（一）极坐标概念
确定平面内的点的位置有各种方法，用一对实数确定平面内的点位置的方法称为直角坐标方法，因其方法简捷且应用广泛（如地球的经纬线和剧场中座位号）而成为解析几何中最主要的内容；用方向（角）和距离来确定平面内的点的位置是极坐标的基本思想。极坐标在工程中和军事上也有广泛应用。
1.1极坐标系定义
在平面上选一定点O，由O出发的一条射线OX，规定一个长度单位和角的正方向（通常以反时针旋转为正方向）合称一个极坐标系。其中O为极点，射线OX为极轴，由极径和极角两个量构成点的极坐标，一般记作（ρ，θ）。
1.2平面内的点与极坐标系的关系
平面内有一点P，|OP|用ρ表示，ρ称为P点的极径；OX到OP的角θ叫极角，P（ρ，θ）为极坐标。
(1)有一组极坐标（ρ，θ）能在极坐标系中找唯一的点与其对应；
(2)在极坐标系中有一个点P，则有无数组极坐标与其对应。
①P点固定后，极角不固定。（ρ，θ）与（ρ，2kπ+θ）（k∈z）表示同一点坐标；
②P点固定后，ρ的值可正、可负。ρ＞0时，极角的始边为OX轴，终边为线；ρ＜0，极轴始边为OX轴，终边为的反向延长线；规定：ρ=0时，极角为任意角，如（ρ，θ）与（ρ，2kπ+θ)及（-ρ，2kπ+π+θ)(k∈z)表示同一点。
∴极坐标与极坐标平面内的点不一一对应。
例1.在极坐标系中，点P（ρ，θ）与Q（-ρ，2π-θ）的位置是（ ）
A.关于极轴所在直线对称 B.关于极点对称
C.重合 D.关于直线（ρ∈R）对称
分析：Q（-ρ，2π-θ）与（ρ,π-θ）表示同一点，它与点P（ρ，θ）关于直线
（ρ∈R）（过极点而垂直于极轴的直线）对称。 故选D。
例2.在极坐标系中，如果等边三角形的两个顶点是
，那么C的坐标可能是（ ）
A.
C. B. D.（3，π） ， 分析：∵△ABC为等边△， ∴,极径相同，极角相差π，A、B以极点对称，又|AB|=4，，或，C对应极角为 故选B 。 .
例3.A、B两点的极坐标分别为A(ρ1，θ1)，B(ρ2，θ2)，则
|AB|=______________________________。
分析：用余弦定理可得
式。
此结论可作为公
1.3极坐标与直角坐标的互化
取极点为直角坐标系的原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，在极坐标系中P(ρ，θ)，设在直角坐标系中P(x,y)
则ρ2=x2+y2、、(注意角所在象限)
此三组式子，即为极坐标与直角坐标的互化公式。
例1.将下列各极坐标方程化为直角坐标方程。 (1) (2) (3)
解：(1) (4)ρ2=2cos2θ 得y=-x；
(2)ρsin2θ=2cosθ+2,ρ2sin2θ=2ρcosθ+2ρ,
y2-2x)2=4(x2+y2)得y2=4(x+1)；
(3)4ρ2+5ρ2cos2θ=36,4(x2+y2)+5x2=36,得x2+4y2=36；
(4)ρ4=2ρ2(cos2θ-sin2θ),(x2+y2)=2x2-2y2
例2.椭圆
方程为（ ） A.
分析：,得 故选C 。 B. C.
D.,(在以原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中的
（二）极坐标方程的确定
2.1几种直线的极坐标方程
(1)从极点O发出的一条射线（如图1），其极坐标方程为：θ=θ1（ρ＞0）；
(2)过极点O的一条直线（），其极坐标方程为θ=θ1（ρ∈R）；
(3)如图3 过点（a,o）且垂直于极轴的直线的极坐标方程为：ρcosθ=a；
(4)如图4 过点（a,π)且垂直于极轴的直线的极坐标方程为：ρcosθ= -a；
如图1
如图4 如图
2 如图3
(5)如图5 平行于极轴在极轴上方a个单位的直线的极坐标方程为：ρsinθ=a；
(6)如图6 平行于极轴且在极轴下方a个单位的直线的极坐标方程为：ρsinθ=-a；
(7)如图7 过点M（a,θ1）,且与极径OM垂直的直线的极坐标方程为：
ρcos(θ-θ1
)=a.
如图
5 如图
6 如图7
例1.过点
A.且与极轴平行的直线的极坐标方程是（ ） B.ρ=1 C. D.
分析：极点到直线距离d=1.根据直线极坐标方程(5)得ρsinθ=1，故选C。 例2.已知点P的坐标为（1,π），那么通过P点且垂直于极轴的直线的极坐标方程为（ ）（上海 94年高考题）
A.ρ=1 B.ρ=cosθ C.ρcosθ= -1 D.ρcosθ=1 分析：根据直线极坐标方程(4)得ρcosθ=-1 故选C。
例3.已知直线ι
坐标方程为
与ι21的参数方程为：（t为参数），直线ι2的极1（极点与原点重合，极轴与x轴正半轴重合）。则ι的夹角是（ ） B. C. D. A. 分析：直线
化为普通方程化为普通方程为x-2y+3=0,其斜率
，即；直线，其斜率k2=1，两直
线夹角若为α，则 ，，故选C 。
2.2几种圆的极坐标方程
(1)圆心为极点，半径为r的圆的极坐标方程为：ρ=r(θ∈R)；
(2)圆心O′（r,0），半径为r的圆的极坐标方程为：ρ=2rcosθ；
(3)圆心O′（r,π），半径为r的圆的极坐标方程为：ρ=-2rcosθ；
(4)圆心O′，半径为r的圆的极坐标方程为：；
(5)圆心O′，半径为r
的圆的极坐标方程为：
；
(6)一般圆的极坐标方程：圆心O′（ρ0，θ0），半径为r的极坐标方程。
设动点（ρ，θ），依据余弦定理得ρ+ρ
cos(θ-θ0)]ρ+ρ02-r2
=0.
220 -2ρρ0 cos（θ-θ0）=r 即ρ-[2ρ220
以上方程的推导方程有两种：一是基本方法，也就是轨迹法。轨迹法就是设曲线动点为（ρ，θ），然后找出可解三角形，在可解三角形中建立等量关系；二是直极转化法，也就是写出直角坐标方法，然后再化为极坐标方程。 例1. 极坐标方程所表示的曲线是（ ）
A.双曲线 B.椭圆 C.抛物线 D.圆
分析：
故选D。
例2.极坐标方程ρ2-(1+2cosθ)ρ+2cosθ=0所表示的曲线是（ ）
A.抛物线 B.一直线和一个圆 C.两条直线 D.两相交圆
分析：
是两相交
的圆 故选D。
例3.极坐标方程分别是ρ= -cosθ和ρ= -sinθ的两个圆的圆心距是（ ） A.2 B. C.1 D.
解法一：圆ρ=-cosθ 圆心
根据两个点间距离
；圆ρ=-sinθ，圆心
，应选D；
解法二：两个圆的圆心分别在极轴反向延长线和过极点垂直于极轴直线上，且两圆都过极点，半径都为根据两个点间距离
，应选D；
解法三：两个圆的圆心分别在极轴反向延长线和过极点垂直于极轴直线上，且两圆都过极点，半径都为，根据勾股定理，； 解法四：；.圆心距.
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2.3焦点为极点的椭圆、双曲线和抛物线标准统一的极坐标方程：
(1)圆锥曲线统一定义：在同一平面内到一定点和一定直线的距离之比为常数e的动点轨迹，就叫圆锥曲线。其中定点叫圆锥曲线的焦点，定直线叫准线。
(2)圆锥曲线的标准统一极坐标方程：如果以定点O为极点，以过定点所作定直线L的垂线的反向延长线为极轴正方向建立极坐标系为标准坐标系。那么在此标准极坐标系下圆锥曲线的标准统一方程,其中p是焦点到相应准线的距离。在椭圆和双曲线中p就是相应直角坐标系中的,.
