高中数学第四章-三角函数
考试内容：
角的概念的推广．弧度制．
任意角的三角函数．单位圆中的三角函数线．同角三角函数的基本关系式. 正弦、余弦的诱导公式． 两角和与差的正弦、余弦、正切．二倍角的正弦、余弦、正切．
正弦函数、余弦函数的图像和性质．周期函数．函数y=Asin(ωx+φ) 的图像．正切函数的图像和性质．已知三角函数值求角．
正弦定理．余弦定理．斜三角形解法．
考试要求：
（1）理解任意角的概念、弧度的意义能正确地进行弧度与角度的换算．
（2）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义；了解余切、正割、余割的定义；掌握同角三角函数的基本关系式；掌握正弦、余弦的诱导公式；了解周期函数与最小正周期的意义．
（3）掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式． （4）能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明．
（5）理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(ωx+φ) 的简图，理解A. ω、φ的物理意义．
（6）会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinx\arc-cosx\arctanx表示． （7）掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形． （8）“同角三角函数基本关系式：sin2α+cos2α=1，sin α/cosα=tanα,tan α•cos α=1”．
§04. 三角函数 知识要点
1. ①与α（0°≤α＜360°）终边相同的角的集合（角α与角β的终边重合）：β|β=k ⨯360 +α, k ∈Z
{}
②终边在x 轴上的角的集合： β|β=k ⨯180, k ∈Z ③终边在y 轴上的角的集合：β|β=k ⨯180+90, k ∈Z ④终边在坐标轴上的角的集合：β|β=k ⨯90 , k ∈Z ⑤终边在y =x 轴上的角的集合：β|β=k ⨯180 +45 , k ∈Z ⑥终边在y =-x 轴上的角的集合：β|β=k ⨯180 -45 , k ∈Z
{
}
{
}
{}
{}
{}
SIN \COS 1、2、3、4表示第一、二、三、四象限一半所在区域
⑦若角α与角β的终边关于x 轴对称，则角α与角β的关系：α=360 k -β ⑧若角α与角β的终边关于y 轴对称，则角α与角β的关系：α=360 k +180 -β ⑨若角α与角β的终边在一条直线上，则角α与角β的关系：α=180 k +β ⑩角α与角β的终边互相垂直，则角α与角β的关系：α=360 k +β±90 2. 角度与弧度的互换关系：360°=2π 180°=π 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′ 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.
、弧度与角度互换公式： 1rad ＝180°≈57.30°=57°18ˊ． 1°＝π≈0.01745（rad ）
π
180
3、弧长公式：l =|α|⋅r . 扇形面积公式：s 扇形=
11
lr =|α|⋅r 2 22
4、三角函数：设α是一个任意角，在α的终边上任取（异于（x,y ）P 与原点的距离为r ，则 sin α=y ；
cos α=r r r x
cot α=； sec α=；. csc α=.
x y y
原点的）一点P
tan α=
y
x
；
5、三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦）
正弦、余割
余弦、正割
正切、余切
6、三角函数线
正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线： AT.
