题 目 光源非单色性对双缝夫琅禾费衍射的影响 学生姓名 何川 学号 1210014026 所在学院 物理与电信工程学院 专业班级 物理1201班 指导教师 潘 峰 完成地点 陕西理工学院
2016年 6 月 4 日
光源非单色性对双缝夫琅禾费衍射的影响
何 川
（陕西理工学院 物理与电信工程学院 物理学 物理1201班， 陕西 汉中 723000）
指导老师：潘 峰
[摘要]:以光学衍射基础理论为出发点，文章阐述了惠更斯-菲涅耳原理、菲涅耳-基尔霍夫衍射公式的衍射基本理论，根据衍射公式计算出单缝夫琅禾费衍射和双缝夫琅和费衍射的强度，对单缝衍射因子的特点做了简单分析，并用Matlab对单缝和双缝衍射图样及光强分布曲线进行了仿真实验。本文着重讨论了光源的非单色性对双缝衍射的影响，利用Mathematica软件中的RGB代码对波长范围在[λ-∆λ,λ+∆λ]的非单色性光源的双缝衍射图样进行了仿真模拟，在此基础上用白光做非单色性光源，用波长680nm、540nm、465nm的光谱色为三原色匹配，计算出各色光的RGB代码，基于Mathematica软件绘制白光双缝衍射图样。
[关键词]:非单色光源；双缝；夫琅禾费衍射；RGB；Mathematica仿真
引言
在日常生活中，光的衍射现象不易为人们所察觉，其原因是光的波长很短以及普通光源是不相干的面光源。衍射系统由光源、衍射屏和接收屏幕组成，通常按照它们之间的距离分为两类：一类是光源和接收屏幕或其中之一距离衍射屏有限远，被称之为菲涅耳衍射；另一类是光源和接收屏幕都距离衍射屏无穷远，被称之为夫琅禾费衍射[1]。可以看出夫琅禾费衍射是菲涅耳衍射的一个特例，近年发展起来的傅里叶变换光学，赋予夫琅禾费衍射以新的重要意义[2]。但由于一般光源特别是大多数实验室激光器发出的光并不一定是纯粹的单色光，而是非单色光即波长范围在[λ-∆λ,λ+∆λ]的连续光谱，这势必会对衍射效果产生一定影响，本文将把单色光源和非单色光源对衍射图样做以对比，并对其产生原因做以研究[3,4]。
1 衍射基本理论
在日常生活中，人们对于水波和声波比较熟悉，在房间里，人们不能直接看到房间外发声的物体，但能听到从房间外传来的声音；在一堵高墙两侧的人也能听到对方说的话。这种现象表明，声波能绕过障碍物传播，当波遇到障碍物时，他将偏离直线传播，这种现象叫做波的衍射[1,5]。衍射现象的鲜明特点：第一，光束在衍射屏上什么方位受限制，则接收屏幕上的衍射图样就沿该方向扩展；第二，光孔线度越小，对光束的限制也就越厉害，则衍射图样愈加扩展，即衍射效应愈强。 1.1惠更斯-菲涅耳原理
惠更斯-菲涅耳原理是研究衍射现象的理论基础。惠更斯-菲涅耳原理[1,5]是指在波前∑上每一个面元d∑都可以看成是新的振动中心，它们发出次波在空间某一点G的振动是所有这些次波在该点的相干叠加。既然是相干叠加就可以利用复振幅的概念。设dU(G)是由波前∑上的面元d∑发出的次波在场点G产生的复振幅，则在G点的总扰动为
U(G)=
(∑)
⎰⎰dU(G) (1.1)
称上式为惠更斯-菲涅耳原理的数学表达式，为了进一步把公式具体化，菲涅耳做了如下假设：
dU(G)∝d∑∝U0(Q)
(1.2) eikr
∝∝F(θ0,θ)r
d∑是面元的面积，U0(Q)是面元(次波源)上Q点的复振幅，取其等于从波源自由传播到Q时的复振幅，r是面元d∑到场点G的距离，k=2π/λ，此关系默认次波源发射球面波，θ0和θ分别是源点S和场点G相对次波源d∑的方位角，F(θ0,θ)称为倾斜因子，它表明由面元发射的次波不是各
