圆的有关计算
1．（2014•牡丹江）⊙O 的半径为2，弦BC=2，点A 是⊙O 上一点，且AB=AC，直线AO 与BC 交于点D ，则AD 的长为
2．（2014•绍兴）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其主视图如图．⊙O 与矩形ABCD 的边BC ，AD 分别相切和相交（E ，F 是交点），已知EF=CD=8，则⊙O 的半径为 ．
3．（2014•自贡）一个边长为4cm 的等边三角形ABC 与⊙O 等高，如图放置，⊙O 与BC 相切于点C ，⊙O 与AC 相交于点E ，则CE 的长为 cm ．
4．（2013•西宁）如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，若CD=6，且AE ：BE=1：3，则AB=
4．（2013•贵港）如图，AB 是⊙O 的弦，OH ⊥AB 于点H ，点P 是优弧上一点，若AB=2OH=1，则∠APB 的度数是．
，
5．（2013•贵阳）如图，AD 、AC 分别是直径和弦，∠CAD=30°，B 是AC 上一点，BO ⊥AD ，垂足为O ，BO=5cm，则CD 等于 cm ．
6．（2013•哈尔滨）如图，直线AB 与⊙O 相切于点A ，AC ，CD 是⊙O 的两条弦，且CD ∥AB ，若⊙O 的半径为，CD=4，则弦AC 的长为 ．
7．（2012•淄博）如图，AB ，CD 是⊙O 的弦，AB ⊥CD ，BE 是⊙O 的直径．若AC=3，则DE= ．
8．（2011•威海）如图，⊙O 的直径AB 与弦CD 交于点E ，AE=5，BE=1，CD=4
∠AED= ．
，则
9．（2011•温州）如图，AB 是⊙O 的直径，点C ，D 都在⊙O 上，连接CA ，CB ，DC ，DB ．已知∠D=30°，BC=3，则AB 的长是 ．
10．（2010•文山州）如图，⊙O 的弦AB=6，M 是AB 上任意一点，且OM 最小值为4，则⊙O 的半径为 ．
11．（2009•乌鲁木齐）如图，点C 、D 在以AB 为直径的⊙O 上，且CD 平分∠ACB ，若AB=2，∠CBA=15°，则CD 的长为
12．（2009•宜宾）如图，点A 、B 、C 在O0上，切线CD 与OB 的延长线交于点D ．若∠A=30°，CD=，则⊙O 的半径长为
13．（2008•兰州）如图，点A ，B 是⊙O 上两点，AB=10，点P 是⊙O 上的动点（P 与A ，B 不重合），连接AP ，PB ，过点O 分别作OE ⊥AP 于E ，OF ⊥PB 于F ，则EF=．
14．（2008•宜宾）如图，△ABC 内接于⊙O ，∠BAC=120°，AB=AC=4．BD 为⊙O 的直径，则BD= ．
15．（2008•大庆）如图，圆锥的轴截面（过圆锥顶点和底面圆心的截面）是边长为4cm 的等边三角形ABC ，点D 是母线AC 的中点，一只蚂蚁从点B 出发沿圆锥的表面爬行到点D 处，则这只蚂蚁爬行的最短距离是 cm ．
16．（2007•衢州）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，点D 在⊙O 上，已知∠ACB=∠D ，BC=2，则AB 的长是 ．
17．（2007•孝感）如图，AM 、AN 分别切⊙O 于M 、N 两点，点B 在⊙O 上，且∠MBN=70°，则∠A= 度．
18．（2007•莆田）如图，PA ，PB 是⊙O 的切线，A ，B 为切点，连接OA ，OB ，AB ，若∠P=60°，则∠OAB= 度．
19．（2007•天水）如图，已知在⊙O 中，直径MN=10，正方形ABCD 的四个顶点分别在⊙O 及半径OM 、OP 上，并且∠POM=45°，则AB 的长为 ．
20．（2005•宁波）如图，△ABC 内接于⊙O ，∠B=30°，AC=2cm，则⊙O 半径长为 cm ．
21（2016•景德镇校级二模）如图，点A ，B ，C ，D 在⊙O 上，∠ABO=40°，∠BCD=112°，E 是AD 中点，则∠DOE 的度数为
22．（2016•抚州一模）如图，⊙O 的弦AB 与半径OC 相交于点P ，BC ∥OA ，∠C=50°，那么∠APC 的度数为 ．
23．（2016•云南模拟）如图，点A 、C 、B 、D 在⊙O 上，∠AOB=60°，OC 平分∠AOB ，则∠CDB 的度数是 °．
24．（2016•武进区一模）如图，AB 与⊙O 相切于点B ，AO 的延长线交⊙O 于点C ，连接BC ，若∠A=36°，则∠C= ．
25．（2016•平顶山一模）如图，PA 、PB 分别切⊙O 于点A 、B ，若∠C=55°，则∠P 的大小为 度．
26．（2016春•滨海县校级月考）如图，AB 为⊙O 的直径，∠E=20°，∠DBC=50°，则∠CBE= °．
27．（2015•青岛）如图，圆内接四边形ABCD 两组对边的延长线分别相交于点E ，F ，且∠A=55°，∠E=30°，则∠F= ．
28．（2015•徐州）如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在AB 的延长线上，CD 与⊙O 相切于点D ，若∠C=20°，则∠CDA=°．
