2016年广州市中考数学试卷（含答案）
一、选择题．（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．）
1．（3分）（2016•广州）中国人很早开始使用负数，中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数．如果收入100元记作+100元．那么﹣80元表示（ ）
A ．支出20元 B ．收入20元 C ．支出80元 D ．收入80元
2．（3分）（2016•广州）如图所示的几何体左视图是（ ）
A ． B ． C ． D ．
3．（3分）（2016•广州）据统计，2015年广州地铁日均客运量均为6 590 000人次，将6 590 000用科学记数法表示为（ ）
4456A ．6.59×10 B ．659×10 C ．65.9×10 D ．6.59×10
4．（3分）（2016•广州）某个密码锁的密码由三个数字组成，每个数字都是0﹣9这十个数字中的一个，只有当三个数字与所设定的密码及顺序完全相同时，才能将锁打开．如果仅忘记了锁设密码的最后那个数字，那么一次就能打开该密码的概率是（ ）
A ． B ． C ． D ．
5．（3分）（2016•广州）下列计算正确的是（ ）
A ． B ．xy ÷
32 226C ．2 D ．（xy ）=xy
6．（3分）（2016•广州）一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以平均80千米/小时的速度用了4个小时到达乙地，当他按原路匀速返回时．汽车的速度v 千米/小时与时间t 小时的函数关系是（ ）
A ．v=320t B ．v= C ．v=20t D ．v=
7．（3分）（2016•广州）如图，已知△ABC 中，AB=10，AC=8，BC=6，DE 是AC 的垂直平分线，DE 交AB 于点D ，连接CD ，则CD=（ ）
A ．3 B ．4 C ．4.8 D ．5
8．（3分）（2016•广州）若一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限，则下列不等式中总是成立的是（ ）
2A ．ab ＞0 B ．a ﹣b ＞0 C ．a +b＞0 D ．a+b＞0
9．（3分）（2016•广州）对于二次函数y=﹣+x﹣4，下列说法正确的是（ ）
A ．当x ＞0时，y 随x 的增大而增大 B ．当x=2时，y 有最大值﹣3
C ．图象的顶点坐标为（﹣2，﹣7） D．图象与x 轴有两个交点
10．（3分）（2016•广州）定义运算：a ⋆b=a（1﹣b ）．若a ，b 是方程x ﹣x+m=0（m ＜0）的两根，则b ⋆b ﹣a ⋆a 的值为（ ）
A ．0 B ．1 C ．2 D ．与m 有关
二．填空题．（本大题共六小题，每小题3分，满分18分．）
211．（3分）（2016•广州）分解因式：2a +ab=．
12．（3分）（2016•广州）代数式有意义时，实数x
的取值范围是
． 2
13．（3分）（2016•广州）如图，△ABC 中，AB=AC，BC=12cm，点D 在AC 上，DC=4cm．将线段DC 沿着CB 的方向平移7cm 得到线段EF ，点E ，F 分别落在边AB ，BC 上，则△EBF 的周长为 cm ．
14．（3分）（2016•广州）分式方程的解是 ．
15．（3分）（2016•广州）如图，以点O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 是小圆的切线，点P 为切点，AB=12，OP=6，则劣弧AB 的长为 ．
16．（3分）（2016•广州）如图，正方形ABCD 的边长为1，AC ，BD 是对角线．将△DCB 绕着点D 顺时针旋转45°得到△DGH ，HG 交AB 于点E ，连接DE 交AC 于点F ，连接FG ．则下列结论：
