第２４卷第５期２００９年１０月
平顶山学院学报
ＪｏｕｒｎａｌｏｆＰｉｎｇｄｉｎｇｓｈａｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ
Ｖ０１．２４Ｎｏ．５０ｃｔ．２０Ｄ９
一类三角函数有理式积分计算的简便方法及推广
李永杰，刘展
（平顶山学院，河南平顶山４６７０００）
摘
要：三角函数有理式积分在高等数学学习中有很重要的地位，其解法大多为用万能公式将其转化
成有理函数锅积分，但解题过程繁琐．给出了一类三角函数有理式积分的简便计算方法：待定系数法与矩阵方
法。并对其进行推广．
关键词：三角函数有理式；待定系数法；矩阵方法中图分类号：０１７２．２
文献标识码：Ａ
ｊ’
文章编号：１６７３—１６７０｛２００９）０５—００６８—０３
三角函数有理式积分是一元函数积分学中一
个很重要的内容．在现在所用的教材中，计算这类积分的思路是：利用万能公式转换成同一个三角函
数的有理式，进一步转换成有理函数的积分ｎ以１．例如：
例１
教学中发现对形如ｆ些型兰絮ｄｓ的三角函数
Ｊ，ｎｃ０ＳＺ十ｎＳｌ嗽
有理式的积分不必完全转换成有理函数的积分，下面给出这种类型积分问题的计算方法，并对其推广
ｆ舞患ｃｌｓ
２ｔａｎ÷
到ｆ丝堕苎竺｛丛剿ｄｘ的情形．
Ｊ
ｍＣｏＳ髫＋ｒｔｓｌｎ．ｚ＋‘
Ｉ预备知识一，＝Ｉ——暑ｄｘ的结果
Ｊ
ｍＣＯＳ∞＋ｆ
解先对被积函数变形，由万能公式得：
１一ｔａｎ２睾
对形如Ｉ——。１出的积分，由于被积函数表
Ｊ／１１，ＣＯＳ戈＋￡
————三一＋８—————三
ＳｉｒＬｚ＋８ｃ。麟
ｌ＋ｔａｎ２詈
２ｔａｎ詈１＋ｔａｎ２詈
１＋ｔａｎ２詈
１－ｔａｎ２詈１＋ｔａｎ２詈
达式比较简单，下面用换元法给出其计算结果：
２ｓｉ似＋３ｃ。麟
２————生一＋３————上
２ｔａｎ鲁＋８（１一ｔａｎ２詈）—————兰Ｌ——————————————Ｌ４ｔａｎ詈＋３（１一ｔａｎ２詈）
再令ｔａｎ詈＝ｔ，并整理得：
以，＝，士出＝Ｊ．矿丽云可丽血
不妨设ｌ—ｍ＞０，则有如下结论：
结论１
当Ｚ＋ｍ
＞０时，ｊ
令ｔ＝ｔａｎ号，则茗＝２ａｒｃｔａｎｔ，以２ｒ知ｄｔ，所
原式＝籍＝詈＋２了６孬南
然后对这２个部分分式分别积分，最后再换成原来的积分变量即可得．
这种思路比较自然，对大多数三角函数有理式
向南扯２促…ｃｔａ…
＝
扯√高¨ｃ；
积分都适用．但由于在应用万能公式转换过程中，使得分子、分母次数升高，造成对有理函数积分的
困难．也有一些老师对其进行了探索ｍ５ｌ，笔者在
’
去）¨赤１ｎＩ篙Ｉ＋ｃ，其中ｔ—
ｔａｎ号，％＝√仨焉，再还原成菇即可・
结论２当ｆ＋ｍ＜ｏ时，ｆ＝赤Ｊ．（＿毛一
收稿日期：２００９—０６—０８
