，D 的横坐标不变，而纵坐标变化为原来的2倍时，图形ABCD 被纵向拉长的情景，使学生对图形变换的感受具体化；再进一步体会图中每点P(x,y)→P ′(x,2y)时，对应的整个图形会横向不变，而纵向伸长为原来的2倍。对于2，可以让学生尝试自己想象图形被压缩的变化。
实际上，我们有以下结果：
1. 所得点的坐标分别为A 1(－2，0) ，B 1(4，－4) ，C 1(6，0) ，D 1(4，4) 。依次连结各点得到四边形A 1B 1C 1D 1 (图18—17) 。四边形A 1B 1C 1D 1相当于四边形ABCD 纵向拉长为原来的2倍得到的。
2. 所得点的坐标分别为A 2(－1，0) ，B 2(2，－2) ，C 2(3，0) ，D 2(2，2) 。依次连结各点得到四边形A 2B 2C 2D 2 (图18—18) 。 四边形A 2B 2C 2D 2相当于四边形ABCD 横向压缩为原来的得到的。
（二）做一做
1. 图18—19中的四边形A 3B 3C 3D 3，是由图18—16中四边形ABCD 横向拉长1.25倍得到的。请你写出四边形A 3B 3C 3D 3各顶点的坐标：
A 3(______)，B 3 (______)，C 3(______)，D 3(______)。
12
2. 四边形A 4B 4C 4D 4各顶点的坐标分别为A 4(－2，0) ，B 4(4，－1.5) ，C 4(6，0) ，D 4(4，1.5) 。画出这个四边形，并说明它与图18—16中的四边形ABCD 的形状有怎样的关系。
注：应重点引导学生认识该问题1相对于“一起探究”是逆向思维，强调利用图形变换与坐标变化的关系写出变换后图形上点的坐标（而不是看着变换后图形上点的具体位置写出坐标），即运用横向拉长1.25倍（纵向不变）时，图中每点P(x,y)→P ′(1.25x,y)，当然
可以选择几个点进行验证。
（三）练习
图18—16中的四边形ABCD ，如果各顶点的横坐标都乘2，同时纵坐标都乘1，并把得3
到的各点依次连结，那么所得四边形与原四边形相比，形状有怎样的变化?(画出图形)
答案
新图形相当于原图形被横向拉长到原来的2倍，且同时纵向压缩为原来的
（四）小结
引导学生总结本节的主要知识点。
（五）板书设计
1而得到。 3
图形与坐标 教学设计
教学设计思想
第一课时主要学习了根据图形特点和问题的需要而能够灵活建立直角坐标系。可先让学生尝试建立适当的直角坐标系，写出顶点坐标，然后与教科书给出的方法对比，最后在小组或全班交流选择坐标系的理由。第二、三课时主要学习图形上点坐标变化与图形变化的关系，要学生多动手描点、连线、测量，小组讨论，体会点的位置变化与点的坐标的变化规律。 教学目标
知识与技能
根据图形特点和问题的需要而能够灵活建立直角坐标系。
在同一直角坐标系中，感受坐标变化导致图形位置与形状的变化，并能找出变化规律。 通过探索图形上点的坐标变化与图形变换之间的关系，发展形象思维能力。 过程与方法
经历有选择性地建立直角坐标系并表示图形上点的坐标的过程；
经历图形上点坐标的变化导致图形位置与形状变化的探索过程，通过实际操作，小组讨论得出在同一直角坐标系中图形变换与点的坐标变化之间的关系。（多动手描点、连线、测量、体会点的位置变化与点的坐标的变化规律。）
情感态度价值观
进一步体会数形结合的思想；
通过归纳、总结变化规律，体会从特殊到一般的数学思想方法。
重点难点
重点：有选择性地建立直角坐标系并表示图形上点的坐标；图形上点坐标变化与图形变化的关系。
难点：图形的伸缩变换与坐标变化之间的关系。
教学方法
合作探究、小组讨论
教具准备
多媒体或投影仪
课时安排
3课时
教学设计过程
复习：
点的坐标。
新授
第一课时
把图形放在直角坐标系中，图形上的点就有了相应的坐标。
有一个边长为4的正方形。建立适当的坐标系，写出这个正方形各顶点的坐标。
（一）一起探究
1. 小明、小亮分别建立了图18—10(1)和图18—10(2)的直角坐标系。他们写出的正方形各顶点坐标相同吗?