7. 三角函数的定义域：
16. 几个重要结论:(3) 若 o
2
cos α
c o s α
=c o t αs i n α
8、同角三角函数的基本关系式：sin α=tan α
α⋅c o s α=1 tan α⋅cot α=1 csc α⋅sin α=1 s e c
sin 2α+cos 2α=1 sec 2α-tan 2α=1 csc 2α-cot 2α=1
9、诱导公式：
把
k π ±α的三角函数化为α的三角函数，概括为：
2
“奇变偶不变，符号看象限” 三角函数的公式：（一）基本关系
公式组一公式组二 公式组三
sin x sin(2k π+x ) =sin x s i n -(x ) =-s i n x sin x ·csc x =1tan x =sin 2x +cos2x =1cos x
cos(2k π+x ) =cos x c o s -(x ) =c o s x
cos x 2 2
cos x ·sec x =1x =sin x
1+tanx =secx tan(2k π+x ) =tan x t a n -(x ) =-t a n x tan x ·cot x =1 1+cot2x =csc2x cot(2k π+x ) =cot x c o t -(x ) =-c o x t
公式组四 公式组五 公式组六 sin(π+x ) =-sin x s i n 2π(-x ) =-s i n x s i n π(-x ) =s i n x cos(π+x ) =-cos x c o s 2π(-x ) =c o s x c o s πtan(π+x ) =tan x t a n 2π(-x ) =-t a n x (-x ) =-c o s x
t a n π(-x ) =-t a n x
cot(π+x ) =cot x c o t 2π(-x ) =-c o x t c o πt (-x ) =-c o x t （二）角与角之间的互换
公式组一 公式组二
cos(α+β) =cos αcos β-sin αsin β s i n
2α=2s i n αc o αs cos(α-β) =cos αcos β+sin αsin β c o s 2
α=c o 2s α-s i 2n α=2c o 2s α-1=1-2s i 2n α sin(α+β) =sin αcos β+cos αsin β tan 2α=
2tan α1-tan 2
α
sin(α-β) =sin αcos β-cos αsin β s i α
=±-c o αs
2
2
tan(α+β) =
tan α+tan β1-tan αtan β cos α2=±1+cos α
2
tan(α-β) =
tan α-tan β1+tan αtan β tan α-cos αsin α1-cos α
2=±1+cos α=1+cos α=
sin α
公式组三 公式组四 公式组五
2tan
αsin αcos β=1
2[sin (α+β)+sin (α-β)]cos(1π-αsin α=2 cos αsin β=1[sin (α+β)-sin (α-2) =sin α1+tan 2α2β)]
12sin(βπ-α) =cos αcos =12cos α2
[cos (α+β)+cos (α-β)]
1-tan
2αcos α=
21tan(1π-α) =cot α sin αsin β=-2[cos (α+β)-cos (α-β)]21+tan 22sin α+sin β=2sin α+βcos α-βcos(1π+α) =-sin α2tan
αsin α-sin β=2cos α2+βα2-β
2
2sin 2tan(1π+α) =tan α=
cos α+cos β=2cos α+βcos α-β2-cot α1-tan 2α2cos α-cos β=-2sin α2+βα2-βsin(1π+α) =cos α2sin 2
2sin 15 =cos 75 =
6-2, 6+2, tan 15 =cot 75 =2-, tan 75 =cot 15 =24
sin 75 =cos 15 =4
+3.
10. 正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质：
y =f (x ) 在[a , b ]上递增（减），则y =-f (x ) 在[a , b ]上递减（增）.
②y =sin x 与y =cos x 的周期是π.
ωx +ϕ) 或y =cos(ωx +ϕ) （ω≠0）的周期T =③y =sin(
2π
.
x
y =tan 的周期为2π（T =π⇒T =2π，如图，翻折无效）.
2ωx +ϕ) 的对称轴方程是x =k π+④y =sin(
π
2
(c s （k ∈Z ），对称中心（k π, 0）；y =o ωx +ϕ) 的对称轴方程是
x =k π（k ∈Z ），对称中心（k π+1π, 0）；
2
y =a n t (ωx +ϕ) 的对称中心（
π
2
k π
, 0）. 2
(k ∈Z ) .
y =cos 2x −原点对称−−−→y =-cos(-2x ) =-cos 2x
tan β=1, α+β=k π+⑤当tan α·
π
2
tan β=-1, α-β=k π+(k ∈Z ) ；tan α·
π⎫⑥y =cos x 与y =sin ⎛ x ++2k π⎪是同一函数, 而y =(ωx +ϕ) 是偶函数，则
2⎝⎭
1
y =(ωx +ϕ) =sin(ωx +k π+π) =±cos(ωx ) .
2
⑦函数y =tan x 在R 上为增函数. （×） [只能在某个单调区间单调递增. 若在整个定义域，y =tan x 为增
函数，同样也是错误的].
