圆锥曲线
一、基础知识
1．椭圆的定义，第一定义：平面上到两个定点的距离之和等于定长（大于两个定点之间的距离）的点的轨迹，即|PF1|+|PF2|=2a (2a>|F1F 2|=2c).
第二定义：平面上到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为同一个常数e(0
|PF |
e (0
第三定义：在直角坐标平面内给定两圆c 1: x+y=a, c2: x+y=b, a, b∈R 且a ≠b 。从原点出发的射线交圆c 1于P ，交圆c 2于Q ，过P 引y 轴的平行线，过Q 引x 轴的平行线，两条线的交点的轨迹即为椭圆。
2
2
2
2
2
2
+
参数方程为⎨
⎧x =a cos θ
（θ为参数）。
⎩y =b sin θ
若焦点在y 轴上，列标准方程为
y 2y 2
+2=1 (a>b>0)。 2a b
3．a 称半长轴长，b 称半短轴长，c 称为半焦距，长轴端点、短轴端点、两个焦点的坐标分别
a 2为(±a, 0), (0, ±b), (±c, 0) ；与左焦点对应的准线（即第二定义中的定直线）为x =-，
c c a 2222
与右焦点对应的准线为x =；定义中的比e 称为离心率，且e =，由c +b=a知0
a c
椭圆有两条对称轴，分别是长轴、短轴。
x 2y 2
4．椭圆的焦半径公式：对于椭圆2+2=1(a>b>0), F1(-c, 0), F2(c, 0)是它的两焦点。
a b
若P(x, y)是椭圆上的任意一点，则|PF1|=a+ex, |PF2|=a-ex.
5．几个常用结论：1）过椭圆上一点P(x0, y0) 的切线方程为
x 0x y 0y
+2=1； 2a b
2）斜率为k 的切线方程为y =kx ±a 2k 2+b 2； 3）过焦点F 2(c, 0)倾斜角为θ的弦的长为
2ab 2
l =2。 22
a -c cos θ
双基训练
2. 若椭圆的两条准线间距离是这个椭圆焦距的两倍, 则这个椭圆的离心率为( ). (A)
11 (B) (C) (D) 42
2
4
x 2y 2
+=1的一个焦点为F 1,M 为椭圆上一点, 且|MF 1|=2,N是线段M F 1的中点, 则*3.椭圆
259
|ON|为( ).【2】
(A)1.5 (B)2 (C)4 (D)8
*5.椭圆的两个焦点三等分它的准线间的距离, 则椭圆的离心率为( ).
(A)
(B) (C) (D)2
3
3
6
x 2y 2
+=1上的一点,P 到一条准线的距离与P 到相应焦点的距离之比为 *6.已知P 是椭圆
916
( ). (A)
45 (B) (C) 54
4
2
*7.椭圆x +4y 2=4的长轴长等于短轴长等于焦点坐标是 离心率是 ,准线方程是 .【1.5】 *9.椭圆中心在原点, 长轴和短轴之和为36, 离心率为【1.5】
3
, 则该椭圆的标准方程为 .5
x 2y 2
+=1的两个焦点,AB 是经过F 1的弦, 若|AB|=8,则|F 2A|+|F 2B|= *12.F 1、F 2是椭圆
259
.【2】
*14.求中心在原点, 并适合下列条件的椭圆方程: (1)焦点在x 轴上, 半长轴等于6, 离心率为
(2)一个焦点坐标是(3,0),离心率是0.5;
(3)焦点间距离是
长轴是8, 焦点在x 轴上. 【5】
*15.设椭圆的对称轴为坐标轴, 短轴的一个端点与两焦点组成一个正三角形, 焦点到椭圆的最
求此椭圆方程. 【6】
1; 3
x 2y 2
**16.设P(x,y)是椭圆2+2=1,(a＞b ＞0) 上任一点, F 2为右焦点,e 为离心率, 则|PF 2|的
a b
长为( ).【1】
(A)ex-a (B)a-ex (C)e-ax (D)ax-e
x 2y 2
+=1的焦点为F 1、F 2, 点P 在椭圆上, 如果线段P F 1的中点在y 轴上, 则**18.椭圆
123
|PF 1|是|PF 2|的( ).(1998年全国高考试题) 【2】 (A)7倍 (B)5倍 (C)4倍 (D)3倍
x 2y 2
+2=1(m 3. 若直线y=kx+1的焦点在x 轴上的椭圆
5m
( ).
