高一数学第一学期期末测试卷
不要害怕未知的事物
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若集合A ={-1,1}，B ={x |mx =1}，且A B =A ，则m 的值为（ ） A ．1 B ． -1
C ．1或-1 D ．1或-1或0
2．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长为（ ）
A ．2
B ．sin 2
C ．
2
sin1
D ．2sin1
3．某校高中生共有2700人，其中高一年级900人，高二年级1200人，高三年级600人，现采取分层抽样法抽取容量为135的样本，那么高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为 （ ） A ．45,75,15 B ．45,45,45 C ．30,90,15 D ．45,60,30
4．已知sin ⎛ π⎫1⎛
7π⎫
⎝x +12
⎪⎭=3，则cos ⎝
x +
12
⎪⎭
的值为（ ） A ．1
3
B ．-1
C ．3
D 5．已知函数f (x ) 是R 上的增函数，A (0,-1) 、B (3,1)是图象上两点，那么f (x +1)
6．5张卡片上分别写着数字1，2，3，4，5，然后把它们混合，再任意排成一行，则得到的五位数能被5或2整除的概率是（ ）
A ．45
B ．35 C ．21
5 D ．5
7．若sin α-cos α=，则tan α+1
tan α=（ ）
A ．-4 B ．4 C ．-8 D ．8
8．把红、黑、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁4个人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是（ ）
A ．对立事件 B ．不可能事件 C ．互斥但不对立事件 D ．以上答案都不对
9．某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了11场比赛，他们所有比赛得分的情况用如图所示的茎叶图表示，则甲、乙两名运动员得分的中位数分别为（ ） A ．19、13 B ．23、20
C ．20，18 D ．26、22
10．函数y =tan x +sin x -tan x -sin x 在区间⎛ π3π
⎫
⎝2,
2
⎪⎭
内的图象是（ ）
B ．
二、填空题：本大题有7小题，每小题4分，共28分． 11．方程2x -3=2x 的解的个数为
12
．函数y =sin(2x -π
) 的单调递增区间为．
4
13．如图，程序框图表达式中最后输出的结果N = 14．函数y ．
15．函数f (x ) =x +1+x -2的定义域为R ，则f (x ) 的最小值 是
16．已知样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差为4, 则数据2x 1+3，
2x 2+3，…，
2x n +3的标准差．．．
是 ． 17．已知函数f (x ) =lg[(a 2-1) x 2+(a +1) x +1]的值域为R ，则实数a 的范围
是 ．
三、解答题：本大题共4小题，共42分。解答应写出文字说明，证明过程或演
算步骤。
18．（本小题满分10分）如图是总体的一个样本频率分布直方图，
且在[15，18) 内频数为8．
（1
）求样本在[15，18) 内的频率； 4
75
（2）求样本容量；
（3）若在[12，15) 内的小矩形面积为0.06，求在[18，33)
内的频
数．
19．（本小题满分10分）已知定义域为R 的函数f (x ) =1-2x 2x +1+a
是奇函数．
（1）求a 的值；
（2）若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2-2t ) +f (2t 2-k )
20．（本小题满分10分）设函数f (x ) =A sin(ωx +ϕ) （A >0，ω>0，|ϕ|≤π）的图象的
最高点D
的坐标为，由最高点运动到相邻的最低点F 时，曲线与x 轴相交于点 E (6,0)．
（1）求A 、ω、φ的值；
（2）求函数y =g (x ) ，使其图象与y =f (x ) 图象关于直线x =8对称．
21．（本小题满分12分）设函数f (x ) =log a (x -3a )(a >0, 且a ≠1) ，当点P (x , y ) 是函数y =f (x ) 图象上的点时，
点Q (x -2a , -y ) 是函数y =g (x ) 图象上的点． （1）写出函数y =g (x ) 的解析式；
（2）若当x ∈[a +2, a +3]时，恒有|f (x ) -g (x ) |„1，试确定a 的取值范围；
（3）把y =g (x ) 的图象向左平移a 个单位得到y =h (x ) 的图象，函数F (x ) =2a 1-h (x ) -a 2-2h (x ) +a -h (x ) ，
(a >0, 且a ≠1) 在[,4]的最大值为4
，求a 的值．
我不能左右天气 但我可以改变心情 我不能改变容貌 但我可以展现笑容 我不能控制他人 但我可以掌握自己 我不能预知明天 但我可以利用今天 我不能样样顺利 但我可以事事尽力
参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.