向同性的，1.2式各量说明如图1.2，根据以上假设，1.1式可以写为：
eikr
U(G)=K⎰⎰U0(Q)F(θ0,θ)d∑ (1.3)
r(∑)
式中K是个比例常数，1.3式称为菲涅耳衍射积分公式，后来基尔霍夫建立了一个严格的数学理论，
证明了菲涅耳理论基本是正确的，只是他给出的倾斜因子不对，菲涅耳只考虑了∑是以点波源S为中心的球面情形，这时θ0=0，F(θ0,θ)只是θ的函数，记作f(θ)，菲涅耳设想：θ=0时f(θ)最大可取1；随θ的增大，f(θ)减小；θ≥π/2时，f(θ)≡0，即说明不存在倒退的次波。此时倾斜因子应取F(θ0,θ)=(cosθ0+cosθ)/2。
基尔霍夫还导出了比例常数K的表达式为K=-i/λ=e-iπ/2/λ。 为了求有障碍物时衍射场的分布，我们应把波前∑分为两部分：光孔部分∑0和光屏部分∑1，通常假设∑0上的复振幅U0(Q)取自由传播时光场的值，而∑1上的U0(Q)取为0，为了使∑成为闭合曲面，取半径为无穷大的半球面∑2和∑0、∑1构成闭合曲面，∑2上的积分值为零，称此做法为基尔霍夫边界条件。综上所述，菲涅耳衍射积分公式可化为
-ieikr
(cosθ0+cosθ)U0(Q)d∑ (1.4)
U(G)=⎰⎰2λ(∑0)r
这里的积分范围已按照基尔霍夫边界条件改为透光部分∑0，1.4式称为菲涅耳-基尔霍夫衍射公式，在夫琅禾费衍射中，光孔和接收范围都满足傍轴条件，即θ≈0，θ0≈0，r是场点G到光孔中心的距离记作r0，则1.4式可简化为
-i
U(G)=
λr0
eikr
U0(Q)d∑ (1.5) ⎰⎰r(∑)
2 单缝夫琅禾费衍射
2.1单缝夫琅禾费衍射的实验装置示意图
2.2 单缝衍射的强度计算公式
根据夫琅禾费单缝衍射，在傍轴条件下，按菲涅耳-基尔霍夫公式(1.5)有
U(θ)=
-iλf
(∑)
⎰⎰Ue
ikr
dxdy (2.1)
式中r是波前上坐标为x的点到场点Pθ的光程，由图可知光程差为∆r=-x⋅sinθ，它与y轴无关，在正入射的情况下U0是与x、y都无关的常量，将2.1式先对y积分并把所有与x无关的因子归并到一个常量C中，得到
U(θ)=C⎰
a/2-a/2
eik∆rdx=C⎰
a/2
-a/2
e-ikx⋅sinθdx
sin(
kasinθ (2.2)
)ksinθ
=a/2
=Ce-ikx⋅sinθ/iksinθ|xx=-a/2=2C
令α=
kasinθ
，则有 2
U(θ)=
aCsinα
α
(2.3)
在上式中取θ=0，于是有α=0，sinα/α=1，U(θ)→U(0)=aC
sinα
则2.3式可写为U(θ)=U(0)即有：
α
Iθ=I0(
sinα
α
)2 (2.4)
其中I0=U*(0)⋅U(0)是衍射场中心强度。 2.3 单缝衍射因子的特点及衍射图样 2.3.1 单缝衍射因子的特点
我们通常称2.4式中的(衍射因子有关。
sinα
α
2为单缝衍射因子。从上面可以看出，单缝衍射的强度分布与单缝
图2.2单缝衍射因子
由图2.2可知，在单缝衍射的强度因子中α=0、sinθ=0的地方有个主极大，两侧都有一系列次级大和极小，他们分别代表衍射图样的主极大、次级大和暗纹的位置。 (1) 主极大——零级衍射斑
零级斑出现在α=0的地方，α=0相当各衍射线之间无光程差。 (2) 次级大——高级衍射斑 次级大出现在
dsinα()=0的位置上，他们是超越方程α=tanα的根，其数值为： dαα
α=±1.43π,±2.46π,±3.47π,….