(3)将化为直角坐标方程(1-e2)x2+y2-2e2px-e2p2=0,其中0＜e＜1时两方程表示椭圆（极点和原点是椭圆的左焦点）；e＞1时两方程表示双曲线（极点和原点是双曲线的右焦点）；e=1时两方程表示抛物线（极点和原点是抛物线焦点）。
例1.设椭圆 (0＜e＜1).求：a、b、c及另一个
焦点的极坐标，两条准线的极坐标方程。
解：令θ=0得A点极径 ①
θ=π得A′点极径 ②
由①+②得
①-②得
F1为极点
左准线 ρcosθ=-p，右准线
例2.求双曲线
解：令θ=0
θ=π
由①、②得
② . (e＞1)的a、b、c，焦点的坐标和准线的方程。 (e＞1) ①
焦点F2(0，θ)为极点，F1 (2c,π)即
右准线 ρcosθ=-p 左准线
例3.求圆锥曲线过焦点的弦AB之长
解：
当e=1时，抛物线过焦点弦长
解评：圆锥曲线极坐标方程只有一个，比较容易记忆，注意圆锥曲线统一标准极坐标方程的极点是其一个焦点。也正因为此，遇到圆锥曲线有关焦点弦问题，用极坐标方程来解题，运算要简捷。
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（三）极坐标方程的应用
3.1由极坐标方程讨论曲线及性质
例1.椭圆的焦距是（ ） A. B.2 C. D.1
分析：极坐标方程化为标准式
选B.
例2. 若圆锥曲线应的一条准线方程是ρcosθ=1，则另一条准线的极坐标方程是____________________。
分析：化标准式
∴另一条准线为
例3.双曲线
分析：化标准线
，两条准线间距离 的渐近线方程是_____________.
设双曲线渐近线上一动点M（ρ,θ）。
令
△MO′F中 (如图)
根据正弦定理此时ρ不存在，θ1为渐近线与极轴夹角。在
∴双曲线的两条渐近线的方程
为：和 .
解评：用圆锥曲线统一标准极坐标方程讨论曲线性质。主要记住椭圆和双曲线,及直线的极坐标方程；例3求双曲线渐近线的极坐标方程高考大纲不作要求，有同学愿用极坐标求动点轨迹研究可作参考。
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3.2圆锥曲线过焦点弦问题在极坐标中应用
因为圆锥曲线的统一标准极坐标方程的极点是其一个焦点，且过极点弦长可直接得ρ1+ρ2之值。因此遇到有关过焦点弦问题用极坐标方程解决，可简化做
题过程。
例1.过椭圆的左焦点作一条倾角为的直线ι，则它被曲线截得的弦长是______________。
解：设直线ι与曲线交点为、它被曲线截得的弦长
例2.已知椭圆长轴AA′=6，焦距，过椭圆焦点F1
作直线交椭圆于M、N两点，若∠F2F1M=α,(0≤α＜π).当α取什么
值时，|MN|等于椭圆短轴的长。
解：（此题MN是过焦点弦问题，用极坐标解题较好）以F1为
极点，F1F2所在射线为极轴建立极坐标系。
∵a=3，，,,
椭圆的极坐标方程为
∴
令：
1 例3.过抛物线y2=2px的焦点F作两条互相垂直的直线ι
物线交于A、B点和C、D点 (1)求证：
小值。 和ι2,分别与抛为定值；(2)求|AB|+|CD|的最
解：(1)以焦点F为极点，x轴正方向为极轴正向建立极坐标系，则y2=2px的极坐标方程为
,
设A(ρ1，θ)则B(ρ2，θ+π),
∴（为定值） (2)
当sin22θ=1 时，等号成立，∴最小值为8p
解评：抛物线直角坐标方程中p与极坐标方程中p相同，因此抛物线直角坐
标方程（原点为抛物线顶点）与极坐标方程（极点为抛物线焦点）互换极为容易，过焦点弦问题用极坐标方程解决较好。
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[同步检测]
1.曲线的极坐标方程ρ=4sinθ化为直角坐标方程为（ ）（98年全国高考题）
A.x+(y+2)=4 B.x+(y-2)=4
C.(x-2)2+y2=4 D.(x+2)2+y2=4
2.已知点P的坐标为（1，π），那么过点P且垂直于极轴的直线的极坐标方程为（ ）（94年上海高考题）
A.ρ=1 B.ρ=cosθ C.ρcosθ= -1 D.ρcosθ=1 3.
A. C.4.双曲线的半径和圆心的极坐标分别为（ ） B. D.的顶点坐标是（ ） 2222
A.（8，0），（2，π） B.（-8，0），（2，π）
C.（-8，0），（-2，π） D.（8，0），（-2，π）
5.椭圆的长轴长_____________，短轴长____________，短轴上顶点的坐标_______，焦点坐标_____________，准线方程_________________。
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[强化练习]
1.设椭圆(a＞b＞0)，A、B为椭圆上任意两点，且（其中O为坐标轴原点），求证：为定值。
2.设有一彗星，围绕地球沿一抛物线轨迹运行，地球恰好位于这轨迹的焦点处。当此彗星离地球为d万公里时，经过地球和彗星的直线与抛物线的轴的夹角为，求这彗星运行中与地球的最短距离。
3.F是定点，ι是定直线，点F到直线ι的距离为p
（p＞0）,点M在直线ι上滑动，动点N在MF的延长线上，且满足。(1)求动点N的轨迹。(2)
求|MN|的最小值。（1989年上海高考题）
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同步检测答案：
1.B 2.C 3.C 4.B
提示：
1.ρ2=4ρcosθ x2+y2-4x=0 x2+(y-2)2=4 故选B；
2.把ρ=1，θ=π代入方程，只有C成立；
3.化为直角坐标方程
,
.故选C 。 半径r=1，圆心
得化为极坐标
4. a=3,b=4,c=5顶点A(c-a,π) A′（-(a+c),0）
5. ∴2a=10,
,焦点（0，θ），（4，0
），准线 短轴上顶点坐标为
或
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强化练习解答：
1.解化为极坐标方程x=ρcosθ,y=ρsinθ,得
b2ρ2cos2θ+a2ρ2sin2θ=a2b2,即
2.解：以地球所在位置为极点，抛物线对称轴为极轴建立极坐标系，设抛物线方程为
∵在抛物线上，故； 又∵也可能在抛物线上 故
∵抛物线上各点中顶点离焦点最近，∴慧星与地球最短距离为
（万公里）或（万公里）。
3.解：以F为极点，过F而垂直于ι，方向向右为正建立极坐标系。
(1)设N（ρ，θ），
,(其中|FN|=ρ)， ,过F作FK⊥ι于K，设|FK|=p
，
∵即（0＜cosθ＜p）。 ①若,即0＜p＜1时，N的轨迹为双曲线右支
的一部分（如右图）。
②若
右图）。
,即p=1时，N的轨迹为抛物线一部分（如
③若即p＞1时，N为椭圆的一部分。 (2)
①若0＜p≤2时，则时，|MN|min=4
②若p＞2时，则cosθ=1时，
极坐标·型例题分析
发布时间：2005年7月24日 14时58分
例1 点M(1，π)是否在曲线C∶ρ(3-4cosθ)=1上，为什么？ 分析 点M(1，π)的极坐标可以有无数种表示形式，点M是否在曲线C上，只要点M有其中一个极坐标满足方程．
解 由1·(3-4cosπ)≠1 不能判断点M不在曲线C上，
∵点M(1，π)，即是M(-1，2π)
且-1·(3-4cos2π)=1
∴点M(1，π)在曲线C∶ρ(3-4cosθ)=1上．
说明 解此题要注意“点和极坐标”的“一多对应”特性，适合曲线的极坐标方程的每一对有序实数(ρ，θ)所确定的点一定在此曲线上，但此曲线上点的坐标不一定全适合此方程．
例2 化下列极坐标方程为直角坐标方程．
分析 要利用ρcosθ=x；ρsinθ=y；ρ=x+y进行转化
222
ρsinθ=-6cosθ
当ρ≠0时，两边乘以ρ∶ρsinθ=-6ρcosθ
即：y=-6x(x≠0)
当ρ=0时，原方程有解，曲线过原点．
∴所得直角坐标方程为：y=-6x．
说明 化极坐标方程为直角坐标方程时，要注意变形的等价性，特别要检查极点是否在曲线上．这是因为在变形过程中，通常要用ρ去乘
22222
不过极点，在得到2ρcosθ=ρ后，如不限制ρ＞0，则原点在曲线
22
直线的距离是______．
分析 由极坐标的定义，ρ(ρ＞0时)或|p|(ρ＜0时)为曲线上点到极点的距离，因此可求|p|的最小值，另一种方法是化直线的极坐标方程为普通方程，再利用点到直线的距离公式求解．
∴ρsinθ+ρcosθ=1．
∴直线的直角坐标方程是x+y-1=0
说明 解法一需要对极坐标的概念有较深刻的理解；解法二的关键一步是化极坐标方程为直角坐标方程，这是解决极坐标问题的常用方法．