①四边形AEGF 是菱形
②△AED ≌△GED
③∠DFG=112.5°
④BC+FG=1.5
其中正确的结论是 ．
三、解答题
17．（9分）（2016•广州）解不等式组并在数轴上表示解集．
18．（9分）（2016•广州）如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，若AB=AO，求∠ABD 的度数．
19．（10分）（2016•广州）某校为了提升初中学生学习数学的兴趣，培养学生的创新精神，举办“玩转数学”比赛．现有甲、乙、丙三个小组进入决赛，评委从研究报告、小组展示、答
（2）如果按照研究报告占40%，小组展示占30%，答辩占30%计算各小组的成绩，哪个小组的成绩最高？
20．（10分）（2016•广州）已知A=
（1）化简A ；
（2）若点P （a ，b ）在反比例函数y=﹣的图象上，求A 的值．
21．（12分）（2016•广州）如图，利用尺规，在△ABC 的边AC 上方作∠CAE=∠ACB ，在射线AE 上截取AD=BC，连接CD ，并证明：CD ∥AB （尺规作图要求保留作图痕迹，不写作法） （a ，b ≠0且a ≠b ）
22．（12分）（2016•广州）如图，某无人机于空中A 处探测到目标B ，D ，从无人机A 上看目标B ，D 的俯角分别为30°，60°，此时无人机的飞行高度AC 为60m ，随后无人机从A 处继续飞行30m 到达A ′处，
（1）求A ，B 之间的距离；
（2）求从无人机A ′上看目标D 的俯角的正切值．
23．（12分）（2016•广州）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y=﹣x+3与x 轴交于点C ，与直线AD 交于点A （，），点D 的坐标为（0，1）
（1）求直线AD 的解析式；
（2）直线AD 与x 轴交于点B ，若点E 是直线AD 上一动点（不与点B 重合），当△BOD 与△BCE 相似时，求点E 的坐标．
224．（14分）（2016•广州）已知抛物线y=mx+（1﹣2m ）x+1﹣3m 与x 轴相交于不同的两
点A 、B
（1）求m 的取值范围；
（2）证明该抛物线一定经过非坐标轴上的一点P ，并求出点P 的坐标；
（3）当＜m ≤8时，由（2）求出的点P 和点A ，B 构成的△ABP 的面积是否有最值？若有，求出该最值及相对应的m 值．
25．（14分）（2016•广州）如图，点C 为△ABD 的外接圆上的一动点（点C 不在上，且不与点B ，D 重合），∠ACB=∠ABD=45°
（1）求证：BD 是该外接圆的直径；
（2）连结CD ，求证：AC=BC+CD；
222（3）若△ABC 关于直线AB 的对称图形为△ABM ，连接DM ，试探究DM ，AM ，BM
三者之间满足的等量关系，并证明你的结论．
2016年广东省广州市中考数学试卷
参考答案
一、选择题．
1．C
2．A
3．D
4．A
5．D
6．B
7．D
8．C
9．B
10．A
二．填空题
11．a （2a+b）
12． x ≤9
13． 13
14． x=﹣1
15．
8π．
16．
①②③．
三、解答题
17．
解：解不等式2x ＜5，得：x ＜，
解不等式3（x+2）≥x+4，得：x ≥﹣1，
∴不等式组的解集为：﹣1≤x ＜，
将不等式解集表示在数轴上如图：
18．
解：∵四边形ABCD 是矩形，
∴OA=OC，OB=OD，AC=BD，
∴AO=OB，
∵AB=AO，
∴AB=AO=BO，
∴△ABO 是等边三角形，
∴∠ABD=60°．
19．
解：（1）由题意可得，
甲组的平均成绩是：
乙组的平均成绩是：
丙组的平均成绩是：（分）， （分）， （分），
从高分到低分小组的排名顺序是：丙＞甲＞乙；
（2）由题意可得，
甲组的平均成绩是：
乙组的平均成绩是：
丙组的平均成绩是：
由上可得，甲组的成绩最高．
20．
解：（1）A=， （分）， （分）， （分），