2. 他们建立的坐标系各有什么优点?
3. 你还能用其他方法建立坐标系吗
?
注：可先让学生尝试建立适当的直角坐标系，写出顶点坐标，然后与教科书给出的两种方法对比；最后在小组或全班交流选择坐标系的理由，增进对图形对称性质及其他性质的理解。
事实上，在图18—10(1)中，正方形各顶点的坐标分别为A(0，4) ，B(0，0) ，C(4，0) ，D(4，4) 。
在图18—10(2)中，正方形各顶点的坐标分别为A(－2，2) ，B(－2，－2) ，C(2，－2) ，D(2，2) 。
图18—10(1)中的坐标系，使正方形三个顶点及两条边在坐标轴上且图形的其余部分都在第一象限；图18—10(2)中的坐标系，使整个图形既关于x 轴对称，又关于y 轴对称。
可见，应根据图形的特点及不同问题的需求，恰当建立坐标系，以方便各类问题的解决。
（二）做一做
如图18-11，在等腰三角形ABC 中，腰
AB=AC=，底边BC=4。
（1）请你在图18-11的网络图中建立适当的坐标系，并写出点A ，B ，C 的坐标。
（2）解释你选择这个坐标系的理由。
方法一：以BC 所在直线为x 轴，以BC 边上的高所在直线为y 轴，A （0，6）；B （－2，0）；C （2，0），这样能充分体现△ABC 是轴对称图形。
方法二：以点B 为原点，以BC 所在直线为x 轴，有A （2，6）；B （0，0）；C （4，0）这样可使△ABC 在第一象限。
（三）练习
如图，四边形BCDE 是一个边长为2的正方形，△ABC 是等边三角形。建立适当的坐标系，写出A ，B ，C ，D ，E 各点的坐标。
答案
方法一：以CD 所在直线为x 轴，以CD 的垂直平分线为y 轴，有A （0
，2；B （－1，2）；C （－1，0），D （1，0），E （1，2）。
方法二：以点C 为原点，以CD 所在直线为x 轴，有A （1
，2+；B （0，2）；C （0，0），D （2，0），E （2，2）。
（四）小结
引导学生总结本节的主要知识点。
（五）板书设计
第二课时
（一）一起探究
如图18—12，在平面直角坐标系中，封闭图形ABCDE 各顶点的坐标分别为A(0，0) ，B(2，
2) ，C(3，1) ，D(4，3.5) ，E(7，0) 。
1. 如果各顶点的横坐标都加2，纵坐标不变，并把得到的顶点依次连结，那么所得封闭图形与原图形相比，位置有怎样的变化?
2. 如果各顶点的横坐标不变，纵坐标都减3，并把得到的顶点依次连结，那么所得封闭图形与原图形相比，位置有怎样的变化?
3. 如图18—13，如果图形A 3
B 3C 3D 3E 3与图形ABCDE 关于x 轴对称，那么这两个图形各对应顶点的坐标有什么关系?