0) 总有公共点, 则m 的取值范围是
x 2y 2
+=1内一点M(4,-1)引弦AB, 使AB 被点M 平分, 求弦AB 的长. 过椭圆
4010
6．双曲线的定义，第一定义：
满足||PF1|-|PF2||=2a(2a0)的点P 的轨迹；
第二定义：到定点的距离与到定直线距离之比为常数e(>1)的点的轨迹。
参数方程为⎨
⎧x =a sec ϕ
（ϕ为参数）。
⎩y =b tan ϕ
a 2a 2
, x =. 离8． 左、右焦点为F 1(-c,0), F2(c, 0)，对应的左、右准线方程分别为x =-c c c k x 2y 2222
心率e =，由a +b=c知e>1。两条渐近线方程为y =±x ，双曲线2-2=1与
a a a b
x 2y 2
-2=-1有相同的渐近线，它们的四个焦点在同一个圆上。若a=b，则称为等轴双曲线。 2a b
x 2y 2
9．双曲线的常用结论，1）焦半径公式，对于双曲线2-2=1，F 1（-c,0）, F2(c, 0)是
a b
它的两个焦点。设P(x,y)是双曲线上的任一点，若P 在右支上，则|PF1|=ex+a, |PF2|=ex-a；
若P （x,y ）在左支上，则|PF1|=-ex-a，|PF2|=-ex+a.
2ab 2
2) 过焦点的倾斜角为θ的弦长是2。
a -c 2cos 2θ
练习
1.
下列曲线中离心率e =c = 是( )
a x 2y 2x 2y 2x 2y 2x 2y 2
-=1 B. -=1 -=1 D. -=1 A. C . 244246410
x 2y 2x 2y 2
-=1的准线经过椭圆+2=1（b ＞0）的焦点，则b =( ) 2. 已知双曲线224b
A.3 B. C. D.2
x 2y 2
3. 设双曲线2-2=1(a >0, b >0) 的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为
a b
（ ）
1
A. y =±2x B .y =±2x C .y =±x D. y =±x
2
2
x 2y 2
5. 设a >1，则双曲线2-=1的离心率e 的取值范围是 （ ） 2
a (a +1)
A
．
B
．
C ．(2，5)
D
．(2
x 2y 2
θ的取6. 设双曲线2-2=1 (a >0, b >0) 的离心率e ∈[2, 2],则两条渐近线的夹角
a b
值范围是( ) Ａ [
ππ
πππ2π2π, ] Ｂ[, ] Ｃ[, ] Ｄ[, π] 6232233
x 2y 2
7. 已知双曲线2-2=1 (a >0, b >0) 的左、右焦点分别为F 1、F 2，P
a b
是准线上一点，且PF 1⊥PF 2，|PF 1|⋅|PF 2 |＝4ab ，则双曲线的离心率是 （ ） A
B
C .2 D .3
x 2y 2
8. 已知双曲线C 2-2=1(a >0, b >0)的右焦点为F , 过F
且斜率为的直线交C 于
a b A 、B 两点，若AF =4FB , 则C 的离心率为 ( )
m A ．
6597
B. C. D. 5855
x 2y 2
9. 设双曲线2-2=1(a >0，
b >0)
a b
抛物线y 2=4x 的准线重合，则此双曲线的方程为 （ ）
x 2y 2x 2y 2x 22y 2
-=1 Ｂ．-=1 Ｃ．-=1 Ａ．
1224489633x 2y 2
1. 双曲线-=1的焦点到渐近线的距离为( )
412
x 2y 2
-=1Ｄ．
36
A
. B.2
D.1
x 2y 22
2. 设双曲线2-2=1（a ＞0,b ＞0）的渐近线与抛物线y=x+1相切，则该双曲线的离心率等
a b
于( )
22
4. 过双曲线x -y =1(a >0, b >0) 的右顶点A 作斜率为-1的直线，该直线与双曲线的两条渐近
22
a b
线的交点分别为B , C ．若AB =1BC ，则双曲线的离心率是 ( )
2
A
B
C
D
222x 2y 2
5. 双曲线-=1的渐近线与圆(x -3) +y =r (r >0) 相切，则r = ( )
63
A. 3 B.2 C.3 D.6
