新课程标准数学必修2第二章课后习题解答
第二章 点 、直线、平面之间的位置关系
2．1空间点、直线、平面之间的位置关系
练习（P43） 1、D ； 2、（1）不共面的四点可确定4个平面；（2）共点的三条直线可确定1个或3个平面 3、（1）× （2）√ （3）√ （4）√
4、（1）A ∈α，B ∉α； （2）M ∉α，M ∈a ； （3）a ⊂α a ⊂β
练习（P48） 1、（1）3条。分别是BB ’，CC ’，DD ’. （2）相等或互补
2、（1）∵BC ∥B ’C ’，∴∠B ’C ’A ’
是异面直线A ’C ’与BC 所成的角。 在RT △
A ’B ’C ’中，A ’B ’B ’C ’B ’C ’A ’=45°. 因此，异面直线A ’C ’与BC 所成的角为45°
（2）∵AA ’∥BB ’
，∴∠B ’BC ’是异面直线AA ’与BC ’所成的角。在RT △B ’BC ’中，B ’C ’BB ’=AA=2，∴BC ’=4，∠B ’BC ’=60°. 因此，异面直线AA ’与BC ’所成的角为60°
练习（P49） B
练习（P50）三个平面两两相交，它们的交线有一条或三条
习题2.1 A 组（P51）1、图略 2、图略
3、（1）√ （2）× （3）√ （4）× （5）×
4、（1）θ， （2）8， （3）2， （4）平行或在这个平面内， （5）b ∥平面α或b 与α相交， （6）可能相交，也可能是异面直线。
5、两条平行直线确定一个平面，第三条直线有两点在此平面内，所以它也在这个平面内。于是，这三条直线共面。
6、提示：利用平行关系的传递性证明AA ’∥CC ’，又利用相等关系的传递性证明AA ’=CC’，因此，我们可得平行四边形ACC ’A ’，然后由平行四边形的性质得AB=A’B ’，AC=A’C ’，BC=B’C ’，因此，△ABC ≌△A ’B ’C ’。
7、三条直线两两平行且不共面可以确定三个平面，如果三条直线交于一点则最多可以确定三个平面。
8、正方体各面所在平面分空间27部分。
B 组 1、（1）C ； （2）D ； （3）C.
2、证明：∵AB ∩α=P，AB ⊂平面ABC ∴P ∈平面ABC ，P ∈α
∴P 在平面ABC 与α的交线上，同理可证，Q 和R 均在这条交线上，∴P ，Q ，R 三点共线 说明：先确定一条直线，在证明其他点也在这条直线上。
3、提示：直线EH 和FG 相交于点K ；由点K ∈EH ，EH ⊂平面ABD ，得K ∈平面ABD. 同理可证：点K ∈平面BCD ，而平面ABD ∩平面BCD=BD，因此，点K ∈直线BD. 即EH ，FG ，BD 三条直线相交于一点。
2．2 直线、平面平行的判定及其性质
练习（P55） 1、（1）面A ’B ’C ’D ’，面CC ’D ’D ； （2）面DD ’C ’C ，面BB ’C ’C ；
（3）面A ’D ’B ’C ’，面BB ’C ’C. 2、解：直线BD 1∥面AEC ，证明如下：连接BD 于AC 交于点F ，连接EF
∵AC 、BD 为正方形ABCD 的对角线 A ∴F 为BD 的中点 ∵E 为DD 1的中点 ∴EF 为△DBD 1的中位线
∴EF ∥BD 1 又∵EF ⊂平面AEC ，BD 1⊄平面AEC
∴BD 1∥平面AEC 练习（P58） 1、（1）命题不正确 （2）命题正确 新课程标准数学必修2第二章课后习题解答
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2、提示：容易证明MN ∥EF ，NA ∥EB ，进而可证平面AMN ∥平面EFDB 3、D
练习（P61） 1、（1）× （2）× （3）× （4）√
习题2.2 A 组（P61） 1、（1）A ；（2）D ； （3）C ； 2、（1）平行或相交； （2）异面或相交
3、证明：（1）∵E 、F 分别为BC 、CD 的中点
∴EF 为△BCD 的中位线
∴EF ∥BD ，∵EF ⊂平面EFG ，BD ⊄平面EFG
∴BD ∥平面EFG （2）∵G 、F 分别为AD 、CD 的中点 ∴GF 为△ACD 的中位线
∴GF ∥AC ，∵GF ⊂平面EFG ，AC ⊄平面EFG ∴AC ∥平面EFG
4、在直线a 上任取一点P ，过P 作直线b’，使b’∥b.