各次级大的强度为：I1≈4.7%I0,I2≈1.7%I0,I3≈0.8%I0,…. 可知高级衍射斑的强度比零级小得多。 (3) 暗斑位置
由单缝衍射因子的函数形式可知，在α≠0而sinα=0的地方光强为0即暗斑位置会出现在下
λ2λ3λ
列地方：α=±π,±2π,±3π,.sinθ=±,±,±,.
aaa
(4) 亮斑的角宽度
亮条纹到透镜中心所张的角度称为角宽度，中央亮条纹和其他亮条纹的角宽度不相等，中央亮
条纹的角宽度是其他亮条纹角宽度的2倍为2λ/a，屏上各级最小值到中心的角宽度满足sinθk=kλ/a，当θ很小时，它可以近似写成∆θ=kλ/a，任何两相邻暗纹之间为亮纹，故两侧亮纹的角宽度为
∆θ=(k+1)λ/a-kλ/a=λ/a. 2.3.2 单缝衍射图样及光强分布曲线
我们取光波长500nm，单缝宽度为1mm，通过Matlab模拟仿真得到单缝衍射图样及其光强分布曲线如下图所示。
-3
-3
图2.3单缝衍射图样和强度分布
3 双缝夫琅禾费衍射
3.1 双缝夫琅禾费衍射的实验装置示意图
该光栅有两条缝，透光的缝宽度为a，不透光的挡板宽度为b，光栅常数d=a+b，透镜∏的焦距为f。
3.2单色光源的双缝夫琅禾费衍射
单色光源的双缝夫琅禾费衍射的实验装置如图3.1，S为单色点光源位于透镜I的焦点处，幕L放在物镜∏的焦面上。
3.2.1单色光源双缝夫琅禾费衍射的振幅分布和强度分布
与单缝衍射图样相比，多缝衍射图样中出现一系列新的强度最大值和最小值，其中那些较强的亮线叫做主最大，较弱的亮线叫做次最大。仿照计算单缝衍射图样光强分布的方法，对应于衍射角θ，在观察点P处的合振动的振幅为
Ap=A0
sin(πasinθ/λ)sin[N(πdsinθ/λ)]
⨯
πasinθ/λsin(πdsinθ/λ)
(3.1)
sin(u)sin[Nv]=A0⨯
usin(v)
式中N为缝数，u=πasinθ/λ，v=πdsinθ/λ.则光强为：
sin2(u)sin2[Nv]Ip=A=I0⨯ (3.2) 22
usin(v)
2
p
上式第二项为单缝衍射因子，第三项为缝间干涉因子。 3.2.2单色性光源双缝夫琅禾费衍射的衍射图样模拟
对于单色性光源双缝夫琅禾费衍射，我们只需考虑单一波长，我们取光波长500nm，透光缝宽取0.2mm，光栅常数取d=5a，通过Matlab模拟仿真得到单缝衍射图样及其光强分布曲线如下图所示。
图3.2双缝衍射图样和强度分布
3.3非单色光源的双缝夫琅禾费衍射
对于非单色性光源双缝夫琅禾费衍射，我们把非单色性定为[λ-∆λ,λ+∆λ]，本文把[λ-∆λ,λ+∆λ]的连续光谱均匀地分为2000份色光，由于RGB系统具有可加性，可使用矢量加法把多彩色光叠加效果表现出来，本文的色光色彩代码使用RGB模型[6,7]表示，比如两彩色光进行合成，λ1和λ2对应的RGB值分别为[R1G1B1]和[R2G2B2]，则合成的彩色光RGB值为[R1+R2G1+G2B1+B2]，由
于合成的彩色光的RGB值可能溢出[0,1]的范围，本文采用对R、G、B值分别进行归一化处理即可避免这一弊端。为了得到效果图，我们分别取λ=540nm的单一波长和λ=520nm，∆λ=10nm波长均匀分布的光谱，取透光缝宽取0.2mm，光栅常数取d=5a，通过Mathematica程序进行仿真，得到单一波长和连续光谱的衍射图样如下所示
图 3.3 上图为λ=520nm光波长对应的衍射图样，下图为λ=520nm，∆λ=10nm光谱的衍射图样
由上图可以知道由于∆λ很小，所以导致2000份色光的RGB值很接近，进而衍射图样不能明显的表现出多彩色，为了模拟出多彩色效果，我们取白光作为光源，“1931CIE-RGB系统”规定[8]，用波长分别为680nm、540nm、和465.8nm的光谱色为三原色[9,10]，三者RGB值匹配都为[111]时匹配出白光，于是通过Mathematica程序仿真获得由这三原色匹配合成的白光双缝夫琅禾费衍射，在这里我们取透光缝宽取0.2mm，光栅常数取d=5a，衍射图样如下：
图 3.4 白光衍射图样
3.4非单色光源对双缝夫琅禾费衍射的影响
通过单色光源的双缝夫琅禾费衍射和非单色光源的双缝夫琅禾费衍射的对比，可以看出：非单色性光源的双缝夫琅禾费衍射图样是由光源的各波长双缝夫琅禾费衍射的叠加，由光强曲线可以看出各波长的k级，并不在同一位置（红光的3级极强和蓝光的4级极强在同一位置），最后根据RGB颜色匹配叠加理论形成非单色性光源的双缝夫琅禾费衍射图样。
4 结论