⑧定义域关于原点对称是f (x ) 具有奇偶性的必要不充分条件. （奇偶性的两个条件：一是定义域关于原点对称（奇偶都要），二是满足奇偶性条件，偶函数：f (-x ) =f (x ) ，奇函数：f (-x ) =-f (x ) ） 1
奇偶性的单调性：奇同偶反. 例如：y =tan x 是奇函数，y =tan(x +π) 是非奇非偶. （定义域不关于原点
3对称）
奇函数特有性质：若0∈x 的定义域，则f (x ) 一定有f (0) =0. （0∉x 的定义域，则无此性质）
⑨y =sin x 不是周期函数；y =sin x 为周期函数（T =π）
；y =cos x 为周期函数（T =y =x 是周期函数（如图）
1，并非所有周期函数都有最小正周期，例如： y =cos 2x +的周期为π（如图）
2
y =|c o 2s x +21/|图象
y =f (x ) =5=f (x +k ), k ∈R .
⑩y =a cos α+b sin β=a 2+b 2sin(α+ϕ) +cos ϕ=
11、三角函数图象的作法： １）、几何法：
b
有a 2+b 2≥y . a
２）、描点法及其特例——五点作图法（正、余弦曲线），三点二线作图法（正、余切曲线）. ３）、利用图象变换作三角函数图象．
三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等．
函数y ＝Asin （ωx ＋φ）的振幅|A|，周期T =2π，频率f =1=|ω|，相位ωx +ϕ; 初相ϕ（即当x ＝0
|ω|
T
2π
时的相位）．（当A ＞0，ω＞0 时以上公式可去绝对值符号），
由y ＝sinx 的图象上的点的横坐标保持不变，纵坐标伸长（当|A|＞1）或缩短（当0＜|A|＜1）到原来的|A|倍，得到y ＝Asinx 的图象，叫做振幅变换或叫沿y 轴的伸缩变换．（用y/A替换y ）
由y ＝sinx 的图象上的点的纵坐标保持不变，横坐标伸长（0＜|ω|＜1）或缩短（|ω|＞1）到原来的|1|
ω
倍，得到y ＝sin ω x 的图象，叫做周期变换或叫做沿x 轴的伸缩变换．(用ωx 替换x)
由y ＝sinx 的图象上所有的点向左（当φ＞0）或向右（当φ＜0）平行移动｜φ｜个单位，得到y ＝sin （x ＋φ）的图象，叫做相位变换或叫做沿x 轴方向的平移．(用x ＋φ替换x)
由y ＝sinx 的图象上所有的点向上（当b ＞0）或向下（当b ＜0）平行移动｜b ｜个单位，得到y ＝sinx ＋b 的图象叫做沿y 轴方向的平移．（用y+(-b)替换y ）
由y ＝sinx 的图象利用图象变换作函数y ＝Asin （ωx ＋φ）（A ＞0，ω＞0）（x ∈R ）的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象延x 轴量伸缩量的区别。 4、反三角函数：
函数y ＝sin x ，记作y ＝arcsin x ，它的定义域是［－1，1］，值域是⎡－π π⎤．⎛⎡ππ⎤⎫的反函数叫做反正弦函数， x ∈-⎪
⎝
⎪⎢⎣22⎥⎦⎭
⎢
⎣
22⎥⎦
函数y ＝cos x ，（x ∈［0，π］）的反应函数叫做反余弦函数，记作y ＝arccos x ，它的定义域是［－1，1］，
值域是［0，π］．
函数y ＝tan x ，⎛值域是⎛-ππ⎫．
⎝⎪22⎭
⎛ππ⎫⎫的反函数叫做反正切函数，记作 ⎪⎪ x ∈ -22⎭⎪⎝⎝⎭
y ＝arctan x ，它的定义域是（－∞，＋∞），
函数y ＝ctg x ，［x ∈（0，π）］的反函数叫做反余切函数，记作y ＝arcctg x ，它的定义域是（－∞，＋∞），值域是（0，π）．
II. 竞赛知识要点
一、反三角函数.