二、填空题：本大题有7小题，每小题4分，共28分．
11．2； 12．⎛ π3π⎝-8+k π, 8+k π⎫
⎪⎭(k ∈Z )；13．120； 14．⎡⎢3π⎣π+2k π, 2+2k π⎫
⎪⎭
(k ∈Z )； 15．3； 16．4； 17．[1,53]． 三、解答题：本大题共4小题，共42分， 18．（本小题满分10分）
（1）样本在[15，18) 内的频率为：4
75
×3＝0.16；
（2）样本容量为：8÷0.16＝50人； （3）小矩形面积即是频率．
∵在[12，15) 内的小矩形面积为：0.06， ∴在[12，15) 内的频率为：0.06．
∴在[18，33) 内的频率为：1－0.16－0.06＝0.78． ∴在[18，33) 内的频数为0.78×50＝39人． 【答案】（1）0.16； （2）50； （3）39． 19．（本小题满分10分）
（1）解：∵函数f (x ) 是定义域为R 的奇函数．∴f (x ) +f (-x ) =0对x ∈R 恒成立．
1
为计算方便，取x =1，则f (1)+f (-1) =0⇒
-1
4+a +1+a
=0⇒2-a =0⇒a =2．（2）解： f (t 2-2t ) +f (2t 2
-k )
f (x ) 为奇函数， ∴f (t 2-2t )
由（1）得 f (x ) =1-2x -(2x +1) +22x +1+2=2(2x
+1)
=-12+1
2x +1，f (x ) 在定义域内为单调递减函数．∴t 2-2t >-2t 2+k ，即：3t 2-2t -k >0
恒成立．
∵∆
3
．
【答案】（1）a =2； （2）k
3
．
20．（本小题满分10分）
（1）解：最高点D (2，2) ， A ＝2． 由题意
T 4＝6－2＝4 ，T ＝16 ，T ＝2πω ，∴ω＝π8
． ∴f (x ) π8+φ) ， 过最高点D (2，2) ，∴π8×2+φ＝2kπ+π2, φ＝2kπ+π
4
． 综上，A ＝2，ω＝ππ
8，φ＝4
．
（2）解：设P (x ，y ) 为y ＝g (x ) 上任一点，Q (x o ，y o ) 是f (x ) 上关于x ＝8对称点． y ＝y o ，
x +x 02
＝8； y ＝y ππo ，x o ＝16－x ，又y o ＝2sin(8x 0+4) ．
y ＝2sin[
π
8
⨯(16-x ) +
π
4
]＝2sin(2π-
π
8x +
π
4) ＝2sin(-
π
8x +
π
4) ．
【答案】（1）A ＝2，ω＝ππππ
8，φ＝4； （2）y ＝g (x ) ＝2sin(-8x +4
) ．
21．（本小题满分12分）
解：（1）设点Q 的坐标为(x ', y ') ，则x ' =x -2a , y ' =-y ，即x =x ' +2a , y =-y ' ． ∵点P (x , y ) 在函数y =log a (x -3a ) 图象上． ∴-y ' =log a (x ' +2a -3a ) ，即y ' =log a ． ∴g (x ) =log a
x -a
．
（2）由题意x ∈[a +2, a +3]，则x -3a =(a +2) -3a =-2a +2>0，=x -a
(a +2) -a
>0．又a >0，且a ≠1，∴0
|f (x ) -g (x ) |=|log a (x -3a ) -log a
x -a
|=|log a
(x 2-4ax +3a 2) |．
∵f (x ) -g (x ) „1，∴-1剟log a (x 2-4ax +3a 2) 1， r (x ) =x 2-4ax +3a 2对称轴为x =2a ．
∵02a ，则r (x ) =x 2-4ax +3a 2在[a +2, a +3]上为增函数，
∴函数u (x ) =log a (x 2-4ax +3a 2) 在[a +2, a +3]上为减函数，
从而[u (x )]max =u (a +2) =log a (4-4a ) 。[u (x )]min =u (a +3) =log a (9-6a ) ．
又剟a 2+a ≠1，
∴a =2．
综上，a
的值为2 【答案】（1）g (x ) =log a
； （2
）∴0
）2+．
x -a 又0
(9-6a ) …-1．
{log log (4-4a ) „1
a a
∴0
