2015年河南初中学业水平暨高级中等学校招生考试试题
数 学 试卷分析
一、试卷总体评价
试题紧扣教材，体现了新课标的理念和基本要求，尤其在过程与方法上考查的力度较大。对于基础知识和基本技能也有足够的题量，题型适当，难易适中。
解答题除第16、20题以外，均设置了多个问题，形成低起点、缓坡度、层次分明、难度适中的特点，更加突出了对考生分析问题、解决问题能力的考查.
通过试题分析对我们教学的启示
在抓好基础的同时培养学生灵活运用知识解决问题的能力
二、试卷内容及解析
一、选择题（每小题3分，共24分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的。 1. 下列各数中最大的数是（ ）
A. 5 B. 3 C. π D. -8
A 【解析】本题考查实数的比较大小. ∵3≈1. 732，π≈3.14,∴5>π
-8， ∴最大的数为5. 2. 如图所示的几何体的俯视图是（ ）
第2题
A B C D
B 【解析】本题考查实物体的俯视图的判断，俯视图是从上往下看得到的图形，从上面看
可以看到轮廓是一个矩形和中间有一条竖着的实线，故B 选项符合题意. 3. 据统计，2014年我国高新技术产品出口总额达40 570亿元，将数据40 570亿用科学记数法表示为（ ）
A. 4.0570×109 B. 0.40570×1010 C. 40.570×1011 D. 4.0570×1012
D 【解析】本题考查带计数单位的大数科学计数法. ∵1亿=108 ，40570=4.057×104，∴ 40570亿=4.057×104×108=4.0570×1012
.
4. 如图，直线a ，b 被直线e ，d 所截，若∠1=∠2，∠3=125°，则∠4的度数为（ ）[来 A. 55° B. 60°
C.70° D. 75°
第4题
A
【解析】本题考查了平行
线的判定和相交线与平行线
性质求角度. ∵∠1＝∠2，
∴a ∥b ．∴∠5＝∠3=125°，
∴∠4＝180°－∠5=180°－125°=55°．
⎧x +5≥0, 5. 不等式组⎨的解集在数轴上表示为（ ）
3-x >1⎩
A
B
C
D
C 【解析】本题考查解一元一次不等式组及在数轴上表示. 由不等式x +5≥0，解得：x ≥－5 ； 由不 等式3-x >1，解得：x ＜2，则该不等式组的解集为－5≤x ＜2，故C 选项符合.
6. 小王参加某企业招聘测试，他的笔试，面试、技能操作得分分别为85分，80分，90分，若依次按照2:3:5的比例确定成绩，则小王的成绩是（ ） A. 255分 B. 84分 C. 84.5分 D.86分
—
C 【解析】本题考查加权平均数的应用. 根据题意得小王成绩为86分.
x =
85⨯2+80⨯3+90⨯5
=86，∴
2+3+5
7. 如图，在□ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD 的平分线AG 交BC 于点E ，若BF =6，AB =5，则AE 的长为（ ）
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
F D
G
B
E
C
C 【解析】本题考查平行四边形的性质和角平分线的性质，以及基本的尺规作图. 设AE 与BF 交于点O ，∵AF =AB ，∠BAE = ∠FAE ，∴AE ⊥BF ，OB =
1
BF =3在Rt △AOB 中，2
AO
=4，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ∴∠FAE = ∠BEA ， ∴∠BAE =∠BEA ，∴AB =BE ，∴AE =2AO =8.
8. 如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O 1，O 2，O 3，… 组成一条平滑的曲线，点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒则第2015秒时，点P 的坐标是（ ） A. （2014,0） B. （2015，-1） C. （2015,1） D. （2016,0）
B 【解析】本题考查直角坐标系中点坐标的规律探索. ∵半圆的半径r =1，∴半圆长度=π， ∴第2015秒点P 运动的路径长为：∵
π
个单位长度，2
第8题
π×2015， 2
π×2015÷π=1007…1，∴点P 位于第1008个半圆的中点上，且这个半圆在x 轴的下方. 2
∴此时点P 的横坐标为：1008×2-1=2015，纵坐标为-1，∴点P (2015，
-1) .
第8题图 二、填空题（每小题3分，共21分） 9. 计算：(-3)0+3-1. 9.
A
11440
（-3）=1, 3-1=，∴原式=1+ = . 【解析】
3333
若DB =4，DA =2，BE =3，则EC = .
B
10. 如图，△ABC 中，点D 、E 分别在边AB ，BC 上，DE //AC ，
E C
第10题
BD BE 3
=【解析】本题考查平行线分线段成比例定理. ∵DE ∥AC ，∴， DA EC 2
DA ⋅BE 2⨯33
==. ∴EC =
BD 42
2
11. 如图，直线y =kx 与双曲线y =(x >0) 交于点
x
A （1，a ）, 则k 2【解析】本题考查一次函数与反比例函数结合. 把点A 坐标（1，a ）代入 y =
22
, 得a ==2[来~源:中国教育出版&%网^#] x 1
∴点A 的坐标为（1,2），再把点A （1,2）代入y =kx 中，得k =2. 12. 已知点A （4，y 1），B （2，y 2），C （-2，y 3）都在二次函数
y =(x -2) 2-1的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是 .
. y 2
2-1上，∴y 1=3，y 2=5-42, y 3=15.∵5-42＜3＜ y 2）C （-2，y 3）在抛物线y =（x -2）
15，∴y 2＜y 1＜y 3.
