初二第一学期知识点汇总
勾股定理
直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．如果直角三角形的两直角边长分别为斜边长为，那么． ，
要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系．（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的（3）理解勾股定理的一些变式：
．
勾股定理的作用
1．已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；
2．用于解决带有平方关系的证明问题；
3．与勾股定理有关的面积计算；
4．勾股定理在实际生活中的应用．
勾股定理的逆定理
如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. ，，
要点诠释：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.
（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形. 如何判定一个三角形是否是直角三角形
（1）首先确定最大边（如）. （2）验证
是∠C ＝90°的直角三角形；若
要点诠释：当
其中为三角形的最大边.
平方根和算术平方根的概念
1. 平方根的定义如果，那么叫做的平方根. 求一个数的平方根的运算，叫做开平方. 叫与是否具有相等关系. 若，则△ABC ，则△ABC 不是直角三角形. 时，此三角形为锐角三角形，时，此三角形为钝角三角形；当做被开方数. 平方与开平方互为逆运算.
2. 算术平方根的定义
正数的两个平方根可以用“
读作“根号”；
要点诠释：当式子”表示，其中表示的正平方根（又叫算术平方根）， 表示的负平方根，读作“负根号”. 有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0.
平方根和算术平方根的区别与联系
1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：和
2．联系（1）平方根包含算术平方根（2）被开方数都是非负数；3 0的平方根和算术平方根均为0． 要点诠释：
（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根．
（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根. 因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.
平方根的性质
平方根小数点位数移动规律
被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位. 例如：
立方根的定义
如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根. 这就是说，如果
叫做的立方根. 求一个数的立方根的运算，叫做开立方.
要点诠释：一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为，那么，，，. 逆运算.
立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.
要点诠释：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数.
立方根的性质
要点诠释：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题.
立方根小数点位数移动规律
被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位. 例如，，，，.
有理数与无理数
有限小数和无限循环小数都称为有理数. 无限不循环小数叫无理数.
要点诠释：
（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限. 无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式.
（2）常见的无理数有三种形式：①含类. ②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111„„. ③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如.
实数：有理数和无理数统称为实数. 有理数和无理数组成了一个新的数集——实数集，实数集通常用字母R 表示.
1. 实数的分类
按定义分：
实数
按与0的大小关系分：
实数
2. 实数与数轴上的点一 一对应.
数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应. 实数大小的比较
对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大.
正实数大于0，负实数小于0，两个负数，绝对值大的反而小.
实数的运算
有理数中关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数.
当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算. 在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用.
二次根式的概念：一般地，我们把形如(a≥0)•的式子叫做二次根式，“”称为二次根号． 要点诠释：二次根式的两个要素：①根指数为2；②被开方数为非负数.
二次根式的性质
1．≥0，（≥0）； 2．（≥0）； 3．.
（≥0，≥0）. 4．积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，即
5．商的算术平方根等于被除数的算术平方根与除数的算术平方根的商，
即
要点诠释： （1）二次根式
式， 即
（2）与. （≥0，>0）. (a≥0) 的值是非负数。一个非负数可以写成它的算术平方根的形要注意区别与联系：
中≥0，
=；
最简二次根式 =
（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；
（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
满足这两个条件的二次根式叫最简二次根式.
二次根式的乘法
1. 乘法法则：
（≥0，≥0）, 即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开方数相乘. 要点诠释：
(1)在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要注意：公式中a 、b 都必须是非负数；(在本章中， 如果没有特别说明，所有字母都表示非负数).
(2)该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算：
(3)若二次根式相乘的结果能写成
1. 除法法则： ≥0，≥0，„.. . ≥0）. 的形式，则应化简，如
（≥0，>0）, 即两个二次根式相除，根指数不变，把被开方数相除.
要点诠释：(1)在进行二次根式的除法运算时，对于公式中被开方数a 、b 的取值范围应特别注意，≥0，>0，因为b 在分母上，故b 不能为0.
(2)运用二次根式的除法法则，可将分母中的根号去掉，二次根式的运算结果要尽量化简，最后结果中分母不能带根号.
