第24课 利用导数研究函数的单调性
一、考纲要求：
(1)了解函数的单调性和导数的关系
(2)能利用导数研究函数的单调性
(3)会求函数的单调区间（对多项式函数一般不超过三次）
二、知识结构：
1、函数的单调性
函数y =f (x ) 在某个区间(a , b ) 内可导
①函数的单调性的充分条件
若f '(x ) >0，则f (x ) 为增函数；
若f '(x )
②函数的单调性的必要条件
若f (x ) 为增函数，则f '(x ) ≥0；
若f (x ) 为减函数，则f '(x ) ≤0。
2、求可导函数单调区间的步骤：
①求
②令
令f '(x ) f '(x ) >0解不等式，得x 的范围，就是递增区间。 f '(x )
3、由函数的单调性，求参数的范围的步骤： ①求f '(x )
②若f (x ) 为增函数时，令f '(x ) ≥0恒成立，解出参数的取值范围。
若f (x ) 为减函数时，令f '(x ) ≤0恒成立，解出参数的取值范围。
③检验参数的取值能否使f '(x ) 恒等于0, 若能恒等于0, 则这个参数值应舍去。
【解析】：函数f (x ) 在区间上的增减性并不排斥在该区间内个别点x 0处有f '(x 0) =0, 甚至可以在无穷多个点处f '(x 0) =0, 但是这样的点不能充满所给区间的任何子区
间。因此在已知f (x ) 是增函数（或减函数）求参数的取值范围时，应令f '(x ) ≥0(或f '(x ) ≤0) 恒成立，解出参数的取值范围，然后检验参数的取值能否f '(x ) 恒等于0，若能恒等于0，则参数的这个值应舍去；若f '(x ) 不恒为0，则解出的参数的取值范围为所求。
三、考点分析与典型例题：
例1、 如果函数
y =f (x )
那么导函数y =f '(x ) B A
D C 练习：
1、《学案》P49变式1
2、函数f (x ) 的定义域为开区 间(a , b ) ，导函数f '(x ) 在(a , b ) 内的图象如图所示，则函数f (在开区间(a , b ) A ．4个 B．3个 C．2个 D． 1个
考点二：求不含参数的函数的单调区间 例2、求函数f (x ) =ln x -2x 的单调区间
练习:
1的单调递增区间是（ ） x
11A. (0, +∞) B. (, +∞) C. (-∞, -1) D. (-∞, -) 221、函数y =4x 2+
2、函数f (x ) =ln(x 2-x -2) 的单调递增区间是_________
3、函数f (x ) =x 3-ax 的减区间为(-1,1) ，则a 的值是_____
考点三：求含参数的函数的单调区间 例3、设函数f (x )=ax －(a +1)ln(x +1)，其中a ≥－1，求f (x ) 的单调区间。
练习:
变式1：设函数f (x ) =2x 3-3(a -1) x 2+1, 其中a ≥1. 求f (x ) 的单调区间。
变式2：若变式1改为a ∈R 呢？则需分几种情况讨论。
考点四：由函数的单调性求参数的取值范围 例4、(《学案》P50例3)
1已知函数f (x ) =x 3-ax 2+bx .(a , b ∈R ) 3
(1)若f '(0)=f '(2)=1，求函数f (x ) 的解析式；
(2)若b =a +2，且f (x ) 在区间(0,1)上单调递增，求实数a 的取值范围。
练习:
变式1: 函数f (x )=kx 3-x 在R 内是减函数，则k 的取值范围是_________
2变式2：已知函数f (x ) =x +2+a ln x (x >0), 若f (x ) 在x
[1,+∞) 上单调递增，求a 的取值范围。
四、归纳反思：《学案》P50
五、课后作业：《课时作业》P233 1-6
参考答案
考点三：
例3、
当-1≤a ≤0时，函数f (x ) 在(-1, +∞) 上单调递减.
当a >0时，函数f (x ) 在(-1, ) 上单调递减，函数f (x ) 在1
a
1(, +∞) 上单调递增. a
变式：
（1）当a =1时，f ' (x ) =6x 2，f (x ) 在(-∞, +∞) 上单调递增
（2）当a >1时，
f (x ) 在(-∞,0) 上单调递增；
在(0,a -1) 上单调递减；
在(a -1, +∞) 上单调递增.