方法二：解：设点A 、B 、C 三点到抛物线对称轴的距离分别为d 1、d 2、d 3，∵y =（x -2) 2-1 ∴对称轴为直线x =2，∴d 1=2,d 2=2-2, d 3=4∵2-2＜2＜4，且a =1＞0，∴y 2＜y 1＜y 3. 方法三：解：∵y =
（x -2)
2
-1，∴对称轴为直线x =2，∴点A (4, y 1) 关于x =2
的对称点是（0，y 1）. ∵-2＜0＜2且a =1＞0，∴y 2＜y 1＜y 3. 13. 现有四张分别标有数字1，2，3，4的卡片，它们除数字外完
全相同，把卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张后放回，再 背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，则两次抽出的卡片所标数 字不同的概率是 .
5
8
或画树状图如解图：
第13题解图
由列表或树状图可得所有等可能的情况有16种，其中两次抽出卡片所标数字不同
14. 如图，在扇形AOB 中，∠AOB =90°，点C 为OA 的中点，
CE ⊥OA 交AB 于点E ，以点O 为圆心，OC 的长为半径 作CD 交OB 于点D ，若OA =2，则阴影部分的面积为 【分析】先观察阴影部分的图形为不规则图形，相到利用转化的思想，并作出必
第14题
要的辅助线，即连接OE ，得到S 阴影=S 扇形O BE +S ∆O CE -S 扇形CO D ，再分别计算出各图形的 面积即可求解.
π【解析】本题考查阴影部分面积的计算. 如解图，连接OE ，∵点C 是OA 的中 12点，∴OC ＝
11
OA ＝１，∵OE ＝OA ＝２，∴OC ＝OE . 22
∵CE ⊥OA ，∴∠OEC ＝30°，∴∠COE ＝60°. 在Rt △OCE 中，CE ＝，∴Ｓ△OCE ＝∴∠BOE
1
OC ·CE =. ∵∠AOB ＝9０°，
22
30π⋅22π90π⋅12π
＝∠AOB -∠COE ＝30°, ∴S 扇形OBE ==，Ｓ扇形COD ==，
36036034
∴S 阴影=S 扇形O BE +S ∆O CE -S 扇形CO D =
πππ
++-=.
324122
B
D
A
第14题解图
15. 如图，正方形ABCD 的边长是16，点E 在边AB 上，AE =3，
点F 是边BC 上不与点B 、C 重合的一个动点，把△EBF 沿 EF 折叠，点B 落在B ′处，若△CDB ′恰为等腰三角形，则 DB ′的长为
F C
【分析】若△CD B '恰为等腰三角形，判断以CD 为腰或为底边分为三种情况：①第15DB 题′= DC ；
②CB ′=CD ；③CB ′=DB ′，针对每一种情况利用正方形和折叠的性质进行分析求解. 16或4【解析】本题考查正方形、矩形的性质和勾股定理的运用，以及分类讨论思想.. 根据题意，若△CD B '恰为等腰三角形需分三种情况讨论：（1）若DB ′=DC 时，则DB ′=16（易知点F 在BC 上且不与点C 、B 重合） ；（2）当CB ′=CD 时，∵EB =EB ′，CB =CB ′∴点E 、C 在BB ′的垂直平分线上，∴EC 垂直平分BB ′，由折叠可知点F 与点C 重合，不符合题意，舍去；（3）如解图，当CB ′=DB ′时，作BG ⊥AB 与点G ，交CD 于点H . ∵AB ∥CD ， ∴B ′H ⊥CD ，∵CB ′=DB ′，∴DH =
B
1
CD =8，∴AG =DH =8，∴GE =AG -AE =5，在Rt △B ′EG 2
中，由勾股定理得B ′G =12，∴B ′H =GH -B ′G =4.在Rt △B ′DH 中，由勾股定理得DB ′=4，综上所述DB ′=16或4.
E G
第15题解图
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
a 2-2ab +b 211
÷(-) ，其中a =+1，b =-1. 16. （8分）先化简，再求值：
2a -2b b a
【分析】解答本题应从运算顺序入手，先将括号里通分，能因式分解的进行因式分解，然后将除法变乘法，最后约分化简成最简分式后，将a , b 的值代入求解.
2
（a -b ）a -b
解：原式=……………………………………………………（4分） ÷
2(a -b ) ab
a -b ab
⋅ 2a -b ab
=.……………………………………………………（6分）
2
=
当a =1, b 1时，原式=
5+1(5-1) 5-1
==2. …………（8分）
22
17. （9分）如图，AB 是半圆O 的直径，点P 是半圆上不与点A 、B 重合的一个动点，延长BP 到点C ，使PC =PB ，D 是AC 的中点，连接PD ，PO . （1）求证：△CDP ∽△POB ； （2）填空：
① 若AB =4，则四边形AOPD 的最大面积为 ； ② 连接OD ，当∠PBA 的度数为 时，四边形BPDO 是菱形.