x 2y 2
6. 设F 1和F 2为双曲线2-2=1(a >0, b >0) 的两个焦点, 若F 1，F 2，P (0,2b ) 是正三角形
a b
的三个顶点, 则双曲线的离心率为( )
A ．
35
B ．2 C ． D ．3 22
10．抛物线：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F 叫焦点，直线l 叫做抛物线的准线。若取经过焦点F 且垂直于准线l 的直线为x 轴，x 轴与l 相交于K ，以线段KF 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，设|KF|=p，则焦点F 坐标为(准线方程为x =-
p
, 0) ，2
p 2
，标准方程为y =2px(p>0)，离心率
e=1. 2
11．抛物线常用结论：若P(x0, y0) 为抛物线上任一点， 1）焦半径|PF|=x +
p ； 2
2p
。 2
1-cos θ
2）过点P 的切线方程为y 0y=p(x+x0) ； 3）过焦点倾斜角为θ的弦长为
12．极坐标系，在平面内取一个定点为极点记为O ，从O 出发的射线为极轴记为Ox 轴，这样就建立了极坐标系，对于平面内任意一点P ，记|OP|=ρ, ∠xOP=θ，则由（ρ，θ）唯一确定点P 的位置，（ρ，θ）称为极坐标。
13．圆锥曲线的统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比为常数e 的点P ，若01，则点P 的轨迹为双曲线的一支；若e=1，则点P 的轨迹为抛物线。这三种圆锥曲线统一的极坐标方程为ρ=
二、方法与例题
1．与定义有关的问题。
ep
。
1-e cos θ
x 2y 2
+=1的左焦点，例1 已知定点A （2，1），F 是椭圆点P 为椭圆上的动点，当3|PA|+5|PF|2516
取最小值时，求点P 的坐标。
x 2y 2
例2 已知P ，P ' 为双曲线C ：2-2=1右支上两点，PP ' 延长线交右准线于K ，PF 1延长
a b
线交双曲线于Q ，（F 1为右焦点）。求证：∠P ' F 1K=∠KF 1Q.
2．求轨迹问题。
例3 已知一椭圆及焦点F ，点A 为椭圆上一动点，求线段FA 中点P 的轨迹方程。
例4 长为a, b的线段AB ，CD 分别在x 轴，y 轴上滑动，且A ，B ，C ，D 四点共圆，求此动圆圆心P 的轨迹。
例5 在坐标平面内，∠AOB=程。
3．定值问题。
π
，AB 边在直线l: x=3上移动，求三角形AOB 的外心的轨迹方3
x 2y 2
例6 过双曲线2-2=1(a>0, b>0)的右焦点F 作B 1B 2⊥x 轴，交双曲线于B 1，B 2两点，
a b
B 2与左焦点F 1连线交双曲线于B 点，连结B 1B 交x 轴于H 点。求证：H 的横坐标为定值。
2
例7 设抛物线y =2px(p>0)的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点C 在准线上，且BC//x轴。证明：直线AC 经过定点。
x 2y 211
例8 椭圆2+2=1上有两点A ，B ，满足OA ⊥OB ，O 为原点，求证：为+22
a b |OA ||OB |
定值。
4．最值问题。
22
例9 设A ，B 是椭圆x +3y=1上的两个动点，且OA ⊥OB （O 为原点），求|AB|的最大值与最小值。
例10 设一椭圆中心为原点，长轴在x 轴上，离心率为
322
，若圆C ：x +(y -) =1上
22
点与这椭圆上点的最大距离为1+，试求这个椭圆的方程。
5. 直线与二次曲线
2
例11 若抛物线y=ax-1上存在关于直线x+y=0成轴对称的两点，试求a 的取值范围。
x 2
+y 2=1相交，例12 若直线y=2x+b与椭圆（1）求b 的范围；（2）当截得弦长最大时，4
求b 的值。
三、基础训练题
1．A 为半径是R 的定圆⊙O 上一定点，B 为⊙O 上任一点，点P 是A 关于B 的对称点，则点P 的轨迹是________.