考点四
变式2：a ≥0
第24课 利用导数研究函数的单调性
一、考纲要求：
(1)了解函数的单调性和导数的关系
(2)能利用导数研究函数的单调性
(3)会求函数的单调区间（对多项式函数一般不超过三次）
二、知识结构：
1、函数的单调性
函数y =f (x ) 在某个区间(a , b ) 内可导
①函数的单调性的充分条件
若f '(x ) >0，则f (x ) 为增函数；
若f '(x )
②函数的单调性的必要条件
若f (x ) 为增函数，则f '(x ) ≥0；
若f (x ) 为减函数，则f '(x ) ≤0。
2、求可导函数单调区间的步骤：
①求
②令
令f '(x ) f '(x ) >0解不等式，得x 的范围，就是递增区间。 f '(x )
3、由函数的单调性，求参数的范围的步骤： ①求f '(x )
②若f (x ) 为增函数时，令f '(x ) ≥0恒成立，解出参数的取值范围。
若f (x ) 为减函数时，令f '(x ) ≤0恒成立，解出参数的取值范围。
③检验参数的取值能否使f '(x ) 恒等于0, 若能恒等于0, 则这个参数值应舍去。
【解析】：函数f (x ) 在区间上的增减性并不排斥在该区间内个别点x 0处有f '(x 0) =0, 甚至可以在无穷多个点处f '(x 0) =0, 但是这样的点不能充满所给区间的任何子区
间。因此在已知f (x ) 是增函数（或减函数）求参数的取值范围时，应令f '(x ) ≥0(或f '(x ) ≤0) 恒成立，解出参数的取值范围，然后检验参数的取值能否f '(x ) 恒等于0，若能恒等于0，则参数的这个值应舍去；若f '(x ) 不恒为0，则解出的参数的取值范围为所求。
三、考点分析与典型例题：
例1、 如果函数
y =f (x )
那么导函数y =f '(x ) B A
D C 练习：
1、《学案》P49变式1
2、函数f (x ) 的定义域为开区 间(a , b ) ，导函数f '(x ) 在(a , b ) 内的图象如图所示，则函数f (在开区间(a , b ) A ．4个 B．3个 C．2个 D． 1个
考点二：求不含参数的函数的单调区间 例2、求函数f (x ) =ln x -2x 的单调区间
练习:
1的单调递增区间是（ ） x
11A. (0, +∞) B. (, +∞) C. (-∞, -1) D. (-∞, -) 221、函数y =4x 2+
2、函数f (x ) =ln(x 2-x -2) 的单调递增区间是_________
3、函数f (x ) =x 3-ax 的减区间为(-1,1) ，则a 的值是_____
考点三：求含参数的函数的单调区间 例3、设函数f (x )=ax －(a +1)ln(x +1)，其中a ≥－1，求f (x ) 的单调区间。
练习:
变式1：设函数f (x ) =2x 3-3(a -1) x 2+1, 其中a ≥1. 求f (x ) 的单调区间。
变式2：若变式1改为a ∈R 呢？则需分几种情况讨论。
考点四：由函数的单调性求参数的取值范围 例4、(《学案》P50例3)
1已知函数f (x ) =x 3-ax 2+bx .(a , b ∈R ) 3
(1)若f '(0)=f '(2)=1，求函数f (x ) 的解析式；
(2)若b =a +2，且f (x ) 在区间(0,1)上单调递增，求实数a 的取值范围。
练习:
变式1: 函数f (x )=kx 3-x 在R 内是减函数，则k 的取值范围是_________
2变式2：已知函数f (x ) =x +2+a ln x (x >0), 若f (x ) 在x
[1,+∞) 上单调递增，求a 的取值范围。
四、归纳反思：《学案》P50
五、课后作业：《课时作业》P233 1-6
参考答案
考点三：
例3、
当-1≤a ≤0时，函数f (x ) 在(-1, +∞) 上单调递减.
当a >0时，函数f (x ) 在(-1, ) 上单调递减，函数f (x ) 在1
a
1(, +∞) 上单调递增. a
变式：
（1）当a =1时，f ' (x ) =6x 2，f (x ) 在(-∞, +∞) 上单调递增
（2）当a >1时，
f (x ) 在(-∞,0) 上单调递增；
在(0,a -1) 上单调递减；
在(a -1, +∞) 上单调递增.
考点四
变式2：a ≥0