作者简介：李永杰（１９７０一），男，河南省柘城县人，平顶山学院数学与信息科学学院讲师，硕士．
万方数据
第５期李永杰，刘展：一类三角函数有理式积分计算的简便方法及推广・６９．
可以推广到形如Ｊ．—ｍｃ五ｏｉ了皂ｎ面ｉ尹．
Ｓ算十ＳｌＩⅨ十‘
２
Ｊ
ｆ丝塑坚尝ｄｘ的简便计算方法
Ｊ
ｍｃｏ刚ｔ：＋，Ｉ￥１ｎｘ
２．１待定系数法
待定系数法的思路是：将分子看成分母及其导数的线性组合，即设Ｍｃｏｓｘ＋Ｎｓｉｎｘ＝啊（ｍｃｏ鲋＋ｎｓｉｎｘ）＋如（一ｍｓｉｎｘ＋／／，ＣＯｌ盯ｆ），然后比较系数求出ｋ。，ｋ：即可．下面仍以例１为例说明这种方法的解题过程．
例１求不定积分ｆ罢警÷等堕ｄｘ．
Ｊ
ＺＳｌｎ＊＋ｊＣＯＳ石
解设ｓｉｎｘ＋８ｃｏｓｘ＝ｋｌ（２ｓｉｎｘ＋３ｃｏｓｘ）＋ｋ２（２ｓｉｎｘ＋３ｃｏｓｘ）’，整理可得：
ｓｉｎｘ＋８ｃｏｓｘ＝（２ｋｌ一３Ｉ｜｝２）ｓｉｎｘ＋（３ｋ１＋２ｋ２）Ｃ０８％
比较系数，得：
『２丘ｌ一３ｋ２＝１
ｔ３ｋ。＋２ｋ，＝８
解方程组，得：
薯；
所以
ｍ（２ｓｉｎｘ＋３ｃｏｓｘ）＋宅掣】出：
Ｊ蠹吾了丽品血
ｒ￥１ＩＩＸ十８ｃｏｓｘ
ｌ
２
２卜＋Ｊ．氅掣＝
２茗＋ｌｎ（２ｓｉｎｘ＋３ｃｏｓｘ）＋Ｃ
由此发现，该解法较使用万能公式换元的解法简单多了．同时，笔者注意到在上述过程中需要解二元一次方程组，因此可以考虑将上述过程用矩阵的形式来表述，进而得到：２．２矩阵解法
记，：
Ｊ
ｆ丛翌生望磐些出以戈）：
ｍｃｏｓｘ＋ｎ￥１ｎｘ
—ｍｃｏｓｘ＋—ｎｓｉｎｘ’ｇ（菇，２—ｍｃｏｓｘ＋—ｎｓｉｎｘ＂ｊｌｌＵ
—ｊ坐Ｌ一，（菇）＝——型Ｌ一则
，：ｆ』＝Ｉ
Ｍｃｏｓｘ＋Ｎｓ！ｎｘｄｘ：
＝
Ｊ、
ｆ（肘—』Ｉ＋Ｊ７＼ｒ—ｊ～）出＝，
ｍｃｏｓｘ＋ｎｓｌｎｘ
ｍｃｏｓｘ＋ｎｓｌｎｘ
万方数据
ＪｔＭｆ（菇）＋Ⅳｇ（石）】如＝
，㈣’ｇ（圳㈤如．
下面将被积函数用分母及其导数来表示，并注意到待定系数法中的结果，有：
黔ｍ．划ａ
又由于ｍ２＋ｎ２≠０，所以矩阵ｆ
ｍ
ｎ
、ｎ
—ｍ，
１可
谫．因此由Ｃｒａｍｅｒ法则可得：
眇（觥丁＝
嚣ｎｍ２＋
２ＭｍＮ卜
Ｌ．
一
矗＋０１
ｍ贝菇）以＋ｎ＾（算）出，，２＝ｎ以茗）出一
ｍ一（茗）出，
从而有
，：ｆ丝咝些出：
ｆ（膨—Ｊ翌生－＋Ｎ—Ｊ坚生・）出：Ｊ
？ｎＣＯＳＸ＋ｎｓｌｌｌＸ
ｍｃｏ勖ｔ；＋ｎＳｌｔｌＸ
．ｆ【姒茗）＋心（菇）】出＝
，㈣删）（》＝，㈤删，（ｍｎ划弘＝
后，Ｊ．（坝茁）＋ｎｇ（茗））山＋ｋ：ｆ（ｎｆ（茹）一
ｍｇ（ｘ））ｄｘ＝后１１１＋．ｊ｝２厶
由于易得，ｌ＝茗＋Ｃ，如＝ｌｎｌ
ｍｃｏ￥％＋ｎｓｉｎｘＩ＋
Ｃ，所以在用矩阵方法计算时，只须计算ｋ，，ｋ：即可，而这是相当容易的．