29如图，若
∠BDC= ．
，PAB 、PCD 是⊙O 的两条割线，PAB 过圆心O ，∠P=30°，则
30如图，⊙O 在△ABC 三边上截得的弦长相等，∠A=70°，则∠BOC=度．
31. 如图，已知AB 是⊙O 的直径，PA=PB，∠P=60°，则弧CD 所对的圆心角等于
1. 如图，在菱形ABCD 中，AB=BD．点E 、F 分别在AB 、AD 上，且AE=DF．连接BF 与DE 相交于点G ，连接CG ．
（1）求证：△AED ≌△DFB ；
（2）求∠BGD 的度数；
（3）求证：DG+BG=CG．
2. 如图，已知在▱ABCD 中，AE 平分∠BAD ，交DC 于E ，D F ⊥BC ，交AE 于G ，且DF=AD．
（1）若∠C=60°，AB=2，求EC 的长；
（2）求证：CD=DG+FC．
3. 如图，四边形ABCD 是菱形，CE ⊥AB ，垂足为点E ，且CE 交对角线BD 于点F ．若∠A=120°，四边形AEFD 的面积为，求EF 的值．
2016年05月06日[email protected]的初中数学组卷
参考答案与试题解析
一．填空题（共30小题）
1．（2015•沈阳）如图，在△ABC 中，AB=AC，∠B=30°，以点A 为圆心，以3cm 为半径作⊙A ，当AB= 6 cm 时，BC 与⊙A 相切．
【解答】解：如图，过点A 作AD ⊥BC 于点D ．
∵AB=AC，∠B=30°，
∴AD=AB ，即AB=2AD．
又∵BC 与⊙A 相切，
∴AD 就是圆A 的半径，
∴AD=3cm，
则AB=2AD=6cm．
故答案是：6．
2．（2015•贵港）如图，已知圆锥的底面⊙O 的直径BC=6，高OA=4，则该圆锥的侧面展开图的面积为 15π ．
【解答】解：∵OB=BC=3，OA=4，
由勾股定理，AB=5， 侧面展开图的面积为：×6π×5=15π．
故答案为：15π．
3．（2015•孝感）已知圆锥的侧面积等于60πcm ，母线长10cm ，则圆锥的高是 8 cm ．
【解答】解：设圆锥的底面圆的半径为r ， 根据题意得•2π•r •10=60π，
解得r=6，
所以圆锥的高==8（cm ）． 2
故答案为8．
4．（2015•烟台）如图，将弧长为6π，圆心角为120°的圆形纸片AOB 围成圆锥形纸帽，使扇形的两条半径OA 与OB 重合（粘连部分忽略不计）则圆锥形纸帽的高是 6 ．
【解答】解：∵弧长为6π，
∴底面半径为6π÷2π=3，
∵圆心角为120°， ∴=6π，
解得：R=9， ∴圆锥的高为=6，
故答案为：6．
5．（2015•呼和浩特）一个圆锥的侧面积为8π，母线长为4，则这个圆锥的全面积为．
【解答】解：∵
∴解得n=180
则弧长==4π =8π，
2πr=4π
解得r=2，
∴底面积为4π，
∴全面积为12π．
故答案是：12π．
6．（2014•张家界）如图，AB 、CD 是半径为5的⊙O 的两条弦，AB=8，CD=6，MN 是直径，AB ⊥MN 于点E ，CD ⊥MN 于点F ，P 为EF 上的任意一点，则PA+PC的最小值为
．
【解答】解：连接OA ，OB ，OC ，作CH 垂直AB 于H ．
根据垂径定理，得到BE=AB=4，
CF=CD=3，
∴OE=OF=
===3，
=4，
∴CH=OE+OF=3+4=7，
BH=BE+EH=BE+CF=4+3=7，
在直角△BCH 中根据勾股定理得到BC=7
则PA+PC的最小值为． 故答案为：
，
7．（2014•南京）如图，在⊙O 中，CD 是直径，弦AB ⊥CD ，垂足为E ，连接BC ，若AB=2∠BCD=22°30′，则⊙O 的半径为 2 cm ．
cm ，
【解答】解：连结OB ，如图，
∵∠BCD=22°30′，
∴∠BOD=2∠BCD=45°，
∵AB ⊥CD ，
∴BE=AE=AB=×2∴OB=
=，△BOE 为等腰直角三角形， BE=2（cm ）．
故答案为：2．
8．（2014•牡丹江）⊙O 的半径为2，弦BC=2，点A 是⊙O 上一点，且AB=AC，直线AO 与BC 交于点D ，则AD 的长为．
【解答】解：如图所示：
∵⊙O 的半径为2，弦BC=2，点A 是⊙O 上一点，且AB=AC，
∴AD ⊥BC ，
∴BD=BC=，
在Rt △OBD 中，
222222∵BD +OD=OB，即（）+OD=2，解得OD=1，
∴当如图1所示时，AD=OA﹣OD=2﹣1=1；
当如图2所示时，AD=OA+OD=2+1=3．
故答案为：1或3．
9．（2014•绍兴）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其主视图如图．⊙O 与矩形ABCD 的边BC ，AD 分别相切和相交（E ，F 是交点），已知EF=CD=8，则⊙O 的半径为
【解答】解：由题意，⊙O 与BC 相切，记切点为G ，作直线OG ，分别交AD 、劣弧点H 、I ，再连接OF ，
在矩形ABCD 中，AD ∥BC ，而IG ⊥BC ，
∴IG ⊥AD ， 于