1. 反三角函数：⑪反正弦函数y =arcsin x 是奇函数，故arcsin(-x ) =-arcsin x ，x ∈[-1, 1]（一定要注明定义域，若x ∈(-∞, +∞)，没有x 与y 一一对应，故y =sin x 无反函数）
注：sin(arcsinx ) =x ，x ∈[-1, 1]，arcsin x ∈⎡-π, π⎤.
⎢22⎥⎣⎦
⑫反余弦函数y =arccos x 非奇非偶，但有arccos(-x ) +arccos(x ) =π+2k π，x ∈[-1, 1]. 注：①cos(arccosx ) =x ，x ∈[-1, 1]，arccos x ∈[0, π].
②y =cos x 是偶函数，y =arccos x 非奇非偶，而y =sin x 和y =arcsin x 为奇函数. ⑬反正切函数：y =arctan x ，定义域(-∞, +∞) ，值域（-
arctan(-x ) =-arctan x ，x ∈(-∞, +∞) .
ππ
22,
），y =n a t c r a x 是奇函数，
注：tan(arctanx ) =x ，x ∈(-∞, +∞) .
⑭反余切函数：y =arc cot x ，定义域(-∞, +∞) ，值域（-
ππ
a r o t c ，y =c , ）
22
x 是非奇非偶.
arc cot(-x ) +arc cot(x ) =π+2k π，x ∈(-∞, +∞) . 注：①cot(arc cot x ) =x ，x ∈(-∞, +∞) .
1-x ) 互为奇函数，y =arctan x 同理为奇而y =arccos x 与y =arc cot x 非奇非偶但满②y =arcsin x 与y =arcsin(
足arccos(-x ) +arccos x =π+2k π, x ∈[-1, 1]arc cot x +arc cot(-x ) =π+2k π, x ∈[-1, 1].
⑫ 正弦、余弦、正切、余切函数的解集：
a 的取值范围 解集 a 的取值范围 解集 ①sin x =a 的解集 ②cos x =a 的解集
a
＞1 ∅ =1 {x |x =2k π+arcsin a , k ∈Z } ＜1 x |x =k π+(-1)k arcsin a , k ∈Z
a
a
＞1 ∅
a
=1 {x |x =2k π+arccos a , k ∈Z }
a
{}
a
＜1 {x |x =k π±arccos a , k ∈Z }
③tan x =a 的解集：{x |x =k π+arctan a , k ∈Z } ③c o x t =a 的解集：{x |x =k π+arc c o a t , k ∈Z } 二、三角恒等式.
sin 2n +1α组一 n
cos αcos 2αcos 4α... cos 2α=n +1
2sin α
sin 3α=3sin α-4sin 3αcos 3α=4cos 3α-3cos α
sin 2α-sin 2β=sin (α+β)sin (α-β)=cos 2β-cos 2α
组二
∏n
cos α
k
=cos
α
cos
α
k =1
2
2
4
cos
α
8
cos
α
2
n
=
sin α2n sin
2n
∑
n
cos(x +kd ) =cos x +cos(x +d ) + +cos(x +nd ) =
sin((n +1) d ) cos(x +nd ) k =0sin d
∑n
sin(x +kd ) =sin x +sin(x +d ) + +sin(x +nd ) =
sin((n +1) d ) sin(x +nd )
k =0
sin d
tan(α+β+γ) =
tan α+tan β+tan γ-tan αtan βtan γ
1-tan αtan β-tan βtan γ-tan γtan α
组三 三角函数不等式
sin x ＜x ＜tan x , x ∈(0,
π
2
) f (x ) =
sin x
x
在(0, π) 上是减函数 若A +B +C =π，则x 2+y 2+z 2≥2yz cos A +2xz cos B +2xy cos C