第17题
（1）【分析】要证△CDP ≌△POB ，已知有一组对应边相等，结合已知条件易得DP 是△ACB 的中位线，进而可得出一组对应角和一组对应边相等，根据SAS 即可得证. 解：∵点D 是AC 的中点，PC =PB ，…………………………………………（3分） ∴DP ∥DB ，DP =
1
AB ，∴∠CPD =∠PBO
. 2
∵OB
1
AB , ∴DP =OB ，∴△CDP ≌△POB （SAS ）.………………………………（5分）
2
B
第17题解图
(2) 【分析】①易得四边形AOPD 是平行四边形，由于AO 是定值，要使四边形AOPD 的面积最大，就得使四边形AOPD 底边AO 上的高最大，即当OP ⊥OA 时面积最大；②易得四边形BPDO 是平行四边形，再根据菱形的判定得到△PBO 是等边三角形即可求解. 解： ① 4 ；………………………………………………………………………………（7分） ② 60°. （注：若填为60，不扣分）…………………………………………………（9分） 【解法提示】①当OP ⊥OA 时四边形AOPD 的面积最大，∵由（1）得DP =AO ，DP ∥DB ，∴四边形AOPD 是平行四边形，∵AB =4，∴AO =PO =2，∴四边形AOPD 的面积最大为,2×2=4；②连接OD , ∵由（1）得DP =AO =OB ，DP ∥DB ，∴四边形BPDO 是平行四边形，∴当OB =BP 时四边形BPDO 是菱形，∵PO =BO ，∴△PBO 是等边三角形，∴∠PBA =60°. 18. （9分）为了了解市民“获取新闻的最主要途径”，某市记者开展了一次抽样调查，根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图。
调查结果扇形统计图
根据以上信息解答下列问题：
（1）这次接受调查的市民总人数是 ；
（2）扇形统计图中，“电视”所对应的圆心角的度数是 ； （3）请补全条形统计图；
电脑上手机上电视 报纸 其它
选项
（4）若该市约有80万人，请你估计其中将“电脑和手机上网”作为“获取新闻的最主要途
径”的总人数.
（1）【分析】从条形统计图中得到“手机上网”的人数，从扇形统计图得到“手机上网”所占的百分比，相除即可得到本次调查的市名总人数.
解：1000.………………………………………………………………………………（2分） 【解法提示】本次调查的市名总人数为：400÷40％=1000.
（2）【分析】 根据扇形统计图可得：1—电脑上网、其他、报纸和手机上网各项所占的百分比从而求得用“电脑”获取新闻的最主要途径所占的百分比，再乘以360°即可求解. 解：54°. （注：若填为54，不扣分）………………………………………………（4分 【解法提示】（1-9％-10％-26％-40％）×360°=54°.
（3）【分析】由扇形统计图可得用“报纸”获取新闻的途径所占的百分比，再乘以总人数即可求解.
解：用“报纸”获取新闻的途径的人数为：10％×1000=100， 补全条形统计图如解图：
调查结果条形统计图
第18题解图
………………………………………………………………………………………………（4分） （4）【分析】先求得将“电脑和手机上网”作为“获取新闻的最主要途径”所占的百分比，再乘以该市的人数即可求解.
⨯(26+40)=52800(人) 解：8⨯10000
19. （9分）已知关于x 的一元二次方程(x -3)(x -2)=|m |.[来源:^&*中@教~网] （1）求证：对于任意实数m ，方程总有两个不想等的实数根； （2）若方程的一个根是1，求m 的值及方程的另一个根.
（1）【分析】先化简一元二次方程，列出根的判别式，再根据绝对值为非负数，得到根的判别式与0的大小关系即可得证.
解：
（2）【分析】当x =1时，代入原方程得到m 的值，根据绝对值的非负性，得到m 有两个值，再分别代入原方程进行求解. 解：
20. （9分）如图所示，某数学活动小组选定测量小河对岸大树BC 的高度，他们在斜坡上D 出测得大树顶端B 的仰角是48°. 若坡角∠F AE =30°，求大树的高度. （结果保留整数，参考数据：sin 48°≈0.74，cos 48°≈0.67，tan 48°≈1.11，3≈1.73）
E A 第20题
C
【分析】通过观察图形，要求大树的高度，需要构造直角三角形，将所求线段联系起来. 结合题目中的信息，即要延长BD 交AE 于点G ，并过点D 作DH ⊥AE 于点H ，分别在Rt △GBC 和Rt △ABC 中表示出CG 和AC 的长即可求解.
解：
第20题解图
21. （10分）某游泳馆普通票价20元/张，暑假为了促销，新推出两种优惠卡： ① 金卡售价600元/张，每次凭卡不再收费； ② 银卡售价150元/张，每次凭卡另收10元.
暑期普通票正常出售，两种优惠卡仅限暑期使用，不限次数. 设游泳x 次时，所需
总费用为y 元.
（1）分别写出选择银卡、普通票消费时，y 与x 之间的函数关系式；
（2）在同一个坐标系中，若三种消费方式对应的函数图像如图所示，请求出点A 、B 、
C 的坐标；
（3）请根据函数图象，直接写出选择哪种消费方式更合算.
（1）【分析】观察图象，结合题目中的信息，得到普通卡是正比例函数，分析次数x 与20的关系，银卡为一次函数，分析出次数x 与10的关系，从而即可求解 解：
(2)【分析】由（1）中银卡的函数关系式可得点A 的坐标，观察图形，联立普卡和银卡的函数关系式可求得点B 的坐标，再将y =600代入银卡的函数关系式即可求解
.
第21题解图
（3）【分析】观察图象，应从普卡、银卡和金卡三者图象的交点前后进行分段讨论，依次得到消费方案即可求解.
22. （10分）如图1，在Rt △ABC 中，∠B =90°，BC =2AB =8，点D ，E 分别是边BC ，AC 的中点，连接DE . 将△EDC 绕点C 按顺时针方向旋转，记旋转角为α. （1）问题发现 ① 当α=0︒时，
AE
=_____________； BD AE
=__________. ② 当α=180︒时，BD
AE
的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明. DB
（2）拓展探究
试判断：当0°≤α＜360°时，（3）问题解决
当△EDC 旋转至A 、D 、E 三点共线时，直接写出线段BD 的长.