=，
=，
=．
（2）∵点P （a ，b ）在反比例函数y=﹣的图象上，
∴ab=﹣5，
∴A==﹣．
21．
解：图象如图所示，
∵∠EAC=∠ACB ，
∴AD ∥CB ，
∵AD=BC，
∴四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB ∥CD ．
22．
解：（1）由题意得：∠ABD=30°，∠ADC=60°，
在Rt △ABC 中，AC=60m，
∴AB===120（m ）；
（2）过A ′作A ′E ⊥BC 交BC 的延长线于E ，连接A ′D ，
则A ′E=AC=60，CE=AA′=30，
在Rt △ABC 中，AC=60m，∠ADC=60°，
∴DC=
∴DE=50AC=20，
==．
． ， ∴tan ∠AA ′D=tan∠A ′DC=答：从无人机A ′上看目标D 的俯角的正切值是
23．
解：（1）设直线AD 的解析式为y=kx+b，
将A （，），D （0，1）代入得：，
解得：．
故直线AD 的解析式为：y=x+1；
（2）∵直线AD 与x 轴的交点为（﹣2，0），
∴OB=2，
∵点D 的坐标为（0，1），
∴OD=1，
∵y=﹣x+3与x 轴交于点C （3，0），
∴OC=3，
∴BC=5
∵△BOD 与△BCE 相似，
∴
∴==或或， ，
，或CE=， ∴BE=2，CE=
∴E （2，2），或（3，）．
24．
（1）解：当m=0时，函数为一次函数，不符合题意，舍去； 当m ≠0时，
2∵抛物线y=mx+（1﹣2m ）x+1﹣3m 与x 轴相交于不同的两点A 、B ，
22∴△=（1﹣2m ）﹣4×m ×（1﹣3m ）=（1﹣4m ）＞0，
∴1﹣4m ≠0，
∴m ≠；
（2）证明：∵抛物线y=mx+（1﹣2m ）x+1﹣3m ，
2∴y=m（x ﹣2x ﹣3）+x+1，
抛物线过定点说明在这一点y 与m 无关，
显然当x ﹣2x ﹣3=0时，y 与m 无关，
解得：x=3或x=﹣1，
当x=3时，y=4，定点坐标为（3，4）；
当x=﹣1时，y=0，定点坐标为（﹣1，0），
∵P 不在坐标轴上，
∴P （3，4）；
22
（3）解：|AB|=|xA ﹣x B |===
==||=|﹣4|，
∵＜m ≤8，
∴≤＜4，
∴﹣≤﹣4＜0，
，
|=， ∴0＜|﹣4|≤∴|AB|最大时，|
解得：m=8，或m=（舍去），
， ∴当m=8时，|AB|有最大值
此时△ABP 的面积最大，没有最小值， 则面积最大为：|AB|yP =×25．
解：（1）∵=， ×4=．
∴∠ACB=∠ADB=45°，
∵∠ABD=45°，
∴∠BAD=90°，
∴BD 是△ABD 外接圆的直径；
（2）在CD 的延长线上截取DE=BC， 连接EA ，
∵∠ABD=∠ADB ，
∴AB=AD，
∵∠ADE+∠ADC=180°，
∠ABC+∠ADC=180°，
∴∠ABC=∠ADE ，
在△ABC 与△ADE 中，
，
∴△ABC ≌△ADE （SAS ）， ∴∠BAC=∠DAE ，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD ，
∴∠BAD=∠CAE=90°，
∵=
∴∠ACD=∠ABD=45°，
∴△CAE 是等腰直角三角形，
∴AC=CE，
∴AC=CD+DE=CD+BC；
（3）过点M 作MF ⊥MB 于点M ，过点A 作AF ⊥MA 于点A ，MF 与AF 交于点F ，连接BF ，
由对称性可知：∠AMB=ACB=45°，
∴∠FMA=45°，
∴△AMF 是等腰直角三角形，
∴AM=AF，MF=AM ，
∵∠MAF+∠MAB=∠BAD+∠MAB ，
∴∠FAB=∠MAD ，
在△ABF 与△ADM 中，
，
∴△ABF ≌△ADM （SAS ），
∴BF=DM，
在Rt △BMF 中，
222∵BM +MF=BF，
222∴BM +2AM=DM．