高中数学第四章-三角函数
考试内容：
角的概念的推广．弧度制．
任意角的三角函数．单位圆中的三角函数线．同角三角函数的基本关系式. 正弦、余弦的诱导公式． 两角和与差的正弦、余弦、正切．二倍角的正弦、余弦、正切．
正弦函数、余弦函数的图像和性质．周期函数．函数y=Asin(ωx+φ) 的图像．正切函数的图像和性质．已知三角函数值求角．
正弦定理．余弦定理．斜三角形解法．
考试要求：
（1）理解任意角的概念、弧度的意义能正确地进行弧度与角度的换算．
（2）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义；了解余切、正割、余割的定义；掌握同角三角函数的基本关系式；掌握正弦、余弦的诱导公式；了解周期函数与最小正周期的意义．
（3）掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式． （4）能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明．
（5）理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(ωx+φ) 的简图，理解A. ω、φ的物理意义．
（6）会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinx\arc-cosx\arctanx表示． （7）掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形． （8）“同角三角函数基本关系式：sin2α+cos2α=1，sin α/cosα=tanα,tan α•cos α=1”．
§04. 三角函数 知识要点
1. ①与α（0°≤α＜360°）终边相同的角的集合（角α与角β的终边重合）：β|β=k ⨯360 +α, k ∈Z
{}
②终边在x 轴上的角的集合： β|β=k ⨯180, k ∈Z ③终边在y 轴上的角的集合：β|β=k ⨯180+90, k ∈Z ④终边在坐标轴上的角的集合：β|β=k ⨯90 , k ∈Z ⑤终边在y =x 轴上的角的集合：β|β=k ⨯180 +45 , k ∈Z ⑥终边在y =-x 轴上的角的集合：β|β=k ⨯180 -45 , k ∈Z
{
}
{
}
{}
{}
{}
SIN \COS 1、2、3、4表示第一、二、三、四象限一半所在区域
⑦若角α与角β的终边关于x 轴对称，则角α与角β的关系：α=360 k -β ⑧若角α与角β的终边关于y 轴对称，则角α与角β的关系：α=360 k +180 -β ⑨若角α与角β的终边在一条直线上，则角α与角β的关系：α=180 k +β ⑩角α与角β的终边互相垂直，则角α与角β的关系：α=360 k +β±90 2. 角度与弧度的互换关系：360°=2π 180°=π 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′ 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.
、弧度与角度互换公式： 1rad ＝180°≈57.30°=57°18ˊ． 1°＝π≈0.01745（rad ）
π
180
3、弧长公式：l =|α|⋅r . 扇形面积公式：s 扇形=
11
lr =|α|⋅r 2 22
4、三角函数：设α是一个任意角，在α的终边上任取（异于（x,y ）P 与原点的距离为r ，则 sin α=y ；
cos α=r r r x
cot α=； sec α=；. csc α=.
x y y
原点的）一点P
tan α=
y
x
；
5、三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦）
正弦、余割
余弦、正割
正切、余切
6、三角函数线
正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线： AT.