2
2．一动点到两相交直线的距离的平方和为定值m (>0)，则动点的轨迹是________.
x 2y 2
+=1上有一点P ，它到左准线的距离是10，它到右焦点的距离是________. 3．椭圆
10036
x 2y 2
4．双曲线方程+=1，则k 的取值范围是________.
|k |-25-k
x 2y 2
+=1，焦点为F 1，F 2，椭圆上的点P 满足∠F 1PF 2=600，则ΔF 1PF 2的面积是5．椭圆
10064
________.
x 2
-y 2=1所截的线段MN 恰被点A 6．直线l 被双曲线（3，-1）平分，则l 的方程为________. 4
7．ΔABC 的三个顶点都在抛物线y =32x上，点A （2，8），且ΔABC 的重心与这条抛物线的焦点重合，则直线BC 的斜率为________.
8．已知双曲线的两条渐近线方程为3x-4y-2=0和3x+4y-10=0，一条准线方程为5y+4=0，则双曲线方程为________.
2
9．已知曲线y =ax，与其关于点（1，1）对称的曲线有两个不同的交点，如果过这两个交点
的直线的倾斜角为45，那么a=________. 10.P 为等轴双曲线x -y =a上一点，
2
2
2
2
|PF 1|+|PF 2|
的取值范围是________.
|PO |
x 2y 2x 2y 2
11．已知椭圆2+2=1与双曲线2-2=1有公共的焦点F 1，F 2，设P 是它们的一个焦
a 1b 1a 2b 2
点，求∠F 1PF 2和ΔPF 1F 2的面积。
12．已知（i ）半圆的直径AB 长为2r ；（ii ）半圆外的直线l 与BA 的延长线垂直，垂足为T ，设|AT|=2a(2a
r
) ；（iii ）半圆上有相异两点M ，N ，它们与直线l 的距离|MP|，|NQ|满足2
|MP ||NQ |
==1. 求证：|AM|+|AN|=|AB|。 AM AN
y 2
=1. 过点A （2，1）的直线l 与所给的双曲线交于点P 1和P 2，求线段13．给定双曲线x -2
2
P 1P 2的中点的轨迹方程。 四、高考水平测试题
1．双曲线与椭圆x +4y=64共焦点，它的一条渐近线方程是x +y =0，则此双曲线的标准方程是_________.
2．过抛物线焦点F 的直线与抛物线相交于A ，B 两点，若A ，B 在抛物线准线上的射影分别是A 1，B 1，则∠A 1FB 1=_________.
2
2
x 2y 2
3．双曲线2-2=1的一个焦点为F 1，顶点为A 1，A 2，P 是双曲线上任一点，以|PF1|为直
a b
径的圆与以|A1A 2|为直径的圆的位置关系为_________. 4．椭圆的中心在原点，离心率e =
1
，一条准线方程为x=11，椭圆上有一点M 横坐标为-1，3
M 到此准线异侧的焦点F 1的距离为_________.
x 2y 2
5．4a +b=1是直线y=2x+1与椭圆2+2=1恰有一个公共点的_________条件.
a b
2
2
2
⎧⎪x =m +2t
6．若参数方程⎨（t 为参数）表示的抛物线焦点总在一条定直线上，这条直线
⎪⎩y =2m +22t
的方程是_________.
x 2y 2
+=1总有公共点，7．如果直线y=kx+1与焦点在x 轴上的椭圆则m 的范围是_________. 5m x 2y 2
-=1的左焦点，且被双曲线截得线段长为6的直线有_________条. 8．过双曲线96(x -3) 2y 2
+=1相交于A ，B 两点，若以AB 为直径的圆恰好9．过坐标原点的直线l 与椭圆
62
通过椭圆的右焦点F ，则直线l 的倾斜角为_________.
2222
10．以椭圆x +ay =a(a>1)的一个顶点C （0，1）为直角顶点作此椭圆的内接等腰直角三角形ABC ，这样的三角形最多可作_________个.
x 2y 2
11．求椭圆2+2=1上任一点的两条焦半径夹角θ的正弦的最大值。
a b
x 2y 2
12．设F ，O 分别为椭圆2+2=1的左焦点和中心，对于过点F 的椭圆的任意弦AB ，点O
a b
都在以AB 为直径的圆内，求椭圆离心率e 的取值范围。
x 2y 2
=1(a>0)，抛物线C 2的顶点在原点O ，C 2的焦点是C 1的左焦点13．已知双曲线C 1：2-a 2a 2
F 1。
（1）求证：C 1，C 2总有两个不同的交点。
（2）问：是否存在过C 2的焦点F 1的弦AB ，使ΔAOB 的面积有最大值或最小值？若存在，求直线AB 的方程与S ΔAOB 的最值，若不存在，说明理由。
圆锥曲线
一、基础知识
1．椭圆的定义，第一定义：平面上到两个定点的距离之和等于定长（大于两个定点之间的距离）的点的轨迹，即|PF1|+|PF2|=2a (2a>|F1F 2|=2c).