∴在⊙O 中，FH=EF=4，
设求半径为r ，则OH=8﹣r ，
222在Rt △OFH 中，r ﹣（8﹣r ）=4，
解得r=5，
故答案为：5．
10．（2014•茂名）如图，小丽荡秋千，秋千链子的长OA 为2.5米，秋千向两边摆动的角度相同，摆动的水平距离AB 为3米，则秋千摆至最高位置时与最低价位置时的高度之差（即CD ）为
【解答】解：∵点C 为弧AB 的中点，O 为圆心
由垂径定理知：AB ⊥OC ，AD=BD=AB=1.5米，
在Rt △OAD 中，根据勾股定理，OD==2（米），
∴CD=OC﹣OD=2.5﹣2=0.5（米）；
故答案为0.5．
11．（2014•自贡）一个边长为4cm 的等边三角形ABC 与⊙O 等高，如图放置，⊙O 与BC 相切于点C ，⊙O 与AC 相交于点E ，则CE 的长为 3 cm ．
【解答】解：连接OC ，并过点O 作OF ⊥CE 于F ，
且△ABC 为等边三角形，边长为4，
故高为2，即OC=，
又∠ACB=60°，故有∠OCF=30°，
在Rt △OFC 中，可得FC=OC•cos30°=，
OF 过圆心，且OF ⊥CE ，根据垂径定理易知CE=2FC=3．
故答案为：3．
12．（2013•西宁）如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，若CD=6，且AE ：BE=1：3，则AB=
．
【解答】解：连接OC ，
根据题意设AE=x，则BE=3x，AB=AE+EB=4x，
∴OC=OA=OB=2x，OE=OA﹣AE=x，
∵AB ⊥CD ，∴E 为CD 中点，即CE=DE=CD=3，
在Rt △CEO 中，利用勾股定理得：（2x ）=3+x，
解得：x=，
则AB=4x=4．
故答案为：4
222
13．（2013•贵港）如图，AB 是⊙O 的弦，OH ⊥AB 于点H ，点P 是优弧上一点，若AB=2OH=1，则∠APB 的度数是． ，
【解答】解：连接OA ，OB ，
∵OH ⊥AB ，AB=2，
∴AH=AB=
∵OH=1，
∴tan ∠AOH==
=． ，
∴∠AOH=60°，
∴∠AOB=2∠AOH=120°，
∴∠APB=∠AOB=×120°=60°．
故答案为：60°．
14．（2013•贵阳）如图，AD 、AC 分别是直径和弦，∠CAD=30°，B 是AC 上一点，BO ⊥AD ，垂足为O ，BO=5cm，则CD 等于 5 cm ．
【解答】解：∵在直角△AOB 中∠CAD=30°，
∴AB=2OB=2×5=10cm， AO==5cm ．
∴AD=2AO=10cm ．
∵AD 是圆的直径，
∴∠C=90°，
又∵∠CAD=30°，
∴CD=AD=×10故答案是：5
=5（cm ）． ．
15．（2013•哈尔滨）如图，直线AB 与⊙O 相切于点A ，AC ，CD 是⊙O 的两条弦，且CD ∥AB ，若⊙O 的半径为，CD=4，则弦AC 的长为 2 ．
【解答】解：连接AO 并延长，交CD 于点E ，连接OC ，
∵直线AB 与⊙O 相切于点A ，
∴EA ⊥AB ，
∵CD ∥AB ，
∠CEA=90°，
∴AE ⊥CD ，
∴CE=CD=×4=2，
∵在Rt △OCE 中，OE=∴AE=OA+OE=4，
∴在Rt △ACE 中，AC=故答案为：2．
=2． =，
16．（2012•淄博）如图，AB ，CD 是⊙O 的弦，AB ⊥CD ，BE 是⊙O 的直径．若AC=3，则DE=．
【解答】解：连接AE ，
∵BE 是⊙O 的直径，
∴∠BAE=90°，
即AB ⊥AE ，
∵AB ⊥CD ，
∴AE ∥CD ，
∴∠ACD+∠CAE=180°，
∵四边形ACDE 是⊙O 的内接四边形，
∴∠CAE+∠CDE=180°，
∴∠ACD=∠CDE ， ∴∴==， ，
∴DE=AC=3．
故答案为：3．
17．（2011•威海）如图，⊙O 的直径AB 与弦CD 交于点E ，AE=5，BE=1，CD=4
∠AED= 30° ．
，则
【解答】解：连接OD ，过圆心O 作OH ⊥CD 于点H ．
∴DH=CH=CD （垂径定理）；
∵CD=4，
∴DH=2；
又∵AE=5，BE=1，
∴AB=6，
∴OA=OD=3（⊙O 的半径）；
∴OE=2；
∴在Rt △ODH 中，OH=
在Rt △OEH 中，OH=OE ，
∴∠OEH=30°，
即∠AED=30°．
故答案为：30°． =1（勾股定理）；
18．（2011•温州）如图，AB 是⊙O 的直径，点C ，D 都在⊙O 上，连接CA ，CB ，DC ，DB ．已知∠D=30°，BC=3，则AB 的长是 6 ．
【解答】解：∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠D=30°，
∴∠A=∠D=30°，
∵BC=3，
∴AB=6．
故答案为：6．
19．（2011•天津）如图，AD 和AC 分别是⊙O 的直径和弦，且∠CAD=30°，OB ⊥AD 交AC 于点B ，若OB=5，则BC 等于．
【解答】解：连接CD ；