7. 三角函数的定义域：
16. 几个重要结论:(3) 若 o
2
cos α
c o s α
=c o t αs i n α
8、同角三角函数的基本关系式：sin α=tan α
α⋅c o s α=1 tan α⋅cot α=1 csc α⋅sin α=1 s e c
sin 2α+cos 2α=1 sec 2α-tan 2α=1 csc 2α-cot 2α=1
9、诱导公式：
把
k π ±α的三角函数化为α的三角函数，概括为：
2
“奇变偶不变，符号看象限” 三角函数的公式：（一）基本关系
公式组一公式组二 公式组三
sin x sin(2k π+x ) =sin x s i n -(x ) =-s i n x sin x ·csc x =1tan x =sin 2x +cos2x =1cos x
cos(2k π+x ) =cos x c o s -(x ) =c o s x
cos x 2 2
cos x ·sec x =1x =sin x
1+tanx =secx tan(2k π+x ) =tan x t a n -(x ) =-t a n x tan x ·cot x =1 1+cot2x =csc2x cot(2k π+x ) =cot x c o t -(x ) =-c o x t
公式组四 公式组五 公式组六 sin(π+x ) =-sin x s i n 2π(-x ) =-s i n x s i n π(-x ) =s i n x cos(π+x ) =-cos x c o s 2π(-x ) =c o s x c o s πtan(π+x ) =tan x t a n 2π(-x ) =-t a n x (-x ) =-c o s x
t a n π(-x ) =-t a n x
cot(π+x ) =cot x c o t 2π(-x ) =-c o x t c o πt (-x ) =-c o x t （二）角与角之间的互换
公式组一 公式组二
cos(α+β) =cos αcos β-sin αsin β s i n
2α=2s i n αc o αs cos(α-β) =cos αcos β+sin αsin β c o s 2
α=c o 2s α-s i 2n α=2c o 2s α-1=1-2s i 2n α sin(α+β) =sin αcos β+cos αsin β tan 2α=
2tan α1-tan 2
α
sin(α-β) =sin αcos β-cos αsin β s i α
=±-c o αs
2
2
tan(α+β) =
tan α+tan β1-tan αtan β cos α2=±1+cos α
2
tan(α-β) =
tan α-tan β1+tan αtan β tan α-cos αsin α1-cos α
2=±1+cos α=1+cos α=
sin α
公式组三 公式组四 公式组五
2tan
αsin αcos β=1
2[sin (α+β)+sin (α-β)]cos(1π-αsin α=2 cos αsin β=1[sin (α+β)-sin (α-2) =sin α1+tan 2α2β)]
12sin(βπ-α) =cos αcos =12cos α2
[cos (α+β)+cos (α-β)]
1-tan
2αcos α=
21tan(1π-α) =cot α sin αsin β=-2[cos (α+β)-cos (α-β)]21+tan 22sin α+sin β=2sin α+βcos α-βcos(1π+α) =-sin α2tan
αsin α-sin β=2cos α2+βα2-β
2
2sin 2tan(1π+α) =tan α=
cos α+cos β=2cos α+βcos α-β2-cot α1-tan 2α2cos α-cos β=-2sin α2+βα2-βsin(1π+α) =cos α2sin 2
2sin 15 =cos 75 =
6-2, 6+2, tan 15 =cot 75 =2-, tan 75 =cot 15 =24
sin 75 =cos 15 =4
+3.
10. 正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质：
y =f (x ) 在[a , b ]上递增（减），则y =-f (x ) 在[a , b ]上递减（增）.
②y =sin x 与y =cos x 的周期是π.
ωx +ϕ) 或y =cos(ωx +ϕ) （ω≠0）的周期T =③y =sin(
2π
.
x
y =tan 的周期为2π（T =π⇒T =2π，如图，翻折无效）.
2ωx +ϕ) 的对称轴方程是x =k π+④y =sin(
π
2
(c s （k ∈Z ），对称中心（k π, 0）；y =o ωx +ϕ) 的对称轴方程是
x =k π（k ∈Z ），对称中心（k π+1π, 0）；
2
y =a n t (ωx +ϕ) 的对称中心（
π
2
k π
, 0）. 2
(k ∈Z ) .
y =cos 2x −原点对称−−−→y =-cos(-2x ) =-cos 2x
tan β=1, α+β=k π+⑤当tan α·
π
2
tan β=-1, α-β=k π+(k ∈Z ) ；tan α·
π⎫⑥y =cos x 与y =sin ⎛ x ++2k π⎪是同一函数, 而y =(ωx +ϕ) 是偶函数，则
2⎝⎭
1
y =(ωx +ϕ) =sin(ωx +k π+π) =±cos(ωx ) .
2
⑦函数y =tan x 在R 上为增函数. （×） [只能在某个单调区间单调递增. 若在整个定义域，y =tan x 为增
函数，同样也是错误的].