B
E D （图1）
C
B
（图2）
C B
（备用图）
C
（1）【分析】①根据题意可得DE 是三角形ABC 的中位线和BD 的长，根据中位线的性质和勾股定理求得AE 的长即可求解；②根据旋转180°的特性，结合①，分别得到AC 、CE 、BC 和CD 的长即可求解.
……………………………………………………（1分）
（2分） 【解法提示】①当α=0°，如解图①，∵BC =2AB =8，∴AB =4，∵点D ，E 分别是边BC ，AC 的中点，∴DE =
1
AB =1, AE =EC , ，∵∠B =90°，
2
∴AC ==∴AE =CE
=
∴
AE ==；②当α=180度，如解图BD 42
②，由旋转性质可得CE =, CD =2，∵AC
=BC =8，
AE AC +CE 4+25
=== ∴
BD BC +CD 8+42.
（2）【分析】在由解图①中，由平行线分线段成比例得到绕点C 的旋转过程，结合旋转的性质得到
CE CD
=，再观察图②中△EDC CA CB
CE CD
=任然成立，从而求得△ACE ∽ CA CB
△BCD ，利用其性质，结合题干求得AC 的长即可得到结论
.
第22题解图③ (3) 【分析】
解：………………………………………………………………………（10分） 【解法提示】当△EDC 在BC 上方，且A ，D ，E 三点共线时，四边形ABCD 为矩形
∴BD =AC
=EDC 在BC 下方，且A ，E ，D 三点共线时，△ADC 为直角三角形，
由勾股定理可求得AD =8，∴AE =6，根据
AE 可求得BD
BD
A
A
图④ 图⑤ 第22题解图
23. （11分）如图，边长为8的正方形OABC 的两边在坐标轴上，以点C 为顶点的抛物线经
过点A ，点P 是抛物线上点A 、C 间的一个动点（含端点），过点P 作PF ⊥BC 于点F . 点D 、E 的坐标分别为（0，6），（-4，0），连接PD ，PE ，DE . （1）请直接写出抛物线的解析式；
（2）小明探究点P 的位置发现：当点P 与点A 或点C 重合时，PD 与PF 的差为定值. 进
而猜想：对于任意一点P ，PD 与PF 的差为定值. 请你判断该猜想是否正确，并说明理由；
（3）小明进一步探究得出结论：若将“使△PDE 的面积为整数”的点P 记作“好点”，则
存在多个“好点”，且使△PDE 的周长最小的点P 也是一个“好点”. 请直接写出所有“好点”的个数，并求出△PDE 的周长最小时“好点”的坐标.
图
备用图
（1）【分析】由题意设抛物线解析式为y =ax +c ，将A 、C 两点坐标代入即可
.
2
解：抛物线的解析式为：y =-
12
x +8.………………………………………………（3分） 8
【解法提示】由题意设抛物线解析式为y =ax 2+c ，∵的正方形OABC 的边长为8，∴点
1⎧
⎧0=a ⋅(-8) 2+c 12⎪a =-
A (-8，0) 、C （0,8）, ∴⎨，解得⎨8，抛物线解析式为y =-x +8.
8⎩8=c ⎪c =8⎩
（2）【分析】设P 点坐标为 x , -
⎛
⎝12⎫
x +8⎪，表示出PF 的长度，构造PD 所在的直角三角8⎭
形，表示PD 的长度，通过求差法得到PD -PF 的值. 解：
M
第23题解图
（3）【分析】通过将△PDE 的面积进行转化，得到其面积的表达式，根据点P 横坐标m 的取值范围，确定面积为整数时“好点”的个数，再把△PDE 周长的最小值转化成PE +PF 的和最小，进而知道当P 、E 、F 三点共线时△PDE 周长的最小，确定点P 的坐标.
解：好点共11个；
在点P 运动时，DE 的大小不变，∴PE 与PD 的和最小时，△PDE 的周长最小， ∵PD -PF =2，∴PD =PF +2，∴PE +PD =PE +PF +2，
当P ，E ，F 三点共线时，PE +PF 最小， 此时，点P ，E 的横坐标为-4，将x =-4代入y =-
12
x +8，得y =6， 8
∴P （-4,6），此时△PDE 周长最小，且△PDE 的面积为12，点P 恰为“好点”. ∴△PDE 周长最小时点P 的坐标为（-4,6）. 【解法提示】△PDE 的面积S =-
121
x -3x +4=-(x +6) 2+13. 由于-8≤x ≤0，可得44
4≤S ≤13，所以S 的整数值为10个. 由图象可知，当S =12时，对应的“好点”有2个，所以“好点”共有11个.
三、今后教学需加强的做法
1、加强基础知识的教学，尤其是注重数学概念的复习，如绝对值、正余弦、正切的定义。
2、对几何图形的复习，要注重已知条件和所求结论之间的联系，要善于通过中间量寻求证明思路。
3、加强运算能力的培养，通过限时训练，提高运算能力。杜绝做数学题用计算器，否则运算能力越来越差。
4、重视建模思想、分类讨论思想的教学。尤其是综合题基本上都有固定的模式解决，教给学生解题思路远胜于答案。 5、重视实际应用问题与数学知识的联系。 6、注重解题的规范性，教给学生解题策略
平时养成认真审题的习惯，合理安排解题时间，对于不会做的题目要敢于“放弃”, 保证会做的题不失一分
7、重视学生良好习惯的培养如认真审题的习惯、规范答题、认真书写的习惯 、快速答题又细心的习惯。
2015年河南初中学业水平暨高级中等学校招生考试试题
数 学 试卷分析
一、试卷总体评价
试题紧扣教材，体现了新课标的理念和基本要求，尤其在过程与方法上考查的力度较大。对于基础知识和基本技能也有足够的题量，题型适当，难易适中。
解答题除第16、20题以外，均设置了多个问题，形成低起点、缓坡度、层次分明、难度适中的特点，更加突出了对考生分析问题、解决问题能力的考查.