Rt △AOB 中，∠A=30°，OB=5，则AB=10，OA=5
在Rt △ACD 中，∠A=30°，AD=2OA=10，
∴AC=cos30°×10 =×10 ；
=15，
∴BC=AC﹣AB=15﹣10=5．
20．（2010•文山州）如图，⊙O 的弦AB=6，M 是AB 上任意一点，且OM 最小值为4，则⊙O 的半径为 5 ．
【解答】解：如图，连接OA ，
OM ⊥AB ，
∴OM=4，
∵AB=6，
∴AM=BM=AB=3，
在Rt △AOM 中，OA=
所以⊙O 的半径为5．
，
21．（2009•乌鲁木齐）如图，点C 、D 在以AB 为直径的⊙O 上，且CD 平分∠ACB ，若AB=2，∠CBA=15°，则CD 的长为
．
【解答】解：连接OC ，过点O 作OE ⊥CD ，垂足为点E ，
∵∠ABC=15°，OB=OC，
∴∠OCB=15°，
∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ACB=90°，
∵CD 平分∠ACB ，
∴∠BCD=45°，
∴∠OCE=∠BCD ﹣∠OBC=45°﹣15°=30°，
而AB=2OC=2，
∴OC=1，
∵cos30°=，
∴在Rt △OCE 中，CE=OC×cos30°=1×
∵OE ⊥CD ，
所以CD=2CE=， ．
22．（2009•宜宾）如图，点A 、B 、C 在O0上，切线CD 与OB 的延长线交于点D ．若∠A=30°，CD=，则⊙O 的半径长为．
【解答】解：由圆周角定理得，∠COD=2∠A=60°．
CD 是切线，则∠OCD=90°．
∴OC=CDcot60°=×=2．
23．（2008•兰州）如图，点A ，B 是⊙O 上两点，AB=10，点P 是⊙O 上的动点（P 与A ，B 不重合），连接AP ，PB ，过点O 分别作OE ⊥AP 于E ，OF ⊥PB 于F ，则EF= 5 ．
【解答】解：点P 是⊙O 上的动点（P 与A ，B 不重合），但不管点P 如何动，因为OE ⊥AP 于E ，OF ⊥PB 于F ，根据垂径定理，E 为AP 中点，F 为PB 中点，EF 为△APB 中位线．根据三角形中位线定理，EF=AB=×10=5．
24．（2008•宜宾）如图，△ABC 内接于⊙O ，∠BAC=120°，AB=AC=4．BD 为⊙O 的直径，则BD= 8 ．
【解答】解：∵∠BAC=120°，AB=AC=4，
∴∠C=30°，
∴∠BOA=60°．
又∵OA=OB，
∴△AOB 是正三角形．
∴OB=AB=4，
∴BD=8．
25．（2008•大庆）如图，圆锥的轴截面（过圆锥顶点和底面圆心的截面）是边长为4cm 的等边三角形ABC ，点D 是母线AC 的中点，一只蚂蚁从点B 出发沿圆锥的表面爬行到点D 处，则这只蚂蚁爬行的最短距离是 2 cm ．
【解答】解：∵圆锥的底面周长是4π，则4π=
∴n=180°即圆锥侧面展开图的圆心角是180°，
∴在圆锥侧面展开图中AD=2，AB=4，∠BAD=90°，
∴在圆锥侧面展开图中BD=， ∴这只蚂蚁爬行的最短距离是cm ．
，
26．（2007•衢州）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，点D 在⊙O 上，已知∠ACB=∠D ，BC=2，则AB 的长是 2 ．
第21页（共23页）
【解答】解：∵∠A=∠D ，∠ACB=∠D
∴∠A=∠ACB ，
∴AB=BC=2．
27．（2007•孝感）如图，AM 、AN 分别切⊙O 于M 、N 两点，点B 在⊙O 上，且∠MBN=70°，则∠A= 40 度．
【解答】解：连接OM ，ON ，则∠OMA=∠ONA=90°，
∵∠MON=2∠B=140°，
∴∠A=360°﹣90°﹣90°﹣∠MON=40°．
28．（2007•莆田）如图，PA ，PB 是⊙O 的切线，A ，B 为切点，连接OA ，OB ，AB ，若∠P=60°，则∠OAB= 30 度．
【解答】解：PA ，PB 是⊙O 的切线，A ，B 为切点，
∴∠OAP=∠OBP=90°，∠AOB=180°﹣∠P=120°，
∵AO=OB，
∴∠OAB=∠OBA=（180°﹣∠AOB ）÷2=30°．
29．（2007•天水）如图，已知在⊙O 中，直径MN=10，正方形ABCD 的四个顶点分别在⊙O 及半径OM 、OP 上，并且∠POM=45°，则AB 的长为
．
第22页（共23页）
【解答】解：∵∠POM=45°，∠DCO=90°，
∴∠DOC=∠CDO=45°，
∴△CDO 为等腰直角三角形，
那么CO=CD．
连接OA ，可得到直角三角形OAB ，
∴AB=BC=CD=CO，BO=BC+CO=BC+CD=2AB，
那么AB +OB=5，
222∴AB +（2AB ）=5，
∴AB 的长为． 故答案为：
222
30．（2005•宁波）如图，△ABC 内接于⊙O ，∠B=30°，AC=2cm，则⊙O 半径长为cm ．
【解答】解：连接OA 、OC ，
∵∠B=30°，
∴∠AOC=60°，
∵OA=OC，
∴△AOC 是等边三角形，
∴OA=AC=2．
第23页（共23页）
