习题 八
1. 由数字0, 1, 2, 3, 4，5 能组成多少个没有重复数字的五位数？
C C C C C =600 或者 P -P =600 11111
554325645
2. 从含有3件次品、7件正品中任取5件，其中有4件正品与一件次品，试问有多少种取法？ C ⋅C =105 41
73
3. 证明：略。
4. 从含45件正品、5件次品的产品中任取3件产品，试求其中恰有一件次品的概率。 C 2
45599= 392C 50C 1
5. 一袋中装有6只白球，4只红球，2只黑球，求：
（1）从袋中任取4球都是白球的概率；
61= 433C 12C 4
（2）从中任取6球恰有3白，2红，1黑的概率。
321C C C 64220= 77C 12
6. 将10个不同的质点随机地放入10只不同的盒子中，求：
（1）没有一个空盒子的概率;
10! 1010
10! 1010 （2）至少有一个空盒子的概率。 1-
7. 在区间（0,1）中随机地取两个数，求事件“两数之和小于6/5”的概率。
解析：本题为几何概率题型，由x 轴、 y 轴组合成的正方形被直线x+y=6/5截断，我们只需要看阴影部分面积与总的图形面积， 就可以知道算出本题所求概率大小。
P =S 阴影部分
S 正方形1717== 125
8. 设一质点落在x 轴，y 轴及直线x+y=1所围成的三角形区域内各点是等可能的，求这点落在直线x=1/3左边的概率。
解析：本题为几何概率，在三角形里面有阴影的部分即为所要求得到的那些点的分布，由面积关系 可得到：p =S 阴影
S 三角形12-5== 19
2
9. 袋中有10个球，其中8个红球，2个红球，先从袋中任取两次，每次取一球，作不放回抽样, 求下列事件的概率：
（1）两次都是红球;
p (1) =828= 245C 10C 2
（2）两次中一次取得红球，另一次取得白球；
11C C 8216 P (2) = =245C 10
（3）至少一次取得白球：
112C C +C 82217 P = =45C 10
（4）第二次取得白球。
解析：本题和前几问不同在于要分顺序，我是这么想的：看第二小问，是没有分顺序的，我们可以对它进行排列，当然还少了一种情况就是全是白色，第二次也就是取得白球了，这样想可能复杂了点，但是一时想不起来什么办法来解。
112C C C 8221P (4) =+= 2225A C C 21010
10. 甲、乙、丙3人独立地翻译一个密码，他们译出密码的概率分别为1/5,1/3,1/4, 试求此密码被译出的概率。
解析：可以参照课本P 185例3，设A1，A2，A3分别表示三个人破解出密码的事件，则依据题意：A1， A2, A3相互独立，且
P （A1）=1/5，P(A2)=1/3，P(A3)=1/4.
又设A 表示此密码被破解出来，则A =A 1⋃A 2⋃A 3.