第二定义：平面上到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为同一个常数e(0
|PF |
e (0
第三定义：在直角坐标平面内给定两圆c 1: x+y=a, c2: x+y=b, a, b∈R 且a ≠b 。从原点出发的射线交圆c 1于P ，交圆c 2于Q ，过P 引y 轴的平行线，过Q 引x 轴的平行线，两条线的交点的轨迹即为椭圆。
2
2
2
2
2
2
+
参数方程为⎨
⎧x =a cos θ
（θ为参数）。
⎩y =b sin θ
若焦点在y 轴上，列标准方程为
y 2y 2
+2=1 (a>b>0)。 2a b
3．a 称半长轴长，b 称半短轴长，c 称为半焦距，长轴端点、短轴端点、两个焦点的坐标分别
a 2为(±a, 0), (0, ±b), (±c, 0) ；与左焦点对应的准线（即第二定义中的定直线）为x =-，
c c a 2222
与右焦点对应的准线为x =；定义中的比e 称为离心率，且e =，由c +b=a知0
a c
椭圆有两条对称轴，分别是长轴、短轴。
x 2y 2
4．椭圆的焦半径公式：对于椭圆2+2=1(a>b>0), F1(-c, 0), F2(c, 0)是它的两焦点。
a b
若P(x, y)是椭圆上的任意一点，则|PF1|=a+ex, |PF2|=a-ex.
5．几个常用结论：1）过椭圆上一点P(x0, y0) 的切线方程为
x 0x y 0y
+2=1； 2a b
2）斜率为k 的切线方程为y =kx ±a 2k 2+b 2； 3）过焦点F 2(c, 0)倾斜角为θ的弦的长为
2ab 2
l =2。 22
a -c cos θ
双基训练
2. 若椭圆的两条准线间距离是这个椭圆焦距的两倍, 则这个椭圆的离心率为( ). (A)
11 (B) (C) (D) 42
2
4
x 2y 2
+=1的一个焦点为F 1,M 为椭圆上一点, 且|MF 1|=2,N是线段M F 1的中点, 则*3.椭圆
259
|ON|为( ).【2】
(A)1.5 (B)2 (C)4 (D)8
*5.椭圆的两个焦点三等分它的准线间的距离, 则椭圆的离心率为( ).
(A)
(B) (C) (D)2
3
3
6
x 2y 2
+=1上的一点,P 到一条准线的距离与P 到相应焦点的距离之比为 *6.已知P 是椭圆
916
( ). (A)
45 (B) (C) 54
4
2
*7.椭圆x +4y 2=4的长轴长等于短轴长等于焦点坐标是 离心率是 ,准线方程是 .【1.5】 *9.椭圆中心在原点, 长轴和短轴之和为36, 离心率为【1.5】
3
, 则该椭圆的标准方程为 .5
x 2y 2
+=1的两个焦点,AB 是经过F 1的弦, 若|AB|=8,则|F 2A|+|F 2B|= *12.F 1、F 2是椭圆
259
.【2】
*14.求中心在原点, 并适合下列条件的椭圆方程: (1)焦点在x 轴上, 半长轴等于6, 离心率为
(2)一个焦点坐标是(3,0),离心率是0.5;
(3)焦点间距离是
长轴是8, 焦点在x 轴上. 【5】
*15.设椭圆的对称轴为坐标轴, 短轴的一个端点与两焦点组成一个正三角形, 焦点到椭圆的最
求此椭圆方程. 【6】
1; 3
x 2y 2
**16.设P(x,y)是椭圆2+2=1,(a＞b ＞0) 上任一点, F 2为右焦点,e 为离心率, 则|PF 2|的
a b
长为( ).【1】
(A)ex-a (B)a-ex (C)e-ax (D)ax-e
x 2y 2
+=1的焦点为F 1、F 2, 点P 在椭圆上, 如果线段P F 1的中点在y 轴上, 则**18.椭圆
123
|PF 1|是|PF 2|的( ).(1998年全国高考试题) 【2】 (A)7倍 (B)5倍 (C)4倍 (D)3倍
x 2y 2
+2=1(m 3. 若直线y=kx+1的焦点在x 轴上的椭圆
5m
( ).