圆的有关计算
1．（2014•牡丹江）⊙O 的半径为2，弦BC=2，点A 是⊙O 上一点，且AB=AC，直线AO 与BC 交于点D ，则AD 的长为
2．（2014•绍兴）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其主视图如图．⊙O 与矩形ABCD 的边BC ，AD 分别相切和相交（E ，F 是交点），已知EF=CD=8，则⊙O 的半径为 ．
3．（2014•自贡）一个边长为4cm 的等边三角形ABC 与⊙O 等高，如图放置，⊙O 与BC 相切于点C ，⊙O 与AC 相交于点E ，则CE 的长为 cm ．
4．（2013•西宁）如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，若CD=6，且AE ：BE=1：3，则AB=
4．（2013•贵港）如图，AB 是⊙O 的弦，OH ⊥AB 于点H ，点P 是优弧上一点，若AB=2OH=1，则∠APB 的度数是．
，
5．（2013•贵阳）如图，AD 、AC 分别是直径和弦，∠CAD=30°，B 是AC 上一点，BO ⊥AD ，垂足为O ，BO=5cm，则CD 等于 cm ．
6．（2013•哈尔滨）如图，直线AB 与⊙O 相切于点A ，AC ，CD 是⊙O 的两条弦，且CD ∥AB ，若⊙O 的半径为，CD=4，则弦AC 的长为 ．
7．（2012•淄博）如图，AB ，CD 是⊙O 的弦，AB ⊥CD ，BE 是⊙O 的直径．若AC=3，则DE= ．
8．（2011•威海）如图，⊙O 的直径AB 与弦CD 交于点E ，AE=5，BE=1，CD=4
∠AED= ．
，则
9．（2011•温州）如图，AB 是⊙O 的直径，点C ，D 都在⊙O 上，连接CA ，CB ，DC ，DB ．已知∠D=30°，BC=3，则AB 的长是 ．
10．（2010•文山州）如图，⊙O 的弦AB=6，M 是AB 上任意一点，且OM 最小值为4，则⊙O 的半径为 ．
11．（2009•乌鲁木齐）如图，点C 、D 在以AB 为直径的⊙O 上，且CD 平分∠ACB ，若AB=2，∠CBA=15°，则CD 的长为
12．（2009•宜宾）如图，点A 、B 、C 在O0上，切线CD 与OB 的延长线交于点D ．若∠A=30°，CD=，则⊙O 的半径长为
13．（2008•兰州）如图，点A ，B 是⊙O 上两点，AB=10，点P 是⊙O 上的动点（P 与A ，B 不重合），连接AP ，PB ，过点O 分别作OE ⊥AP 于E ，OF ⊥PB 于F ，则EF=．
14．（2008•宜宾）如图，△ABC 内接于⊙O ，∠BAC=120°，AB=AC=4．BD 为⊙O 的直径，则BD= ．
15．（2008•大庆）如图，圆锥的轴截面（过圆锥顶点和底面圆心的截面）是边长为4cm 的等边三角形ABC ，点D 是母线AC 的中点，一只蚂蚁从点B 出发沿圆锥的表面爬行到点D 处，则这只蚂蚁爬行的最短距离是 cm ．
16．（2007•衢州）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，点D 在⊙O 上，已知∠ACB=∠D ，BC=2，则AB 的长是 ．
17．（2007•孝感）如图，AM 、AN 分别切⊙O 于M 、N 两点，点B 在⊙O 上，且∠MBN=70°，则∠A= 度．
18．（2007•莆田）如图，PA ，PB 是⊙O 的切线，A ，B 为切点，连接OA ，OB ，AB ，若∠P=60°，则∠OAB= 度．
19．（2007•天水）如图，已知在⊙O 中，直径MN=10，正方形ABCD 的四个顶点分别在⊙O 及半径OM 、OP 上，并且∠POM=45°，则AB 的长为 ．
20．（2005•宁波）如图，△ABC 内接于⊙O ，∠B=30°，AC=2cm，则⊙O 半径长为 cm ．
21（2016•景德镇校级二模）如图，点A ，B ，C ，D 在⊙O 上，∠ABO=40°，∠BCD=112°，E 是AD 中点，则∠DOE 的度数为
22．（2016•抚州一模）如图，⊙O 的弦AB 与半径OC 相交于点P ，BC ∥OA ，∠C=50°，那么∠APC 的度数为 ．
23．（2016•云南模拟）如图，点A 、C 、B 、D 在⊙O 上，∠AOB=60°，OC 平分∠AOB ，则∠CDB 的度数是 °．
24．（2016•武进区一模）如图，AB 与⊙O 相切于点B ，AO 的延长线交⊙O 于点C ，连接BC ，若∠A=36°，则∠C= ．
25．（2016•平顶山一模）如图，PA 、PB 分别切⊙O 于点A 、B ，若∠C=55°，则∠P 的大小为 度．
26．（2016春•滨海县校级月考）如图，AB 为⊙O 的直径，∠E=20°，∠DBC=50°，则∠CBE= °．
27．（2015•青岛）如图，圆内接四边形ABCD 两组对边的延长线分别相交于点E ，F ，且∠A=55°，∠E=30°，则∠F= ．
28．（2015•徐州）如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在AB 的延长线上，CD 与⊙O 相切于点D ，若∠C=20°，则∠CDA=°．