通过菲涅耳-基尔霍夫衍射公式的衍射基本理论，对单缝衍射、双缝衍射的光强分别进行了计算，并用Matlab和Mathematica软件对单色性光源的衍射光强和衍射图样进行了模拟仿真，后来我们定义非单色性光源的波长范围为[λ-∆λ,λ+∆λ]，并且假定连续光谱均匀分布，在Mathematica软件中通过RGB系统对λ=520nm的单一波长和λ=520nm，∆λ=10nm波长均匀分布的光谱的双缝衍射图样进行分析并绘制了衍射图样，在此基础上绘制出了白光的双缝衍射的图样。
参考文献
[1]姚启均. 光学教程[M]. 北京：高等教育出版社，2002:47-55.
[2]徐代升，陶家友，健辉. 单色光杨氏干涉图样计算机写真[J]. 湖南理工学院学报，2009，22(3). [3]谢嘉宁，陈伟成. 光学信息处理仿真应用[J]. 物理实验，2004，2(6):2-3. [4]吕乃光. 傅里叶光学[M]. 北京:机械工业出版社，2008:48-49. [5]赵凯华，钟锡华. 光学[M]. 北京：北京大学出版社，1982:259-271.
[6]徐代升，杜旭日，甘亮勤. 基于波长颜色映射关系的白光干涉及衍射图样仿真[J]. 江西科学，2012，30(1):5-7. [7]蓝海江. 白光干涉衍射实验的计算机仿真[J]. 实验室研究与探索，2009，28(12): 16-19.
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[10]范士喜. 白光单缝衍射实验的计算机模拟[J]. 北京印刷学院学报，2003，11(4):58-60.
The Effect of Non-monochromatic Light for Double-slit
Fraunhofer Diffraction
Chuan He
(Grade12, Class1201, Major Physics, School of Physics and telecommunication Engineering,
Shaanxi University of Technology，Hanzhong 723000, Shaanxi)
Tutor: Feng Pan
Abstract: Based on the optical diffraction theory, the article expounds Fresnel-Kirchhoff theory of diffraction formula
and the Huygens-Fresnel principle. Calculates the intensity and image for diffraction of the single-slit and double-slit according to the diffraction formula; does a simple analysis for the characteristics of the single-slit diffraction factor and carries on a simulation experiment by Matlab for the single-slit and double-slit diffraction pattern. This paper discusses the effect of the non-concolorousity of light source for the double-slit diffraction, and does a simulation for double-slit diffraction pattern of the non-concolorousity light source which wavelength coverage is
[λ-∆λ,λ+∆λ] through the code of RGB in
Mathematica. On this basis that the writer uses white light as non-concolourousity light source, figures out the code RGB of colored light displayed on the computer, and primary principle which three spectral colors are 680nm,540nm,465nm, and then composes the emulation program of double-slit diffraction of the white light.
