二分法及迭代法求解非线性方程根

二分法及迭代法求解非线性方程根

班级： 姓名： 方 学号： 日期：

一、实验目的

1、熟悉二分法及迭代法求解非线性方程根的数值算法；

2、用matlab软件实现二分法及迭代法，掌握迭代法的收敛性和收敛速度问题及其加速方法；

二、基本理论及背景

1、牛顿迭代法具有平方收敛的速度，所以在迭代过程中只要迭代几次就会得到很精确的解。这是牛顿迭代法比简单迭代法优越的地方，但是选定的初值要接近方程的解，否则有可能得不到收敛的结果，再者，牛顿迭代法计算量比较大。因每次迭代除计算函数值外还要计算微商值。

2、牛顿迭代理论推导：设r是f(x) = 0的根，选取x0作为r初始近似值，过点（x0,f(x0)）做曲线y = f(x)的切线L，L的方程为y =

f(x0)+f'(x0)(x-x0)，求出L与x轴交点的横坐标 x1 = x0-f(x0)/f'(x0)，称x1为r的一次近似值。过点（x1,f(x1)）做曲线y = f(x)的切线，并求该切线与x轴交点的横坐标 x2 = x1-f(x1)/f'(x1)，称x2为r的二次近似值。重复以上过程，得r的近似值序列，其中x(n+1)=x(n)－f(x(n))/f'(x(n))，称为r的n+1次近似值；

3、参考《二分法求非线性方程根》，实现二分算法，完成下面的题目：

1 求方程○的根，精度至少达到10-6；

1中方程根的收敛性： 比较迭代下列迭代法求解○

2

○,；

1中方程的根（精度至少达到10-6）2中收敛用牛顿法设计迭代函数求解○，并与○

的迭代法比较收敛的速度。。

三、算法设计及实现

1function f=fun1(x) 1、设计：方程○

f=exp(x)-x-3;；

2 function y=Exp2(x) ○

y=exp(x)-3;

function y=Exp3(x)

y=log(x+3);

牛顿迭代：

function df=Exp4(x)

df=exp(x)-1。

四、实验步骤

1打开matlab软件，1、○新建ErFen_Root.m文件,在窗口中编辑二分法数值积分函数程序代码,并保存在指定的文件夹下,在Current Directory窗口右边点击《Browse For Folder》按钮指向ErFen_Root.m文件；

2在Command ○Window中编辑相应要计算的题目的数值函数及相应的题目的表达式。

2、输出结果和初步分析说明（见附件一）。

五、使用说明实验结果分析

1、在Command Window窗口中编辑要调用的函数名与指定的函数名字不同导致出现错误，通过改正与函数名相同即可；在调用函数时要用单引号引用。

六、算法的改进和实验总结

在用二分法迭代求解的过程中，被调用的函数需要清楚的描述所要执行的问题的求解过程，在matlab函数调用时，执行函数一定要与函数同名。

七、源程序（见附件二）

附件一：

>> [val,n]=ErFen_Root('fun1',[0 3],1e-6)

0 1.5000 3.0000 -2.0000 -0.0183 14.0855

1.5000 2.2500 3.0000 -0.0183 4.2377 14.0855

1.5000 1.8750 2.2500 -0.0183 1.6458 4.2377

1.5000 1.6875 1.8750 -0.0183 0.7184 1.6458

1.5000 1.5938 1.6875 -0.0183 0.3284 0.7184

1.5000 1.5469 1.5938 -0.0183 0.1499 0.3284

1.5000 1.5234 1.5469 -0.0183 0.0645 0.1499

1.5000 1.5117 1.5234 -0.0183 0.0228 0.0645

1.5000 1.5059 1.5117 -0.0183 0.0022 0.0228

1.5000 1.5029 1.5059 -0.0183 -0.0081 0.0022

1.5029 1.5044 1.5059 -0.0081 -0.0030 0.0022

1.5044 1.5051 1.5059 -0.0030 -0.0004 0.0022

1.5051 1.5055 1.5059 -0.0004 0.0009 0.0022

1.5051 1.5053 1.5055 -0.0004 0.0002 0.0009

1.5051 1.5052 1.5053 -0.0004 -0.0001 0.0002

1.5052 1.5053 1.5053 -0.0001 0.0001 0.0002

1.5052 1.5052 1.5053 -0.0001 -0.0000 0.0001

1.5052 1.5053 1.5053 -0.0000 0.0000 0.0001

1.5052 1.5052 1.5053 -0.0000 0.0000 0.0000

1.5052 1.5052 1.5052 -0.0000 0.0000 0.0000

1.5052 1.5052 1.5052 -0.0000 0.0000 0.0000

1.5052 1.5052 1.5052 -0.0000 0.0000 0.0000

1.5052 1.5052 1.5052 -0.0000 0.0000 0.0000

1.5052 1.5052 1.5052 -0.0000 0.0000 0.0000

val =

1.5052

n =

24

>> val=DieDai('Exp2',1,1e-6)