３对ｆ丝唑坚尝ｄｘ的推广
对于ｆ些型堑土坐粤尘｛出类型的三角函数有Ｊ
ｍｃ：ＯＳ髫４－ｎ８１１１戈４－￡
理式积分，不一定都能用上述方法进行简便计算．下
面，笔者不加证明地给出ｆ塑型生睾监粤堑等如型Ｊ
ｍｃｏＳＺ＋ｎＳｌｎ菇＋ｆ
积分不必使用万能公式换元计算的条件及相关结论：
・７０・
平顶山学院学报
２００９年
结论３如果Ｌ：—Ｍｍｒ＋—Ｎ丁ｎ．１，则肌。鲋＋ｍ＋厅
Ｎｓｉｎｘ＋Ｌ＝ｋｌ（ｍｃｏ劬ｔ：＋ｎｓｉｎｘ＋Ｚ）
结论５
Ｌ≠警等．ｆ时，
，，ｌ
＋，ｌ
ｎｃ。ｓ戈＋ｚ），其中＿｜｝。＝！辫，Ｊ｝：
时有
Ｊ
Ｊ
Ｉ—————————■———＿ｎ戈＝托ｌ，十厅，，十ｆ坠兰兰粤等出：．｜｝，’。＋｜｜｝：『２＋ｋ，ｆｕ（ｘ）ｄｘｌｍｃｏＳ髫＋，１８１ｌｌＸ＋正
１
１
Ｊｕ
Ｊ
．
ｆ竺掣剿以：坼咄ｌｎＩ
Ｊ——————————■■———■ｄ省＝疗，茗＋Ｒ，ｌｎ
ｍｃｏＳ菇＋，ｌｓｌｎｘ＋ｆ
‘
其中ｋ，＝Ｌ
Ｍｍ＋Ⅳｈ
ｍ
２
＋忍２
事实上，在结论５中只须计算，３，而这由第一
ｍｃｏｓｘｍｃｏ＋＋
‘
部分的讨论容易求得．
对上面３个命题的证明，请有兴趣的读者自行
证明．
总之，对三角函数有理式的积分要根据被积函数的具体形式，选择相应的积分方法，这样才能避
ｎｓｉｎｘ＋ｌ
Ｉ＋Ｃ．用矩阵方法表示如下：
Ｊ
结论４
ｆ丛堕坠÷坐掣出型积分的矩阵
ｍｃｏｓ石＋ｎｓｌｎ．ｘ＋ｆ
ＣＯＳ石
算法：记以茹）＝
ｇ（ｘ）
１
＝
ｍｃｏ敞；＋ｎｓｉｎｘ＋Ｚ’
赢磊ｉｉ忑ｉ再，“（菇）
ｓｉｎｘ
繁就简，不仅解决了问题，还体现了数学的简洁美．
＝
ｍｃｏｓ．ｚ：＋ｎｓｉｎｘ＋Ｚ’
则慧ＯＳ筹Ｘ慧等
，，ｌＣ
＋，ｌＳｌｎ菇＋‘
姒髫）＋Ⅳｇ（戈）＋Ｌｕ（ｘ），用矩阵表示为：
丝里竺墅±盟！ｉ！坚±墨一
参考文献：
［１］崔永新．高等数学［Ｍ］．北京：北京航空航天大学出版
社。２（）ｌｙｌ：９１—９２．
ｃ厂（髫，，ｇｃ算，，Ⅱｃ算，，（ｉ—二竹］（：：），
其中，ｋ，＝
Ｍｍ＋Ｎｎ，
＋忍
＋ｎ
［２］华东师范大学数学系．数学分析：上册［Ｍ］．北京：高等
教育出版社．２００４：２４５—２４７．
［３］段有瑞．对“三角函数有理式不定积分”的探讨［Ｊ］．衡
水学院学报，２００６（１）：１７—１９．
［４］段玉珍．一类三角函数有理式积分的简便求法［Ｊ］．工
科数学，１９９５，１１（３）：２３６—２３９．
［５］梁汉光．三角函数有理式积分［Ｊ］．广西民族大学学
报：自然科学版，２００６（ｓ２）：２１—２８．
—ｍ可，七２２—ｍ可‘义
ｎＭ—ｍＮ。
Ｉ
‘＝小髫）出＋咖（髫）ａｘ＋ｚ，“（石）出＝髫＋Ｃ，
厶＝ｎ此茗）以一ｍ弦（菇）出＝１ｎ
ｎｓｉｎｘ＋Ｚｌ＋Ｃ