Key words: Non-monochromatic Light, Double-slit, Fraunhofer Diffraction, RGB, Mathematica Simulation
题 目 光源非单色性对双缝夫琅禾费衍射的影响 学生姓名 何川 学号 1210014026 所在学院 物理与电信工程学院 专业班级 物理1201班 指导教师 潘 峰 完成地点 陕西理工学院
2016年 6 月 4 日
光源非单色性对双缝夫琅禾费衍射的影响
何 川
（陕西理工学院 物理与电信工程学院 物理学 物理1201班， 陕西 汉中 723000）
指导老师：潘 峰
[摘要]:以光学衍射基础理论为出发点，文章阐述了惠更斯-菲涅耳原理、菲涅耳-基尔霍夫衍射公式的衍射基本理论，根据衍射公式计算出单缝夫琅禾费衍射和双缝夫琅和费衍射的强度，对单缝衍射因子的特点做了简单分析，并用Matlab对单缝和双缝衍射图样及光强分布曲线进行了仿真实验。本文着重讨论了光源的非单色性对双缝衍射的影响，利用Mathematica软件中的RGB代码对波长范围在[λ-∆λ,λ+∆λ]的非单色性光源的双缝衍射图样进行了仿真模拟，在此基础上用白光做非单色性光源，用波长680nm、540nm、465nm的光谱色为三原色匹配，计算出各色光的RGB代码，基于Mathematica软件绘制白光双缝衍射图样。
[关键词]:非单色光源；双缝；夫琅禾费衍射；RGB；Mathematica仿真
引言
在日常生活中，光的衍射现象不易为人们所察觉，其原因是光的波长很短以及普通光源是不相干的面光源。衍射系统由光源、衍射屏和接收屏幕组成，通常按照它们之间的距离分为两类：一类是光源和接收屏幕或其中之一距离衍射屏有限远，被称之为菲涅耳衍射；另一类是光源和接收屏幕都距离衍射屏无穷远，被称之为夫琅禾费衍射[1]。可以看出夫琅禾费衍射是菲涅耳衍射的一个特例，近年发展起来的傅里叶变换光学，赋予夫琅禾费衍射以新的重要意义[2]。但由于一般光源特别是大多数实验室激光器发出的光并不一定是纯粹的单色光，而是非单色光即波长范围在[λ-∆λ,λ+∆λ]的连续光谱，这势必会对衍射效果产生一定影响，本文将把单色光源和非单色光源对衍射图样做以对比，并对其产生原因做以研究[3,4]。
1 衍射基本理论
在日常生活中，人们对于水波和声波比较熟悉，在房间里，人们不能直接看到房间外发声的物体，但能听到从房间外传来的声音；在一堵高墙两侧的人也能听到对方说的话。这种现象表明，声波能绕过障碍物传播，当波遇到障碍物时，他将偏离直线传播，这种现象叫做波的衍射[1,5]。衍射现象的鲜明特点：第一，光束在衍射屏上什么方位受限制，则接收屏幕上的衍射图样就沿该方向扩展；第二，光孔线度越小，对光束的限制也就越厉害，则衍射图样愈加扩展，即衍射效应愈强。 1.1惠更斯-菲涅耳原理
惠更斯-菲涅耳原理是研究衍射现象的理论基础。惠更斯-菲涅耳原理[1,5]是指在波前∑上每一个面元d∑都可以看成是新的振动中心，它们发出次波在空间某一点G的振动是所有这些次波在该点的相干叠加。既然是相干叠加就可以利用复振幅的概念。设dU(G)是由波前∑上的面元d∑发出的次波在场点G产生的复振幅，则在G点的总扰动为
U(G)=
(∑)
⎰⎰dU(G) (1.1)
称上式为惠更斯-菲涅耳原理的数学表达式，为了进一步把公式具体化，菲涅耳做了如下假设：
dU(G)∝d∑∝U0(Q)
(1.2) eikr
∝∝F(θ0,θ)r
d∑是面元的面积，U0(Q)是面元(次波源)上Q点的复振幅，取其等于从波源自由传播到Q时的复振幅，r是面元d∑到场点G的距离，k=2π/λ，此关系默认次波源发射球面波，θ0和θ分别是源点S和场点G相对次波源d∑的方位角，F(θ0,θ)称为倾斜因子，它表明由面元发射的次波不是各