P(A)=P(A 1⋃A 2⋃A 3)
=P(A1)+P(A2)+P(A3)-P(a1a2)-P(a2a3)-P(a1a3)-P(a1a2a3)
=
=47121-+ 6060603 5
*当然我们还可以从反面去看这道题，会更简单些：
P A =1-P (1) P (2) P (3) =1-23= 55
11. 玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱含0,1,2只残次品的概率相应为0.8,0.1, 和0.1， 一位顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时，售货员随机取一箱，而顾客随机地观察4只，若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回，求：
设:事件 A 表示“顾客买下该箱”，Bi 表示“箱中恰好有 i 件次品”，则 i=0,1,2. 根据已知：P(Bo)=0.8 P(B1)=P(B2)=0.1
所以 ：P(A | Bo)=1
P (A |B 1) =194=5C 20C 4
C
P (A |B 2) =
C 41812=19
20
（1）顾客买下该箱的概率；
由全概率公式可得
P (A ) =∑P (B i ) P (A |B i ) =0. 943
i =02
（2）在顾客买下的一箱中，确实没有残次品的概率。
由贝叶斯公式可得 P (B 0) P (A |B 0) P (B i |A ) ==0848P (A )
以下的题文字较多，省略题目：
12. 解析：让事件A 代表校正的枪支 ，Ac 代表A 的补集 ，事件B 代表中靶。
题目就变为： P（A ）=5/8 p （Ac ）=3/8 P(B|A)=0.8 P(B|Ac)=0.3
求的是P （A|B） P(A∩B)=P(B|A）P （A ）=5/8 ×0.8=0.5 P（B ）= P(B|A)×P(A)+P（B|Ac）×P （Ac ）=0.5+3/8×0.3=0.5+0.1125=0.6125
所以P(A|B)=P(A∩B)/P（B ）==0.5/0.6125 =81.63%
13. 解析：射击三次击中的情况 ：击中一次，击中两次，击中三次。
击中一次的概率 即第一次击中第二、三次未击中，或第二次击中第一三次未击中，或第三次击中第一二次未击中 0.4*0.5*0.3+0.5*0.6*0.3+0.7*0.6*0.5=0.36
击中两次的概率 即第一 二次击中第三次未击中，或第二三次击中第一次未击
中，或第一三次击中第二次未击中 0.4*0.5*0.3+0.5*0.7*0.6+0.4*0.7*0.5=0.41
击中三次的概率 0.4*0.5*0.7=0.14 射击三次使飞机坠落的概率 0.36*0.2+0.41*0.6+0.14*1=0.566。
(概率题的解法比较多，我这里只是提供一种作为参考)
14. 某人每次射击的命中率为0.6, 独立射击5次，求：
（1）击中3次的概率；
32 P (击中3次) =C （0. 6） （是精确的，但课本给的是约等于） （0. 4）=0. 345 63
5
（2）至少有1次未击中的概率。
5P =1-(0. 6) =0. 92224
[1**********]. 1-(0. 7) -C (0. 3)(0. 7) -C (0. 3) (0. 7) 1212
16. 略
习题 八
1. 由数字0, 1, 2, 3, 4，5 能组成多少个没有重复数字的五位数？
C C C C C =600 或者 P -P =600 11111
554325645
2. 从含有3件次品、7件正品中任取5件，其中有4件正品与一件次品，试问有多少种取法？ C ⋅C =105 41
73
3. 证明：略。
4. 从含45件正品、5件次品的产品中任取3件产品，试求其中恰有一件次品的概率。 C 2
45599= 392C 50C 1
5. 一袋中装有6只白球，4只红球，2只黑球，求：
（1）从袋中任取4球都是白球的概率；
61= 433C 12C 4
（2）从中任取6球恰有3白，2红，1黑的概率。
321C C C 64220= 77C 12
6. 将10个不同的质点随机地放入10只不同的盒子中，求：
（1）没有一个空盒子的概率;
10! 1010
10! 1010 （2）至少有一个空盒子的概率。 1-
7. 在区间（0,1）中随机地取两个数，求事件“两数之和小于6/5”的概率。
解析：本题为几何概率题型，由x 轴、 y 轴组合成的正方形被直线x+y=6/5截断，我们只需要看阴影部分面积与总的图形面积， 就可以知道算出本题所求概率大小。
P =S 阴影部分
S 正方形1717== 125
8. 设一质点落在x 轴，y 轴及直线x+y=1所围成的三角形区域内各点是等可能的，求这点落在直线x=1/3左边的概率。
解析：本题为几何概率，在三角形里面有阴影的部分即为所要求得到的那些点的分布，由面积关系 可得到：p =S 阴影
S 三角形12-5== 19
2
9. 袋中有10个球，其中8个红球，2个红球，先从袋中任取两次，每次取一球，作不放回抽样, 求下列事件的概率：
（1）两次都是红球;
p (1) =828= 245C 10C 2
（2）两次中一次取得红球，另一次取得白球；
11C C 8216 P (2) = =245C 10
（3）至少一次取得白球：
112C C +C 82217 P = =45C 10
（4）第二次取得白球。
解析：本题和前几问不同在于要分顺序，我是这么想的：看第二小问，是没有分顺序的，我们可以对它进行排列，当然还少了一种情况就是全是白色，第二次也就是取得白球了，这样想可能复杂了点，但是一时想不起来什么办法来解。
112C C C 8221P (4) =+= 2225A C C 21010
10. 甲、乙、丙3人独立地翻译一个密码，他们译出密码的概率分别为1/5,1/3,1/4, 试求此密码被译出的概率。
解析：可以参照课本P 185例3，设A1，A2，A3分别表示三个人破解出密码的事件，则依据题意：A1， A2, A3相互独立，且
P （A1）=1/5，P(A2)=1/3，P(A3)=1/4.