Ｊ
石＋
ｍｃ。昭＋
则有：Ｊ．丛ｍｃｏｓ兰裟／／，８１等以＝¨。鸭Ｌ．
似＋‘
‘‘
一一
ＴｈｅＳｉｍｐｌｅＣａｌｃｕｌａｔｉｏｎ
Ｍｅｔｈ
ａｎｄＥｘｔｅｎｓｉｏｎａｂｏｕｔ
ａ
Ｃｌａｓｓ
ｏｆＴｒｉｇｏｎｏｍｅｔｒｉｃａｌＦｕｎｃｔｉｏｎＩｎｔｅｇｒａｌ
ＬＩ
Ｙｏｎｇ－ｊｉｅ，ＬＩＵ
Ｚｈａｎ
（Ｐｉｎｇｄｉｎｇｓｈａｎ
ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ．Ｉｔｓｓｏｌｕｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄｓ
ｐｒｏｃｅｓｓ
Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｐｉｎｇｄｉｎｇｓｈａｎ，Ｈｅｎａｎ
ａ
４６７０００，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅｒａｔｉｏｎａｌｆｏｒｍｕｌａｏｆｔｒｉｇｏｎｏｍｅｔｒｉｃｆｕｎｃｔｉｏｎｈａｓ
ａｒｅ
ｖｅｒｙｉｍｐｏｒｔａｎｔｐｏｓｉｔｉｏｎｉｎｔｈｅｓｔｕｄｙｏｆｈｉｇｈｅｒ
ｍｏｓｔｌｙｔｏｔｕｒｎｉｔｉｎｔｏｒａｔｉｏｎａｌｆｕｎｃｔｉｏｎｉｎｔｅｇｒａｌｂｙｕｎｉｖｅｒｓａｌｆｏｒｍｕｌａ．Ｂｕｔｔｈｉｓ
ｏｆｐｒｏｂｌｅｍｓｏｌｖｉｎｇｉｓｔｅｄｉｏｕｓ．Ｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ，ｔｗｏｓｉｍｐｌｅｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ
ｍｅｔｈｏｄｓ
ａｂｏｕｔ
ｏｎｅ
ｃｌａｓｓｒａｔｉｏｎａｌｆｏｒ－
ｍｕｌａｏｆｔｒｉｇｏｎｏｍｅｔｒｉｃｆｕｎｃｔｉｏｎｉｎｄｅｆｉｎｉｔｅｉｎｔｅｇｒａｌａｒｅｇｉｖｅｎ：ｍｅｔｈｏｄｏｆｕｎｄｅｔｅｒｍｉｎｅｄｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔａｎｄｍａｔｒｉｘｍｅｔｈ—ｏｄｗｈｉｃｈａｒｅｅｘｔｅｎｄｅｄ．
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｔｈｅｒａｔｉｏｎａｌｆｏｒｍｕｌａｏｆｔｒｉｇｏｎｏｍｅｔｒｉｃｆｕｎｃｔｉｏｎ；ｔｈｅｍｅｔｈｏｄｍｅｔｈｏｄ
ｏｆｕｎｄｅｔｅｒｍｉｎｅｄｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ；ｍａｔｒｉｘ
万方数据
第２４卷第５期２００９年１０月
平顶山学院学报