通过试题分析对我们教学的启示
在抓好基础的同时培养学生灵活运用知识解决问题的能力
二、试卷内容及解析
一、选择题（每小题3分，共24分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的。 1. 下列各数中最大的数是（ ）
A. 5 B. 3 C. π D. -8
A 【解析】本题考查实数的比较大小. ∵3≈1. 732，π≈3.14,∴5>π
-8， ∴最大的数为5. 2. 如图所示的几何体的俯视图是（ ）
第2题
A B C D
B 【解析】本题考查实物体的俯视图的判断，俯视图是从上往下看得到的图形，从上面看
可以看到轮廓是一个矩形和中间有一条竖着的实线，故B 选项符合题意. 3. 据统计，2014年我国高新技术产品出口总额达40 570亿元，将数据40 570亿用科学记数法表示为（ ）
A. 4.0570×109 B. 0.40570×1010 C. 40.570×1011 D. 4.0570×1012
D 【解析】本题考查带计数单位的大数科学计数法. ∵1亿=108 ，40570=4.057×104，∴ 40570亿=4.057×104×108=4.0570×1012
.
4. 如图，直线a ，b 被直线e ，d 所截，若∠1=∠2，∠3=125°，则∠4的度数为（ ）[来 A. 55° B. 60°
C.70° D. 75°
第4题
A
【解析】本题考查了平行
线的判定和相交线与平行线
性质求角度. ∵∠1＝∠2，
∴a ∥b ．∴∠5＝∠3=125°，
∴∠4＝180°－∠5=180°－125°=55°．
⎧x +5≥0, 5. 不等式组⎨的解集在数轴上表示为（ ）
3-x >1⎩
A
B
C
D
C 【解析】本题考查解一元一次不等式组及在数轴上表示. 由不等式x +5≥0，解得：x ≥－5 ； 由不 等式3-x >1，解得：x ＜2，则该不等式组的解集为－5≤x ＜2，故C 选项符合.
6. 小王参加某企业招聘测试，他的笔试，面试、技能操作得分分别为85分，80分，90分，若依次按照2:3:5的比例确定成绩，则小王的成绩是（ ） A. 255分 B. 84分 C. 84.5分 D.86分
—
C 【解析】本题考查加权平均数的应用. 根据题意得小王成绩为86分.
x =
85⨯2+80⨯3+90⨯5
=86，∴
2+3+5
7. 如图，在□ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD 的平分线AG 交BC 于点E ，若BF =6，AB =5，则AE 的长为（ ）
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
F D
G
B
E
C
C 【解析】本题考查平行四边形的性质和角平分线的性质，以及基本的尺规作图. 设AE 与BF 交于点O ，∵AF =AB ，∠BAE = ∠FAE ，∴AE ⊥BF ，OB =
1
BF =3在Rt △AOB 中，2
AO
=4，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ∴∠FAE = ∠BEA ， ∴∠BAE =∠BEA ，∴AB =BE ，∴AE =2AO =8.
8. 如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O 1，O 2，O 3，… 组成一条平滑的曲线，点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒则第2015秒时，点P 的坐标是（ ） A. （2014,0） B. （2015，-1） C. （2015,1） D. （2016,0）
B 【解析】本题考查直角坐标系中点坐标的规律探索. ∵半圆的半径r =1，∴半圆长度=π， ∴第2015秒点P 运动的路径长为：∵
π
个单位长度，2
第8题
π×2015， 2
π×2015÷π=1007…1，∴点P 位于第1008个半圆的中点上，且这个半圆在x 轴的下方. 2
∴此时点P 的横坐标为：1008×2-1=2015，纵坐标为-1，∴点P (2015，
-1) .
第8题图 二、填空题（每小题3分，共21分） 9. 计算：(-3)0+3-1. 9.
A
11440
（-3）=1, 3-1=，∴原式=1+ = . 【解析】
3333
若DB =4，DA =2，BE =3，则EC = .
B
10. 如图，△ABC 中，点D 、E 分别在边AB ，BC 上，DE //AC ，
E C
第10题
BD BE 3
=【解析】本题考查平行线分线段成比例定理. ∵DE ∥AC ，∴， DA EC 2
DA ⋅BE 2⨯33
==. ∴EC =
BD 42
2
11. 如图，直线y =kx 与双曲线y =(x >0) 交于点
x
A （1，a ）, 则k 2【解析】本题考查一次函数与反比例函数结合. 把点A 坐标（1，a ）代入 y =
22
, 得a ==2[来~源:中国教育出版&%网^#] x 1
∴点A 的坐标为（1,2），再把点A （1,2）代入y =kx 中，得k =2. 12. 已知点A （4，y 1），B （2，y 2），C （-2，y 3）都在二次函数
y =(x -2) 2-1的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是 .
. y 2
2-1上，∴y 1=3，y 2=5-42, y 3=15.∵5-42＜3＜ y 2）C （-2，y 3）在抛物线y =（x -2）
15，∴y 2＜y 1＜y 3.
