托勒密定理与西姆松线定理的等价证明

托勒密定理与西姆松线定理的等价证明

湖南省张家界市永定区永定小学 覃文周 摘抄

托勒密定理及其逆定理可以概括成如下定理:凸四边形是圆内接四边形的充要条件是两组对边积的和等于两对角线的积。

西姆松线定理：过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线，则三垂足共线。

西姆松定理的逆定理：若一点在三角形三边所在直线上的射影共线，则该点在此三角形的外接圆上。

托勒密定理与西姆松线定理的等价性证明：如图：设A、P、M、L、四点共圆，AP为直径，得LM=APsin∠BAC=APBC. 2R

同理：C、N、M、P四点共圆，CP为直径，得

MN=CPsin∠CAN=CPsin∠ACB=CPAB 2R

L、N、B、P四点共圆，BP为直径，得

LN=BPsin∠B=BPAC 2R

BPACAPBCCPAB=+ 2R2R2R∴ L、M、 N三点共线LN=LM+MN

BP·AC=AP·BC+CP·AB

这就证明了托勒密定理与西姆松线定理的等价性。

托勒密定理与西姆松线定理的等价证明

湖南省张家界市永定区永定小学 覃文周 摘抄

托勒密定理及其逆定理可以概括成如下定理:凸四边形是圆内接四边形的充要条件是两组对边积的和等于两对角线的积。

西姆松线定理：过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线，则三垂足共线。

西姆松定理的逆定理：若一点在三角形三边所在直线上的射影共线，则该点在此三角形的外接圆上。

托勒密定理与西姆松线定理的等价性证明：如图：设A、P、M、L、四点共圆，AP为直径，得LM=APsin∠BAC=APBC. 2R

同理：C、N、M、P四点共圆，CP为直径，得

MN=CPsin∠CAN=CPsin∠ACB=CPAB 2R

L、N、B、P四点共圆，BP为直径，得

LN=BPsin∠B=BPAC 2R

BPACAPBCCPAB=+ 2R2R2R∴ L、M、 N三点共线LN=LM+MN

BP·AC=AP·BC+CP·AB

这就证明了托勒密定理与西姆松线定理的等价性。