ＪｏｕｒｎａｌｏｆＰｉｎｇｄｉｎｇｓｈａｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ
Ｖ０１．２４Ｎｏ．５０ｃｔ．２０Ｄ９
一类三角函数有理式积分计算的简便方法及推广
李永杰，刘展
（平顶山学院，河南平顶山４６７０００）
摘
要：三角函数有理式积分在高等数学学习中有很重要的地位，其解法大多为用万能公式将其转化
成有理函数锅积分，但解题过程繁琐．给出了一类三角函数有理式积分的简便计算方法：待定系数法与矩阵方
法。并对其进行推广．
关键词：三角函数有理式；待定系数法；矩阵方法中图分类号：０１７２．２
文献标识码：Ａ
ｊ’
文章编号：１６７３—１６７０｛２００９）０５—００６８—０３
三角函数有理式积分是一元函数积分学中一
个很重要的内容．在现在所用的教材中，计算这类积分的思路是：利用万能公式转换成同一个三角函
数的有理式，进一步转换成有理函数的积分ｎ以１．例如：
例１
教学中发现对形如ｆ些型兰絮ｄｓ的三角函数
Ｊ，ｎｃ０ＳＺ十ｎＳｌ嗽
有理式的积分不必完全转换成有理函数的积分，下面给出这种类型积分问题的计算方法，并对其推广
ｆ舞患ｃｌｓ
２ｔａｎ÷
到ｆ丝堕苎竺｛丛剿ｄｘ的情形．
Ｊ
ｍＣｏＳ髫＋ｒｔｓｌｎ．ｚ＋‘
Ｉ预备知识一，＝Ｉ——暑ｄｘ的结果
Ｊ
ｍＣＯＳ∞＋ｆ
解先对被积函数变形，由万能公式得：
１一ｔａｎ２睾
对形如Ｉ——。１出的积分，由于被积函数表
Ｊ／１１，ＣＯＳ戈＋￡
————三一＋８—————三
ＳｉｒＬｚ＋８ｃ。麟
ｌ＋ｔａｎ２詈
２ｔａｎ詈１＋ｔａｎ２詈
１＋ｔａｎ２詈
１－ｔａｎ２詈１＋ｔａｎ２詈
达式比较简单，下面用换元法给出其计算结果：
２ｓｉ似＋３ｃ。麟
２————生一＋３————上
２ｔａｎ鲁＋８（１一ｔａｎ２詈）—————兰Ｌ——————————————Ｌ４ｔａｎ詈＋３（１一ｔａｎ２詈）
再令ｔａｎ詈＝ｔ，并整理得：
以，＝，士出＝Ｊ．矿丽云可丽血
不妨设ｌ—ｍ＞０，则有如下结论：
结论１
当Ｚ＋ｍ
＞０时，ｊ
令ｔ＝ｔａｎ号，则茗＝２ａｒｃｔａｎｔ，以２ｒ知ｄｔ，所
原式＝籍＝詈＋２了６孬南
然后对这２个部分分式分别积分，最后再换成原来的积分变量即可得．
这种思路比较自然，对大多数三角函数有理式
向南扯２促…ｃｔａ…
＝
扯√高¨ｃ；
积分都适用．但由于在应用万能公式转换过程中，使得分子、分母次数升高，造成对有理函数积分的
困难．也有一些老师对其进行了探索ｍ５ｌ，笔者在
’
去）¨赤１ｎＩ篙Ｉ＋ｃ，其中ｔ—
ｔａｎ号，％＝√仨焉，再还原成菇即可・
结论２当ｆ＋ｍ＜ｏ时，ｆ＝赤Ｊ．（＿毛一
收稿日期：２００９—０６—０８