则由a 与b’两相交直线确定的平面即为所求的平面α
5、证明：连接CD
AC //BD ⇒A , B , C , D 共面⎫
C ∈α,D ∈α⎭⎬⇒平面ABCD ∩α=CD ⎫
AB //α⎬⎭
⇒AB //CD ⎫
⎬⇒ABCD 是平行四边形⇒AC =BD AC //BD ⎭
⎫⎪6、AB ⊂β⎬⇒AB //CD . 同样可证明AB ∥EF ，于是CD ∥EF.
α∩β=CD ⎪⎭
7、证明：∵AA ’∥BB ’，AA ’＝BB ’ ∴四边形AA ’B ’B 是平行四边形
∴AB ∥A ’B ’，又∵AB ⊄平面A ’B ’C ’，A ’B ’⊂平面A ’B ’C ’
∴AB ∥平面A ’B ’C ’， 同理可证BC ∥平面A ’B ’C ’
又∵AB ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC 且AB ∩BC=B
∴平面ABC ∥平面A ’B ’C ’
8、证明：∵在△AOB 和△A ’OB ’中，AO=A’O ，∠AOB =∠A ’OB ’，BO=B’O
∴△AOB ≌△A ’OB ’（SAS ） ∴∠ABO =∠A ’ B’O
∴AB ∥A ’B ’，又∵AB ⊄平面A ’B ’C ’，A ’B ’⊂平面A ’B ’C ’
∴AB ∥平面A ’B ’C ’， 同理可证BC ∥平面A ’B ’C ’
又∵AB ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC 且AB ∩BC=B
∴平面ABC ∥平面A ’B ’C ’
B 组 1、过平面VAC 内一点P 作直线DE ∥AC ，交VA 于D ，交VC 于E ；过平面VBA 内一点D 作
直线DF ∥VB ，交AB 于F ，则DE ，DF 所确定的截面为所求。理论依据是直线与平面平行的判定定理。
2、证明：设P 为b 上任意一点，则a 与P 确定一平面γ. β∩γ=c，c ∥a ，所以c ∥α.
又c 与b 有公共点P ，且c 与b 不重合（否则a ∥b ，与已知矛盾），即c 与b 相交.
由b ∥α，可证α∥β
3、连接AF ，交β于G ，连接BG ，EG ，则由β∥γ得：
由α∥β，得AG
GF =DE
EF AB BC =AG GF AB //α ，AB
BC =DE
EF
4、正确命题序号是：（1）（2）（4）（5）
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2．2 直线、平面垂直的判定及其性质
练习（P67） 1、证明：作AC 的中点D ，连接VD ，BD
∵VA=VC. AB=BC，∴△VAC 和△ABC 是等腰三角形 又∵D 为底边AC 的中点 ∴VD ⊥AC ，BD ⊥AC 又∵VD ∩BD=D ∴AC ⊥平面VBD
∵VB ⊂平面VBD 所以 AC ⊥VB
2、（1）AB 边的中点； （2）点O 是△ABC 的外心； （3）点O 是△ABC 的垂心；
3、不一定平行
练习（P69） A
练习（P71） 1、（1）√ （2）√ （3）√ 2、b ∥α，或b ⊂α
练习（P73） 1、A 2、C
习题2.2 A 组（P73）1、（1）命题不正确 （2）命题正确
2、证明：如图，设α∩γ=l ，在平面α内作直线a ⊥l .