方法二：解：设点A 、B 、C 三点到抛物线对称轴的距离分别为d 1、d 2、d 3，∵y =（x -2) 2-1 ∴对称轴为直线x =2，∴d 1=2,d 2=2-2, d 3=4∵2-2＜2＜4，且a =1＞0，∴y 2＜y 1＜y 3. 方法三：解：∵y =
（x -2)
2
-1，∴对称轴为直线x =2，∴点A (4, y 1) 关于x =2
的对称点是（0，y 1）. ∵-2＜0＜2且a =1＞0，∴y 2＜y 1＜y 3. 13. 现有四张分别标有数字1，2，3，4的卡片，它们除数字外完
全相同，把卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张后放回，再 背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，则两次抽出的卡片所标数 字不同的概率是 .
5
8
或画树状图如解图：
第13题解图
由列表或树状图可得所有等可能的情况有16种，其中两次抽出卡片所标数字不同
14. 如图，在扇形AOB 中，∠AOB =90°，点C 为OA 的中点，
CE ⊥OA 交AB 于点E ，以点O 为圆心，OC 的长为半径 作CD 交OB 于点D ，若OA =2，则阴影部分的面积为 【分析】先观察阴影部分的图形为不规则图形，相到利用转化的思想，并作出必
第14题
要的辅助线，即连接OE ，得到S 阴影=S 扇形O BE +S ∆O CE -S 扇形CO D ，再分别计算出各图形的 面积即可求解.
π【解析】本题考查阴影部分面积的计算. 如解图，连接OE ，∵点C 是OA 的中 12点，∴OC ＝
11
OA ＝１，∵OE ＝OA ＝２，∴OC ＝OE . 22
∵CE ⊥OA ，∴∠OEC ＝30°，∴∠COE ＝60°. 在Rt △OCE 中，CE ＝，∴Ｓ△OCE ＝∴∠BOE
1
OC ·CE =. ∵∠AOB ＝9０°，
22
30π⋅22π90π⋅12π
＝∠AOB -∠COE ＝30°, ∴S 扇形OBE ==，Ｓ扇形COD ==，
36036034
∴S 阴影=S 扇形O BE +S ∆O CE -S 扇形CO D =
πππ
++-=.
324122
B
D
A
第14题解图
15. 如图，正方形ABCD 的边长是16，点E 在边AB 上，AE =3，
点F 是边BC 上不与点B 、C 重合的一个动点，把△EBF 沿 EF 折叠，点B 落在B ′处，若△CDB ′恰为等腰三角形，则 DB ′的长为
F C
【分析】若△CD B '恰为等腰三角形，判断以CD 为腰或为底边分为三种情况：①第15DB 题′= DC ；
②CB ′=CD ；③CB ′=DB ′，针对每一种情况利用正方形和折叠的性质进行分析求解. 16或4【解析】本题考查正方形、矩形的性质和勾股定理的运用，以及分类讨论思想.. 根据题意，若△CD B '恰为等腰三角形需分三种情况讨论：（1）若DB ′=DC 时，则DB ′=16（易知点F 在BC 上且不与点C 、B 重合） ；（2）当CB ′=CD 时，∵EB =EB ′，CB =CB ′∴点E 、C 在BB ′的垂直平分线上，∴EC 垂直平分BB ′，由折叠可知点F 与点C 重合，不符合题意，舍去；（3）如解图，当CB ′=DB ′时，作BG ⊥AB 与点G ，交CD 于点H . ∵AB ∥CD ， ∴B ′H ⊥CD ，∵CB ′=DB ′，∴DH =
B
1
CD =8，∴AG =DH =8，∴GE =AG -AE =5，在Rt △B ′EG 2
中，由勾股定理得B ′G =12，∴B ′H =GH -B ′G =4.在Rt △B ′DH 中，由勾股定理得DB ′=4，综上所述DB ′=16或4.
E G
第15题解图
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
a 2-2ab +b 211
÷(-) ，其中a =+1，b =-1. 16. （8分）先化简，再求值：
2a -2b b a
【分析】解答本题应从运算顺序入手，先将括号里通分，能因式分解的进行因式分解，然后将除法变乘法，最后约分化简成最简分式后，将a , b 的值代入求解.
2
（a -b ）a -b
解：原式=……………………………………………………（4分） ÷
2(a -b ) ab
a -b ab
⋅ 2a -b ab
=.……………………………………………………（6分）
2
=
当a =1, b 1时，原式=
5+1(5-1) 5-1
==2. …………（8分）
22
17. （9分）如图，AB 是半圆O 的直径，点P 是半圆上不与点A 、B 重合的一个动点，延长BP 到点C ，使PC =PB ，D 是AC 的中点，连接PD ，PO . （1）求证：△CDP ∽△POB ； （2）填空：
① 若AB =4，则四边形AOPD 的最大面积为 ； ② 连接OD ，当∠PBA 的度数为 时，四边形BPDO 是菱形.