⑧定义域关于原点对称是f (x ) 具有奇偶性的必要不充分条件. （奇偶性的两个条件：一是定义域关于原点对称（奇偶都要），二是满足奇偶性条件，偶函数：f (-x ) =f (x ) ，奇函数：f (-x ) =-f (x ) ） 1
奇偶性的单调性：奇同偶反. 例如：y =tan x 是奇函数，y =tan(x +π) 是非奇非偶. （定义域不关于原点
3对称）
奇函数特有性质：若0∈x 的定义域，则f (x ) 一定有f (0) =0. （0∉x 的定义域，则无此性质）
⑨y =sin x 不是周期函数；y =sin x 为周期函数（T =π）
；y =cos x 为周期函数（T =y =x 是周期函数（如图）
1，并非所有周期函数都有最小正周期，例如： y =cos 2x +的周期为π（如图）
2
y =|c o 2s x +21/|图象
y =f (x ) =5=f (x +k ), k ∈R .
⑩y =a cos α+b sin β=a 2+b 2sin(α+ϕ) +cos ϕ=
11、三角函数图象的作法： １）、几何法：
b
有a 2+b 2≥y . a
２）、描点法及其特例——五点作图法（正、余弦曲线），三点二线作图法（正、余切曲线）. ３）、利用图象变换作三角函数图象．
三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等．
函数y ＝Asin （ωx ＋φ）的振幅|A|，周期T =2π，频率f =1=|ω|，相位ωx +ϕ; 初相ϕ（即当x ＝0
|ω|
T
2π
时的相位）．（当A ＞0，ω＞0 时以上公式可去绝对值符号），
由y ＝sinx 的图象上的点的横坐标保持不变，纵坐标伸长（当|A|＞1）或缩短（当0＜|A|＜1）到原来的|A|倍，得到y ＝Asinx 的图象，叫做振幅变换或叫沿y 轴的伸缩变换．（用y/A替换y ）
由y ＝sinx 的图象上的点的纵坐标保持不变，横坐标伸长（0＜|ω|＜1）或缩短（|ω|＞1）到原来的|1|
ω
倍，得到y ＝sin ω x 的图象，叫做周期变换或叫做沿x 轴的伸缩变换．(用ωx 替换x)
由y ＝sinx 的图象上所有的点向左（当φ＞0）或向右（当φ＜0）平行移动｜φ｜个单位，得到y ＝sin （x ＋φ）的图象，叫做相位变换或叫做沿x 轴方向的平移．(用x ＋φ替换x)
由y ＝sinx 的图象上所有的点向上（当b ＞0）或向下（当b ＜0）平行移动｜b ｜个单位，得到y ＝sinx ＋b 的图象叫做沿y 轴方向的平移．（用y+(-b)替换y ）
由y ＝sinx 的图象利用图象变换作函数y ＝Asin （ωx ＋φ）（A ＞0，ω＞0）（x ∈R ）的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象延x 轴量伸缩量的区别。 4、反三角函数：
函数y ＝sin x ，记作y ＝arcsin x ，它的定义域是［－1，1］，值域是⎡－π π⎤．⎛⎡ππ⎤⎫的反函数叫做反正弦函数， x ∈-⎪
⎝
⎪⎢⎣22⎥⎦⎭
⎢
⎣
22⎥⎦
函数y ＝cos x ，（x ∈［0，π］）的反应函数叫做反余弦函数，记作y ＝arccos x ，它的定义域是［－1，1］，
值域是［0，π］．
函数y ＝tan x ，⎛值域是⎛-ππ⎫．
⎝⎪22⎭
⎛ππ⎫⎫的反函数叫做反正切函数，记作 ⎪⎪ x ∈ -22⎭⎪⎝⎝⎭
y ＝arctan x ，它的定义域是（－∞，＋∞），
函数y ＝ctg x ，［x ∈（0，π）］的反函数叫做反余切函数，记作y ＝arcctg x ，它的定义域是（－∞，＋∞），值域是（0，π）．
II. 竞赛知识要点
一、反三角函数.