0) 总有公共点, 则m 的取值范围是
x 2y 2
+=1内一点M(4,-1)引弦AB, 使AB 被点M 平分, 求弦AB 的长. 过椭圆
4010
6．双曲线的定义，第一定义：
满足||PF1|-|PF2||=2a(2a0)的点P 的轨迹；
第二定义：到定点的距离与到定直线距离之比为常数e(>1)的点的轨迹。
参数方程为⎨
⎧x =a sec ϕ
（ϕ为参数）。
⎩y =b tan ϕ
a 2a 2
, x =. 离8． 左、右焦点为F 1(-c,0), F2(c, 0)，对应的左、右准线方程分别为x =-c c c k x 2y 2222
心率e =，由a +b=c知e>1。两条渐近线方程为y =±x ，双曲线2-2=1与
a a a b
x 2y 2
-2=-1有相同的渐近线，它们的四个焦点在同一个圆上。若a=b，则称为等轴双曲线。 2a b
x 2y 2
9．双曲线的常用结论，1）焦半径公式，对于双曲线2-2=1，F 1（-c,0）, F2(c, 0)是
a b
它的两个焦点。设P(x,y)是双曲线上的任一点，若P 在右支上，则|PF1|=ex+a, |PF2|=ex-a；
若P （x,y ）在左支上，则|PF1|=-ex-a，|PF2|=-ex+a.
2ab 2
2) 过焦点的倾斜角为θ的弦长是2。
a -c 2cos 2θ
练习
1.
下列曲线中离心率e =c = 是( )
a x 2y 2x 2y 2x 2y 2x 2y 2
-=1 B. -=1 -=1 D. -=1 A. C . 244246410
x 2y 2x 2y 2
-=1的准线经过椭圆+2=1（b ＞0）的焦点，则b =( ) 2. 已知双曲线224b
A.3 B. C. D.2
x 2y 2
3. 设双曲线2-2=1(a >0, b >0) 的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为
a b
（ ）
1
A. y =±2x B .y =±2x C .y =±x D. y =±x
2
2
x 2y 2
5. 设a >1，则双曲线2-=1的离心率e 的取值范围是 （ ） 2
a (a +1)
A
．
B
．
C ．(2，5)
D
．(2
x 2y 2
θ的取6. 设双曲线2-2=1 (a >0, b >0) 的离心率e ∈[2, 2],则两条渐近线的夹角
a b
值范围是( ) Ａ [
ππ
πππ2π2π, ] Ｂ[, ] Ｃ[, ] Ｄ[, π] 6232233
x 2y 2
7. 已知双曲线2-2=1 (a >0, b >0) 的左、右焦点分别为F 1、F 2，P
a b
是准线上一点，且PF 1⊥PF 2，|PF 1|⋅|PF 2 |＝4ab ，则双曲线的离心率是 （ ） A
B
C .2 D .3
x 2y 2
8. 已知双曲线C 2-2=1(a >0, b >0)的右焦点为F , 过F
且斜率为的直线交C 于
a b A 、B 两点，若AF =4FB , 则C 的离心率为 ( )
m A ．
6597
B. C. D. 5855
x 2y 2
9. 设双曲线2-2=1(a >0，
b >0)
a b
抛物线y 2=4x 的准线重合，则此双曲线的方程为 （ ）
x 2y 2x 2y 2x 22y 2
-=1 Ｂ．-=1 Ｃ．-=1 Ａ．
1224489633x 2y 2
1. 双曲线-=1的焦点到渐近线的距离为( )
412
x 2y 2
-=1Ｄ．
36
A
. B.2
D.1
x 2y 22
2. 设双曲线2-2=1（a ＞0,b ＞0）的渐近线与抛物线y=x+1相切，则该双曲线的离心率等
a b
于( )
22
4. 过双曲线x -y =1(a >0, b >0) 的右顶点A 作斜率为-1的直线，该直线与双曲线的两条渐近
22
a b
线的交点分别为B , C ．若AB =1BC ，则双曲线的离心率是 ( )
2
A
B
C
D
222x 2y 2
5. 双曲线-=1的渐近线与圆(x -3) +y =r (r >0) 相切，则r = ( )
63
A. 3 B.2 C.3 D.6