又设A 表示此密码被破解出来，则A =A 1⋃A 2⋃A 3.
P(A)=P(A 1⋃A 2⋃A 3)
=P(A1)+P(A2)+P(A3)-P(a1a2)-P(a2a3)-P(a1a3)-P(a1a2a3)
=
=47121-+ 6060603 5
*当然我们还可以从反面去看这道题，会更简单些：
P A =1-P (1) P (2) P (3) =1-23= 55
11. 玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱含0,1,2只残次品的概率相应为0.8,0.1, 和0.1， 一位顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时，售货员随机取一箱，而顾客随机地观察4只，若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回，求：
设:事件 A 表示“顾客买下该箱”，Bi 表示“箱中恰好有 i 件次品”，则 i=0,1,2. 根据已知：P(Bo)=0.8 P(B1)=P(B2)=0.1
所以 ：P(A | Bo)=1
P (A |B 1) =194=5C 20C 4
C
P (A |B 2) =
C 41812=19
20
（1）顾客买下该箱的概率；
由全概率公式可得
P (A ) =∑P (B i ) P (A |B i ) =0. 943
i =02
（2）在顾客买下的一箱中，确实没有残次品的概率。
由贝叶斯公式可得 P (B 0) P (A |B 0) P (B i |A ) ==0848P (A )
以下的题文字较多，省略题目：
12. 解析：让事件A 代表校正的枪支 ，Ac 代表A 的补集 ，事件B 代表中靶。
题目就变为： P（A ）=5/8 p （Ac ）=3/8 P(B|A)=0.8 P(B|Ac)=0.3
求的是P （A|B） P(A∩B)=P(B|A）P （A ）=5/8 ×0.8=0.5 P（B ）= P(B|A)×P(A)+P（B|Ac）×P （Ac ）=0.5+3/8×0.3=0.5+0.1125=0.6125
所以P(A|B)=P(A∩B)/P（B ）==0.5/0.6125 =81.63%
13. 解析：射击三次击中的情况 ：击中一次，击中两次，击中三次。
击中一次的概率 即第一次击中第二、三次未击中，或第二次击中第一三次未击中，或第三次击中第一二次未击中 0.4*0.5*0.3+0.5*0.6*0.3+0.7*0.6*0.5=0.36
击中两次的概率 即第一 二次击中第三次未击中，或第二三次击中第一次未击
中，或第一三次击中第二次未击中 0.4*0.5*0.3+0.5*0.7*0.6+0.4*0.7*0.5=0.41
击中三次的概率 0.4*0.5*0.7=0.14 射击三次使飞机坠落的概率 0.36*0.2+0.41*0.6+0.14*1=0.566。
(概率题的解法比较多，我这里只是提供一种作为参考)
14. 某人每次射击的命中率为0.6, 独立射击5次，求：
（1）击中3次的概率；
32 P (击中3次) =C （0. 6） （是精确的，但课本给的是约等于） （0. 4）=0. 345 63
5
（2）至少有1次未击中的概率。
5P =1-(0. 6) =0. 92224
[1**********]. 1-(0. 7) -C (0. 3)(0. 7) -C (0. 3) (0. 7) 1212
16. 略