29如图，若
∠BDC= ．
，PAB 、PCD 是⊙O 的两条割线，PAB 过圆心O ，∠P=30°，则
30如图，⊙O 在△ABC 三边上截得的弦长相等，∠A=70°，则∠BOC=度．
31. 如图，已知AB 是⊙O 的直径，PA=PB，∠P=60°，则弧CD 所对的圆心角等于
1. 如图，在菱形ABCD 中，AB=BD．点E 、F 分别在AB 、AD 上，且AE=DF．连接BF 与DE 相交于点G ，连接CG ．
（1）求证：△AED ≌△DFB ；
（2）求∠BGD 的度数；
（3）求证：DG+BG=CG．
2. 如图，已知在▱ABCD 中，AE 平分∠BAD ，交DC 于E ，D F ⊥BC ，交AE 于G ，且DF=AD．
（1）若∠C=60°，AB=2，求EC 的长；
（2）求证：CD=DG+FC．
3. 如图，四边形ABCD 是菱形，CE ⊥AB ，垂足为点E ，且CE 交对角线BD 于点F ．若∠A=120°，四边形AEFD 的面积为，求EF 的值．
2016年05月06日[email protected]的初中数学组卷
参考答案与试题解析
一．填空题（共30小题）
1．（2015•沈阳）如图，在△ABC 中，AB=AC，∠B=30°，以点A 为圆心，以3cm 为半径作⊙A ，当AB= 6 cm 时，BC 与⊙A 相切．
【解答】解：如图，过点A 作AD ⊥BC 于点D ．
∵AB=AC，∠B=30°，
∴AD=AB ，即AB=2AD．
又∵BC 与⊙A 相切，
∴AD 就是圆A 的半径，
∴AD=3cm，
则AB=2AD=6cm．
故答案是：6．
2．（2015•贵港）如图，已知圆锥的底面⊙O 的直径BC=6，高OA=4，则该圆锥的侧面展开图的面积为 15π ．
【解答】解：∵OB=BC=3，OA=4，
由勾股定理，AB=5， 侧面展开图的面积为：×6π×5=15π．
故答案为：15π．
3．（2015•孝感）已知圆锥的侧面积等于60πcm ，母线长10cm ，则圆锥的高是 8 cm ．
【解答】解：设圆锥的底面圆的半径为r ， 根据题意得•2π•r •10=60π，
解得r=6，
所以圆锥的高==8（cm ）． 2
故答案为8．
4．（2015•烟台）如图，将弧长为6π，圆心角为120°的圆形纸片AOB 围成圆锥形纸帽，使扇形的两条半径OA 与OB 重合（粘连部分忽略不计）则圆锥形纸帽的高是 6 ．
【解答】解：∵弧长为6π，
∴底面半径为6π÷2π=3，
∵圆心角为120°， ∴=6π，
解得：R=9， ∴圆锥的高为=6，
故答案为：6．
5．（2015•呼和浩特）一个圆锥的侧面积为8π，母线长为4，则这个圆锥的全面积为．
【解答】解：∵
∴解得n=180
则弧长==4π =8π，
2πr=4π
解得r=2，
∴底面积为4π，
∴全面积为12π．
故答案是：12π．
6．（2014•张家界）如图，AB 、CD 是半径为5的⊙O 的两条弦，AB=8，CD=6，MN 是直径，AB ⊥MN 于点E ，CD ⊥MN 于点F ，P 为EF 上的任意一点，则PA+PC的最小值为
．
【解答】解：连接OA ，OB ，OC ，作CH 垂直AB 于H ．
根据垂径定理，得到BE=AB=4，
CF=CD=3，
∴OE=OF=
===3，
=4，
∴CH=OE+OF=3+4=7，
BH=BE+EH=BE+CF=4+3=7，
在直角△BCH 中根据勾股定理得到BC=7
则PA+PC的最小值为． 故答案为：
，
7．（2014•南京）如图，在⊙O 中，CD 是直径，弦AB ⊥CD ，垂足为E ，连接BC ，若AB=2∠BCD=22°30′，则⊙O 的半径为 2 cm ．
cm ，
【解答】解：连结OB ，如图，
∵∠BCD=22°30′，
∴∠BOD=2∠BCD=45°，
∵AB ⊥CD ，
∴BE=AE=AB=×2∴OB=
=，△BOE 为等腰直角三角形， BE=2（cm ）．
故答案为：2．
8．（2014•牡丹江）⊙O 的半径为2，弦BC=2，点A 是⊙O 上一点，且AB=AC，直线AO 与BC 交于点D ，则AD 的长为．
【解答】解：如图所示：
∵⊙O 的半径为2，弦BC=2，点A 是⊙O 上一点，且AB=AC，
∴AD ⊥BC ，
∴BD=BC=，
在Rt △OBD 中，
222222∵BD +OD=OB，即（）+OD=2，解得OD=1，
∴当如图1所示时，AD=OA﹣OD=2﹣1=1；
当如图2所示时，AD=OA+OD=2+1=3．
故答案为：1或3．
9．（2014•绍兴）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其主视图如图．⊙O 与矩形ABCD 的边BC ，AD 分别相切和相交（E ，F 是交点），已知EF=CD=8，则⊙O 的半径为
【解答】解：由题意，⊙O 与BC 相切，记切点为G ，作直线OG ，分别交AD 、劣弧点H 、I ，再连接OF ，
在矩形ABCD 中，AD ∥BC ，而IG ⊥BC ，
∴IG ⊥AD ， 于