作者简介：李永杰（１９７０一），男，河南省柘城县人，平顶山学院数学与信息科学学院讲师，硕士．
万方数据
第５期李永杰，刘展：一类三角函数有理式积分计算的简便方法及推广・６９．
可以推广到形如Ｊ．—ｍｃ五ｏｉ了皂ｎ面ｉ尹．
Ｓ算十ＳｌＩⅨ十‘
２
Ｊ
ｆ丝塑坚尝ｄｘ的简便计算方法
Ｊ
ｍｃｏ刚ｔ：＋，Ｉ￥１ｎｘ
２．１待定系数法
待定系数法的思路是：将分子看成分母及其导数的线性组合，即设Ｍｃｏｓｘ＋Ｎｓｉｎｘ＝啊（ｍｃｏ鲋＋ｎｓｉｎｘ）＋如（一ｍｓｉｎｘ＋／／，ＣＯｌ盯ｆ），然后比较系数求出ｋ。，ｋ：即可．下面仍以例１为例说明这种方法的解题过程．
例１求不定积分ｆ罢警÷等堕ｄｘ．
Ｊ
ＺＳｌｎ＊＋ｊＣＯＳ石
解设ｓｉｎｘ＋８ｃｏｓｘ＝ｋｌ（２ｓｉｎｘ＋３ｃｏｓｘ）＋ｋ２（２ｓｉｎｘ＋３ｃｏｓｘ）’，整理可得：
ｓｉｎｘ＋８ｃｏｓｘ＝（２ｋｌ一３Ｉ｜｝２）ｓｉｎｘ＋（３ｋ１＋２ｋ２）Ｃ０８％
比较系数，得：
『２丘ｌ一３ｋ２＝１
ｔ３ｋ。＋２ｋ，＝８
解方程组，得：
薯；
所以
ｍ（２ｓｉｎｘ＋３ｃｏｓｘ）＋宅掣】出：
Ｊ蠹吾了丽品血
ｒ￥１ＩＩＸ十８ｃｏｓｘ
ｌ
２
２卜＋Ｊ．氅掣＝
２茗＋ｌｎ（２ｓｉｎｘ＋３ｃｏｓｘ）＋Ｃ
由此发现，该解法较使用万能公式换元的解法简单多了．同时，笔者注意到在上述过程中需要解二元一次方程组，因此可以考虑将上述过程用矩阵的形式来表述，进而得到：２．２矩阵解法
记，：
Ｊ
ｆ丛翌生望磐些出以戈）：
ｍｃｏｓｘ＋ｎ￥１ｎｘ
—ｍｃｏｓｘ＋—ｎｓｉｎｘ’ｇ（菇，２—ｍｃｏｓｘ＋—ｎｓｉｎｘ＂ｊｌｌＵ
—ｊ坐Ｌ一，（菇）＝——型Ｌ一则
，：ｆ』＝Ｉ
Ｍｃｏｓｘ＋Ｎｓ！ｎｘｄｘ：
＝
Ｊ、
ｆ（肘—』Ｉ＋Ｊ７＼ｒ—ｊ～）出＝，
ｍｃｏｓｘ＋ｎｓｌｎｘ
ｍｃｏｓｘ＋ｎｓｌｎｘ
万方数据
ＪｔＭｆ（菇）＋Ⅳｇ（石）】如＝
，㈣’ｇ（圳㈤如．
下面将被积函数用分母及其导数来表示，并注意到待定系数法中的结果，有：
黔ｍ．划ａ
又由于ｍ２＋ｎ２≠０，所以矩阵ｆ
ｍ
ｎ
、ｎ
—ｍ，
１可
谫．因此由Ｃｒａｍｅｒ法则可得：
眇（觥丁＝
嚣ｎｍ２＋
２ＭｍＮ卜
Ｌ．
一
矗＋０１
ｍ贝菇）以＋ｎ＾（算）出，，２＝ｎ以茗）出一
ｍ一（茗）出，
从而有
，：ｆ丝咝些出：
ｆ（膨—Ｊ翌生－＋Ｎ—Ｊ坚生・）出：Ｊ
？ｎＣＯＳＸ＋ｎｓｌｌｌＸ
ｍｃｏ勖ｔ；＋ｎＳｌｔｌＸ
．ｆ【姒茗）＋心（菇）】出＝
，㈣删）（》＝，㈤删，（ｍｎ划弘＝
后，Ｊ．（坝茁）＋ｎｇ（茗））山＋ｋ：ｆ（ｎｆ（茹）一
ｍｇ（ｘ））ｄｘ＝后１１１＋．ｊ｝２厶
由于易得，ｌ＝茗＋Ｃ，如＝ｌｎｌ
ｍｃｏ￥％＋ｎｓｉｎｘＩ＋
Ｃ，所以在用矩阵方法计算时，只须计算ｋ，，ｋ：即可，而这是相当容易的．
３对ｆ丝唑坚尝ｄｘ的推广