∵α⊥γ， ∴a ⊥γ
过a 作一个平面δ与平面β相交于直线b
由β∥α，得b ∥a ，∴b ⊥γ
又b ⊂β，∴β⊥γ
3、解：垂直关系，证明如下：
VA ⊥AB ⎫
VA ⊥AC ⎭⎬⇒VA ⊥平面ABC ⇒VA ⊥BC ⎫
AB ⊥BC ⎭⎬⇒BC ⊥平面VAB ⎫
BC ⊂平面VBC ⎭⎬⇒平面VAB ⊥平面VBC
4、解：取AB 中点M ，连接VM.CM ，
∵VA=VB，且M 为底边AB 的中点 ∴VM ⊥AB
∵CA=CB，且M 为底边AB 的中点 ∴CM ⊥AB ∴∠VMC 为二面角V-AB-C 的平面角 由已知得：VM=CM=VC=1 ∴△VMC 是等边三角形
故∠VMC=60° ∴二面角V-AB-C 的平面角的度数为60°
5、提示：在平面γ内作两条相交直线分别垂直于平面α，β于平面γ再利用面面垂直的性质定理证直线l ⊥平面γ.
6、已知：a ，b ，c 为两两互相垂直的直线，a ，b 确定一平面α，a ，c 确定一平面β，
b ，c 确定一平面γ
求证：α，β，γ两两互相垂直
证明：∵c ⊥a ，c ⊥b ，且a ，b 是α内两条相交直线
∴c ⊥α 又∵c ⊂β ∴α⊥β
同理可证，α⊥γ，β⊥γ
7、90°或45°
8、证明：将m ，n 确定的平面定义为平面α，
由已知可证：l 1⊥α，l 2⊥α，∴l 1∥l 2，因此∠1=∠2
9、已知：a ∥b ，a ∩α=A1，b ∩α=B1，θ1，θ2分别是a ，b 求证：θ1=θ2 证明：如图，在a ，b 上分别取点A ，B ，这两点在平面α同侧. 且AA 1=BB1，连接AB 和A 1B 1. ∵AA 1∥BB 1，AA 1=BB1，∴四边形AA 1 B1B ∴A B∥A 1B 1. 又A 1B 1⊂α，AB ⊄α， ∴AB ∥α 设A 2，B 2分别是平面α的垂线AA 2，BB 2的垂足， 连接A 1A 2，B 1B 2，则AA 2=BB2.
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在RT △AA 1A 2和RT △BB 1B 2中，∵AA 2=BB2，AA 1=BB1，
∴RT △AA 1A 2≌RT △BB 1B 2 ∴∠AA 1A 2≌∠BB 1B 2，θ1=θ2
B 组 1、证明：∵AA ’⊥平面ABCD ，∴AA ’⊥BD. 又BD ⊥AC ，∴BD ⊥平面ACC ’A ’，
而BD ⊂平面A ’BD ，因此，平面ACC ’A ’⊥平面A ’BD
2、提示：由已知条件知：VD ⊥AB ，VO ⊥AB ，所以，AB ⊥平面VDC ，AB ⊥CD.
又因为AD=BD，可得AC=BC.
3、提示：参考A 组第5题的解法
4、解：由VC 垂直于⊙O 所在平面，知VC ⊥AC ，VC ⊥BC ，即∠ACB 是二面角A-VC-B 的平面角. 由∠ACB 是直径上的圆周角，知∠ACB=90°. 因此，平面VAC ⊥平面VBC. 由DE 是△VAC 两边中点连线，知DE ∥AC ，故DE ⊥VC. 由两个平面垂直的性质定理，知直线DE 与平面VBC 垂直.
第二章 复习参考题A 组（P78）
1、三个平面将空间分成4或6或7或8个部分
2、解：连结C 1E ，在上底面过点E 作直线l ⊥C 1E 即可
∵CC 1⊥底面A 1B 1C 1D 1 ∴CC 1⊥l ，根据作法知l ⊥C 1E.