1. 反三角函数：⑪反正弦函数y =arcsin x 是奇函数，故arcsin(-x ) =-arcsin x ，x ∈[-1, 1]（一定要注明定义域，若x ∈(-∞, +∞)，没有x 与y 一一对应，故y =sin x 无反函数）
注：sin(arcsinx ) =x ，x ∈[-1, 1]，arcsin x ∈⎡-π, π⎤.
⎢22⎥⎣⎦
⑫反余弦函数y =arccos x 非奇非偶，但有arccos(-x ) +arccos(x ) =π+2k π，x ∈[-1, 1]. 注：①cos(arccosx ) =x ，x ∈[-1, 1]，arccos x ∈[0, π].
②y =cos x 是偶函数，y =arccos x 非奇非偶，而y =sin x 和y =arcsin x 为奇函数. ⑬反正切函数：y =arctan x ，定义域(-∞, +∞) ，值域（-
arctan(-x ) =-arctan x ，x ∈(-∞, +∞) .
ππ
22,
），y =n a t c r a x 是奇函数，
注：tan(arctanx ) =x ，x ∈(-∞, +∞) .
⑭反余切函数：y =arc cot x ，定义域(-∞, +∞) ，值域（-
ππ
a r o t c ，y =c , ）
22
x 是非奇非偶.
arc cot(-x ) +arc cot(x ) =π+2k π，x ∈(-∞, +∞) . 注：①cot(arc cot x ) =x ，x ∈(-∞, +∞) .
1-x ) 互为奇函数，y =arctan x 同理为奇而y =arccos x 与y =arc cot x 非奇非偶但满②y =arcsin x 与y =arcsin(
足arccos(-x ) +arccos x =π+2k π, x ∈[-1, 1]arc cot x +arc cot(-x ) =π+2k π, x ∈[-1, 1].
⑫ 正弦、余弦、正切、余切函数的解集：
a 的取值范围 解集 a 的取值范围 解集 ①sin x =a 的解集 ②cos x =a 的解集
a
＞1 ∅ =1 {x |x =2k π+arcsin a , k ∈Z } ＜1 x |x =k π+(-1)k arcsin a , k ∈Z
a
a
＞1 ∅
a
=1 {x |x =2k π+arccos a , k ∈Z }
a
{}
a
＜1 {x |x =k π±arccos a , k ∈Z }
③tan x =a 的解集：{x |x =k π+arctan a , k ∈Z } ③c o x t =a 的解集：{x |x =k π+arc c o a t , k ∈Z } 二、三角恒等式.
sin 2n +1α组一 n
cos αcos 2αcos 4α... cos 2α=n +1
2sin α
sin 3α=3sin α-4sin 3αcos 3α=4cos 3α-3cos α
sin 2α-sin 2β=sin (α+β)sin (α-β)=cos 2β-cos 2α
组二
∏n
cos α
k
=cos
α
cos
α
k =1
2
2
4
cos
α
8
cos
α
2
n
=
sin α2n sin
2n
∑
n
cos(x +kd ) =cos x +cos(x +d ) + +cos(x +nd ) =
sin((n +1) d ) cos(x +nd ) k =0sin d
∑n
sin(x +kd ) =sin x +sin(x +d ) + +sin(x +nd ) =
sin((n +1) d ) sin(x +nd )
k =0
sin d
tan(α+β+γ) =
tan α+tan β+tan γ-tan αtan βtan γ
1-tan αtan β-tan βtan γ-tan γtan α
组三 三角函数不等式
sin x ＜x ＜tan x , x ∈(0,
π
2
) f (x ) =
sin x
x
在(0, π) 上是减函数 若A +B +C =π，则x 2+y 2+z 2≥2yz cos A +2xz cos B +2xy cos C