1. 分母有理化：把分母中的二次根式化去叫做分母有理化.
2. 有理化因式
两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式. 有理化因式确定方法如下：
①单项二次根式：利用
分别互为有理化因式.
②两项二次根式：利用平方差公式来确定. 如
分别互为有理化因式.
要点诠释：分母有理化的方法与步骤：①先将分子、分母化成最简二次根式； ②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；③最后结果必须化成最简二次根式或有理式.
同类二次根式：1. 定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式.
要点诠释：(1)判断几个二次根式是否是同类二次根式，必须先将二次根式化成最简二次根式，再看被开方数是否相同；(2)几个二次根式是否是同类二次根式，只与被开方数及根指数有关，而与根号外的因式无关.
2. 合并同类二次根式：只把系数相加减，根指数和被开方数不变.(合并同类二次根式的方法与整式加减运算中的合并同类项类似)
要点诠释：(1)根号外面的因式就是这个根式的系数；
(2)二次根式的系数是带分数的要变成假分数的形式.
二次根式的加减
1. 二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，即先把各个二次根式化成最简二次根式，再把其中的同类二次根式进行合并. 对于没有合并的二次根式，仍要写到结果中.
要点诠释：（1）在进行二次根式的加减运算时，整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则仍然适用。（2）二次根式加减运算的步骤：
1) 将每个二次根式都化简成为最简二次根式；
2) 判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类的二次根式结合为一组；3) 合并同类二次根式. 与，，来确定，如：，，与等
二次根式的混合运算
二次根式的混合运算是对二次根式的乘除及加减运算法则的综合运用.
要点诠释：
(1)二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的；
(2)在实数运算和整式运算中的运算律和乘法公式在二次根式的运算中仍然适用；
(3)二次根式混合运算的结果要写成最简形式.
确定位置的方法
有序数对：
把有顺序的两个数a 与b 组成的数对，叫做有序数对，记作(a，b) ．
坐标平面
1. 象限
建立了平面直角坐标系以后，坐标平面就被两条坐标轴分成如图所示的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限和第四象限，如下图．
要点诠释：（1）坐标轴x 轴与y 轴上的点(包括原点) 不属于任何象限．
（2）按方位来说：第一象限在坐标平面的右上方，第二象限在左上方，第三象限在左下方，第四象限在右下方.
2. 各个象限内和坐标轴上点的坐标的符号特征
要点诠释：（1）对于坐标平面内任意一个点，不在这四个象限内，就在坐标轴上.
（2）坐标轴上点的坐标特征：x 轴上的点的纵坐标为0；y 轴上的点的横坐标为0．
（3）根据点的坐标的符号情况可以判断点在坐标平面上的大概位置；反之，根据点在坐标平面上的位置也可以判断点的坐标的符号情况．
关于坐标轴对称点的坐标特征
1. 关于坐标轴对称的点的坐标特征
P(a，b) 关于x 轴对称的点的坐标为 (a,－b) ；P(a，b) 关于y 轴对称的点的坐标为 (－a,b) ； P(a，b) 关于原点对称的点的坐标为 (－a, －b) ．
2. 象限的角平分线上点坐标的特征
第一、三象限角平分线上点的横、纵坐标相等，可表示为(a，a) ；
第二、四象限角平分线上点的横、纵坐标互为相反数，可表示为(a，－a) ．
3. 平行于坐标轴的直线上的点
平行于x 轴的直线上的点的纵坐标相同； 平行于y 轴的直线上的点的横坐标相同. 用坐标表示平移
1. 点的平移：
在平面直角坐标系中，将点(x，y) 向右或向左平移a 个单位长度，可以得到对应点(x＋a ，y) 或(x－a ，y) ；将点(x，y) 向上或向下平移b 个单位长度，可以得到对应点(x，y ＋b) 或(x，y －b) ． 要点诠释：（1）在坐标系内，左右平移的点的坐标规律：右加左减；
（2）在坐标系内，上下平移的点的坐标规律：上加下减；
（3）在坐标系内，平移的点的坐标规律：沿x 轴平移纵坐标不变, 沿y 轴平移横坐标不变．
2. 图形的平移：
在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加上(或减去) 一个正数a ，相应的新图形就是把原图形向右(或向左) 平移a 个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加上(或减去) 一个正数a ，相应的新图形就是把原图形向上(或向下) 平移a 个单位长度．
要点诠释：（1）平移是图形的整体位置的移动，图形上各点都发生相同性质的变化，因此图形的平移问题可以转化为点的平移问题来解决．
（2）平移只改变图形的位置，图形的大小和形状不发生变化.