第17题
（1）【分析】要证△CDP ≌△POB ，已知有一组对应边相等，结合已知条件易得DP 是△ACB 的中位线，进而可得出一组对应角和一组对应边相等，根据SAS 即可得证. 解：∵点D 是AC 的中点，PC =PB ，…………………………………………（3分） ∴DP ∥DB ，DP =
1
AB ，∴∠CPD =∠PBO
. 2
∵OB
1
AB , ∴DP =OB ，∴△CDP ≌△POB （SAS ）.………………………………（5分）
2
B
第17题解图
(2) 【分析】①易得四边形AOPD 是平行四边形，由于AO 是定值，要使四边形AOPD 的面积最大，就得使四边形AOPD 底边AO 上的高最大，即当OP ⊥OA 时面积最大；②易得四边形BPDO 是平行四边形，再根据菱形的判定得到△PBO 是等边三角形即可求解. 解： ① 4 ；………………………………………………………………………………（7分） ② 60°. （注：若填为60，不扣分）…………………………………………………（9分） 【解法提示】①当OP ⊥OA 时四边形AOPD 的面积最大，∵由（1）得DP =AO ，DP ∥DB ，∴四边形AOPD 是平行四边形，∵AB =4，∴AO =PO =2，∴四边形AOPD 的面积最大为,2×2=4；②连接OD , ∵由（1）得DP =AO =OB ，DP ∥DB ，∴四边形BPDO 是平行四边形，∴当OB =BP 时四边形BPDO 是菱形，∵PO =BO ，∴△PBO 是等边三角形，∴∠PBA =60°. 18. （9分）为了了解市民“获取新闻的最主要途径”，某市记者开展了一次抽样调查，根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图。
调查结果扇形统计图
根据以上信息解答下列问题：
（1）这次接受调查的市民总人数是 ；
（2）扇形统计图中，“电视”所对应的圆心角的度数是 ； （3）请补全条形统计图；
电脑上手机上电视 报纸 其它
选项
（4）若该市约有80万人，请你估计其中将“电脑和手机上网”作为“获取新闻的最主要途
径”的总人数.
（1）【分析】从条形统计图中得到“手机上网”的人数，从扇形统计图得到“手机上网”所占的百分比，相除即可得到本次调查的市名总人数.
解：1000.………………………………………………………………………………（2分） 【解法提示】本次调查的市名总人数为：400÷40％=1000.
（2）【分析】 根据扇形统计图可得：1—电脑上网、其他、报纸和手机上网各项所占的百分比从而求得用“电脑”获取新闻的最主要途径所占的百分比，再乘以360°即可求解. 解：54°. （注：若填为54，不扣分）………………………………………………（4分 【解法提示】（1-9％-10％-26％-40％）×360°=54°.
（3）【分析】由扇形统计图可得用“报纸”获取新闻的途径所占的百分比，再乘以总人数即可求解.
解：用“报纸”获取新闻的途径的人数为：10％×1000=100， 补全条形统计图如解图：
调查结果条形统计图
第18题解图
………………………………………………………………………………………………（4分） （4）【分析】先求得将“电脑和手机上网”作为“获取新闻的最主要途径”所占的百分比，再乘以该市的人数即可求解.
⨯(26+40)=52800(人) 解：8⨯10000
19. （9分）已知关于x 的一元二次方程(x -3)(x -2)=|m |.[来源:^&*中@教~网] （1）求证：对于任意实数m ，方程总有两个不想等的实数根； （2）若方程的一个根是1，求m 的值及方程的另一个根.
（1）【分析】先化简一元二次方程，列出根的判别式，再根据绝对值为非负数，得到根的判别式与0的大小关系即可得证.
解：
（2）【分析】当x =1时，代入原方程得到m 的值，根据绝对值的非负性，得到m 有两个值，再分别代入原方程进行求解. 解：
20. （9分）如图所示，某数学活动小组选定测量小河对岸大树BC 的高度，他们在斜坡上D 出测得大树顶端B 的仰角是48°. 若坡角∠F AE =30°，求大树的高度. （结果保留整数，参考数据：sin 48°≈0.74，cos 48°≈0.67，tan 48°≈1.11，3≈1.73）
E A 第20题
C
【分析】通过观察图形，要求大树的高度，需要构造直角三角形，将所求线段联系起来. 结合题目中的信息，即要延长BD 交AE 于点G ，并过点D 作DH ⊥AE 于点H ，分别在Rt △GBC 和Rt △ABC 中表示出CG 和AC 的长即可求解.
解：
第20题解图
21. （10分）某游泳馆普通票价20元/张，暑假为了促销，新推出两种优惠卡： ① 金卡售价600元/张，每次凭卡不再收费； ② 银卡售价150元/张，每次凭卡另收10元.
暑期普通票正常出售，两种优惠卡仅限暑期使用，不限次数. 设游泳x 次时，所需
总费用为y 元.
（1）分别写出选择银卡、普通票消费时，y 与x 之间的函数关系式；
（2）在同一个坐标系中，若三种消费方式对应的函数图像如图所示，请求出点A 、B 、
C 的坐标；
（3）请根据函数图象，直接写出选择哪种消费方式更合算.
（1）【分析】观察图象，结合题目中的信息，得到普通卡是正比例函数，分析次数x 与20的关系，银卡为一次函数，分析出次数x 与10的关系，从而即可求解 解：
(2)【分析】由（1）中银卡的函数关系式可得点A 的坐标，观察图形，联立普卡和银卡的函数关系式可求得点B 的坐标，再将y =600代入银卡的函数关系式即可求解
.
第21题解图
（3）【分析】观察图象，应从普卡、银卡和金卡三者图象的交点前后进行分段讨论，依次得到消费方案即可求解.
22. （10分）如图1，在Rt △ABC 中，∠B =90°，BC =2AB =8，点D ，E 分别是边BC ，AC 的中点，连接DE . 将△EDC 绕点C 按顺时针方向旋转，记旋转角为α. （1）问题发现 ① 当α=0︒时，
AE
=_____________； BD AE
=__________. ② 当α=180︒时，BD
AE
的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明. DB
（2）拓展探究
试判断：当0°≤α＜360°时，（3）问题解决
当△EDC 旋转至A 、D 、E 三点共线时，直接写出线段BD 的长.
