平面向量要点归纳
由于向量具有几何形式和代数形式的双重身份，与代数、几何都有着密切的关系，因而成为中学数学知识网络的一个交汇点，因此，在中学数学教材中的的地位也越来越重要，也成为近几年全国高考命题的重点和热点，以下是对平面向量中有关知识要点的归纳整理，供同学们参考．
一、基本概念与运算
1．要注意向量不同于数量，它既有大小，又有方向，这两者缺一不可．由于方向不能比较大小，因而“大于”、“小于”对于向量来说是没有意义的．零向量是一个特殊的向量，它似乎很不起眼，但又处处存在，稍不注意就会出错，所以要正确理解和处理零向量与非零向量之间的关系．
2．在判断两个非零向量是否共线时，只需看这两个向量的方向是否相同或相反即可，与这两个向量的长度无关．在没有指明非零向量的情况下，共线向量可能有以下几种情况：（1）有一个为零向量；（2）两个都为零向量；（3）同向且模相等；（4）同向且模不等；（5）反向且模相等；（6）反向且模不等．向量的平行与直线的平行是不同的，直线的平行是指两条直线在同一平面内没有公共点；而向量的平行既包含没有交点的情况，又包含两个向量在同一条直线上的情形．
3．向量加法的平行四边形法则与向量加法的三角形法则是统一的，两种方法得到的是同一个向量．向量的减法按三角形法则，把减向量与被减向量的起点重合，其差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点，一定要注意向量的方向．
4．两个向量长度的和（差）不一定等于这两个向量和（差）的长度，因为向量的加（减）实施的对象是向量，而长度是数量，长度的加（减）法是数量的加（减）法．
（1）当两个非零向量a 与b 不共线时，a +b 的方向不同于a ，b 的方向，且
a +b b (b >a ) 时，a +b 的方向与a (b ) 的方向
相同，且a +b =a -b (a +b =b -a ) ．
5．对于向量的数乘运算，应侧重于以下几个方面：
（1）数与向量的积仍是一个向量，向量的方向由实数的正负及原向量的方向确定，大小由λa 确定．
·a =0． （2）要特别注意0·a =0，而不是0
（3）实数与向量可以求积，但是不能进行加、减运算，比如λ+a ，λ-a 都无法进行． （4）向量数乘运算的运算律与实数乘法的运算律很相似，只是数乘运算的分配律有两种不同的形式：(λ+μ) a =λa +μa 和λ(a +b ) =λa +λb ，数乘运算的关键是等式两边向量的模相等，方向相同．
（5）判断两个向量是否平行（共线），实际上就是看能否找出一个实数，使得这个实数乘以其中一个向量等于另一个向量．一定要切实理解两向量共线的条件，它是证明几何中的三点共线和两直线平行等问题的有效手段．
二、基本定理及其坐标表示
1．平面向量基本定理表明，同一平面内的任一向量都可表示为其他两个不共线向量的线性组合，即选择了两个不共线向量e 1和e 2，平面内的任何一向量a 都可以用向量e 1，e 2表示为a =λ1e 1+λ2e 2，并且这种表示是惟一的，即若λ1e 1+λ2e 2=μ1e 1+μ2e 2，则必有λ1=μ1，λ2=μ2．这样，平面向量本定理不仅把几何问题转化为只含有λ1，λ2的代数运算，而且为利用待定系数法解题，提供了理论基础.
2．在利用平面向量基本定量时，一定要注意不共线这个条件.
3．平面向量坐标表示的理论基础就是平面向量的基本定理. 直角坐标系中与x 、 y 轴方向相同的单位向量是一组正交基底，这时，对于平面直角坐标系内的一个向量α，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x ，y ，使得α=x i +y j ．于是，平面内的任一向量α都可由x ，y 惟一确定，而有序数对(x ，y ) 正好是向量α的坐标，这样使得平面直角坐标系内的向量与坐标建立起一一映射，从而实现向量的“量化”表示. 在引入向量的坐标表示以后，向量的运算完全化为代数运算，从而实现了“形”和“数”的紧密结合. 很多几何问题，如共线、共点等较难问题的证明，就都可以转化为代数运算的论证，同时也为解决一些物理问题提供了一种简便有效的方法.
4．平面向量的坐标与该向量的始点、终点坐标有关，向量的坐标等于表示该向量的有向线段的终点坐标减去始点坐标，如：若平面上有点A (x 1，y 1) ，B (x 2，y 2) ，则
AB =(x 2-x ，y 2-y ) 1．一定要把向量的坐标与点的坐标区别开来，只有始点在原点时，向1
量的坐标才与终点的坐标相等. 两个向量相等时坐标是相同的，但起点、终点的坐标可以不同，即向量的坐标表示与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关.