向同性的，1.2式各量说明如图1.2，根据以上假设，1.1式可以写为：
eikr
U(G)=K⎰⎰U0(Q)F(θ0,θ)d∑ (1.3)
r(∑)
式中K是个比例常数，1.3式称为菲涅耳衍射积分公式，后来基尔霍夫建立了一个严格的数学理论，
证明了菲涅耳理论基本是正确的，只是他给出的倾斜因子不对，菲涅耳只考虑了∑是以点波源S为中心的球面情形，这时θ0=0，F(θ0,θ)只是θ的函数，记作f(θ)，菲涅耳设想：θ=0时f(θ)最大可取1；随θ的增大，f(θ)减小；θ≥π/2时，f(θ)≡0，即说明不存在倒退的次波。此时倾斜因子应取F(θ0,θ)=(cosθ0+cosθ)/2。
基尔霍夫还导出了比例常数K的表达式为K=-i/λ=e-iπ/2/λ。 为了求有障碍物时衍射场的分布，我们应把波前∑分为两部分：光孔部分∑0和光屏部分∑1，通常假设∑0上的复振幅U0(Q)取自由传播时光场的值，而∑1上的U0(Q)取为0，为了使∑成为闭合曲面，取半径为无穷大的半球面∑2和∑0、∑1构成闭合曲面，∑2上的积分值为零，称此做法为基尔霍夫边界条件。综上所述，菲涅耳衍射积分公式可化为
-ieikr
(cosθ0+cosθ)U0(Q)d∑ (1.4)
U(G)=⎰⎰2λ(∑0)r
这里的积分范围已按照基尔霍夫边界条件改为透光部分∑0，1.4式称为菲涅耳-基尔霍夫衍射公式，在夫琅禾费衍射中，光孔和接收范围都满足傍轴条件，即θ≈0，θ0≈0，r是场点G到光孔中心的距离记作r0，则1.4式可简化为
-i
U(G)=
λr0
eikr
U0(Q)d∑ (1.5) ⎰⎰r(∑)
2 单缝夫琅禾费衍射
2.1单缝夫琅禾费衍射的实验装置示意图
2.2 单缝衍射的强度计算公式
根据夫琅禾费单缝衍射，在傍轴条件下，按菲涅耳-基尔霍夫公式(1.5)有
U(θ)=
-iλf
(∑)
⎰⎰Ue
ikr
dxdy (2.1)
式中r是波前上坐标为x的点到场点Pθ的光程，由图可知光程差为∆r=-x⋅sinθ，它与y轴无关，在正入射的情况下U0是与x、y都无关的常量，将2.1式先对y积分并把所有与x无关的因子归并到一个常量C中，得到
U(θ)=C⎰
a/2-a/2
eik∆rdx=C⎰
a/2
-a/2
e-ikx⋅sinθdx
sin(
kasinθ (2.2)
)ksinθ
=a/2
=Ce-ikx⋅sinθ/iksinθ|xx=-a/2=2C
令α=
kasinθ
，则有 2
U(θ)=
aCsinα
α
(2.3)
在上式中取θ=0，于是有α=0，sinα/α=1，U(θ)→U(0)=aC
sinα
则2.3式可写为U(θ)=U(0)即有：
α
Iθ=I0(
sinα
α
)2 (2.4)
其中I0=U*(0)⋅U(0)是衍射场中心强度。 2.3 单缝衍射因子的特点及衍射图样 2.3.1 单缝衍射因子的特点
我们通常称2.4式中的(衍射因子有关。
sinα
α
2为单缝衍射因子。从上面可以看出，单缝衍射的强度分布与单缝
图2.2单缝衍射因子
由图2.2可知，在单缝衍射的强度因子中α=0、sinθ=0的地方有个主极大，两侧都有一系列次级大和极小，他们分别代表衍射图样的主极大、次级大和暗纹的位置。 (1) 主极大——零级衍射斑
零级斑出现在α=0的地方，α=0相当各衍射线之间无光程差。 (2) 次级大——高级衍射斑 次级大出现在
dsinα()=0的位置上，他们是超越方程α=tanα的根，其数值为： dαα
α=±1.43π,±2.46π,±3.47π,….