变量、常量的概念
在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量. 数值保持不变的量叫做常量.
函数的定义
一般地，在一个变化过程中. 如果有两个变量与，并且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 是自变量，是的函数.
要点诠释：对于函数的定义，应从以下几个方面去理解：
（1）函数的实质，揭示了两个变量之间的对应关系；
（2）对于自变量的取值，必须要使代数式有实际意义；
（3）判断两个变量之间是否有函数关系，要看对于允许取的每一个值，是否都有唯一确定的值与它相对应
（4）两个函数是同一函数至少具备两个条件：①函数关系式相同（或变形后相同）；
②自变量的取值范围相同. 否则，就不是相同的函数. 而其中函数关系式相同与否比较容易注意到，自变量的取值范围有时容易忽视，这点应注意.
函数值
对于自变量在可取值范围内的一个确定的值a, 函数有唯一确定的对应值，这个对应值称为当自变量等于a 时的函数值.
要点诠释：对于每个确定的自变量值，函数值是唯一的，但反过来，可以不唯一，即一个函数值对应的自变量可以是多个. 比如：中，当函数值为4时，自变量的值为±2.
自变量取值范围的确定
使函数有意义的自变量的取值的全体实数叫自变量的取值范围.
要点诠释：自变量的取值范围的确定方法：
首先，要考虑自变量的取值必须使解析式有意义：
（1）当解析式是整式时，自变量的取值范围是全体实数；
（2）当解析式是分式时，自变量的取值范围是使分母不为零的实数；
（3）当解析式是二次根式时，自变量的取值范围是使被开方数不小于零的实数；
（4）当解析式中含有零指数幂或负整数指数幂时，自变量的取值应使相应的底数不为零；
（5）当解析式表示实际问题时，自变量的取值必须使实际问题有意义.
函数的几种表达方式
表示函数的方法一般有以下三种：
（1）列表法：函数关系用一个表格表达出来的方法.
（2）关系式法：用来表示函数关系的等式叫做函数关系式，也称函数的解析式.
（3）图象法：用图象表达两个变量之间的关系.
函数的图象
对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象.
要点诠释：由函数解析式画出图象的一般步骤：列表、描点、连线. 列表时，自变量的取值范围
应注意兼顾原则，既要使自变量的取值有一定的代表性，又不至于使自变量或对应的函数值太大或太小，以便于描点和全面反映图象情况.
正比例函数的定义
1、正比例函数的定义
一般的，形如 （为常数，且≠0）的函数，叫做正比例函数. 其中叫做比例系数.
2、正比例函数的等价形式
（1）、是的正比例函数；（2）、（为常数且≠0）；
（3）、若与成正比例； （4）、
正比例函数的图象与性质
正比例函数
当＞0时，直线
直线（为常数且≠0）. （是常数，≠0）的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线. 经过第一、三象限，从左向右上升，即随着的增大也增大；当＜0时，经过第二、四象限，从左向右下降，即随着的增大反而减小.
待定系数法求正比例函数的解析式
由于正比例函数 （为常数，≠0 ）中只有一个待定系数，故只要有一对，的值或一个非原点的点，就可以求得值.
函数图象及一次函数的定义
1. 函数图象的概念：把一个函数自变量的每一个值与对应的函数值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出相应的点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象.
2. 一次函数的定义：一般地，形如（，是常数，≠0）的函数，叫做一次函数.