（3）由（1）知g (x ) =log a
，而把y =g (x ) 的图象向左平移a 个单位得到y =h (x ) 的 x -a
图象，则h (x ) =log a =-log a x ．
x
∴F (x ) =2a 1-h (x ) -a 2-2h (x ) +a -h (x ) =2a 1+log a x -a 2+2log a x +a log a x =2ax -a 2x 2+x ． 即F (x ) =-a 2x 2+(2a +1) x ，
，又在[, 4]的最大值为， 又a >0, 且a ≠1，F (x ) 的对称轴为x =+2
442a 1
⇒a 2-4a -2>0⇒a 2+ ①令2a +2
2a
此时F (x ) 在[, 4]上递减， ∴F (x ) 的最大值为
F () =⇒-a 2+(2a +1) =⇒a 2-8a +16=0⇒a =4∉(2++∞) ， 441644
此时无解；
>4⇒8a 2-2a -1422a
此时F (x ) 在[, 4]上递增，
4
∴F (x
) 的最大值为F (4)=5⇒-16a 2+8a +4=5⇒a ，
又0
2③令剟2
42a
⎧⎪2a 2⎧2
4⇒⎨a 2-4a -2„0⇒⎨a >0, 且a ≠1．
或a a 剠-8a -2a -1…0⎩⎪⎩42
∴剟a
2
2+a ≠1，此时F (x ) 的最大值为．
2
2
2
) =⇒-a 2(2a +1) +(2a +1) =⇒(2a +1) =⇒a 2-4a -1=0，
F (4442a 24a 42a 24a 2
解得：a =2
高一数学第一学期期末测试卷
不要害怕未知的事物
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若集合A ={-1,1}，B ={x |mx =1}，且A B =A ，则m 的值为（ ） A ．1 B ． -1
C ．1或-1 D ．1或-1或0
2．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长为（ ）
A ．2
B ．sin 2
C ．
2
sin1
D ．2sin1
3．某校高中生共有2700人，其中高一年级900人，高二年级1200人，高三年级600人，现采取分层抽样法抽取容量为135的样本，那么高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为 （ ） A ．45,75,15 B ．45,45,45 C ．30,90,15 D ．45,60,30
4．已知sin ⎛ π⎫1⎛
7π⎫
⎝x +12
⎪⎭=3，则cos ⎝
x +
12
⎪⎭
的值为（ ） A ．1
3
B ．-1
C ．3
D 5．已知函数f (x ) 是R 上的增函数，A (0,-1) 、B (3,1)是图象上两点，那么f (x +1)
6．5张卡片上分别写着数字1，2，3，4，5，然后把它们混合，再任意排成一行，则得到的五位数能被5或2整除的概率是（ ）
A ．45
B ．35 C ．21
5 D ．5
7．若sin α-cos α=，则tan α+1
tan α=（ ）
A ．-4 B ．4 C ．-8 D ．8
8．把红、黑、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁4个人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是（ ）
A ．对立事件 B ．不可能事件 C ．互斥但不对立事件 D ．以上答案都不对
9．某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了11场比赛，他们所有比赛得分的情况用如图所示的茎叶图表示，则甲、乙两名运动员得分的中位数分别为（ ） A ．19、13 B ．23、20
C ．20，18 D ．26、22
10．函数y =tan x +sin x -tan x -sin x 在区间⎛ π3π
⎫
⎝2,
2
⎪⎭
内的图象是（ ）
B ．
二、填空题：本大题有7小题，每小题4分，共28分． 11．方程2x -3=2x 的解的个数为
12
．函数y =sin(2x -π
) 的单调递增区间为．
4