分析 如图3-3，|OA|，|OB|是从原点出发的两条线段的长度，启发我们把椭圆方程化为极坐标方程后，利用极径的意义求解．
解 以原点为极点，ox为极轴建立极坐标系，则椭圆的极坐标方程
说明 对有心圆锥曲线，若涉及曲线上的点与中心连线的问题，则通常以中心为极点，对称轴为极轴建立极坐标系；若涉及抛物线顶点弦的问题，则通常以顶点为极点，对称轴为极轴建立极坐标系．
极坐标·例题
发布时间：2005年7月24日 14时46分
(2)把点N的直角坐标(-3，4)化成极坐标；
(3)化曲线E的极坐标方程：kρcosθ+3ρsinθ-6cosθ=0为直角 坐标方程，并说明曲线的形状．
解 (1)设M的直角坐标为(x，y)，则
22
(3)在方程kρcosθ+3ρsinθ-6cosθ=0两边同乘以ρ得 kρcosθ+3ρsinθ-6ρcosθ=0 用x=ρcosθ，y=ρsinθ代入得 kx+3y-6x=0
因极点在曲线上，则原点也满足方程． 当k=0时，曲线为抛物线y=2x；
2
2
22
2
2
2
22
注 (i)点的极坐标与直角坐标互化时，如无特别说明，一般认为两
的值，再由(x，y)所在象限确定θ为第几象限角，得出θ的值． (ii)化极坐标方程为直角坐标方程时，通常在方程两边乘以ρ，
使方程中出现ρ，ρcosθ，ρsinθ．以便直接代入公式转化． 但应考查ρ＝0时的点是否在曲线上．
例13-2-2 已知锐角∠AOB=2α内一动点P，过P向角的两边OA，OB
作垂线，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N．当四边形PMON面积为定值 a时，求P点的轨迹．
解 如右图，以O为极点，∠AOB的平分线为极轴建立极坐标系．设P点坐标为(ρ，θ)(-α＜θ＜α，ρ＞0)．则∠MOP=α-θ，∠PON=α+θ．所以
2
2
OM=ρcos(α-θ)，PM=ρsin(α-θ) ON=ρcos(α+θ)，PN=ρsin(α+θ) 于是 SPMON=S△POM+S△PON
由题设知
故P点轨迹为以O为中心，∠AOB的平分线所在直线为对称轴，
注 与到定点距离与角有关的轨迹问题，建立极坐标系用直接法求轨迹方程较方便．在判定曲线形状时，则化为直角坐标方程较容易．
例13-2-3 已知椭圆(x-2)+4y=4．P为椭圆上一动点，O为原点， 以OP为直角边，P为直角顶点向上作等腰直角△OPQ．求Q点 轨迹方程．
2
2
解 以O为极点，Ox为极轴建立极坐标系． 化椭圆方程(x-2)+4y=4为
2
2
x+4y-4x=0
用x=ρcosθ，y=ρsinθ代入得椭圆的极坐标方程 ρcosθ+4ρsinθ-4ρcosθ=0
设Q，P两点的极坐标分别为(ρ，θ)，(ρ'，θ')．
2
2
2
2
22
因点P在椭圆上，故
用x=ρcosθ，y=ρsinθ代入上式得
这就是点Q的轨迹方程．
注 因Q点的运动随P点的运动而运动，所以用代入法求轨迹方程．又P点的位置与长度和角有关，则用极坐标较方便．
焦距．
解 [法一]设长轴两端点为A1，A2，其极坐标为(ρ1，0)，(ρ2，π)，则
为右焦点；∠MF1F2=α．若|MN|等于椭圆短轴长，求α(0≤α＜π)．
以左焦点F1为极点，射线F1F2为极轴，建立极坐标系，则椭圆的极
设M点的极坐标为(ρ1，α)则N点极坐标为(ρ2，π+α)．于是
注 对与焦半径、焦点弦有关的圆锥曲线的问题，常以焦点为极点，建立极坐标系，利用圆锥曲线统一的极坐标方程求解
极坐标·例题
发布时间：2005年7月24日 14时46分
(2)把点N的直角坐标(-3，4)化成极坐标；
(3)化曲线E的极坐标方程：kρcosθ+3ρsinθ-6cosθ=0为直角 坐标方程，并说明曲线的形状． 解 (1)设M的直角坐标为(x，y)，则
2
2
(3)在方程kρcosθ+3ρsinθ-6cosθ=0两边同乘以ρ得
22
kρcosθ+3ρsinθ-6ρcosθ=0 用x=ρcosθ，y=ρsinθ代入得 kx+3y-6x=0
因极点在曲线上，则原点也满足方程． 当k=0时，曲线为抛物线y=2x；
2
2
2
2222
注 (i)点的极坐标与直角坐标互化时，如无特别说明，一般认为两
的值，再由(x，y)所在象限确定θ为第几象限角，得出θ的值． (ii)化极坐标方程为直角坐标方程时，通常在方程两边乘以ρ， 使方程中出现ρ，ρcosθ，ρsinθ．以便直接代入公式转化． 但应考查ρ＝0时的点是否在曲线上．
2
例13-2-2 已知锐角∠AOB=2α内一动点P，过P向角的两边OA，OB
作垂线，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N．当四边形PMON面积为定值 a时，求P点的轨迹．
解 如右图，以O为极点，∠AOB的平分线为极轴建立极坐标系．设P点坐标为(ρ，θ)(-α＜θ＜α，ρ＞0)．则∠MOP=α-θ，∠PON=α+θ．所以
2
OM=ρcos(α-θ)，PM=ρsin(α-θ) ON=ρcos(α+θ)，PN=ρsin(α+θ) 于是 SPMON=S△POM+S△PON
由题设知
故P点轨迹为以O为中心，∠AOB的平分线所在直线为对称轴，
注 与到定点距离与角有关的轨迹问题，建立极坐标系用直接法求轨迹方程较方便．在判定曲线形状时，则化为直角坐标方程较容易．
例13-2-3 已知椭圆(x-2)+4y=4．P为椭圆上一动点，O为原点， 以OP为直角边，P为直角顶点向上作等腰直角△OPQ．求Q点 轨迹方程．
2
2
解 以O为极点，Ox为极轴建立极坐标系． 化椭圆方程(x-2)+4y=4为 x+4y-4x=0
2
2
2
2
用x=ρcosθ，y=ρsinθ代入得椭圆的极坐标方程 ρcosθ+4ρsinθ-4ρcosθ=0
设Q，P两点的极坐标分别为(ρ，θ)，(ρ'，θ')．
2
2
2
2
因点P在椭圆上，故
用x=ρcosθ，y=ρsinθ代入上式得
这就是点Q的轨迹方程．
注 因Q点的运动随P点的运动而运动，所以用代入法求轨迹方程．又P点的位置与长度和角有关，则用极坐标较方便．
焦距．
解 [法一]设长轴两端点为A1，A2，其极坐标为(ρ1，0)，(ρ2，π)，则
为右焦点；∠MF1F2=α．若|MN|等于椭圆短轴长，求α(0≤α＜π)．
以左焦点F1为极点，射线F1F2为极轴，建立极坐标系，则椭圆的极
设M点的极坐标为(ρ1，α)则N点极坐标为(ρ2，π+α)．于是
注 对与焦半径、焦点弦有关的圆锥曲线的问题，常以焦点为极点，建立极坐标系，利用圆锥曲线统一的极坐标方程求解
极坐标·例题
发布时间：2005年7月24日 14时46分
(2)把点N的直角坐标(-3，4)化成极坐标；
(3)化曲线E的极坐标方程：kρcosθ+3ρsinθ-6cosθ=0为直角 坐标方程，并说明曲线的形状． 解 (1)设M的直角坐标为(x，y)，则
2
2
(3)在方程kρcosθ+3ρsinθ-6cosθ=0两边同乘以ρ得
22
kρcosθ+3ρsinθ-6ρcosθ=0 用x=ρcosθ，y=ρsinθ代入得 kx+3y-6x=0
因极点在曲线上，则原点也满足方程． 当k=0时，曲线为抛物线y=2x；
2
2
2
2222
注 (i)点的极坐标与直角坐标互化时，如无特别说明，一般认为两
的值，再由(x，y)所在象限确定θ为第几象限角，得出θ的值． (ii)化极坐标方程为直角坐标方程时，通常在方程两边乘以ρ， 使方程中出现ρ，ρcosθ，ρsinθ．以便直接代入公式转化． 但应考查ρ＝0时的点是否在曲线上．
2
例13-2-2 已知锐角∠AOB=2α内一动点P，过P向角的两边OA，OB
作垂线，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N．当四边形PMON面积为定值 a时，求P点的轨迹．
解 如右图，以O为极点，∠AOB的平分线为极轴建立极坐标系．设P点坐标为(ρ，θ)(-α＜θ＜α，ρ＞0)．则∠MOP=α-θ，∠PON=α+θ．所以
2
OM=ρcos(α-θ)，PM=ρsin(α-θ) ON=ρcos(α+θ)，PN=ρsin(α+θ) 于是 SPMON=S△POM+S△PON
由题设知
故P点轨迹为以O为中心，∠AOB的平分线所在直线为对称轴，
注 与到定点距离与角有关的轨迹问题，建立极坐标系用直接法求轨迹方程较方便．在判定曲线形状时，则化为直角坐标方程较容易．
例13-2-3 已知椭圆(x-2)+4y=4．P为椭圆上一动点，O为原点， 以OP为直角边，P为直角顶点向上作等腰直角△OPQ．求Q点 轨迹方程．
2
2
解 以O为极点，Ox为极轴建立极坐标系． 化椭圆方程(x-2)+4y=4为 x+4y-4x=0