2016年广州市中考数学试卷（含答案）
一、选择题．（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．）
1．（3分）（2016•广州）中国人很早开始使用负数，中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数．如果收入100元记作+100元．那么﹣80元表示（ ）
A ．支出20元 B ．收入20元 C ．支出80元 D ．收入80元
2．（3分）（2016•广州）如图所示的几何体左视图是（ ）
A ． B ． C ． D ．
3．（3分）（2016•广州）据统计，2015年广州地铁日均客运量均为6 590 000人次，将6 590 000用科学记数法表示为（ ）
4456A ．6.59×10 B ．659×10 C ．65.9×10 D ．6.59×10
4．（3分）（2016•广州）某个密码锁的密码由三个数字组成，每个数字都是0﹣9这十个数字中的一个，只有当三个数字与所设定的密码及顺序完全相同时，才能将锁打开．如果仅忘记了锁设密码的最后那个数字，那么一次就能打开该密码的概率是（ ）
A ． B ． C ． D ．
5．（3分）（2016•广州）下列计算正确的是（ ）
A ． B ．xy ÷
32 226C ．2 D ．（xy ）=xy
6．（3分）（2016•广州）一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以平均80千米/小时的速度用了4个小时到达乙地，当他按原路匀速返回时．汽车的速度v 千米/小时与时间t 小时的函数关系是（ ）
A ．v=320t B ．v= C ．v=20t D ．v=
7．（3分）（2016•广州）如图，已知△ABC 中，AB=10，AC=8，BC=6，DE 是AC 的垂直平分线，DE 交AB 于点D ，连接CD ，则CD=（ ）
A ．3 B ．4 C ．4.8 D ．5
8．（3分）（2016•广州）若一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限，则下列不等式中总是成立的是（ ）
2A ．ab ＞0 B ．a ﹣b ＞0 C ．a +b＞0 D ．a+b＞0
9．（3分）（2016•广州）对于二次函数y=﹣+x﹣4，下列说法正确的是（ ）
A ．当x ＞0时，y 随x 的增大而增大 B ．当x=2时，y 有最大值﹣3
C ．图象的顶点坐标为（﹣2，﹣7） D．图象与x 轴有两个交点
10．（3分）（2016•广州）定义运算：a ⋆b=a（1﹣b ）．若a ，b 是方程x ﹣x+m=0（m ＜0）的两根，则b ⋆b ﹣a ⋆a 的值为（ ）
A ．0 B ．1 C ．2 D ．与m 有关
二．填空题．（本大题共六小题，每小题3分，满分18分．）
211．（3分）（2016•广州）分解因式：2a +ab=．
12．（3分）（2016•广州）代数式有意义时，实数x
的取值范围是
． 2
13．（3分）（2016•广州）如图，△ABC 中，AB=AC，BC=12cm，点D 在AC 上，DC=4cm．将线段DC 沿着CB 的方向平移7cm 得到线段EF ，点E ，F 分别落在边AB ，BC 上，则△EBF 的周长为 cm ．
14．（3分）（2016•广州）分式方程的解是 ．
15．（3分）（2016•广州）如图，以点O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 是小圆的切线，点P 为切点，AB=12，OP=6，则劣弧AB 的长为 ．
16．（3分）（2016•广州）如图，正方形ABCD 的边长为1，AC ，BD 是对角线．将△DCB 绕着点D 顺时针旋转45°得到△DGH ，HG 交AB 于点E ，连接DE 交AC 于点F ，连接FG ．则下列结论：