13．如图，程序框图表达式中最后输出的结果N = 14．函数y ．
15．函数f (x ) =x +1+x -2的定义域为R ，则f (x ) 的最小值 是
16．已知样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差为4, 则数据2x 1+3，
2x 2+3，…，
2x n +3的标准差．．．
是 ． 17．已知函数f (x ) =lg[(a 2-1) x 2+(a +1) x +1]的值域为R ，则实数a 的范围
是 ．
三、解答题：本大题共4小题，共42分。解答应写出文字说明，证明过程或演
算步骤。
18．（本小题满分10分）如图是总体的一个样本频率分布直方图，
且在[15，18) 内频数为8．
（1
）求样本在[15，18) 内的频率； 4
75
（2）求样本容量；
（3）若在[12，15) 内的小矩形面积为0.06，求在[18，33)
内的频
数．
19．（本小题满分10分）已知定义域为R 的函数f (x ) =1-2x 2x +1+a
是奇函数．
（1）求a 的值；
（2）若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2-2t ) +f (2t 2-k )
20．（本小题满分10分）设函数f (x ) =A sin(ωx +ϕ) （A >0，ω>0，|ϕ|≤π）的图象的
最高点D
的坐标为，由最高点运动到相邻的最低点F 时，曲线与x 轴相交于点 E (6,0)．
（1）求A 、ω、φ的值；
（2）求函数y =g (x ) ，使其图象与y =f (x ) 图象关于直线x =8对称．
21．（本小题满分12分）设函数f (x ) =log a (x -3a )(a >0, 且a ≠1) ，当点P (x , y ) 是函数y =f (x ) 图象上的点时，
点Q (x -2a , -y ) 是函数y =g (x ) 图象上的点． （1）写出函数y =g (x ) 的解析式；
（2）若当x ∈[a +2, a +3]时，恒有|f (x ) -g (x ) |„1，试确定a 的取值范围；
（3）把y =g (x ) 的图象向左平移a 个单位得到y =h (x ) 的图象，函数F (x ) =2a 1-h (x ) -a 2-2h (x ) +a -h (x ) ，
(a >0, 且a ≠1) 在[,4]的最大值为4
，求a 的值．
我不能左右天气 但我可以改变心情 我不能改变容貌 但我可以展现笑容 我不能控制他人 但我可以掌握自己 我不能预知明天 但我可以利用今天 我不能样样顺利 但我可以事事尽力
参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.
二、填空题：本大题有7小题，每小题4分，共28分．
11．2； 12．⎛ π3π⎝-8+k π, 8+k π⎫
⎪⎭(k ∈Z )；13．120； 14．⎡⎢3π⎣π+2k π, 2+2k π⎫
⎪⎭
(k ∈Z )； 15．3； 16．4； 17．[1,53]． 三、解答题：本大题共4小题，共42分， 18．（本小题满分10分）
（1）样本在[15，18) 内的频率为：4
75
×3＝0.16；
（2）样本容量为：8÷0.16＝50人； （3）小矩形面积即是频率．
∵在[12，15) 内的小矩形面积为：0.06， ∴在[12，15) 内的频率为：0.06．
∴在[18，33) 内的频率为：1－0.16－0.06＝0.78． ∴在[18，33) 内的频数为0.78×50＝39人． 【答案】（1）0.16； （2）50； （3）39． 19．（本小题满分10分）
（1）解：∵函数f (x ) 是定义域为R 的奇函数．∴f (x ) +f (-x ) =0对x ∈R 恒成立．
1
为计算方便，取x =1，则f (1)+f (-1) =0⇒
-1
4+a +1+a
=0⇒2-a =0⇒a =2．（2）解： f (t 2-2t ) +f (2t 2
-k )
f (x ) 为奇函数， ∴f (t 2-2t )
由（1）得 f (x ) =1-2x -(2x +1) +22x +1+2=2(2x
+1)
=-12+1
2x +1，f (x ) 在定义域内为单调递减函数．∴t 2-2t >-2t 2+k ，即：3t 2-2t -k >0