又∵C 1E ∩C 1C=C1, ， ∴l ⊥平面CC 1E ，因此，l ⊥CE
3、已知：直线l 1 ，l 2 ，l 3 ， l 1 ∩l 2=A，l 2 ∩l 3=B，l 3 ∩l 1=C
求证：l 1 ，l 2 ，l 3共面
证明：∵l 1 ∩l 2=A ∴由公理2可知，l 1 ，l 2确定一平面α
又∵B ∈l 2，C ∈l 1 ∴B ∈α，C ∈α
而B ∈l 3，C ∈l 3（已知） ∴l 3⊂α（公理1）
∴l 1 ，l 2 ，l 3都在α内，即l 1 ，l 2 ，l 3共面
4、（1）如右图，CD ∥EF ，EF ∥AB ，CD ∥AB. 又CD ≠AB ，
∴四边形ABCD 是梯形
（2）
92a 85、证明：连结EE 1，FF 1，根据已知条件AE ∥A 1E 1且AE=A1E 1，AF ∥A 1F 1且AE=A1F 1
推出A A1∥E E1且A A1=E E1，A A1∥FF 1且A A1=FF1，
∴EE 1∥FF 1且EE 1=FF1
∴四边形EFF 1E 1是平行四边形，因此EF ∥E 1F 1且EF=E1F 1
6、解：设长方形的长、宽、高分别是x ，y ，z .
x 2+y 2=a 2⎫1222222⎪222 y +z =
b ⎬⇒x +y +z =(a +b +c ) 2z 2+x 2=c 2⎪⎭
长方形的对角线长为7、证明：作VO ⊥平面ABCD ，垂足为O ，则VO ⊥AB
取AB 中点H ，连结VH ，则VH ⊥AB.
∵VH ∩VO=V，∴AB ⊥平面VHO
∴∠VHO 为二面角V-AB-C 的二面角.
∵VH 2=VA2-AH 2=5-1=4，∴VH=2
而OH =1
2AB =1，∴∠VHO=60°. 因此，二面角V-AB-C 的二面角为60°
8、因为α∩β=a，γ∩α=b，β∩γ=c，且a ∩b=O，
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则O ∈b ⊂α，且O ∈b ⊂γ，即O ∈γ∩α=c，所以a ，b ，c 三线共点
9、解：由图知γ∩α=a，β∩γ=b，α∩β=c，
∵a ⊄β，b ⊂β，a ∥b ， ∴a ∥β.
又∵a ⊂α，a ⊄β，β∩α=c，∴a ∥c ，∴a ∥b ∥c.
10、AB ⊥CD ，证明如下：∵α∩β=AB，∴AB ⊂α，AB ⊂β.
∵PC ⊥α，∴PC ⊥AB.
∵PD ⊥β，∴PD ⊥AB.
∵PC ∩PD=P，
∴AB ⊥平面PCD. ∵CD ⊂平面PCD
∴因此AB ⊥CD
B 组 1、（1）证明：由折叠前，AD ⊥AE ，CD ⊥CF ，
得A ’D ⊥A ’E ，A ’D ⊥A ’F 又A ’E ∩A ’F=A’
∴A ’D ⊥平面A ’EF ，∴A ’D ⊥EF
（2）解：由（1）知：A ’D ⊥平面A ’EF ， ∴V A ' -EFD =S △A ' EF
A ' D 31
由折叠知：A ’E=AE=
33，A ’F=CF=，
222
过A ’作EF 的垂线A ’H 于AB 交于H
∴
=
∴S △A '
EF = EF
A'H =2112
124812
∴V A ' -EFD =S △A ' EF
A ' D =⨯3183⨯2=
12、证明：（1）连接B 1D 1，B 1D 1⊥A 1C 1，又DD 1⊥面A 1B 1C 1D 1， A ∴DD 1⊥A 1C 1，∵B 1D 1⊥A 1C 1，DD 1∩B 1D 1=D1 ∴A 1C 1⊥面D 1DB ，因此A 1C 1⊥B 1D.