①四边形AEGF 是菱形
②△AED ≌△GED
③∠DFG=112.5°
④BC+FG=1.5
其中正确的结论是 ．
三、解答题
17．（9分）（2016•广州）解不等式组并在数轴上表示解集．
18．（9分）（2016•广州）如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，若AB=AO，求∠ABD 的度数．
19．（10分）（2016•广州）某校为了提升初中学生学习数学的兴趣，培养学生的创新精神，举办“玩转数学”比赛．现有甲、乙、丙三个小组进入决赛，评委从研究报告、小组展示、答
（2）如果按照研究报告占40%，小组展示占30%，答辩占30%计算各小组的成绩，哪个小组的成绩最高？
20．（10分）（2016•广州）已知A=
（1）化简A ；
（2）若点P （a ，b ）在反比例函数y=﹣的图象上，求A 的值．
21．（12分）（2016•广州）如图，利用尺规，在△ABC 的边AC 上方作∠CAE=∠ACB ，在射线AE 上截取AD=BC，连接CD ，并证明：CD ∥AB （尺规作图要求保留作图痕迹，不写作法） （a ，b ≠0且a ≠b ）
22．（12分）（2016•广州）如图，某无人机于空中A 处探测到目标B ，D ，从无人机A 上看目标B ，D 的俯角分别为30°，60°，此时无人机的飞行高度AC 为60m ，随后无人机从A 处继续飞行30m 到达A ′处，
（1）求A ，B 之间的距离；
（2）求从无人机A ′上看目标D 的俯角的正切值．
23．（12分）（2016•广州）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y=﹣x+3与x 轴交于点C ，与直线AD 交于点A （，），点D 的坐标为（0，1）
（1）求直线AD 的解析式；
（2）直线AD 与x 轴交于点B ，若点E 是直线AD 上一动点（不与点B 重合），当△BOD 与△BCE 相似时，求点E 的坐标．
224．（14分）（2016•广州）已知抛物线y=mx+（1﹣2m ）x+1﹣3m 与x 轴相交于不同的两
点A 、B
（1）求m 的取值范围；
（2）证明该抛物线一定经过非坐标轴上的一点P ，并求出点P 的坐标；
（3）当＜m ≤8时，由（2）求出的点P 和点A ，B 构成的△ABP 的面积是否有最值？若有，求出该最值及相对应的m 值．
25．（14分）（2016•广州）如图，点C 为△ABD 的外接圆上的一动点（点C 不在上，且不与点B ，D 重合），∠ACB=∠ABD=45°
（1）求证：BD 是该外接圆的直径；
（2）连结CD ，求证：AC=BC+CD；
222（3）若△ABC 关于直线AB 的对称图形为△ABM ，连接DM ，试探究DM ，AM ，BM
三者之间满足的等量关系，并证明你的结论．
2016年广东省广州市中考数学试卷
参考答案
一、选择题．
1．C
2．A
3．D
4．A
5．D
6．B
7．D
8．C
9．B
10．A
二．填空题
11．a （2a+b）
12． x ≤9
13． 13
14． x=﹣1
15．
8π．
16．
①②③．
三、解答题
17．
解：解不等式2x ＜5，得：x ＜，
解不等式3（x+2）≥x+4，得：x ≥﹣1，
∴不等式组的解集为：﹣1≤x ＜，
将不等式解集表示在数轴上如图：
18．
解：∵四边形ABCD 是矩形，
∴OA=OC，OB=OD，AC=BD，
∴AO=OB，
∵AB=AO，
∴AB=AO=BO，
∴△ABO 是等边三角形，
∴∠ABD=60°．
19．
解：（1）由题意可得，
甲组的平均成绩是：
乙组的平均成绩是：
丙组的平均成绩是：（分）， （分）， （分），
从高分到低分小组的排名顺序是：丙＞甲＞乙；
（2）由题意可得，
甲组的平均成绩是：
乙组的平均成绩是：
丙组的平均成绩是：
由上可得，甲组的成绩最高．
20．
解：（1）A=， （分）， （分）， （分），