5．要注意区别两向量平行和垂直的坐标表示
（1）若a =(x 1，y 1) ，b =(x 2，y 2) ，则向量a 与b 共线的条件为x 1y 2-x 2y 1=0． （2）若非零向量a =(x 1，y 1) ，b =(x 2，y 2) ，则向量a 与b 垂直的条件为x 1x 2+y 1y 2=0． （3）要注意a 与b 共线的条件适合任何向量，而垂直的条件只是适合两非零向量，另外，（1）（2）两命题都是可逆的．
三、平面向量的数量积
·b =a b cos θ是数量，而不是向量，它的值是两个向量的模 1． 平面向量a 与b 的数量积a
与两个向量夹角余弦的乘积，其中θ的取值范围是0≤θ≤π．
2． 平面向量的数量积与数乘向量、实数与实数的乘积是不同的，在学习平面向量的数量的 积时，要注意以下几点：
·b =0不能推出b =0，因为对任何一个与a 垂直的非零向量b ，都有 （1） 由a ≠0，且a
a ·b =0．
·b =b ·c 不能推出a =c ，·b =b ·c ，（2） 由a 例如，当a =0且b ⊥c 时，a 但不能推出a =c ． （3） 平面向量的数量积不满足结合律，即(a 因为前者表示与c ·b ) c 与a (b ·c ) 不一定相等，
共线的向量，后者表示与a 共线的向量，而c 与a 不一定共线．
，cos θ=（4） 由a ，
b 为非零向量时，a =a ·b a b
·b =0⇔a ⊥b ，可知平面向量 及a
的数量积可用来处理有关长度、角度、垂直等等问题．
3．
四、平面向量的应用
1．向量是数学中证明几何命题
的有效工具之一，根据平面向量基本定理，任一平面直线型图形中的线段都可以表示为某些向量的线性组合，这样在证明几何命题时，可先把已知和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算就很容易得出结论．一般 地，利用实数与向量的积可证明共
线、平行、长度等问题；利用数量积可解决长度、角度、垂直等问题．
2．平面向量的应用，体现在高考中主要是在几何中的应用，由于平面向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何中的许多性质，如平移、全等、相似、长度（距离）、夹角等都可以用向量的线性运算及数量积表示出来，因此，可用向量的语言和方法来表述和解决几何中的一些问题．
3．用向量的方法解决几何问题时，首先要用向量表示相应的点、线段、夹角等几何元素，然后通过向量的运算，特别是数量积运算来研究点、线段等元素之间的关系，最后把运算结果“翻译”成几何关系，得到几何问题的结论．
平面向量要点归纳
由于向量具有几何形式和代数形式的双重身份，与代数、几何都有着密切的关系，因而成为中学数学知识网络的一个交汇点，因此，在中学数学教材中的的地位也越来越重要，也成为近几年全国高考命题的重点和热点，以下是对平面向量中有关知识要点的归纳整理，供同学们参考．
一、基本概念与运算
1．要注意向量不同于数量，它既有大小，又有方向，这两者缺一不可．由于方向不能比较大小，因而“大于”、“小于”对于向量来说是没有意义的．零向量是一个特殊的向量，它似乎很不起眼，但又处处存在，稍不注意就会出错，所以要正确理解和处理零向量与非零向量之间的关系．
2．在判断两个非零向量是否共线时，只需看这两个向量的方向是否相同或相反即可，与这两个向量的长度无关．在没有指明非零向量的情况下，共线向量可能有以下几种情况：（1）有一个为零向量；（2）两个都为零向量；（3）同向且模相等；（4）同向且模不等；（5）反向且模相等；（6）反向且模不等．向量的平行与直线的平行是不同的，直线的平行是指两条直线在同一平面内没有公共点；而向量的平行既包含没有交点的情况，又包含两个向量在同一条直线上的情形．
3．向量加法的平行四边形法则与向量加法的三角形法则是统一的，两种方法得到的是同一个向量．向量的减法按三角形法则，把减向量与被减向量的起点重合，其差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点，一定要注意向量的方向．
4．两个向量长度的和（差）不一定等于这两个向量和（差）的长度，因为向量的加（减）实施的对象是向量，而长度是数量，长度的加（减）法是数量的加（减）法．
（1）当两个非零向量a 与b 不共线时，a +b 的方向不同于a ，b 的方向，且
a +b b (b >a ) 时，a +b 的方向与a (b ) 的方向
相同，且a +b =a -b (a +b =b -a ) ．
5．对于向量的数乘运算，应侧重于以下几个方面：
（1）数与向量的积仍是一个向量，向量的方向由实数的正负及原向量的方向确定，大小由λa 确定．
·a =0． （2）要特别注意0·a =0，而不是0
（3）实数与向量可以求积，但是不能进行加、减运算，比如λ+a ，λ-a 都无法进行． （4）向量数乘运算的运算律与实数乘法的运算律很相似，只是数乘运算的分配律有两种不同的形式：(λ+μ) a =λa +μa 和λ(a +b ) =λa +λb ，数乘运算的关键是等式两边向量的模相等，方向相同．
（5）判断两个向量是否平行（共线），实际上就是看能否找出一个实数，使得这个实数乘以其中一个向量等于另一个向量．一定要切实理解两向量共线的条件，它是证明几何中的三点共线和两直线平行等问题的有效手段．
二、基本定理及其坐标表示
1．平面向量基本定理表明，同一平面内的任一向量都可表示为其他两个不共线向量的线性组合，即选择了两个不共线向量e 1和e 2，平面内的任何一向量a 都可以用向量e 1，e 2表示为a =λ1e 1+λ2e 2，并且这种表示是惟一的，即若λ1e 1+λ2e 2=μ1e 1+μ2e 2，则必有λ1=μ1，λ2=μ2．这样，平面向量本定理不仅把几何问题转化为只含有λ1，λ2的代数运算，而且为利用待定系数法解题，提供了理论基础.