恒成立．
∵∆
3
．
【答案】（1）a =2； （2）k
3
．
20．（本小题满分10分）
（1）解：最高点D (2，2) ， A ＝2． 由题意
T 4＝6－2＝4 ，T ＝16 ，T ＝2πω ，∴ω＝π8
． ∴f (x ) π8+φ) ， 过最高点D (2，2) ，∴π8×2+φ＝2kπ+π2, φ＝2kπ+π
4
． 综上，A ＝2，ω＝ππ
8，φ＝4
．
（2）解：设P (x ，y ) 为y ＝g (x ) 上任一点，Q (x o ，y o ) 是f (x ) 上关于x ＝8对称点． y ＝y o ，
x +x 02
＝8； y ＝y ππo ，x o ＝16－x ，又y o ＝2sin(8x 0+4) ．
y ＝2sin[
π
8
⨯(16-x ) +
π
4
]＝2sin(2π-
π
8x +
π
4) ＝2sin(-
π
8x +
π
4) ．
【答案】（1）A ＝2，ω＝ππππ
8，φ＝4； （2）y ＝g (x ) ＝2sin(-8x +4
) ．
21．（本小题满分12分）
解：（1）设点Q 的坐标为(x ', y ') ，则x ' =x -2a , y ' =-y ，即x =x ' +2a , y =-y ' ． ∵点P (x , y ) 在函数y =log a (x -3a ) 图象上． ∴-y ' =log a (x ' +2a -3a ) ，即y ' =log a ． ∴g (x ) =log a
x -a
．
（2）由题意x ∈[a +2, a +3]，则x -3a =(a +2) -3a =-2a +2>0，=x -a
(a +2) -a
>0．又a >0，且a ≠1，∴0
|f (x ) -g (x ) |=|log a (x -3a ) -log a
x -a
|=|log a
(x 2-4ax +3a 2) |．
∵f (x ) -g (x ) „1，∴-1剟log a (x 2-4ax +3a 2) 1， r (x ) =x 2-4ax +3a 2对称轴为x =2a ．
∵02a ，则r (x ) =x 2-4ax +3a 2在[a +2, a +3]上为增函数，
∴函数u (x ) =log a (x 2-4ax +3a 2) 在[a +2, a +3]上为减函数，
从而[u (x )]max =u (a +2) =log a (4-4a ) 。[u (x )]min =u (a +3) =log a (9-6a ) ．
又剟a 2+a ≠1，
∴a =2．
综上，a
的值为2 【答案】（1）g (x ) =log a
； （2
）∴0
）2+．
x -a 又0
(9-6a ) …-1．
{log log (4-4a ) „1
a a
∴0
（3）由（1）知g (x ) =log a
，而把y =g (x ) 的图象向左平移a 个单位得到y =h (x ) 的 x -a
图象，则h (x ) =log a =-log a x ．
x
∴F (x ) =2a 1-h (x ) -a 2-2h (x ) +a -h (x ) =2a 1+log a x -a 2+2log a x +a log a x =2ax -a 2x 2+x ． 即F (x ) =-a 2x 2+(2a +1) x ，
，又在[, 4]的最大值为， 又a >0, 且a ≠1，F (x ) 的对称轴为x =+2
442a 1
⇒a 2-4a -2>0⇒a 2+ ①令2a +2
2a
此时F (x ) 在[, 4]上递减， ∴F (x ) 的最大值为
F () =⇒-a 2+(2a +1) =⇒a 2-8a +16=0⇒a =4∉(2++∞) ， 441644
此时无解；
>4⇒8a 2-2a -1422a
此时F (x ) 在[, 4]上递增，
4
∴F (x
) 的最大值为F (4)=5⇒-16a 2+8a +4=5⇒a ，
又0
2③令剟2
42a
⎧⎪2a 2⎧2
4⇒⎨a 2-4a -2„0⇒⎨a >0, 且a ≠1．
或a a 剠-8a -2a -1…0⎩⎪⎩42
∴剟a
2
2+a ≠1，此时F (x ) 的最大值为．
2
2
2
) =⇒-a 2(2a +1) +(2a +1) =⇒(2a +1) =⇒a 2-4a -1=0，
F (4442a 24a 42a 24a 2
解得：a =2