跌代次数8

val =

-2.9475

>> val=DieDai('Exp3',1,1e-6)

跌代次数10

val =

1.5052

>> val=DieDai('Exp4',1,1e-6)

跌代次数

6

val =

Inf

>> NewtonDieDai('fun1','Exp4',1,1e-6)

x1 =

1.5377

n =

2

x1 =

1.5059

n =

3

x1 =

1.5052

n =

4

x1 =

1.5052

n =

5

跌代次数

5

ans =

1.5052

>>

function [val,n]=ErFen_Root(f,x,dalt)

% [val,n]=ErFen_root(f,x,dalt)

% f 要求根函数名

% x 初试有根区间

% dalt 精度,默认为10-5

% val 返回所得根

% n 跌代次数

if nargin

dalt=1e-5;

end

ab=x;i=0;x0=sum(ab)/2;

fa=feval(f,ab(1));

fb=feval(f,ab(2));

fx0=feval(f,x0);

while abs(fa-fb)>=dalt

i=1+i;

disp([ab(1) x0 ab(2) fa fx0 fb ]);% 显示跌代过程 if fx0*fa

ab(2)=x0;

fb=fx0;

else

ab(1)=x0;

fa=fx0;

end

x0=sum(ab)/2;

fx0=feval(f,x0);

if (ab(2)-ab(1))

disp('May not be root!');

break;

end

end

val=x0;

if nargout==2

n=i;

end

function val=DieDai(f,x0,delta) %用

if nargin

delta=1e-7;

end

n=1;

x1=feval(f,x0);

while abs(x1-x0)>delta

x0=x1;

x1=feval(f,x0);

n=n+1;

if n>100

exit('跌代出问题'); end

end

val=x1;

disp(['跌代次数']);%显示跌代次数 disp(n);

二分法及迭代法求解非线性方程根

班级： 姓名： 方 学号： 日期：

一、实验目的

1、熟悉二分法及迭代法求解非线性方程根的数值算法；

2、用matlab软件实现二分法及迭代法，掌握迭代法的收敛性和收敛速度问题及其加速方法；

二、基本理论及背景

1、牛顿迭代法具有平方收敛的速度，所以在迭代过程中只要迭代几次就会得到很精确的解。这是牛顿迭代法比简单迭代法优越的地方，但是选定的初值要接近方程的解，否则有可能得不到收敛的结果，再者，牛顿迭代法计算量比较大。因每次迭代除计算函数值外还要计算微商值。

2、牛顿迭代理论推导：设r是f(x) = 0的根，选取x0作为r初始近似值，过点（x0,f(x0)）做曲线y = f(x)的切线L，L的方程为y =

f(x0)+f'(x0)(x-x0)，求出L与x轴交点的横坐标 x1 = x0-f(x0)/f'(x0)，称x1为r的一次近似值。过点（x1,f(x1)）做曲线y = f(x)的切线，并求该切线与x轴交点的横坐标 x2 = x1-f(x1)/f'(x1)，称x2为r的二次近似值。重复以上过程，得r的近似值序列，其中x(n+1)=x(n)－f(x(n))/f'(x(n))，称为r的n+1次近似值；

3、参考《二分法求非线性方程根》，实现二分算法，完成下面的题目：

1 求方程○的根，精度至少达到10-6；

1中方程根的收敛性： 比较迭代下列迭代法求解○

2

○,；

1中方程的根（精度至少达到10-6）2中收敛用牛顿法设计迭代函数求解○，并与○

的迭代法比较收敛的速度。。

三、算法设计及实现

1function f=fun1(x) 1、设计：方程○

f=exp(x)-x-3;；

2 function y=Exp2(x) ○

y=exp(x)-3;

function y=Exp3(x)

y=log(x+3);

牛顿迭代：

function df=Exp4(x)

df=exp(x)-1。

四、实验步骤

1打开matlab软件，1、○新建ErFen_Root.m文件,在窗口中编辑二分法数值积分函数程序代码,并保存在指定的文件夹下,在Current Directory窗口右边点击《Browse For Folder》按钮指向ErFen_Root.m文件；