对于ｆ些型堑土坐粤尘｛出类型的三角函数有Ｊ
ｍｃ：ＯＳ髫４－ｎ８１１１戈４－￡
理式积分，不一定都能用上述方法进行简便计算．下
面，笔者不加证明地给出ｆ塑型生睾监粤堑等如型Ｊ
ｍｃｏＳＺ＋ｎＳｌｎ菇＋ｆ
积分不必使用万能公式换元计算的条件及相关结论：
・７０・
平顶山学院学报
２００９年
结论３如果Ｌ：—Ｍｍｒ＋—Ｎ丁ｎ．１，则肌。鲋＋ｍ＋厅
Ｎｓｉｎｘ＋Ｌ＝ｋｌ（ｍｃｏ劬ｔ：＋ｎｓｉｎｘ＋Ｚ）
结论５
Ｌ≠警等．ｆ时，
，，ｌ
＋，ｌ
ｎｃ。ｓ戈＋ｚ），其中＿｜｝。＝！辫，Ｊ｝：
时有
Ｊ
Ｊ
Ｉ—————————■———＿ｎ戈＝托ｌ，十厅，，十ｆ坠兰兰粤等出：．｜｝，’。＋｜｜｝：『２＋ｋ，ｆｕ（ｘ）ｄｘｌｍｃｏＳ髫＋，１８１ｌｌＸ＋正
１
１
Ｊｕ
Ｊ
．
ｆ竺掣剿以：坼咄ｌｎＩ
Ｊ——————————■■———■ｄ省＝疗，茗＋Ｒ，ｌｎ
ｍｃｏＳ菇＋，ｌｓｌｎｘ＋ｆ
‘
其中ｋ，＝Ｌ
Ｍｍ＋Ⅳｈ
ｍ
２
＋忍２
事实上，在结论５中只须计算，３，而这由第一
ｍｃｏｓｘｍｃｏ＋＋
‘
部分的讨论容易求得．
对上面３个命题的证明，请有兴趣的读者自行
证明．
总之，对三角函数有理式的积分要根据被积函数的具体形式，选择相应的积分方法，这样才能避
ｎｓｉｎｘ＋ｌ
Ｉ＋Ｃ．用矩阵方法表示如下：
Ｊ
结论４
ｆ丛堕坠÷坐掣出型积分的矩阵
ｍｃｏｓ石＋ｎｓｌｎ．ｘ＋ｆ
ＣＯＳ石
算法：记以茹）＝
ｇ（ｘ）
１
＝
ｍｃｏ敞；＋ｎｓｉｎｘ＋Ｚ’
赢磊ｉｉ忑ｉ再，“（菇）
ｓｉｎｘ
繁就简，不仅解决了问题，还体现了数学的简洁美．
＝
ｍｃｏｓ．ｚ：＋ｎｓｉｎｘ＋Ｚ’
则慧ＯＳ筹Ｘ慧等
，，ｌＣ
＋，ｌＳｌｎ菇＋‘
姒髫）＋Ⅳｇ（戈）＋Ｌｕ（ｘ），用矩阵表示为：
丝里竺墅±盟！ｉ！坚±墨一
参考文献：
［１］崔永新．高等数学［Ｍ］．北京：北京航空航天大学出版
社。２（）ｌｙｌ：９１—９２．
ｃ厂（髫，，ｇｃ算，，Ⅱｃ算，，（ｉ—二竹］（：：），
其中，ｋ，＝
Ｍｍ＋Ｎｎ，
＋忍
＋ｎ
［２］华东师范大学数学系．数学分析：上册［Ｍ］．北京：高等
教育出版社．２００４：２４５—２４７．
［３］段有瑞．对“三角函数有理式不定积分”的探讨［Ｊ］．衡
水学院学报，２００６（１）：１７—１９．
［４］段玉珍．一类三角函数有理式积分的简便求法［Ｊ］．工
科数学，１９９５，１１（３）：２３６—２３９．
［５］梁汉光．三角函数有理式积分［Ｊ］．广西民族大学学
报：自然科学版，２００６（ｓ２）：２１—２８．
—ｍ可，七２２—ｍ可‘义
ｎＭ—ｍＮ。
Ｉ
‘＝小髫）出＋咖（髫）ａｘ＋ｚ，“（石）出＝髫＋Ｃ，
厶＝ｎ此茗）以一ｍ弦（菇）出＝１ｎ
ｎｓｉｎｘ＋Ｚｌ＋Ｃ
Ｊ
石＋
ｍｃ。昭＋