2
2
2
2
用x=ρcosθ，y=ρsinθ代入得椭圆的极坐标方程 ρcosθ+4ρsinθ-4ρcosθ=0
设Q，P两点的极坐标分别为(ρ，θ)，(ρ'，θ')．
2
2
2
2
因点P在椭圆上，故
用x=ρcosθ，y=ρsinθ代入上式得
这就是点Q的轨迹方程．
注 因Q点的运动随P点的运动而运动，所以用代入法求轨迹方程．又P点的位置与长度和角有关，则用极坐标较方便．
焦距．
解 [法一]设长轴两端点为A1，A2，其极坐标为(ρ1，0)，(ρ2，π)，则
为右焦点；∠MF1F2=α．若|MN|等于椭圆短轴长，求α(0≤α＜π)．
以左焦点F1为极点，射线F1F2为极轴，建立极坐标系，则椭圆的极
设M点的极坐标为(ρ1，α)则N点极坐标为(ρ2，π+α)．于是
注 对与焦半径、焦点弦有关的圆锥曲线的问题，常以焦点为极点，建立极坐标系，利用圆锥曲线统一的极坐标方程求解
极坐标·例题
发布时间：2005年7月24日 14时46分
(2)把点N的直角坐标(-3，4)化成极坐标；
(3)化曲线E的极坐标方程：kρcosθ+3ρsinθ-6cosθ=0为直角 坐标方程，并说明曲线的形状． 解 (1)设M的直角坐标为(x，y)，则
2
2
(3)在方程kρcosθ+3ρsinθ-6cosθ=0两边同乘以ρ得
22
kρcosθ+3ρsinθ-6ρcosθ=0 用x=ρcosθ，y=ρsinθ代入得 kx+3y-6x=0
因极点在曲线上，则原点也满足方程． 当k=0时，曲线为抛物线y=2x；
2
2
2
2222
注 (i)点的极坐标与直角坐标互化时，如无特别说明，一般认为两
的值，再由(x，y)所在象限确定θ为第几象限角，得出θ的值． (ii)化极坐标方程为直角坐标方程时，通常在方程两边乘以ρ， 使方程中出现ρ，ρcosθ，ρsinθ．以便直接代入公式转化． 但应考查ρ＝0时的点是否在曲线上．
2
例13-2-2 已知锐角∠AOB=2α内一动点P，过P向角的两边OA，OB
作垂线，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N．当四边形PMON面积为定值 a时，求P点的轨迹．
解 如右图，以O为极点，∠AOB的平分线为极轴建立极坐标系．设P点坐标为(ρ，θ)(-α＜θ＜α，ρ＞0)．则∠MOP=α-θ，∠PON=α+θ．所以
2
OM=ρcos(α-θ)，PM=ρsin(α-θ) ON=ρcos(α+θ)，PN=ρsin(α+θ) 于是 SPMON=S△POM+S△PON
由题设知
故P点轨迹为以O为中心，∠AOB的平分线所在直线为对称轴，
注 与到定点距离与角有关的轨迹问题，建立极坐标系用直接法求轨迹方程较方便．在判定曲线形状时，则化为直角坐标方程较容易．
例13-2-3 已知椭圆(x-2)+4y=4．P为椭圆上一动点，O为原点， 以OP为直角边，P为直角顶点向上作等腰直角△OPQ．求Q点 轨迹方程．
2
2
解 以O为极点，Ox为极轴建立极坐标系． 化椭圆方程(x-2)+4y=4为 x+4y-4x=0
2
2
2
2
用x=ρcosθ，y=ρsinθ代入得椭圆的极坐标方程 ρcosθ+4ρsinθ-4ρcosθ=0
设Q，P两点的极坐标分别为(ρ，θ)，(ρ'，θ')．
2
2
2
2
因点P在椭圆上，故
用x=ρcosθ，y=ρsinθ代入上式得
这就是点Q的轨迹方程．
注 因Q点的运动随P点的运动而运动，所以用代入法求轨迹方程．又P点的位置与长度和角有关，则用极坐标较方便．
焦距．
解 [法一]设长轴两端点为A1，A2，其极坐标为(ρ1，0)，(ρ2，π)，则
为右焦点；∠MF1F2=α．若|MN|等于椭圆短轴长，求α(0≤α＜π)．
以左焦点F1为极点，射线F1F2为极轴，建立极坐标系，则椭圆的极
设M点的极坐标为(ρ1，α)则N点极坐标为(ρ2，π+α)．于是
注 对与焦半径、焦点弦有关的圆锥曲线的问题，常以焦点为极点，建立极坐标系，利用圆锥曲线统一的极坐标方程求解
第十三章参数方程和极坐标专项训练
【例题精选】：
2
x3t2
例1：曲线的参数方程为0t5，则曲线是： 2
yt1
A．线段
答案：A。
B．双曲线一支 C．圆弧 D．射线
分析 由yt21解得t2y1，将其代入x3t22得，x3y12，整理
得：x3y50。
0t5，得0t2252x77，1y24
故该曲线是直线x3y50上的一条线段，故选A。
xcossin22
例2：参数方程02表示：
y11sin2
A．双曲线一支，这支过点1，
12
B．抛物线一部分，这部分过点1，
12
C．双曲线一支，这支过点1，
12
D．抛物线一部分，这部分过点1， 答案：B。 分析 因为xcos
12
2
sin
sin
242
又02
4
2
4
54
0sin1，即0x24
11
又y1sinsincos
2222sin2
241
yx20x2
2
2
121
x的一部分，这部分过点1，，故选B。
22
因此，参数方程表示抛物线y
例3：等腰直角三角形ABC，三顶点A、B、C按顺时针方向排列，A是直角，腰长为a，顶点A、B分别在x轴y轴上滑动，求顶点C的轨迹方程（要求把结果写成直角坐标系的普通方程）
分析 设点C的坐标为x、y，不易直接建立x、y
之间的关系，所以可考虑建立x、y之间的间接关系式，即参数方程。
CAX完全确定了顶点C的位置，即顶点C的位置
是CAX的函数，所以可选CAX为参数。 解：如图所示，设CAX，则
xOAADasinacosasincosyDCasin
C点的参数方程为：
xasincos
为参数
yasin
消去参数，得普通方程为：x2xyya 小结：与旋转有关的轨迹问题，常选角为参数。
2
2
2
例4：已知线段BB=4，直线l垂直平分BB于点O，在属于l并且以O为起点的同一
射线上取两点P、P，使OP·OP9。求直线BP与直线BP的交点M的轨迹方程。
分析 以O为原点，l为x轴，BB为y轴建
立一直角坐标系xoy，如右图所示，则
B0，2，B0，2。
如图可知，当P点的位置一定时，P点的位置完全确定，从而完全确定了M点的位置，所以可选P点的坐标为参数。
解：设Pa，0，a0，则由OP·OP9，得P
9，0。 a
xy
1 a2xy
直线BP的方程为：1
92a
直线BP的方程为：两直线方程化简为：
2xay2a02ax9y180
①②
解①和②组成的方程组。可得直线BP与BP的交点坐标为：
18ax9a22
182ay9a2
③
④
消去参数a，得：4x29y236x0
所求点M的轨迹是长轴长为6，短轴长为4的椭圆，但不包含点B和B。 本题也可将直线BP和BP的方程变形为：
yx1a2
ax1y29
⑤
⑥
x2y2
1⑤、⑥两式相乘，得 94
小结：本题第二种解法，即交轨法。它是求两条曲线系交点轨迹的常用方法，这种方法
不解方程组，而是直接由方程组消去参数而得交点的轨迹方程。
（一）极坐标概念
确定平面内的点的位置有各种方法，用一对实数确定平面内的点位置的方法称为直角坐标方法，因其方法简捷且应用广泛（如地球的经纬线和剧场中座位号）而成为解析几何中最主要的内容；用方向（角）和距离来确定平面内的点的位置是极坐标的基本思想。极坐标在工程中和军事上也有广泛应用。
1.1极坐标系定义
在平面上选一定点O，由O出发的一条射线OX，规定一个长度单位和角的正方向（通常以反时针旋转为正方向）合称一个极坐标系。其中O为极点，射线OX为极轴，由极径和极角两个量构成点的极坐标，一般记作（ρ，θ）。
1.2平面内的点与极坐标系的关系
平面内有一点P，|OP|用ρ表示，ρ称为P点的极径；OX到OP的角θ叫极角，P（ρ，θ）为极坐标。
(1)有一组极坐标（ρ，θ）能在极坐标系中找唯一的点与其对应；
(2)在极坐标系中有一个点P，则有无数组极坐标与其对应。
①P点固定后，极角不固定。（ρ，θ）与（ρ，2kπ+θ）（k∈z）表示同一点坐标；
②P点固定后，ρ的值可正、可负。ρ＞0时，极角的始边为OX轴，终边为线；ρ＜0，极轴始边为OX轴，终边为的反向延长线；规定：ρ=0时，极角为任意角，如（ρ，θ）与（ρ，2kπ+θ)及（-ρ，2kπ+π+θ)(k∈z)表示同一点。
∴极坐标与极坐标平面内的点不一一对应。
例1.在极坐标系中，点P（ρ，θ）与Q（-ρ，2π-θ）的位置是（ ）
A.关于极轴所在直线对称 B.关于极点对称
C.重合 D.关于直线（ρ∈R）对称
分析：Q（-ρ，2π-θ）与（ρ,π-θ）表示同一点，它与点P（ρ，θ）关于直线
（ρ∈R）（过极点而垂直于极轴的直线）对称。 故选D。
例2.在极坐标系中，如果等边三角形的两个顶点是
，那么C的坐标可能是（ ）
A.