2．在利用平面向量基本定量时，一定要注意不共线这个条件.
3．平面向量坐标表示的理论基础就是平面向量的基本定理. 直角坐标系中与x 、 y 轴方向相同的单位向量是一组正交基底，这时，对于平面直角坐标系内的一个向量α，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x ，y ，使得α=x i +y j ．于是，平面内的任一向量α都可由x ，y 惟一确定，而有序数对(x ，y ) 正好是向量α的坐标，这样使得平面直角坐标系内的向量与坐标建立起一一映射，从而实现向量的“量化”表示. 在引入向量的坐标表示以后，向量的运算完全化为代数运算，从而实现了“形”和“数”的紧密结合. 很多几何问题，如共线、共点等较难问题的证明，就都可以转化为代数运算的论证，同时也为解决一些物理问题提供了一种简便有效的方法.
4．平面向量的坐标与该向量的始点、终点坐标有关，向量的坐标等于表示该向量的有向线段的终点坐标减去始点坐标，如：若平面上有点A (x 1，y 1) ，B (x 2，y 2) ，则
AB =(x 2-x ，y 2-y ) 1．一定要把向量的坐标与点的坐标区别开来，只有始点在原点时，向1
量的坐标才与终点的坐标相等. 两个向量相等时坐标是相同的，但起点、终点的坐标可以不同，即向量的坐标表示与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关.
5．要注意区别两向量平行和垂直的坐标表示
（1）若a =(x 1，y 1) ，b =(x 2，y 2) ，则向量a 与b 共线的条件为x 1y 2-x 2y 1=0． （2）若非零向量a =(x 1，y 1) ，b =(x 2，y 2) ，则向量a 与b 垂直的条件为x 1x 2+y 1y 2=0． （3）要注意a 与b 共线的条件适合任何向量，而垂直的条件只是适合两非零向量，另外，（1）（2）两命题都是可逆的．
三、平面向量的数量积
·b =a b cos θ是数量，而不是向量，它的值是两个向量的模 1． 平面向量a 与b 的数量积a
与两个向量夹角余弦的乘积，其中θ的取值范围是0≤θ≤π．
2． 平面向量的数量积与数乘向量、实数与实数的乘积是不同的，在学习平面向量的数量的 积时，要注意以下几点：
·b =0不能推出b =0，因为对任何一个与a 垂直的非零向量b ，都有 （1） 由a ≠0，且a
a ·b =0．
·b =b ·c 不能推出a =c ，·b =b ·c ，（2） 由a 例如，当a =0且b ⊥c 时，a 但不能推出a =c ． （3） 平面向量的数量积不满足结合律，即(a 因为前者表示与c ·b ) c 与a (b ·c ) 不一定相等，
共线的向量，后者表示与a 共线的向量，而c 与a 不一定共线．
，cos θ=（4） 由a ，
b 为非零向量时，a =a ·b a b
·b =0⇔a ⊥b ，可知平面向量 及a
的数量积可用来处理有关长度、角度、垂直等等问题．
3．
四、平面向量的应用
1．向量是数学中证明几何命题
的有效工具之一，根据平面向量基本定理，任一平面直线型图形中的线段都可以表示为某些向量的线性组合，这样在证明几何命题时，可先把已知和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算就很容易得出结论．一般 地，利用实数与向量的积可证明共
线、平行、长度等问题；利用数量积可解决长度、角度、垂直等问题．
2．平面向量的应用，体现在高考中主要是在几何中的应用，由于平面向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何中的许多性质，如平移、全等、相似、长度（距离）、夹角等都可以用向量的线性运算及数量积表示出来，因此，可用向量的语言和方法来表述和解决几何中的一些问题．
3．用向量的方法解决几何问题时，首先要用向量表示相应的点、线段、夹角等几何元素，然后通过向量的运算，特别是数量积运算来研究点、线段等元素之间的关系，最后把运算结果“翻译”成几何关系，得到几何问题的结论．