注：对于1，教师可示范并引导如何叙述，对于2，3则可以先让学生小组交流，练习叙述，最后在班内统一。
实际上，我们有下列结果：
1. 横坐标加2后所得顶点的坐标分别为A 1(2，0) ，B 1(4，2) ，C 1(5，1) ，D 1(6，3.5) ，E 1(9，0) 。依次连结各点得图形A 1B 1C 1D 1E 1 (图18—14) 。图形A 1B 1C 1D 1E 1相当于图形ABCDE 向右平移了2个单位长度后得到的。
2. 纵坐标减3后所得顶点的坐标分别为A 2(0，－3) ，B 2(2，－1) ， C2 (3，－2) ，D 2(4，0.5) ，E 2(7，－3) 。依次连结各点得图形A 2B 2C 2D 2E 2(图18—15) 。图形A 2B 2C 2D 2E 2相当于图形ABCDE 向下平移了3个单位长度后得到的。
3. 新顶点的坐标分别为A 3(0，0) ，B 3(2，－2) ，C 3(3，－1) ，D 3(4，－3.5) ，E 3(7，0) 。图形A 3B 3C 3D 3E 3与图形ABCDE 对应顶点的横坐标相同，纵坐标互为相反数。
（二）做一做
对于图18—12中的图形ABCDE ，如果各顶点的横坐标变成它的相反数，纵坐标不变，把所得到的各点依次连结，那么所得新的图形与原图形相比，位置有怎样的变化? 请你先猜想出结论，再画图验证。
（三）练习
各三角形在直角坐标系中的位置如图所示。请你分别指出△A 1B 1C 1，△A 2B 2C 2，△A 3B 3C 3各顶点的坐标与△ABC 各顶点坐标之间的关系。
答案
△A 1B 1C 1各顶点的纵坐标与△ABC 相对应顶点的纵坐标相同，而横坐标比△ABC 相对应顶点的横坐标增大了4个单位。
△A 2B 2C 2各顶点的横坐标与△ABC 相对应顶点的横坐标相同，而纵坐标比△ABC 相对应顶点的纵坐标减小了4个单位。
△A 3B 3C 3各顶点的横坐标与△ABC 相对应顶点的横坐标相同，而纵坐标为其相反数。
（四）小结
引导学生总结本节的主要知识点。
（五）板书设计
第三课时
（一）一起探究
如图18—16，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 各顶点的坐标分别为A(
－2，0) ，B(4，－2) ，C(6，0) ，D(4，2) 。
1. 如果各顶点的横坐标不变，纵坐标都乘2，并把所得到的点依次连结，那么所得四边形与原四边形相比，形状有怎样的变化?
2. 如果各顶点的横坐标都乘1，纵坐标不变，并把所得到的各点依次连结，那么新四2
边形与原四边形相比，形状有怎样的变化?
注：注意引导学生掌握图形形状变化的叙述，并与位置变化的叙述对比，注意有哪些新的术语（还可以与生活中的语言对照）。
对于1，可以用橡皮筋演示当B ，D 的横坐标不变，而纵坐标变化为原来的2倍时，图形ABCD 被纵向拉长的情景，使学生对图形变换的感受具体化；再进一步体会图中每点P(x,y)→P ′(x,2y)时，对应的整个图形会横向不变，而纵向伸长为原来的2倍。对于2，可以让学生尝试自己想象图形被压缩的变化。
实际上，我们有以下结果：
1. 所得点的坐标分别为A 1(－2，0) ，B 1(4，－4) ，C 1(6，0) ，D 1(4，4) 。依次连结各点得到四边形A 1B 1C 1D 1 (图18—17) 。四边形A 1B 1C 1D 1相当于四边形ABCD 纵向拉长为原来的2倍得到的。
2. 所得点的坐标分别为A 2(－1，0) ，B 2(2，－2) ，C 2(3，0) ，D 2(2，2) 。依次连结各点得到四边形A 2B 2C 2D 2 (图18—18) 。 四边形A 2B 2C 2D 2相当于四边形ABCD 横向压缩为原来的得到的。
（二）做一做
1. 图18—19中的四边形A 3B 3C 3D 3，是由图18—16中四边形ABCD 横向拉长1.25倍得到的。请你写出四边形A 3B 3C 3D 3各顶点的坐标：
A 3(______)，B 3 (______)，C 3(______)，D 3(______)。
12
2. 四边形A 4B 4C 4D 4各顶点的坐标分别为A 4(－2，0) ，B 4(4，－1.5) ，C 4(6，0) ，D 4(4，1.5) 。画出这个四边形，并说明它与图18—16中的四边形ABCD 的形状有怎样的关系。
注：应重点引导学生认识该问题1相对于“一起探究”是逆向思维，强调利用图形变换与坐标变化的关系写出变换后图形上点的坐标（而不是看着变换后图形上点的具体位置写出坐标），即运用横向拉长1.25倍（纵向不变）时，图中每点P(x,y)→P ′(1.25x,y)，当然
可以选择几个点进行验证。
（三）练习
图18—16中的四边形ABCD ，如果各顶点的横坐标都乘2，同时纵坐标都乘1，并把得3
到的各点依次连结，那么所得四边形与原四边形相比，形状有怎样的变化?(画出图形)
答案
新图形相当于原图形被横向拉长到原来的2倍，且同时纵向压缩为原来的
（四）小结
引导学生总结本节的主要知识点。
（五）板书设计
1而得到。 3