B
E D （图1）
C
B
（图2）
C B
（备用图）
C
（1）【分析】①根据题意可得DE 是三角形ABC 的中位线和BD 的长，根据中位线的性质和勾股定理求得AE 的长即可求解；②根据旋转180°的特性，结合①，分别得到AC 、CE 、BC 和CD 的长即可求解.
……………………………………………………（1分）
（2分） 【解法提示】①当α=0°，如解图①，∵BC =2AB =8，∴AB =4，∵点D ，E 分别是边BC ，AC 的中点，∴DE =
1
AB =1, AE =EC , ，∵∠B =90°，
2
∴AC ==∴AE =CE
=
∴
AE ==；②当α=180度，如解图BD 42
②，由旋转性质可得CE =, CD =2，∵AC
=BC =8，
AE AC +CE 4+25
=== ∴
BD BC +CD 8+42.
（2）【分析】在由解图①中，由平行线分线段成比例得到绕点C 的旋转过程，结合旋转的性质得到
CE CD
=，再观察图②中△EDC CA CB
CE CD
=任然成立，从而求得△ACE ∽ CA CB
△BCD ，利用其性质，结合题干求得AC 的长即可得到结论
.
第22题解图③ (3) 【分析】
解：………………………………………………………………………（10分） 【解法提示】当△EDC 在BC 上方，且A ，D ，E 三点共线时，四边形ABCD 为矩形
∴BD =AC
=EDC 在BC 下方，且A ，E ，D 三点共线时，△ADC 为直角三角形，
由勾股定理可求得AD =8，∴AE =6，根据
AE 可求得BD
BD
A
A
图④ 图⑤ 第22题解图
23. （11分）如图，边长为8的正方形OABC 的两边在坐标轴上，以点C 为顶点的抛物线经
过点A ，点P 是抛物线上点A 、C 间的一个动点（含端点），过点P 作PF ⊥BC 于点F . 点D 、E 的坐标分别为（0，6），（-4，0），连接PD ，PE ，DE . （1）请直接写出抛物线的解析式；
（2）小明探究点P 的位置发现：当点P 与点A 或点C 重合时，PD 与PF 的差为定值. 进
而猜想：对于任意一点P ，PD 与PF 的差为定值. 请你判断该猜想是否正确，并说明理由；
（3）小明进一步探究得出结论：若将“使△PDE 的面积为整数”的点P 记作“好点”，则
存在多个“好点”，且使△PDE 的周长最小的点P 也是一个“好点”. 请直接写出所有“好点”的个数，并求出△PDE 的周长最小时“好点”的坐标.
图
备用图
（1）【分析】由题意设抛物线解析式为y =ax +c ，将A 、C 两点坐标代入即可
.
2
解：抛物线的解析式为：y =-
12
x +8.………………………………………………（3分） 8
【解法提示】由题意设抛物线解析式为y =ax 2+c ，∵的正方形OABC 的边长为8，∴点
1⎧
⎧0=a ⋅(-8) 2+c 12⎪a =-
A (-8，0) 、C （0,8）, ∴⎨，解得⎨8，抛物线解析式为y =-x +8.
8⎩8=c ⎪c =8⎩
（2）【分析】设P 点坐标为 x , -
⎛
⎝12⎫
x +8⎪，表示出PF 的长度，构造PD 所在的直角三角8⎭
形，表示PD 的长度，通过求差法得到PD -PF 的值. 解：
M
第23题解图
（3）【分析】通过将△PDE 的面积进行转化，得到其面积的表达式，根据点P 横坐标m 的取值范围，确定面积为整数时“好点”的个数，再把△PDE 周长的最小值转化成PE +PF 的和最小，进而知道当P 、E 、F 三点共线时△PDE 周长的最小，确定点P 的坐标.
解：好点共11个；
在点P 运动时，DE 的大小不变，∴PE 与PD 的和最小时，△PDE 的周长最小， ∵PD -PF =2，∴PD =PF +2，∴PE +PD =PE +PF +2，
当P ，E ，F 三点共线时，PE +PF 最小， 此时，点P ，E 的横坐标为-4，将x =-4代入y =-
12
x +8，得y =6， 8
∴P （-4,6），此时△PDE 周长最小，且△PDE 的面积为12，点P 恰为“好点”. ∴△PDE 周长最小时点P 的坐标为（-4,6）. 【解法提示】△PDE 的面积S =-
121
x -3x +4=-(x +6) 2+13. 由于-8≤x ≤0，可得44
4≤S ≤13，所以S 的整数值为10个. 由图象可知，当S =12时，对应的“好点”有2个，所以“好点”共有11个.
三、今后教学需加强的做法
1、加强基础知识的教学，尤其是注重数学概念的复习，如绝对值、正余弦、正切的定义。
2、对几何图形的复习，要注重已知条件和所求结论之间的联系，要善于通过中间量寻求证明思路。
3、加强运算能力的培养，通过限时训练，提高运算能力。杜绝做数学题用计算器，否则运算能力越来越差。
4、重视建模思想、分类讨论思想的教学。尤其是综合题基本上都有固定的模式解决，教给学生解题思路远胜于答案。 5、重视实际应用问题与数学知识的联系。 6、注重解题的规范性，教给学生解题策略
平时养成认真审题的习惯，合理安排解题时间，对于不会做的题目要敢于“放弃”, 保证会做的题不失一分
7、重视学生良好习惯的培养如认真审题的习惯、规范答题、认真书写的习惯 、快速答题又细心的习惯。