同理可证：B 1D ⊥A 1B ，∴B 1D ⊥平面A 1C 1B
（2）连接A 1H ，BH ，C 1H ，
由A 1B 1=BB1=C1B 1，得A 1H=BH=C1H
∴点H 为△A 1BC 1的外心. 又△A 1BC 1是正三角形
∴点H 为△A 1BC 1的中心，也为△A 1BC 1的重心 新课程标准数学必修2第二章课后习题解答
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第二章 点 、直线、平面之间的位置关系
2．1空间点、直线、平面之间的位置关系
练习（P43） 1、D ； 2、（1）不共面的四点可确定4个平面；（2）共点的三条直线可确定1个或3个平面 3、（1）× （2）√ （3）√ （4）√
4、（1）A ∈α，B ∉α； （2）M ∉α，M ∈a ； （3）a ⊂α a ⊂β
练习（P48） 1、（1）3条。分别是BB ’，CC ’，DD ’. （2）相等或互补
2、（1）∵BC ∥B ’C ’，∴∠B ’C ’A ’
是异面直线A ’C ’与BC 所成的角。 在RT △
A ’B ’C ’中，A ’B ’B ’C ’B ’C ’A ’=45°. 因此，异面直线A ’C ’与BC 所成的角为45°
（2）∵AA ’∥BB ’
，∴∠B ’BC ’是异面直线AA ’与BC ’所成的角。在RT △B ’BC ’中，B ’C ’BB ’=AA=2，∴BC ’=4，∠B ’BC ’=60°. 因此，异面直线AA ’与BC ’所成的角为60°
练习（P49） B
练习（P50）三个平面两两相交，它们的交线有一条或三条
习题2.1 A 组（P51）1、图略 2、图略
3、（1）√ （2）× （3）√ （4）× （5）×
4、（1）θ， （2）8， （3）2， （4）平行或在这个平面内， （5）b ∥平面α或b 与α相交， （6）可能相交，也可能是异面直线。
5、两条平行直线确定一个平面，第三条直线有两点在此平面内，所以它也在这个平面内。于是，这三条直线共面。
6、提示：利用平行关系的传递性证明AA ’∥CC ’，又利用相等关系的传递性证明AA ’=CC’，因此，我们可得平行四边形ACC ’A ’，然后由平行四边形的性质得AB=A’B ’，AC=A’C ’，BC=B’C ’，因此，△ABC ≌△A ’B ’C ’。
7、三条直线两两平行且不共面可以确定三个平面，如果三条直线交于一点则最多可以确定三个平面。
8、正方体各面所在平面分空间27部分。
B 组 1、（1）C ； （2）D ； （3）C.
2、证明：∵AB ∩α=P，AB ⊂平面ABC ∴P ∈平面ABC ，P ∈α
∴P 在平面ABC 与α的交线上，同理可证，Q 和R 均在这条交线上，∴P ，Q ，R 三点共线 说明：先确定一条直线，在证明其他点也在这条直线上。
3、提示：直线EH 和FG 相交于点K ；由点K ∈EH ，EH ⊂平面ABD ，得K ∈平面ABD. 同理可证：点K ∈平面BCD ，而平面ABD ∩平面BCD=BD，因此，点K ∈直线BD. 即EH ，FG ，BD 三条直线相交于一点。
2．2 直线、平面平行的判定及其性质
练习（P55） 1、（1）面A ’B ’C ’D ’，面CC ’D ’D ； （2）面DD ’C ’C ，面BB ’C ’C ；
（3）面A ’D ’B ’C ’，面BB ’C ’C. 2、解：直线BD 1∥面AEC ，证明如下：连接BD 于AC 交于点F ，连接EF
∵AC 、BD 为正方形ABCD 的对角线 A ∴F 为BD 的中点 ∵E 为DD 1的中点 ∴EF 为△DBD 1的中位线
∴EF ∥BD 1 又∵EF ⊂平面AEC ，BD 1⊄平面AEC
∴BD 1∥平面AEC 练习（P58） 1、（1）命题不正确 （2）命题正确 新课程标准数学必修2第二章课后习题解答
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2、提示：容易证明MN ∥EF ，NA ∥EB ，进而可证平面AMN ∥平面EFDB 3、D
练习（P61） 1、（1）× （2）× （3）× （4）√
习题2.2 A 组（P61） 1、（1）A ；（2）D ； （3）C ； 2、（1）平行或相交； （2）异面或相交
3、证明：（1）∵E 、F 分别为BC 、CD 的中点
∴EF 为△BCD 的中位线
∴EF ∥BD ，∵EF ⊂平面EFG ，BD ⊄平面EFG
∴BD ∥平面EFG （2）∵G 、F 分别为AD 、CD 的中点 ∴GF 为△ACD 的中位线
∴GF ∥AC ，∵GF ⊂平面EFG ，AC ⊄平面EFG ∴AC ∥平面EFG
4、在直线a 上任取一点P ，过P 作直线b’，使b’∥b.