2在Command ○Window中编辑相应要计算的题目的数值函数及相应的题目的表达式。

2、输出结果和初步分析说明（见附件一）。

五、使用说明实验结果分析

1、在Command Window窗口中编辑要调用的函数名与指定的函数名字不同导致出现错误，通过改正与函数名相同即可；在调用函数时要用单引号引用。

六、算法的改进和实验总结

在用二分法迭代求解的过程中，被调用的函数需要清楚的描述所要执行的问题的求解过程，在matlab函数调用时，执行函数一定要与函数同名。

七、源程序（见附件二）

附件一：

>> [val,n]=ErFen_Root('fun1',[0 3],1e-6)

0 1.5000 3.0000 -2.0000 -0.0183 14.0855

1.5000 2.2500 3.0000 -0.0183 4.2377 14.0855

1.5000 1.8750 2.2500 -0.0183 1.6458 4.2377

1.5000 1.6875 1.8750 -0.0183 0.7184 1.6458

1.5000 1.5938 1.6875 -0.0183 0.3284 0.7184

1.5000 1.5469 1.5938 -0.0183 0.1499 0.3284

1.5000 1.5234 1.5469 -0.0183 0.0645 0.1499

1.5000 1.5117 1.5234 -0.0183 0.0228 0.0645

1.5000 1.5059 1.5117 -0.0183 0.0022 0.0228

1.5000 1.5029 1.5059 -0.0183 -0.0081 0.0022

1.5029 1.5044 1.5059 -0.0081 -0.0030 0.0022

1.5044 1.5051 1.5059 -0.0030 -0.0004 0.0022

1.5051 1.5055 1.5059 -0.0004 0.0009 0.0022

1.5051 1.5053 1.5055 -0.0004 0.0002 0.0009

1.5051 1.5052 1.5053 -0.0004 -0.0001 0.0002

1.5052 1.5053 1.5053 -0.0001 0.0001 0.0002

1.5052 1.5052 1.5053 -0.0001 -0.0000 0.0001

1.5052 1.5053 1.5053 -0.0000 0.0000 0.0001

1.5052 1.5052 1.5053 -0.0000 0.0000 0.0000

1.5052 1.5052 1.5052 -0.0000 0.0000 0.0000

1.5052 1.5052 1.5052 -0.0000 0.0000 0.0000

1.5052 1.5052 1.5052 -0.0000 0.0000 0.0000

1.5052 1.5052 1.5052 -0.0000 0.0000 0.0000

1.5052 1.5052 1.5052 -0.0000 0.0000 0.0000

val =

1.5052

n =

24

>> val=DieDai('Exp2',1,1e-6)

跌代次数8

val =

-2.9475

>> val=DieDai('Exp3',1,1e-6)

跌代次数10

val =

1.5052

>> val=DieDai('Exp4',1,1e-6)

跌代次数

6

val =

Inf

>> NewtonDieDai('fun1','Exp4',1,1e-6)

x1 =

1.5377

n =

2

x1 =

1.5059

n =

3

x1 =

1.5052

n =

4

x1 =

1.5052

n =

5

跌代次数

5

ans =

1.5052

>>

function [val,n]=ErFen_Root(f,x,dalt)

% [val,n]=ErFen_root(f,x,dalt)

% f 要求根函数名

% x 初试有根区间

% dalt 精度,默认为10-5

% val 返回所得根

% n 跌代次数

if nargin

dalt=1e-5;

end

ab=x;i=0;x0=sum(ab)/2;

fa=feval(f,ab(1));

fb=feval(f,ab(2));

fx0=feval(f,x0);

while abs(fa-fb)>=dalt

i=1+i;

disp([ab(1) x0 ab(2) fa fx0 fb ]);% 显示跌代过程 if fx0*fa

ab(2)=x0;

fb=fx0;

else

ab(1)=x0;

fa=fx0;

end

x0=sum(ab)/2;

fx0=feval(f,x0);

if (ab(2)-ab(1))

disp('May not be root!');

break;

end

end

val=x0;

if nargout==2

n=i;

end

function val=DieDai(f,x0,delta) %用

if nargin

delta=1e-7;

end

n=1;

x1=feval(f,x0);

while abs(x1-x0)>delta

x0=x1;

x1=feval(f,x0);

n=n+1;

if n>100

exit('跌代出问题'); end

end

val=x1;

disp(['跌代次数']);%显示跌代次数 disp(n);