C. B. D.（3，π） ， 分析：∵△ABC为等边△， ∴,极径相同，极角相差π，A、B以极点对称，又|AB|=4，，或，C对应极角为 故选B 。 .
例3.A、B两点的极坐标分别为A(ρ1，θ1)，B(ρ2，θ2)，则
|AB|=______________________________。
分析：用余弦定理可得
式。
此结论可作为公
1.3极坐标与直角坐标的互化
取极点为直角坐标系的原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，在极坐标系中P(ρ，θ)，设在直角坐标系中P(x,y)
则ρ2=x2+y2、、(注意角所在象限)
此三组式子，即为极坐标与直角坐标的互化公式。
例1.将下列各极坐标方程化为直角坐标方程。 (1) (2) (3)
解：(1) (4)ρ2=2cos2θ 得y=-x；
(2)ρsin2θ=2cosθ+2,ρ2sin2θ=2ρcosθ+2ρ,
y2-2x)2=4(x2+y2)得y2=4(x+1)；
(3)4ρ2+5ρ2cos2θ=36,4(x2+y2)+5x2=36,得x2+4y2=36；
(4)ρ4=2ρ2(cos2θ-sin2θ),(x2+y2)=2x2-2y2
例2.椭圆
方程为（ ） A.
分析：,得 故选C 。 B. C.
D.,(在以原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中的
（二）极坐标方程的确定
2.1几种直线的极坐标方程
(1)从极点O发出的一条射线（如图1），其极坐标方程为：θ=θ1（ρ＞0）；
(2)过极点O的一条直线（），其极坐标方程为θ=θ1（ρ∈R）；
(3)如图3 过点（a,o）且垂直于极轴的直线的极坐标方程为：ρcosθ=a；
(4)如图4 过点（a,π)且垂直于极轴的直线的极坐标方程为：ρcosθ= -a；
如图1
如图4 如图
2 如图3
(5)如图5 平行于极轴在极轴上方a个单位的直线的极坐标方程为：ρsinθ=a；
(6)如图6 平行于极轴且在极轴下方a个单位的直线的极坐标方程为：ρsinθ=-a；
(7)如图7 过点M（a,θ1）,且与极径OM垂直的直线的极坐标方程为：
ρcos(θ-θ1
)=a.
如图
5 如图
6 如图7
例1.过点
A.且与极轴平行的直线的极坐标方程是（ ） B.ρ=1 C. D.
分析：极点到直线距离d=1.根据直线极坐标方程(5)得ρsinθ=1，故选C。 例2.已知点P的坐标为（1,π），那么通过P点且垂直于极轴的直线的极坐标方程为（ ）（上海 94年高考题）
A.ρ=1 B.ρ=cosθ C.ρcosθ= -1 D.ρcosθ=1 分析：根据直线极坐标方程(4)得ρcosθ=-1 故选C。
例3.已知直线ι
坐标方程为
与ι21的参数方程为：（t为参数），直线ι2的极1（极点与原点重合，极轴与x轴正半轴重合）。则ι的夹角是（ ） B. C. D. A. 分析：直线
化为普通方程化为普通方程为x-2y+3=0,其斜率
，即；直线，其斜率k2=1，两直
线夹角若为α，则 ，，故选C 。
2.2几种圆的极坐标方程
(1)圆心为极点，半径为r的圆的极坐标方程为：ρ=r(θ∈R)；
(2)圆心O′（r,0），半径为r的圆的极坐标方程为：ρ=2rcosθ；
(3)圆心O′（r,π），半径为r的圆的极坐标方程为：ρ=-2rcosθ；
(4)圆心O′，半径为r的圆的极坐标方程为：；
(5)圆心O′，半径为r
的圆的极坐标方程为：
；
(6)一般圆的极坐标方程：圆心O′（ρ0，θ0），半径为r的极坐标方程。
设动点（ρ，θ），依据余弦定理得ρ+ρ
cos(θ-θ0)]ρ+ρ02-r2
=0.
220 -2ρρ0 cos（θ-θ0）=r 即ρ-[2ρ220
以上方程的推导方程有两种：一是基本方法，也就是轨迹法。轨迹法就是设曲线动点为（ρ，θ），然后找出可解三角形，在可解三角形中建立等量关系；二是直极转化法，也就是写出直角坐标方法，然后再化为极坐标方程。 例1. 极坐标方程所表示的曲线是（ ）
A.双曲线 B.椭圆 C.抛物线 D.圆
分析：
故选D。
例2.极坐标方程ρ2-(1+2cosθ)ρ+2cosθ=0所表示的曲线是（ ）
A.抛物线 B.一直线和一个圆 C.两条直线 D.两相交圆
分析：
是两相交
的圆 故选D。
例3.极坐标方程分别是ρ= -cosθ和ρ= -sinθ的两个圆的圆心距是（ ） A.2 B. C.1 D.
解法一：圆ρ=-cosθ 圆心
根据两个点间距离
；圆ρ=-sinθ，圆心
，应选D；
解法二：两个圆的圆心分别在极轴反向延长线和过极点垂直于极轴直线上，且两圆都过极点，半径都为根据两个点间距离
，应选D；
解法三：两个圆的圆心分别在极轴反向延长线和过极点垂直于极轴直线上，且两圆都过极点，半径都为，根据勾股定理，； 解法四：；.圆心距.
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2.3焦点为极点的椭圆、双曲线和抛物线标准统一的极坐标方程：
(1)圆锥曲线统一定义：在同一平面内到一定点和一定直线的距离之比为常数e的动点轨迹，就叫圆锥曲线。其中定点叫圆锥曲线的焦点，定直线叫准线。
(2)圆锥曲线的标准统一极坐标方程：如果以定点O为极点，以过定点所作定直线L的垂线的反向延长线为极轴正方向建立极坐标系为标准坐标系。那么在此标准极坐标系下圆锥曲线的标准统一方程,其中p是焦点到相应准线的距离。在椭圆和双曲线中p就是相应直角坐标系中的,.