x 2y 2
6. 设F 1和F 2为双曲线2-2=1(a >0, b >0) 的两个焦点, 若F 1，F 2，P (0,2b ) 是正三角形
a b
的三个顶点, 则双曲线的离心率为( )
A ．
35
B ．2 C ． D ．3 22
10．抛物线：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F 叫焦点，直线l 叫做抛物线的准线。若取经过焦点F 且垂直于准线l 的直线为x 轴，x 轴与l 相交于K ，以线段KF 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，设|KF|=p，则焦点F 坐标为(准线方程为x =-
p
, 0) ，2
p 2
，标准方程为y =2px(p>0)，离心率
e=1. 2
11．抛物线常用结论：若P(x0, y0) 为抛物线上任一点， 1）焦半径|PF|=x +
p ； 2
2p
。 2
1-cos θ
2）过点P 的切线方程为y 0y=p(x+x0) ； 3）过焦点倾斜角为θ的弦长为
12．极坐标系，在平面内取一个定点为极点记为O ，从O 出发的射线为极轴记为Ox 轴，这样就建立了极坐标系，对于平面内任意一点P ，记|OP|=ρ, ∠xOP=θ，则由（ρ，θ）唯一确定点P 的位置，（ρ，θ）称为极坐标。
13．圆锥曲线的统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比为常数e 的点P ，若01，则点P 的轨迹为双曲线的一支；若e=1，则点P 的轨迹为抛物线。这三种圆锥曲线统一的极坐标方程为ρ=
二、方法与例题
1．与定义有关的问题。
ep
。
1-e cos θ
x 2y 2
+=1的左焦点，例1 已知定点A （2，1），F 是椭圆点P 为椭圆上的动点，当3|PA|+5|PF|2516
取最小值时，求点P 的坐标。
x 2y 2
例2 已知P ，P ' 为双曲线C ：2-2=1右支上两点，PP ' 延长线交右准线于K ，PF 1延长
a b
线交双曲线于Q ，（F 1为右焦点）。求证：∠P ' F 1K=∠KF 1Q.
2．求轨迹问题。
例3 已知一椭圆及焦点F ，点A 为椭圆上一动点，求线段FA 中点P 的轨迹方程。
例4 长为a, b的线段AB ，CD 分别在x 轴，y 轴上滑动，且A ，B ，C ，D 四点共圆，求此动圆圆心P 的轨迹。
例5 在坐标平面内，∠AOB=程。
3．定值问题。
π
，AB 边在直线l: x=3上移动，求三角形AOB 的外心的轨迹方3
x 2y 2
例6 过双曲线2-2=1(a>0, b>0)的右焦点F 作B 1B 2⊥x 轴，交双曲线于B 1，B 2两点，
a b
B 2与左焦点F 1连线交双曲线于B 点，连结B 1B 交x 轴于H 点。求证：H 的横坐标为定值。
2
例7 设抛物线y =2px(p>0)的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点C 在准线上，且BC//x轴。证明：直线AC 经过定点。
x 2y 211
例8 椭圆2+2=1上有两点A ，B ，满足OA ⊥OB ，O 为原点，求证：为+22
a b |OA ||OB |
定值。
4．最值问题。
22
例9 设A ，B 是椭圆x +3y=1上的两个动点，且OA ⊥OB （O 为原点），求|AB|的最大值与最小值。
例10 设一椭圆中心为原点，长轴在x 轴上，离心率为
322
，若圆C ：x +(y -) =1上
22
点与这椭圆上点的最大距离为1+，试求这个椭圆的方程。
5. 直线与二次曲线
2
例11 若抛物线y=ax-1上存在关于直线x+y=0成轴对称的两点，试求a 的取值范围。
x 2
+y 2=1相交，例12 若直线y=2x+b与椭圆（1）求b 的范围；（2）当截得弦长最大时，4
求b 的值。
三、基础训练题
1．A 为半径是R 的定圆⊙O 上一定点，B 为⊙O 上任一点，点P 是A 关于B 的对称点，则点P 的轨迹是________.