3. 画函数图象的一般步骤
总结归纳一下描点法画函数图象的一般步骤
第一步：列表．在自变量取值范围内选定一些值．通过函数关系式求出对应函数值列成表格．
第二步：描点．在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应函数值为纵坐标，描出表中对应各点． 第三步：连线．按照自变量由小到大的顺序把所有点用平滑曲线连结起来．
一次函数的图象与性质
1. 函数（、为常数，且≠0）的图象是一条直线；
是由直线
是由直线向上平移个单位长度得到的； 向下平移||个单位长度得到的. 当＞0时，直线 当＜0时，直线
2. 一次函数（、为常数，且≠0）的图象与性质：
3. 、对一次函数
决定直线的图象和性质的影响： 从左向右的趋势，决定它与轴交点的位置，、一起决定直线经过的象限．
4. 两条直线：
（1）和：与相交； （2）的位置关系可由其系数确定： ，且与平行；
待定系数法求一次函数解析式
一次函数（，是常数，≠0）中有两个待定系数，，需要两个独立条件确定两个关于，的方程，这两个条件通常为两个点或两对，的值.
要点诠释：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知数的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待定系数法. 由于一次函数中有和两个待定系数，所以用待定系数法时需要根据两个条件列二元一次方程组（以和为未知数），解方程组后就能具体写出一次函数的解析式. 分段函数
对于某些量不能用一个解析式表示，而需要分情况（自变量的不同取值范围）用不同的解析式表示，因此得到的函数是形式比较复杂的分段函数. 解题中要注意解析式对应的自变量的取值范围，分段考虑问题.
要点诠释：对于分段函数的问题，特别要注意相应的自变量变化范围. 在解析式和图象上都要反映出自变量的相应取值范围.
要注意结合实际，确定自变量的取值范围，这是应用中的难点，也是中考的热门考点.
（2）一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组无解，而方程组的解有无数个．
常见的一些等量关系
1．和差倍分问题：
增长量＝原有量×增长率 较大量＝较小量＋多余量，总量＝倍数×倍量.
2．增收节支问题：
（1）增长（递减）率公式：
原来的量×（1+增长率）=后来的量； 原来的量×（1-递减率）=后来的量；
（2）利润公式：
利润=总收入-总支出 ；利润＝售价－成本(或进价) ＝成本×利润率
；标价＝成本(或进价) ×(1＋利润率)
（3）银行利率公式： 利息=本金×利率×期数.
本息和（本利和）＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数＝本金×(1＋利率×期数) . 年利率＝月利率×12. 月利率＝年利率×.
要点诠释：增收节支问题常常借助列表分析问题中所蕴涵的数量关系，这种方法清晰明了，能够充分突出解题过程．
3．行程问题：
速度×时间=路程 顺水速度=静水速度+水流速度. 逆水速度=静水速度-水流速度.
4．数字问题：
已知各数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数，例如：若一个两位数的个位数字为a ，十位数字为b ，则这个两位数可以表示为10b+a．
实际问题与二元一次方程组
1．列方程组解应用题的基本思想
列方程组解应用题，是把“未知”转换成“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的等量关系．一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量：②同类量的单位要统一；③方程两边的数要相等.
2．列二元一次方程组解应用题的一般步骤：
设：用两个字母表示问题中的两个未知数；
列：列出方程组（分析题意，找出两个等量关系，根据等量关系列出方程组）；
解：解方程组，求出未知数的值；
验：检验求得的值是否正确和符合实际情形；
答：写出答案．
要点诠释：（1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去；
（2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称；
（3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组.
二元一次方程与一次函数的关系
1．任何一个二元一次方程都可以变形为
即为一个一次函数，所以每个二元一次方程都对应一个一次函数.
2．我们知道每个二元一次方程都有无数组解，
要点诠释：1．以二元一次方程的解为坐标的点都在相应的函数图像上；
2．一次函数图像上的点的坐标都适合相应的二元一次方程；
3．以二元一次方程的解为坐标的所有点组成的图像与相应一次函数的图像相同.
二元一次方程组与一次函数
1. 二元一次方程组与一次函数
每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线. 从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标.
要点诠释：1．两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系是：在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解. 反过来，以二元一次方程组的解为坐标的点一定是相应的两个一次函数的图象的交点.
2．当二元一次方程组无解时，方程组中两方程未知数的系数对应成比例，相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直线就平行. 反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解.