(3)将化为直角坐标方程(1-e2)x2+y2-2e2px-e2p2=0,其中0＜e＜1时两方程表示椭圆（极点和原点是椭圆的左焦点）；e＞1时两方程表示双曲线（极点和原点是双曲线的右焦点）；e=1时两方程表示抛物线（极点和原点是抛物线焦点）。
例1.设椭圆 (0＜e＜1).求：a、b、c及另一个
焦点的极坐标，两条准线的极坐标方程。
解：令θ=0得A点极径 ①
θ=π得A′点极径 ②
由①+②得
①-②得
F1为极点
左准线 ρcosθ=-p，右准线
例2.求双曲线
解：令θ=0
θ=π
由①、②得
② . (e＞1)的a、b、c，焦点的坐标和准线的方程。 (e＞1) ①
焦点F2(0，θ)为极点，F1 (2c,π)即
右准线 ρcosθ=-p 左准线
例3.求圆锥曲线过焦点的弦AB之长
解：
当e=1时，抛物线过焦点弦长
解评：圆锥曲线极坐标方程只有一个，比较容易记忆，注意圆锥曲线统一标准极坐标方程的极点是其一个焦点。也正因为此，遇到圆锥曲线有关焦点弦问题，用极坐标方程来解题，运算要简捷。
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（三）极坐标方程的应用
3.1由极坐标方程讨论曲线及性质
例1.椭圆的焦距是（ ） A. B.2 C. D.1
分析：极坐标方程化为标准式
选B.
例2. 若圆锥曲线应的一条准线方程是ρcosθ=1，则另一条准线的极坐标方程是____________________。
分析：化标准式
∴另一条准线为
例3.双曲线
分析：化标准线
，两条准线间距离 的渐近线方程是_____________.
设双曲线渐近线上一动点M（ρ,θ）。
令
△MO′F中 (如图)
根据正弦定理此时ρ不存在，θ1为渐近线与极轴夹角。在
∴双曲线的两条渐近线的方程
为：和 .
解评：用圆锥曲线统一标准极坐标方程讨论曲线性质。主要记住椭圆和双曲线,及直线的极坐标方程；例3求双曲线渐近线的极坐标方程高考大纲不作要求，有同学愿用极坐标求动点轨迹研究可作参考。
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3.2圆锥曲线过焦点弦问题在极坐标中应用
因为圆锥曲线的统一标准极坐标方程的极点是其一个焦点，且过极点弦长可直接得ρ1+ρ2之值。因此遇到有关过焦点弦问题用极坐标方程解决，可简化做
题过程。
例1.过椭圆的左焦点作一条倾角为的直线ι，则它被曲线截得的弦长是______________。
解：设直线ι与曲线交点为、它被曲线截得的弦长
例2.已知椭圆长轴AA′=6，焦距，过椭圆焦点F1
作直线交椭圆于M、N两点，若∠F2F1M=α,(0≤α＜π).当α取什么
值时，|MN|等于椭圆短轴的长。
解：（此题MN是过焦点弦问题，用极坐标解题较好）以F1为
极点，F1F2所在射线为极轴建立极坐标系。
∵a=3，，,,
椭圆的极坐标方程为
∴
令：
1 例3.过抛物线y2=2px的焦点F作两条互相垂直的直线ι
物线交于A、B点和C、D点 (1)求证：
小值。 和ι2,分别与抛为定值；(2)求|AB|+|CD|的最
解：(1)以焦点F为极点，x轴正方向为极轴正向建立极坐标系，则y2=2px的极坐标方程为
,
设A(ρ1，θ)则B(ρ2，θ+π),
∴（为定值） (2)
当sin22θ=1 时，等号成立，∴最小值为8p
解评：抛物线直角坐标方程中p与极坐标方程中p相同，因此抛物线直角坐
标方程（原点为抛物线顶点）与极坐标方程（极点为抛物线焦点）互换极为容易，过焦点弦问题用极坐标方程解决较好。
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[同步检测]
1.曲线的极坐标方程ρ=4sinθ化为直角坐标方程为（ ）（98年全国高考题）
A.x+(y+2)=4 B.x+(y-2)=4
C.(x-2)2+y2=4 D.(x+2)2+y2=4
2.已知点P的坐标为（1，π），那么过点P且垂直于极轴的直线的极坐标方程为（ ）（94年上海高考题）
A.ρ=1 B.ρ=cosθ C.ρcosθ= -1 D.ρcosθ=1 3.
A. C.4.双曲线的半径和圆心的极坐标分别为（ ） B. D.的顶点坐标是（ ） 2222
A.（8，0），（2，π） B.（-8，0），（2，π）
C.（-8，0），（-2，π） D.（8，0），（-2，π）
5.椭圆的长轴长_____________，短轴长____________，短轴上顶点的坐标_______，焦点坐标_____________，准线方程_________________。
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[强化练习]
1.设椭圆(a＞b＞0)，A、B为椭圆上任意两点，且（其中O为坐标轴原点），求证：为定值。
2.设有一彗星，围绕地球沿一抛物线轨迹运行，地球恰好位于这轨迹的焦点处。当此彗星离地球为d万公里时，经过地球和彗星的直线与抛物线的轴的夹角为，求这彗星运行中与地球的最短距离。
3.F是定点，ι是定直线，点F到直线ι的距离为p
（p＞0）,点M在直线ι上滑动，动点N在MF的延长线上，且满足。(1)求动点N的轨迹。(2)
求|MN|的最小值。（1989年上海高考题）
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同步检测答案：
1.B 2.C 3.C 4.B
提示：
1.ρ2=4ρcosθ x2+y2-4x=0 x2+(y-2)2=4 故选B；
2.把ρ=1，θ=π代入方程，只有C成立；
3.化为直角坐标方程
,
.故选C 。 半径r=1，圆心
得化为极坐标
4. a=3,b=4,c=5顶点A(c-a,π) A′（-(a+c),0）
5. ∴2a=10,
,焦点（0，θ），（4，0
），准线 短轴上顶点坐标为
或
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强化练习解答：
1.解化为极坐标方程x=ρcosθ,y=ρsinθ,得
b2ρ2cos2θ+a2ρ2sin2θ=a2b2,即
2.解：以地球所在位置为极点，抛物线对称轴为极轴建立极坐标系，设抛物线方程为
∵在抛物线上，故； 又∵也可能在抛物线上 故
∵抛物线上各点中顶点离焦点最近，∴慧星与地球最短距离为
（万公里）或（万公里）。
3.解：以F为极点，过F而垂直于ι，方向向右为正建立极坐标系。
(1)设N（ρ，θ），
,(其中|FN|=ρ)， ,过F作FK⊥ι于K，设|FK|=p
，
∵即（0＜cosθ＜p）。 ①若,即0＜p＜1时，N的轨迹为双曲线右支
的一部分（如右图）。
②若
右图）。
,即p=1时，N的轨迹为抛物线一部分（如
③若即p＞1时，N为椭圆的一部分。 (2)
①若0＜p≤2时，则时，|MN|min=4
②若p＞2时，则cosθ=1时，
极坐标·型例题分析
发布时间：2005年7月24日 14时58分
例1 点M(1，π)是否在曲线C∶ρ(3-4cosθ)=1上，为什么？ 分析 点M(1，π)的极坐标可以有无数种表示形式，点M是否在曲线C上，只要点M有其中一个极坐标满足方程．
解 由1·(3-4cosπ)≠1 不能判断点M不在曲线C上，
∵点M(1，π)，即是M(-1，2π)
且-1·(3-4cos2π)=1
∴点M(1，π)在曲线C∶ρ(3-4cosθ)=1上．
说明 解此题要注意“点和极坐标”的“一多对应”特性，适合曲线的极坐标方程的每一对有序实数(ρ，θ)所确定的点一定在此曲线上，但此曲线上点的坐标不一定全适合此方程．
例2 化下列极坐标方程为直角坐标方程．
分析 要利用ρcosθ=x；ρsinθ=y；ρ=x+y进行转化
222
ρsinθ=-6cosθ
当ρ≠0时，两边乘以ρ∶ρsinθ=-6ρcosθ
即：y=-6x(x≠0)
当ρ=0时，原方程有解，曲线过原点．
∴所得直角坐标方程为：y=-6x．
说明 化极坐标方程为直角坐标方程时，要注意变形的等价性，特别要检查极点是否在曲线上．这是因为在变形过程中，通常要用ρ去乘
22222
不过极点，在得到2ρcosθ=ρ后，如不限制ρ＞0，则原点在曲线
22
直线的距离是______．
分析 由极坐标的定义，ρ(ρ＞0时)或|p|(ρ＜0时)为曲线上点到极点的距离，因此可求|p|的最小值，另一种方法是化直线的极坐标方程为普通方程，再利用点到直线的距离公式求解．
∴ρsinθ+ρcosθ=1．
∴直线的直角坐标方程是x+y-1=0
说明 解法一需要对极坐标的概念有较深刻的理解；解法二的关键一步是化极坐标方程为直角坐标方程，这是解决极坐标问题的常用方法．