各次级大的强度为：I1≈4.7%I0,I2≈1.7%I0,I3≈0.8%I0,…. 可知高级衍射斑的强度比零级小得多。 (3) 暗斑位置
由单缝衍射因子的函数形式可知，在α≠0而sinα=0的地方光强为0即暗斑位置会出现在下
λ2λ3λ
列地方：α=±π,±2π,±3π,.sinθ=±,±,±,.
aaa
(4) 亮斑的角宽度
亮条纹到透镜中心所张的角度称为角宽度，中央亮条纹和其他亮条纹的角宽度不相等，中央亮
条纹的角宽度是其他亮条纹角宽度的2倍为2λ/a，屏上各级最小值到中心的角宽度满足sinθk=kλ/a，当θ很小时，它可以近似写成∆θ=kλ/a，任何两相邻暗纹之间为亮纹，故两侧亮纹的角宽度为
∆θ=(k+1)λ/a-kλ/a=λ/a. 2.3.2 单缝衍射图样及光强分布曲线
我们取光波长500nm，单缝宽度为1mm，通过Matlab模拟仿真得到单缝衍射图样及其光强分布曲线如下图所示。
-3
-3
图2.3单缝衍射图样和强度分布
3 双缝夫琅禾费衍射
3.1 双缝夫琅禾费衍射的实验装置示意图
该光栅有两条缝，透光的缝宽度为a，不透光的挡板宽度为b，光栅常数d=a+b，透镜∏的焦距为f。
3.2单色光源的双缝夫琅禾费衍射
单色光源的双缝夫琅禾费衍射的实验装置如图3.1，S为单色点光源位于透镜I的焦点处，幕L放在物镜∏的焦面上。
3.2.1单色光源双缝夫琅禾费衍射的振幅分布和强度分布
与单缝衍射图样相比，多缝衍射图样中出现一系列新的强度最大值和最小值，其中那些较强的亮线叫做主最大，较弱的亮线叫做次最大。仿照计算单缝衍射图样光强分布的方法，对应于衍射角θ，在观察点P处的合振动的振幅为
Ap=A0
sin(πasinθ/λ)sin[N(πdsinθ/λ)]
⨯
πasinθ/λsin(πdsinθ/λ)
(3.1)
sin(u)sin[Nv]=A0⨯
usin(v)
式中N为缝数，u=πasinθ/λ，v=πdsinθ/λ.则光强为：
sin2(u)sin2[Nv]Ip=A=I0⨯ (3.2) 22
usin(v)
2
p
上式第二项为单缝衍射因子，第三项为缝间干涉因子。 3.2.2单色性光源双缝夫琅禾费衍射的衍射图样模拟
对于单色性光源双缝夫琅禾费衍射，我们只需考虑单一波长，我们取光波长500nm，透光缝宽取0.2mm，光栅常数取d=5a，通过Matlab模拟仿真得到单缝衍射图样及其光强分布曲线如下图所示。
图3.2双缝衍射图样和强度分布
3.3非单色光源的双缝夫琅禾费衍射
对于非单色性光源双缝夫琅禾费衍射，我们把非单色性定为[λ-∆λ,λ+∆λ]，本文把[λ-∆λ,λ+∆λ]的连续光谱均匀地分为2000份色光，由于RGB系统具有可加性，可使用矢量加法把多彩色光叠加效果表现出来，本文的色光色彩代码使用RGB模型[6,7]表示，比如两彩色光进行合成，λ1和λ2对应的RGB值分别为[R1G1B1]和[R2G2B2]，则合成的彩色光RGB值为[R1+R2G1+G2B1+B2]，由
于合成的彩色光的RGB值可能溢出[0,1]的范围，本文采用对R、G、B值分别进行归一化处理即可避免这一弊端。为了得到效果图，我们分别取λ=540nm的单一波长和λ=520nm，∆λ=10nm波长均匀分布的光谱，取透光缝宽取0.2mm，光栅常数取d=5a，通过Mathematica程序进行仿真，得到单一波长和连续光谱的衍射图样如下所示
图 3.3 上图为λ=520nm光波长对应的衍射图样，下图为λ=520nm，∆λ=10nm光谱的衍射图样
由上图可以知道由于∆λ很小，所以导致2000份色光的RGB值很接近，进而衍射图样不能明显的表现出多彩色，为了模拟出多彩色效果，我们取白光作为光源，“1931CIE-RGB系统”规定[8]，用波长分别为680nm、540nm、和465.8nm的光谱色为三原色[9,10]，三者RGB值匹配都为[111]时匹配出白光，于是通过Mathematica程序仿真获得由这三原色匹配合成的白光双缝夫琅禾费衍射，在这里我们取透光缝宽取0.2mm，光栅常数取d=5a，衍射图样如下：
图 3.4 白光衍射图样
3.4非单色光源对双缝夫琅禾费衍射的影响