则由a 与b’两相交直线确定的平面即为所求的平面α
5、证明：连接CD
AC //BD ⇒A , B , C , D 共面⎫
C ∈α,D ∈α⎭⎬⇒平面ABCD ∩α=CD ⎫
AB //α⎬⎭
⇒AB //CD ⎫
⎬⇒ABCD 是平行四边形⇒AC =BD AC //BD ⎭
⎫⎪6、AB ⊂β⎬⇒AB //CD . 同样可证明AB ∥EF ，于是CD ∥EF.
α∩β=CD ⎪⎭
7、证明：∵AA ’∥BB ’，AA ’＝BB ’ ∴四边形AA ’B ’B 是平行四边形
∴AB ∥A ’B ’，又∵AB ⊄平面A ’B ’C ’，A ’B ’⊂平面A ’B ’C ’
∴AB ∥平面A ’B ’C ’， 同理可证BC ∥平面A ’B ’C ’
又∵AB ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC 且AB ∩BC=B
∴平面ABC ∥平面A ’B ’C ’
8、证明：∵在△AOB 和△A ’OB ’中，AO=A’O ，∠AOB =∠A ’OB ’，BO=B’O
∴△AOB ≌△A ’OB ’（SAS ） ∴∠ABO =∠A ’ B’O
∴AB ∥A ’B ’，又∵AB ⊄平面A ’B ’C ’，A ’B ’⊂平面A ’B ’C ’
∴AB ∥平面A ’B ’C ’， 同理可证BC ∥平面A ’B ’C ’
又∵AB ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC 且AB ∩BC=B
∴平面ABC ∥平面A ’B ’C ’
B 组 1、过平面VAC 内一点P 作直线DE ∥AC ，交VA 于D ，交VC 于E ；过平面VBA 内一点D 作
直线DF ∥VB ，交AB 于F ，则DE ，DF 所确定的截面为所求。理论依据是直线与平面平行的判定定理。
2、证明：设P 为b 上任意一点，则a 与P 确定一平面γ. β∩γ=c，c ∥a ，所以c ∥α.
又c 与b 有公共点P ，且c 与b 不重合（否则a ∥b ，与已知矛盾），即c 与b 相交.
由b ∥α，可证α∥β
3、连接AF ，交β于G ，连接BG ，EG ，则由β∥γ得：
由α∥β，得AG
GF =DE
EF AB BC =AG GF AB //α ，AB
BC =DE
EF
4、正确命题序号是：（1）（2）（4）（5）
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2．2 直线、平面垂直的判定及其性质
练习（P67） 1、证明：作AC 的中点D ，连接VD ，BD
∵VA=VC. AB=BC，∴△VAC 和△ABC 是等腰三角形 又∵D 为底边AC 的中点 ∴VD ⊥AC ，BD ⊥AC 又∵VD ∩BD=D ∴AC ⊥平面VBD
∵VB ⊂平面VBD 所以 AC ⊥VB
2、（1）AB 边的中点； （2）点O 是△ABC 的外心； （3）点O 是△ABC 的垂心；
3、不一定平行
练习（P69） A
练习（P71） 1、（1）√ （2）√ （3）√ 2、b ∥α，或b ⊂α
练习（P73） 1、A 2、C
习题2.2 A 组（P73）1、（1）命题不正确 （2）命题正确
2、证明：如图，设α∩γ=l ，在平面α内作直线a ⊥l .