分析 如图3-3，|OA|，|OB|是从原点出发的两条线段的长度，启发我们把椭圆方程化为极坐标方程后，利用极径的意义求解．
解 以原点为极点，ox为极轴建立极坐标系，则椭圆的极坐标方程
说明 对有心圆锥曲线，若涉及曲线上的点与中心连线的问题，则通常以中心为极点，对称轴为极轴建立极坐标系；若涉及抛物线顶点弦的问题，则通常以顶点为极点，对称轴为极轴建立极坐标系．
极坐标·例题
发布时间：2005年7月24日 14时46分
(2)把点N的直角坐标(-3，4)化成极坐标；
(3)化曲线E的极坐标方程：kρcosθ+3ρsinθ-6cosθ=0为直角 坐标方程，并说明曲线的形状．
解 (1)设M的直角坐标为(x，y)，则
22
(3)在方程kρcosθ+3ρsinθ-6cosθ=0两边同乘以ρ得 kρcosθ+3ρsinθ-6ρcosθ=0 用x=ρcosθ，y=ρsinθ代入得 kx+3y-6x=0
因极点在曲线上，则原点也满足方程． 当k=0时，曲线为抛物线y=2x；
2
2
22
2
2
2
22
注 (i)点的极坐标与直角坐标互化时，如无特别说明，一般认为两
的值，再由(x，y)所在象限确定θ为第几象限角，得出θ的值． (ii)化极坐标方程为直角坐标方程时，通常在方程两边乘以ρ，
使方程中出现ρ，ρcosθ，ρsinθ．以便直接代入公式转化． 但应考查ρ＝0时的点是否在曲线上．
例13-2-2 已知锐角∠AOB=2α内一动点P，过P向角的两边OA，OB
作垂线，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N．当四边形PMON面积为定值 a时，求P点的轨迹．
解 如右图，以O为极点，∠AOB的平分线为极轴建立极坐标系．设P点坐标为(ρ，θ)(-α＜θ＜α，ρ＞0)．则∠MOP=α-θ，∠PON=α+θ．所以
2
2
OM=ρcos(α-θ)，PM=ρsin(α-θ) ON=ρcos(α+θ)，PN=ρsin(α+θ) 于是 SPMON=S△POM+S△PON
由题设知
故P点轨迹为以O为中心，∠AOB的平分线所在直线为对称轴，
注 与到定点距离与角有关的轨迹问题，建立极坐标系用直接法求轨迹方程较方便．在判定曲线形状时，则化为直角坐标方程较容易．
例13-2-3 已知椭圆(x-2)+4y=4．P为椭圆上一动点，O为原点， 以OP为直角边，P为直角顶点向上作等腰直角△OPQ．求Q点 轨迹方程．
2
2
解 以O为极点，Ox为极轴建立极坐标系． 化椭圆方程(x-2)+4y=4为
2
2
x+4y-4x=0
用x=ρcosθ，y=ρsinθ代入得椭圆的极坐标方程 ρcosθ+4ρsinθ-4ρcosθ=0
设Q，P两点的极坐标分别为(ρ，θ)，(ρ'，θ')．
2
2
2
2
22
因点P在椭圆上，故
用x=ρcosθ，y=ρsinθ代入上式得
这就是点Q的轨迹方程．
注 因Q点的运动随P点的运动而运动，所以用代入法求轨迹方程．又P点的位置与长度和角有关，则用极坐标较方便．
焦距．
解 [法一]设长轴两端点为A1，A2，其极坐标为(ρ1，0)，(ρ2，π)，则
为右焦点；∠MF1F2=α．若|MN|等于椭圆短轴长，求α(0≤α＜π)．
以左焦点F1为极点，射线F1F2为极轴，建立极坐标系，则椭圆的极
设M点的极坐标为(ρ1，α)则N点极坐标为(ρ2，π+α)．于是
注 对与焦半径、焦点弦有关的圆锥曲线的问题，常以焦点为极点，建立极坐标系，利用圆锥曲线统一的极坐标方程求解
极坐标·例题
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(2)把点N的直角坐标(-3，4)化成极坐标；
(3)化曲线E的极坐标方程：kρcosθ+3ρsinθ-6cosθ=0为直角 坐标方程，并说明曲线的形状． 解 (1)设M的直角坐标为(x，y)，则
2
2
(3)在方程kρcosθ+3ρsinθ-6cosθ=0两边同乘以ρ得
22
kρcosθ+3ρsinθ-6ρcosθ=0 用x=ρcosθ，y=ρsinθ代入得 kx+3y-6x=0
因极点在曲线上，则原点也满足方程． 当k=0时，曲线为抛物线y=2x；
2
2
2
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注 (i)点的极坐标与直角坐标互化时，如无特别说明，一般认为两
的值，再由(x，y)所在象限确定θ为第几象限角，得出θ的值． (ii)化极坐标方程为直角坐标方程时，通常在方程两边乘以ρ， 使方程中出现ρ，ρcosθ，ρsinθ．以便直接代入公式转化． 但应考查ρ＝0时的点是否在曲线上．
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例13-2-2 已知锐角∠AOB=2α内一动点P，过P向角的两边OA，OB
作垂线，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N．当四边形PMON面积为定值 a时，求P点的轨迹．
解 如右图，以O为极点，∠AOB的平分线为极轴建立极坐标系．设P点坐标为(ρ，θ)(-α＜θ＜α，ρ＞0)．则∠MOP=α-θ，∠PON=α+θ．所以
2
OM=ρcos(α-θ)，PM=ρsin(α-θ) ON=ρcos(α+θ)，PN=ρsin(α+θ) 于是 SPMON=S△POM+S△PON
由题设知
故P点轨迹为以O为中心，∠AOB的平分线所在直线为对称轴，
注 与到定点距离与角有关的轨迹问题，建立极坐标系用直接法求轨迹方程较方便．在判定曲线形状时，则化为直角坐标方程较容易．
例13-2-3 已知椭圆(x-2)+4y=4．P为椭圆上一动点，O为原点， 以OP为直角边，P为直角顶点向上作等腰直角△OPQ．求Q点 轨迹方程．
2
2
解 以O为极点，Ox为极轴建立极坐标系． 化椭圆方程(x-2)+4y=4为 x+4y-4x=0
2
2
2
2
用x=ρcosθ，y=ρsinθ代入得椭圆的极坐标方程 ρcosθ+4ρsinθ-4ρcosθ=0
设Q，P两点的极坐标分别为(ρ，θ)，(ρ'，θ')．
2
2
2
2
因点P在椭圆上，故
用x=ρcosθ，y=ρsinθ代入上式得
这就是点Q的轨迹方程．
注 因Q点的运动随P点的运动而运动，所以用代入法求轨迹方程．又P点的位置与长度和角有关，则用极坐标较方便．
焦距．
解 [法一]设长轴两端点为A1，A2，其极坐标为(ρ1，0)，(ρ2，π)，则
为右焦点；∠MF1F2=α．若|MN|等于椭圆短轴长，求α(0≤α＜π)．
以左焦点F1为极点，射线F1F2为极轴，建立极坐标系，则椭圆的极
设M点的极坐标为(ρ1，α)则N点极坐标为(ρ2，π+α)．于是
注 对与焦半径、焦点弦有关的圆锥曲线的问题，常以焦点为极点，建立极坐标系，利用圆锥曲线统一的极坐标方程求解
极坐标·例题
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(2)把点N的直角坐标(-3，4)化成极坐标；
(3)化曲线E的极坐标方程：kρcosθ+3ρsinθ-6cosθ=0为直角 坐标方程，并说明曲线的形状． 解 (1)设M的直角坐标为(x，y)，则
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(3)在方程kρcosθ+3ρsinθ-6cosθ=0两边同乘以ρ得
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kρcosθ+3ρsinθ-6ρcosθ=0 用x=ρcosθ，y=ρsinθ代入得 kx+3y-6x=0
因极点在曲线上，则原点也满足方程． 当k=0时，曲线为抛物线y=2x；
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注 (i)点的极坐标与直角坐标互化时，如无特别说明，一般认为两
的值，再由(x，y)所在象限确定θ为第几象限角，得出θ的值． (ii)化极坐标方程为直角坐标方程时，通常在方程两边乘以ρ， 使方程中出现ρ，ρcosθ，ρsinθ．以便直接代入公式转化． 但应考查ρ＝0时的点是否在曲线上．
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例13-2-2 已知锐角∠AOB=2α内一动点P，过P向角的两边OA，OB
作垂线，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N．当四边形PMON面积为定值 a时，求P点的轨迹．
解 如右图，以O为极点，∠AOB的平分线为极轴建立极坐标系．设P点坐标为(ρ，θ)(-α＜θ＜α，ρ＞0)．则∠MOP=α-θ，∠PON=α+θ．所以