则有：Ｊ．丛ｍｃｏｓ兰裟／／，８１等以＝¨。鸭Ｌ．
似＋‘
‘‘
一一
ＴｈｅＳｉｍｐｌｅＣａｌｃｕｌａｔｉｏｎ
Ｍｅｔｈ
ａｎｄＥｘｔｅｎｓｉｏｎａｂｏｕｔ
ａ
Ｃｌａｓｓ
ｏｆＴｒｉｇｏｎｏｍｅｔｒｉｃａｌＦｕｎｃｔｉｏｎＩｎｔｅｇｒａｌ
ＬＩ
Ｙｏｎｇ－ｊｉｅ，ＬＩＵ
Ｚｈａｎ
（Ｐｉｎｇｄｉｎｇｓｈａｎ
ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ．Ｉｔｓｓｏｌｕｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄｓ
ｐｒｏｃｅｓｓ
Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｐｉｎｇｄｉｎｇｓｈａｎ，Ｈｅｎａｎ
ａ
４６７０００，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅｒａｔｉｏｎａｌｆｏｒｍｕｌａｏｆｔｒｉｇｏｎｏｍｅｔｒｉｃｆｕｎｃｔｉｏｎｈａｓ
ａｒｅ
ｖｅｒｙｉｍｐｏｒｔａｎｔｐｏｓｉｔｉｏｎｉｎｔｈｅｓｔｕｄｙｏｆｈｉｇｈｅｒ
ｍｏｓｔｌｙｔｏｔｕｒｎｉｔｉｎｔｏｒａｔｉｏｎａｌｆｕｎｃｔｉｏｎｉｎｔｅｇｒａｌｂｙｕｎｉｖｅｒｓａｌｆｏｒｍｕｌａ．Ｂｕｔｔｈｉｓ
ｏｆｐｒｏｂｌｅｍｓｏｌｖｉｎｇｉｓｔｅｄｉｏｕｓ．Ｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ，ｔｗｏｓｉｍｐｌｅｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ
ｍｅｔｈｏｄｓ
ａｂｏｕｔ
ｏｎｅ
ｃｌａｓｓｒａｔｉｏｎａｌｆｏｒ－
ｍｕｌａｏｆｔｒｉｇｏｎｏｍｅｔｒｉｃｆｕｎｃｔｉｏｎｉｎｄｅｆｉｎｉｔｅｉｎｔｅｇｒａｌａｒｅｇｉｖｅｎ：ｍｅｔｈｏｄｏｆｕｎｄｅｔｅｒｍｉｎｅｄｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔａｎｄｍａｔｒｉｘｍｅｔｈ—ｏｄｗｈｉｃｈａｒｅｅｘｔｅｎｄｅｄ．
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｔｈｅｒａｔｉｏｎａｌｆｏｒｍｕｌａｏｆｔｒｉｇｏｎｏｍｅｔｒｉｃｆｕｎｃｔｉｏｎ；ｔｈｅｍｅｔｈｏｄｍｅｔｈｏｄ
ｏｆｕｎｄｅｔｅｒｍｉｎｅｄｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ；ｍａｔｒｉｘ
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