=，
=，
=．
（2）∵点P （a ，b ）在反比例函数y=﹣的图象上，
∴ab=﹣5，
∴A==﹣．
21．
解：图象如图所示，
∵∠EAC=∠ACB ，
∴AD ∥CB ，
∵AD=BC，
∴四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB ∥CD ．
22．
解：（1）由题意得：∠ABD=30°，∠ADC=60°，
在Rt △ABC 中，AC=60m，
∴AB===120（m ）；
（2）过A ′作A ′E ⊥BC 交BC 的延长线于E ，连接A ′D ，
则A ′E=AC=60，CE=AA′=30，
在Rt △ABC 中，AC=60m，∠ADC=60°，
∴DC=
∴DE=50AC=20，
==．
． ， ∴tan ∠AA ′D=tan∠A ′DC=答：从无人机A ′上看目标D 的俯角的正切值是
23．
解：（1）设直线AD 的解析式为y=kx+b，
将A （，），D （0，1）代入得：，
解得：．
故直线AD 的解析式为：y=x+1；
（2）∵直线AD 与x 轴的交点为（﹣2，0），
∴OB=2，
∵点D 的坐标为（0，1），
∴OD=1，
∵y=﹣x+3与x 轴交于点C （3，0），
∴OC=3，
∴BC=5
∵△BOD 与△BCE 相似，
∴
∴==或或， ，
，或CE=， ∴BE=2，CE=
∴E （2，2），或（3，）．
24．
（1）解：当m=0时，函数为一次函数，不符合题意，舍去； 当m ≠0时，
2∵抛物线y=mx+（1﹣2m ）x+1﹣3m 与x 轴相交于不同的两点A 、B ，
22∴△=（1﹣2m ）﹣4×m ×（1﹣3m ）=（1﹣4m ）＞0，
∴1﹣4m ≠0，
∴m ≠；
（2）证明：∵抛物线y=mx+（1﹣2m ）x+1﹣3m ，
2∴y=m（x ﹣2x ﹣3）+x+1，
抛物线过定点说明在这一点y 与m 无关，
显然当x ﹣2x ﹣3=0时，y 与m 无关，
解得：x=3或x=﹣1，
当x=3时，y=4，定点坐标为（3，4）；
当x=﹣1时，y=0，定点坐标为（﹣1，0），
∵P 不在坐标轴上，
∴P （3，4）；
22
（3）解：|AB|=|xA ﹣x B |===
==||=|﹣4|，
∵＜m ≤8，
∴≤＜4，
∴﹣≤﹣4＜0，
，
|=， ∴0＜|﹣4|≤∴|AB|最大时，|
解得：m=8，或m=（舍去），
， ∴当m=8时，|AB|有最大值
此时△ABP 的面积最大，没有最小值， 则面积最大为：|AB|yP =×25．
解：（1）∵=， ×4=．
∴∠ACB=∠ADB=45°，
∵∠ABD=45°，
∴∠BAD=90°，
∴BD 是△ABD 外接圆的直径；
（2）在CD 的延长线上截取DE=BC， 连接EA ，
∵∠ABD=∠ADB ，
∴AB=AD，
∵∠ADE+∠ADC=180°，
∠ABC+∠ADC=180°，
∴∠ABC=∠ADE ，
在△ABC 与△ADE 中，
，
∴△ABC ≌△ADE （SAS ）， ∴∠BAC=∠DAE ，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD ，
∴∠BAD=∠CAE=90°，
∵=
∴∠ACD=∠ABD=45°，
∴△CAE 是等腰直角三角形，
∴AC=CE，
∴AC=CD+DE=CD+BC；
（3）过点M 作MF ⊥MB 于点M ，过点A 作AF ⊥MA 于点A ，MF 与AF 交于点F ，连接BF ，
由对称性可知：∠AMB=ACB=45°，
∴∠FMA=45°，
∴△AMF 是等腰直角三角形，
∴AM=AF，MF=AM ，
∵∠MAF+∠MAB=∠BAD+∠MAB ，
∴∠FAB=∠MAD ，
在△ABF 与△ADM 中，
，
∴△ABF ≌△ADM （SAS ），
∴BF=DM，
在Rt △BMF 中，
222∵BM +MF=BF，
222∴BM +2AM=DM．