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OM=ρcos(α-θ)，PM=ρsin(α-θ) ON=ρcos(α+θ)，PN=ρsin(α+θ) 于是 SPMON=S△POM+S△PON
由题设知
故P点轨迹为以O为中心，∠AOB的平分线所在直线为对称轴，
注 与到定点距离与角有关的轨迹问题，建立极坐标系用直接法求轨迹方程较方便．在判定曲线形状时，则化为直角坐标方程较容易．
例13-2-3 已知椭圆(x-2)+4y=4．P为椭圆上一动点，O为原点， 以OP为直角边，P为直角顶点向上作等腰直角△OPQ．求Q点 轨迹方程．
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解 以O为极点，Ox为极轴建立极坐标系． 化椭圆方程(x-2)+4y=4为 x+4y-4x=0
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用x=ρcosθ，y=ρsinθ代入得椭圆的极坐标方程 ρcosθ+4ρsinθ-4ρcosθ=0
设Q，P两点的极坐标分别为(ρ，θ)，(ρ'，θ')．
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因点P在椭圆上，故
用x=ρcosθ，y=ρsinθ代入上式得
这就是点Q的轨迹方程．
注 因Q点的运动随P点的运动而运动，所以用代入法求轨迹方程．又P点的位置与长度和角有关，则用极坐标较方便．
焦距．
解 [法一]设长轴两端点为A1，A2，其极坐标为(ρ1，0)，(ρ2，π)，则
为右焦点；∠MF1F2=α．若|MN|等于椭圆短轴长，求α(0≤α＜π)．
以左焦点F1为极点，射线F1F2为极轴，建立极坐标系，则椭圆的极
设M点的极坐标为(ρ1，α)则N点极坐标为(ρ2，π+α)．于是
注 对与焦半径、焦点弦有关的圆锥曲线的问题，常以焦点为极点，建立极坐标系，利用圆锥曲线统一的极坐标方程求解
极坐标·例题
发布时间：2005年7月24日 14时46分
(2)把点N的直角坐标(-3，4)化成极坐标；
(3)化曲线E的极坐标方程：kρcosθ+3ρsinθ-6cosθ=0为直角 坐标方程，并说明曲线的形状． 解 (1)设M的直角坐标为(x，y)，则
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(3)在方程kρcosθ+3ρsinθ-6cosθ=0两边同乘以ρ得
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kρcosθ+3ρsinθ-6ρcosθ=0 用x=ρcosθ，y=ρsinθ代入得 kx+3y-6x=0
因极点在曲线上，则原点也满足方程． 当k=0时，曲线为抛物线y=2x；
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注 (i)点的极坐标与直角坐标互化时，如无特别说明，一般认为两
的值，再由(x，y)所在象限确定θ为第几象限角，得出θ的值． (ii)化极坐标方程为直角坐标方程时，通常在方程两边乘以ρ， 使方程中出现ρ，ρcosθ，ρsinθ．以便直接代入公式转化． 但应考查ρ＝0时的点是否在曲线上．
2
例13-2-2 已知锐角∠AOB=2α内一动点P，过P向角的两边OA，OB
作垂线，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N．当四边形PMON面积为定值 a时，求P点的轨迹．
解 如右图，以O为极点，∠AOB的平分线为极轴建立极坐标系．设P点坐标为(ρ，θ)(-α＜θ＜α，ρ＞0)．则∠MOP=α-θ，∠PON=α+θ．所以
2
OM=ρcos(α-θ)，PM=ρsin(α-θ) ON=ρcos(α+θ)，PN=ρsin(α+θ) 于是 SPMON=S△POM+S△PON
由题设知
故P点轨迹为以O为中心，∠AOB的平分线所在直线为对称轴，
注 与到定点距离与角有关的轨迹问题，建立极坐标系用直接法求轨迹方程较方便．在判定曲线形状时，则化为直角坐标方程较容易．
例13-2-3 已知椭圆(x-2)+4y=4．P为椭圆上一动点，O为原点， 以OP为直角边，P为直角顶点向上作等腰直角△OPQ．求Q点 轨迹方程．
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解 以O为极点，Ox为极轴建立极坐标系． 化椭圆方程(x-2)+4y=4为 x+4y-4x=0
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用x=ρcosθ，y=ρsinθ代入得椭圆的极坐标方程 ρcosθ+4ρsinθ-4ρcosθ=0
设Q，P两点的极坐标分别为(ρ，θ)，(ρ'，θ')．
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因点P在椭圆上，故
用x=ρcosθ，y=ρsinθ代入上式得
这就是点Q的轨迹方程．
注 因Q点的运动随P点的运动而运动，所以用代入法求轨迹方程．又P点的位置与长度和角有关，则用极坐标较方便．
焦距．
解 [法一]设长轴两端点为A1，A2，其极坐标为(ρ1，0)，(ρ2，π)，则
为右焦点；∠MF1F2=α．若|MN|等于椭圆短轴长，求α(0≤α＜π)．
以左焦点F1为极点，射线F1F2为极轴，建立极坐标系，则椭圆的极
设M点的极坐标为(ρ1，α)则N点极坐标为(ρ2，π+α)．于是
注 对与焦半径、焦点弦有关的圆锥曲线的问题，常以焦点为极点，建立极坐标系，利用圆锥曲线统一的极坐标方程求解
第十三章参数方程和极坐标专项训练
【例题精选】：
2
x3t2
例1：曲线的参数方程为0t5，则曲线是： 2
yt1
A．线段
答案：A。
B．双曲线一支 C．圆弧 D．射线
分析 由yt21解得t2y1，将其代入x3t22得，x3y12，整理
得：x3y50。
0t5，得0t2252x77，1y24
故该曲线是直线x3y50上的一条线段，故选A。
xcossin22
例2：参数方程02表示：
y11sin2
A．双曲线一支，这支过点1，
12
B．抛物线一部分，这部分过点1，
12
C．双曲线一支，这支过点1，
12
D．抛物线一部分，这部分过点1， 答案：B。 分析 因为xcos
12
2
sin
sin
242
又02
4
2
4
54
0sin1，即0x24
11
又y1sinsincos
2222sin2
241
yx20x2
2
2
121
x的一部分，这部分过点1，，故选B。
22
因此，参数方程表示抛物线y
例3：等腰直角三角形ABC，三顶点A、B、C按顺时针方向排列，A是直角，腰长为a，顶点A、B分别在x轴y轴上滑动，求顶点C的轨迹方程（要求把结果写成直角坐标系的普通方程）
分析 设点C的坐标为x、y，不易直接建立x、y
之间的关系，所以可考虑建立x、y之间的间接关系式，即参数方程。
CAX完全确定了顶点C的位置，即顶点C的位置
是CAX的函数，所以可选CAX为参数。 解：如图所示，设CAX，则
xOAADasinacosasincosyDCasin
C点的参数方程为：
xasincos
为参数
yasin
消去参数，得普通方程为：x2xyya 小结：与旋转有关的轨迹问题，常选角为参数。
2
2
2
例4：已知线段BB=4，直线l垂直平分BB于点O，在属于l并且以O为起点的同一
射线上取两点P、P，使OP·OP9。求直线BP与直线BP的交点M的轨迹方程。
分析 以O为原点，l为x轴，BB为y轴建
立一直角坐标系xoy，如右图所示，则
B0，2，B0，2。
如图可知，当P点的位置一定时，P点的位置完全确定，从而完全确定了M点的位置，所以可选P点的坐标为参数。
解：设Pa，0，a0，则由OP·OP9，得P
9，0。 a
xy
1 a2xy
直线BP的方程为：1
92a
直线BP的方程为：两直线方程化简为：
2xay2a02ax9y180
①②
解①和②组成的方程组。可得直线BP与BP的交点坐标为：
18ax9a22
182ay9a2
③
④
消去参数a，得：4x29y236x0
所求点M的轨迹是长轴长为6，短轴长为4的椭圆，但不包含点B和B。 本题也可将直线BP和BP的方程变形为：
yx1a2
ax1y29
⑤
⑥
x2y2
1⑤、⑥两式相乘，得 94
小结：本题第二种解法，即交轨法。它是求两条曲线系交点轨迹的常用方法，这种方法
不解方程组，而是直接由方程组消去参数而得交点的轨迹方程。