∴在⊙O 中，FH=EF=4，
设求半径为r ，则OH=8﹣r ，
222在Rt △OFH 中，r ﹣（8﹣r ）=4，
解得r=5，
故答案为：5．
10．（2014•茂名）如图，小丽荡秋千，秋千链子的长OA 为2.5米，秋千向两边摆动的角度相同，摆动的水平距离AB 为3米，则秋千摆至最高位置时与最低价位置时的高度之差（即CD ）为
【解答】解：∵点C 为弧AB 的中点，O 为圆心
由垂径定理知：AB ⊥OC ，AD=BD=AB=1.5米，
在Rt △OAD 中，根据勾股定理，OD==2（米），
∴CD=OC﹣OD=2.5﹣2=0.5（米）；
故答案为0.5．
11．（2014•自贡）一个边长为4cm 的等边三角形ABC 与⊙O 等高，如图放置，⊙O 与BC 相切于点C ，⊙O 与AC 相交于点E ，则CE 的长为 3 cm ．
【解答】解：连接OC ，并过点O 作OF ⊥CE 于F ，
且△ABC 为等边三角形，边长为4，
故高为2，即OC=，
又∠ACB=60°，故有∠OCF=30°，
在Rt △OFC 中，可得FC=OC•cos30°=，
OF 过圆心，且OF ⊥CE ，根据垂径定理易知CE=2FC=3．
故答案为：3．
12．（2013•西宁）如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，若CD=6，且AE ：BE=1：3，则AB=
．
【解答】解：连接OC ，
根据题意设AE=x，则BE=3x，AB=AE+EB=4x，
∴OC=OA=OB=2x，OE=OA﹣AE=x，
∵AB ⊥CD ，∴E 为CD 中点，即CE=DE=CD=3，
在Rt △CEO 中，利用勾股定理得：（2x ）=3+x，
解得：x=，
则AB=4x=4．
故答案为：4
222
13．（2013•贵港）如图，AB 是⊙O 的弦，OH ⊥AB 于点H ，点P 是优弧上一点，若AB=2OH=1，则∠APB 的度数是． ，
【解答】解：连接OA ，OB ，
∵OH ⊥AB ，AB=2，
∴AH=AB=
∵OH=1，
∴tan ∠AOH==
=． ，
∴∠AOH=60°，
∴∠AOB=2∠AOH=120°，
∴∠APB=∠AOB=×120°=60°．
故答案为：60°．
14．（2013•贵阳）如图，AD 、AC 分别是直径和弦，∠CAD=30°，B 是AC 上一点，BO ⊥AD ，垂足为O ，BO=5cm，则CD 等于 5 cm ．
【解答】解：∵在直角△AOB 中∠CAD=30°，
∴AB=2OB=2×5=10cm， AO==5cm ．
∴AD=2AO=10cm ．
∵AD 是圆的直径，
∴∠C=90°，
又∵∠CAD=30°，
∴CD=AD=×10故答案是：5
=5（cm ）． ．
15．（2013•哈尔滨）如图，直线AB 与⊙O 相切于点A ，AC ，CD 是⊙O 的两条弦，且CD ∥AB ，若⊙O 的半径为，CD=4，则弦AC 的长为 2 ．
【解答】解：连接AO 并延长，交CD 于点E ，连接OC ，
∵直线AB 与⊙O 相切于点A ，
∴EA ⊥AB ，
∵CD ∥AB ，
∠CEA=90°，
∴AE ⊥CD ，
∴CE=CD=×4=2，
∵在Rt △OCE 中，OE=∴AE=OA+OE=4，
∴在Rt △ACE 中，AC=故答案为：2．
=2． =，
16．（2012•淄博）如图，AB ，CD 是⊙O 的弦，AB ⊥CD ，BE 是⊙O 的直径．若AC=3，则DE=．
【解答】解：连接AE ，
∵BE 是⊙O 的直径，
∴∠BAE=90°，
即AB ⊥AE ，
∵AB ⊥CD ，
∴AE ∥CD ，
∴∠ACD+∠CAE=180°，
∵四边形ACDE 是⊙O 的内接四边形，
∴∠CAE+∠CDE=180°，
∴∠ACD=∠CDE ， ∴∴==， ，
∴DE=AC=3．
故答案为：3．
17．（2011•威海）如图，⊙O 的直径AB 与弦CD 交于点E ，AE=5，BE=1，CD=4
∠AED= 30° ．
，则
【解答】解：连接OD ，过圆心O 作OH ⊥CD 于点H ．
∴DH=CH=CD （垂径定理）；
∵CD=4，
∴DH=2；
又∵AE=5，BE=1，
∴AB=6，
∴OA=OD=3（⊙O 的半径）；
∴OE=2；
∴在Rt △ODH 中，OH=
在Rt △OEH 中，OH=OE ，
∴∠OEH=30°，
即∠AED=30°．
故答案为：30°． =1（勾股定理）；
18．（2011•温州）如图，AB 是⊙O 的直径，点C ，D 都在⊙O 上，连接CA ，CB ，DC ，DB ．已知∠D=30°，BC=3，则AB 的长是 6 ．
【解答】解：∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠D=30°，
∴∠A=∠D=30°，
∵BC=3，
∴AB=6．
故答案为：6．
19．（2011•天津）如图，AD 和AC 分别是⊙O 的直径和弦，且∠CAD=30°，OB ⊥AD 交AC 于点B ，若OB=5，则BC 等于．
【解答】解：连接CD ；