通过单色光源的双缝夫琅禾费衍射和非单色光源的双缝夫琅禾费衍射的对比，可以看出：非单色性光源的双缝夫琅禾费衍射图样是由光源的各波长双缝夫琅禾费衍射的叠加，由光强曲线可以看出各波长的k级，并不在同一位置（红光的3级极强和蓝光的4级极强在同一位置），最后根据RGB颜色匹配叠加理论形成非单色性光源的双缝夫琅禾费衍射图样。
4 结论
通过菲涅耳-基尔霍夫衍射公式的衍射基本理论，对单缝衍射、双缝衍射的光强分别进行了计算，并用Matlab和Mathematica软件对单色性光源的衍射光强和衍射图样进行了模拟仿真，后来我们定义非单色性光源的波长范围为[λ-∆λ,λ+∆λ]，并且假定连续光谱均匀分布，在Mathematica软件中通过RGB系统对λ=520nm的单一波长和λ=520nm，∆λ=10nm波长均匀分布的光谱的双缝衍射图样进行分析并绘制了衍射图样，在此基础上绘制出了白光的双缝衍射的图样。
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The Effect of Non-monochromatic Light for Double-slit
Fraunhofer Diffraction
Chuan He
(Grade12, Class1201, Major Physics, School of Physics and telecommunication Engineering,
Shaanxi University of Technology，Hanzhong 723000, Shaanxi)
Tutor: Feng Pan
Abstract: Based on the optical diffraction theory, the article expounds Fresnel-Kirchhoff theory of diffraction formula
and the Huygens-Fresnel principle. Calculates the intensity and image for diffraction of the single-slit and double-slit according to the diffraction formula; does a simple analysis for the characteristics of the single-slit diffraction factor and carries on a simulation experiment by Matlab for the single-slit and double-slit diffraction pattern. This paper discusses the effect of the non-concolorousity of light source for the double-slit diffraction, and does a simulation for double-slit diffraction pattern of the non-concolorousity light source which wavelength coverage is
[λ-∆λ,λ+∆λ] through the code of RGB in
Mathematica. On this basis that the writer uses white light as non-concolourousity light source, figures out the code RGB of colored light displayed on the computer, and primary principle which three spectral colors are 680nm,540nm,465nm, and then composes the emulation program of double-slit diffraction of the white light.
Key words: Non-monochromatic Light, Double-slit, Fraunhofer Diffraction, RGB, Mathematica Simulation