2
2．一动点到两相交直线的距离的平方和为定值m (>0)，则动点的轨迹是________.
x 2y 2
+=1上有一点P ，它到左准线的距离是10，它到右焦点的距离是________. 3．椭圆
10036
x 2y 2
4．双曲线方程+=1，则k 的取值范围是________.
|k |-25-k
x 2y 2
+=1，焦点为F 1，F 2，椭圆上的点P 满足∠F 1PF 2=600，则ΔF 1PF 2的面积是5．椭圆
10064
________.
x 2
-y 2=1所截的线段MN 恰被点A 6．直线l 被双曲线（3，-1）平分，则l 的方程为________. 4
7．ΔABC 的三个顶点都在抛物线y =32x上，点A （2，8），且ΔABC 的重心与这条抛物线的焦点重合，则直线BC 的斜率为________.
8．已知双曲线的两条渐近线方程为3x-4y-2=0和3x+4y-10=0，一条准线方程为5y+4=0，则双曲线方程为________.
2
9．已知曲线y =ax，与其关于点（1，1）对称的曲线有两个不同的交点，如果过这两个交点
的直线的倾斜角为45，那么a=________. 10.P 为等轴双曲线x -y =a上一点，
2
2
2
2
|PF 1|+|PF 2|
的取值范围是________.
|PO |
x 2y 2x 2y 2
11．已知椭圆2+2=1与双曲线2-2=1有公共的焦点F 1，F 2，设P 是它们的一个焦
a 1b 1a 2b 2
点，求∠F 1PF 2和ΔPF 1F 2的面积。
12．已知（i ）半圆的直径AB 长为2r ；（ii ）半圆外的直线l 与BA 的延长线垂直，垂足为T ，设|AT|=2a(2a
r
) ；（iii ）半圆上有相异两点M ，N ，它们与直线l 的距离|MP|，|NQ|满足2
|MP ||NQ |
==1. 求证：|AM|+|AN|=|AB|。 AM AN
y 2
=1. 过点A （2，1）的直线l 与所给的双曲线交于点P 1和P 2，求线段13．给定双曲线x -2
2
P 1P 2的中点的轨迹方程。 四、高考水平测试题
1．双曲线与椭圆x +4y=64共焦点，它的一条渐近线方程是x +y =0，则此双曲线的标准方程是_________.
2．过抛物线焦点F 的直线与抛物线相交于A ，B 两点，若A ，B 在抛物线准线上的射影分别是A 1，B 1，则∠A 1FB 1=_________.
2
2
x 2y 2
3．双曲线2-2=1的一个焦点为F 1，顶点为A 1，A 2，P 是双曲线上任一点，以|PF1|为直
a b
径的圆与以|A1A 2|为直径的圆的位置关系为_________. 4．椭圆的中心在原点，离心率e =
1
，一条准线方程为x=11，椭圆上有一点M 横坐标为-1，3
M 到此准线异侧的焦点F 1的距离为_________.
x 2y 2
5．4a +b=1是直线y=2x+1与椭圆2+2=1恰有一个公共点的_________条件.
a b
2
2
2
⎧⎪x =m +2t
6．若参数方程⎨（t 为参数）表示的抛物线焦点总在一条定直线上，这条直线
⎪⎩y =2m +22t
的方程是_________.
x 2y 2
+=1总有公共点，7．如果直线y=kx+1与焦点在x 轴上的椭圆则m 的范围是_________. 5m x 2y 2
-=1的左焦点，且被双曲线截得线段长为6的直线有_________条. 8．过双曲线96(x -3) 2y 2
+=1相交于A ，B 两点，若以AB 为直径的圆恰好9．过坐标原点的直线l 与椭圆
62
通过椭圆的右焦点F ，则直线l 的倾斜角为_________.
2222
10．以椭圆x +ay =a(a>1)的一个顶点C （0，1）为直角顶点作此椭圆的内接等腰直角三角形ABC ，这样的三角形最多可作_________个.
x 2y 2
11．求椭圆2+2=1上任一点的两条焦半径夹角θ的正弦的最大值。
a b
x 2y 2
12．设F ，O 分别为椭圆2+2=1的左焦点和中心，对于过点F 的椭圆的任意弦AB ，点O
a b
都在以AB 为直径的圆内，求椭圆离心率e 的取值范围。
x 2y 2
=1(a>0)，抛物线C 2的顶点在原点O ，C 2的焦点是C 1的左焦点13．已知双曲线C 1：2-a 2a 2
F 1。
（1）求证：C 1，C 2总有两个不同的交点。
（2）问：是否存在过C 2的焦点F 1的弦AB ，使ΔAOB 的面积有最大值或最小值？若存在，求直线AB 的方程与S ΔAOB 的最值，若不存在，说明理由。