Rt △AOB 中，∠A=30°，OB=5，则AB=10，OA=5
在Rt △ACD 中，∠A=30°，AD=2OA=10，
∴AC=cos30°×10 =×10 ；
=15，
∴BC=AC﹣AB=15﹣10=5．
20．（2010•文山州）如图，⊙O 的弦AB=6，M 是AB 上任意一点，且OM 最小值为4，则⊙O 的半径为 5 ．
【解答】解：如图，连接OA ，
OM ⊥AB ，
∴OM=4，
∵AB=6，
∴AM=BM=AB=3，
在Rt △AOM 中，OA=
所以⊙O 的半径为5．
，
21．（2009•乌鲁木齐）如图，点C 、D 在以AB 为直径的⊙O 上，且CD 平分∠ACB ，若AB=2，∠CBA=15°，则CD 的长为
．
【解答】解：连接OC ，过点O 作OE ⊥CD ，垂足为点E ，
∵∠ABC=15°，OB=OC，
∴∠OCB=15°，
∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ACB=90°，
∵CD 平分∠ACB ，
∴∠BCD=45°，
∴∠OCE=∠BCD ﹣∠OBC=45°﹣15°=30°，
而AB=2OC=2，
∴OC=1，
∵cos30°=，
∴在Rt △OCE 中，CE=OC×cos30°=1×
∵OE ⊥CD ，
所以CD=2CE=， ．
22．（2009•宜宾）如图，点A 、B 、C 在O0上，切线CD 与OB 的延长线交于点D ．若∠A=30°，CD=，则⊙O 的半径长为．
【解答】解：由圆周角定理得，∠COD=2∠A=60°．
CD 是切线，则∠OCD=90°．
∴OC=CDcot60°=×=2．
23．（2008•兰州）如图，点A ，B 是⊙O 上两点，AB=10，点P 是⊙O 上的动点（P 与A ，B 不重合），连接AP ，PB ，过点O 分别作OE ⊥AP 于E ，OF ⊥PB 于F ，则EF= 5 ．
【解答】解：点P 是⊙O 上的动点（P 与A ，B 不重合），但不管点P 如何动，因为OE ⊥AP 于E ，OF ⊥PB 于F ，根据垂径定理，E 为AP 中点，F 为PB 中点，EF 为△APB 中位线．根据三角形中位线定理，EF=AB=×10=5．
24．（2008•宜宾）如图，△ABC 内接于⊙O ，∠BAC=120°，AB=AC=4．BD 为⊙O 的直径，则BD= 8 ．
【解答】解：∵∠BAC=120°，AB=AC=4，
∴∠C=30°，
∴∠BOA=60°．
又∵OA=OB，
∴△AOB 是正三角形．
∴OB=AB=4，
∴BD=8．
25．（2008•大庆）如图，圆锥的轴截面（过圆锥顶点和底面圆心的截面）是边长为4cm 的等边三角形ABC ，点D 是母线AC 的中点，一只蚂蚁从点B 出发沿圆锥的表面爬行到点D 处，则这只蚂蚁爬行的最短距离是 2 cm ．
【解答】解：∵圆锥的底面周长是4π，则4π=
∴n=180°即圆锥侧面展开图的圆心角是180°，
∴在圆锥侧面展开图中AD=2，AB=4，∠BAD=90°，
∴在圆锥侧面展开图中BD=， ∴这只蚂蚁爬行的最短距离是cm ．
，
26．（2007•衢州）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，点D 在⊙O 上，已知∠ACB=∠D ，BC=2，则AB 的长是 2 ．
第21页（共23页）
【解答】解：∵∠A=∠D ，∠ACB=∠D
∴∠A=∠ACB ，
∴AB=BC=2．
27．（2007•孝感）如图，AM 、AN 分别切⊙O 于M 、N 两点，点B 在⊙O 上，且∠MBN=70°，则∠A= 40 度．
【解答】解：连接OM ，ON ，则∠OMA=∠ONA=90°，
∵∠MON=2∠B=140°，
∴∠A=360°﹣90°﹣90°﹣∠MON=40°．
28．（2007•莆田）如图，PA ，PB 是⊙O 的切线，A ，B 为切点，连接OA ，OB ，AB ，若∠P=60°，则∠OAB= 30 度．
【解答】解：PA ，PB 是⊙O 的切线，A ，B 为切点，
∴∠OAP=∠OBP=90°，∠AOB=180°﹣∠P=120°，
∵AO=OB，
∴∠OAB=∠OBA=（180°﹣∠AOB ）÷2=30°．
29．（2007•天水）如图，已知在⊙O 中，直径MN=10，正方形ABCD 的四个顶点分别在⊙O 及半径OM 、OP 上，并且∠POM=45°，则AB 的长为
．
第22页（共23页）
【解答】解：∵∠POM=45°，∠DCO=90°，
∴∠DOC=∠CDO=45°，
∴△CDO 为等腰直角三角形，
那么CO=CD．
连接OA ，可得到直角三角形OAB ，
∴AB=BC=CD=CO，BO=BC+CO=BC+CD=2AB，
那么AB +OB=5，
222∴AB +（2AB ）=5，
∴AB 的长为． 故答案为：
222
30．（2005•宁波）如图，△ABC 内接于⊙O ，∠B=30°，AC=2cm，则⊙O 半径长为cm ．
【解答】解：连接OA 、OC ，
∵∠B=30°，
∴∠AOC=60°，
∵OA=OC，
∴△AOC 是等边三角形，
∴OA=AC=2．
第23页（共23页）