∵α⊥γ， ∴a ⊥γ
过a 作一个平面δ与平面β相交于直线b
由β∥α，得b ∥a ，∴b ⊥γ
又b ⊂β，∴β⊥γ
3、解：垂直关系，证明如下：
VA ⊥AB ⎫
VA ⊥AC ⎭⎬⇒VA ⊥平面ABC ⇒VA ⊥BC ⎫
AB ⊥BC ⎭⎬⇒BC ⊥平面VAB ⎫
BC ⊂平面VBC ⎭⎬⇒平面VAB ⊥平面VBC
4、解：取AB 中点M ，连接VM.CM ，
∵VA=VB，且M 为底边AB 的中点 ∴VM ⊥AB
∵CA=CB，且M 为底边AB 的中点 ∴CM ⊥AB ∴∠VMC 为二面角V-AB-C 的平面角 由已知得：VM=CM=VC=1 ∴△VMC 是等边三角形
故∠VMC=60° ∴二面角V-AB-C 的平面角的度数为60°
5、提示：在平面γ内作两条相交直线分别垂直于平面α，β于平面γ再利用面面垂直的性质定理证直线l ⊥平面γ.
6、已知：a ，b ，c 为两两互相垂直的直线，a ，b 确定一平面α，a ，c 确定一平面β，
b ，c 确定一平面γ
求证：α，β，γ两两互相垂直
证明：∵c ⊥a ，c ⊥b ，且a ，b 是α内两条相交直线
∴c ⊥α 又∵c ⊂β ∴α⊥β
同理可证，α⊥γ，β⊥γ
7、90°或45°
8、证明：将m ，n 确定的平面定义为平面α，
由已知可证：l 1⊥α，l 2⊥α，∴l 1∥l 2，因此∠1=∠2
9、已知：a ∥b ，a ∩α=A1，b ∩α=B1，θ1，θ2分别是a ，b 求证：θ1=θ2 证明：如图，在a ，b 上分别取点A ，B ，这两点在平面α同侧. 且AA 1=BB1，连接AB 和A 1B 1. ∵AA 1∥BB 1，AA 1=BB1，∴四边形AA 1 B1B ∴A B∥A 1B 1. 又A 1B 1⊂α，AB ⊄α， ∴AB ∥α 设A 2，B 2分别是平面α的垂线AA 2，BB 2的垂足， 连接A 1A 2，B 1B 2，则AA 2=BB2.
新课程标准数学必修2第二章课后习题解答
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在RT △AA 1A 2和RT △BB 1B 2中，∵AA 2=BB2，AA 1=BB1，
∴RT △AA 1A 2≌RT △BB 1B 2 ∴∠AA 1A 2≌∠BB 1B 2，θ1=θ2
B 组 1、证明：∵AA ’⊥平面ABCD ，∴AA ’⊥BD. 又BD ⊥AC ，∴BD ⊥平面ACC ’A ’，
而BD ⊂平面A ’BD ，因此，平面ACC ’A ’⊥平面A ’BD
2、提示：由已知条件知：VD ⊥AB ，VO ⊥AB ，所以，AB ⊥平面VDC ，AB ⊥CD.
又因为AD=BD，可得AC=BC.
3、提示：参考A 组第5题的解法
4、解：由VC 垂直于⊙O 所在平面，知VC ⊥AC ，VC ⊥BC ，即∠ACB 是二面角A-VC-B 的平面角. 由∠ACB 是直径上的圆周角，知∠ACB=90°. 因此，平面VAC ⊥平面VBC. 由DE 是△VAC 两边中点连线，知DE ∥AC ，故DE ⊥VC. 由两个平面垂直的性质定理，知直线DE 与平面VBC 垂直.
第二章 复习参考题A 组（P78）
1、三个平面将空间分成4或6或7或8个部分
2、解：连结C 1E ，在上底面过点E 作直线l ⊥C 1E 即可
∵CC 1⊥底面A 1B 1C 1D 1 ∴CC 1⊥l ，根据作法知l ⊥C 1E.
又∵C 1E ∩C 1C=C1, ， ∴l ⊥平面CC 1E ，因此，l ⊥CE
3、已知：直线l 1 ，l 2 ，l 3 ， l 1 ∩l 2=A，l 2 ∩l 3=B，l 3 ∩l 1=C
求证：l 1 ，l 2 ，l 3共面
证明：∵l 1 ∩l 2=A ∴由公理2可知，l 1 ，l 2确定一平面α
又∵B ∈l 2，C ∈l 1 ∴B ∈α，C ∈α
而B ∈l 3，C ∈l 3（已知） ∴l 3⊂α（公理1）
∴l 1 ，l 2 ，l 3都在α内，即l 1 ，l 2 ，l 3共面
4、（1）如右图，CD ∥EF ，EF ∥AB ，CD ∥AB. 又CD ≠AB ，
∴四边形ABCD 是梯形
（2）
92a 85、证明：连结EE 1，FF 1，根据已知条件AE ∥A 1E 1且AE=A1E 1，AF ∥A 1F 1且AE=A1F 1
推出A A1∥E E1且A A1=E E1，A A1∥FF 1且A A1=FF1，
∴EE 1∥FF 1且EE 1=FF1
∴四边形EFF 1E 1是平行四边形，因此EF ∥E 1F 1且EF=E1F 1
6、解：设长方形的长、宽、高分别是x ，y ，z .
x 2+y 2=a 2⎫1222222⎪222 y +z =
b ⎬⇒x +y +z =(a +b +c ) 2z 2+x 2=c 2⎪⎭
长方形的对角线长为7、证明：作VO ⊥平面ABCD ，垂足为O ，则VO ⊥AB
取AB 中点H ，连结VH ，则VH ⊥AB.
∵VH ∩VO=V，∴AB ⊥平面VHO
∴∠VHO 为二面角V-AB-C 的二面角.
∵VH 2=VA2-AH 2=5-1=4，∴VH=2
而OH =1
2AB =1，∴∠VHO=60°. 因此，二面角V-AB-C 的二面角为60°
8、因为α∩β=a，γ∩α=b，β∩γ=c，且a ∩b=O，
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则O ∈b ⊂α，且O ∈b ⊂γ，即O ∈γ∩α=c，所以a ，b ，c 三线共点
9、解：由图知γ∩α=a，β∩γ=b，α∩β=c，
∵a ⊄β，b ⊂β，a ∥b ， ∴a ∥β.
又∵a ⊂α，a ⊄β，β∩α=c，∴a ∥c ，∴a ∥b ∥c.
10、AB ⊥CD ，证明如下：∵α∩β=AB，∴AB ⊂α，AB ⊂β.
∵PC ⊥α，∴PC ⊥AB.
∵PD ⊥β，∴PD ⊥AB.
∵PC ∩PD=P，
∴AB ⊥平面PCD. ∵CD ⊂平面PCD
∴因此AB ⊥CD
B 组 1、（1）证明：由折叠前，AD ⊥AE ，CD ⊥CF ，
得A ’D ⊥A ’E ，A ’D ⊥A ’F 又A ’E ∩A ’F=A’
∴A ’D ⊥平面A ’EF ，∴A ’D ⊥EF
（2）解：由（1）知：A ’D ⊥平面A ’EF ， ∴V A ' -EFD =S △A ' EF
A ' D 31
由折叠知：A ’E=AE=
33，A ’F=CF=，
222
过A ’作EF 的垂线A ’H 于AB 交于H
∴
=
∴S △A '
EF = EF
A'H =2112
124812
∴V A ' -EFD =S △A ' EF
A ' D =⨯3183⨯2=
12、证明：（1）连接B 1D 1，B 1D 1⊥A 1C 1，又DD 1⊥面A 1B 1C 1D 1， A ∴DD 1⊥A 1C 1，∵B 1D 1⊥A 1C 1，DD 1∩B 1D 1=D1 ∴A 1C 1⊥面D 1DB ，因此A 1C 1⊥B 1D.
同理可证：B 1D ⊥A 1B ，∴B 1D ⊥平面A 1C 1B
（2）连接A 1H ，BH ，C 1H ，
由A 1B 1=BB1=C1B 1，得A 1H=BH=C1H
∴点H 为△A 1BC 1的外心. 又△A 1BC 1是正三角形
∴点H 为△A 1BC 1的中心，也为△A 1BC 1的重心 新课程标准数学必修2第二章课后习题解答
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