3．当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线重合，反之也成立.
2. 图像法解二元一次方程组
求二元一次方程组的解，可以转化为求两条直线的交点的横纵坐标（即二元一次方程组的图像解法. ）所以，解二元一次方程组的方法有：代入消元法、加减消元法和图像法三种.
要点诠释：利用图像法求二元一次方程组的解是近似解，要得到准确解，一般还是用代入消元法和加减消元法解方程组. 相反，求两条直线的交点坐标可以转化为求这两条直线对应的函数表达式联立的二元一次方程组的解.
用二元一次方程组确定一次函数表达式
待定系数法：先设出函数表达式，再根据所给的条件确定表达式中未知数的系数，从而得到函数表达式的方法，叫做待定系数法.
利用待定系数法解决问题的步骤：
1．确定所求问题含有待定系数解析式.2．根据所给条件, 列出一组含有待定系数的方程.
3．解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决.
算术平均数和加权平均数
一般地，对于个数，我们把叫做这个数的算术平均数，简称平均数，记作. 计算公式为
中位数和众数
1. 中位数
一般地，n 个数据按照大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数.
要点诠释：（1）一组数据的中位数是唯一的；一组数据的中位数不一定出现在这组数据中.
（2）由一组数据的中位数可以知道中位数以上和以下数据各占一半.
2. 众数：一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数.
要点诠释：（1）一组数据的众数一定出现在这组数据中；一组数据的众数可能不止一个.
（2）众数是一组数据中出现次数最多的数据而不是数据出现的次数.
要点四、极差、方差和标准差
1. 极差：一组数据中最大数据与最小数据的差，称为极差，极差＝最大数据－最小数据.
要点诠释：极差是最简单的一种度量数据波动情况的量，它受极端值的影响较大. 一组数据极差越小，这组数据就越稳定.
2. 方差：方差是各个数据与平均数差的平方的平均数. 方差的计算公式是：
，其中，是，，„的平均数.
要点诠释：
（1）方差反映的是一组数据偏离平均值的情况. 方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小.
（2）一组数据的每一个数都加上（或减去）同一个常数，所得的一组新数据的方差不变.
（3）一组数据的每一个数据都变为原来的倍，则所得的一组新数据的方差变为原来的
3. 标准差
方差的算术平方根叫做这组数据的标准差，用符号表示，即： 倍.
；标准差的数量单位与原数据一致.
4. 极差、方差和标准差的联系与区别
联系：极差与方差、标准差都是表示一组数据离散程度的特征数．
区别：极差表示一组数据波动范围的大小，它受极端数据的影响较大；方差反映了一组数据与其平均值的离散程度的大小．方差越大，稳定性也越小；反之，则稳定性越好．所以一般情况下只求一组数据的波动范围时用极差，在考虑到这组数据的稳定性时用方差.
用样本估计总体
在考察总体的平均水平或方差时，往往都是通过抽取样本，用样本的平均水平或方差近似估计得到总体的平均水平或方差.
要点诠释：
（1）如果总体数量太多，或者从总体中抽取个体的试验带有破坏性，都应该抽取样本. 取样必须具有尽可能大的代表性.
（2）用样本估计总体时，样本容量越大，样本对总体的估计也越精确. 样本容量的确定既要考虑问题本身的需要，又要考虑实现的可能性所付出的代价.
三角形的外角
1．定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．
外角的特征：①顶点在三角形的一个顶点上； ②一条边是三角形的一边；③另一条边是三角形某条边的延长线．
2．性质：（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．（2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．
三角形的外角和：三角形的外角和等于360°.
初二第一学期知识点汇总
勾股定理
直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．如果直角三角形的两直角边长分别为斜边长为，那么． ，
要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系．（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的（3）理解勾股定理的一些变式：
．
勾股定理的作用
1．已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；
2．用于解决带有平方关系的证明问题；
3．与勾股定理有关的面积计算；
4．勾股定理在实际生活中的应用．
勾股定理的逆定理
如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. ，，
要点诠释：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.
（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形. 如何判定一个三角形是否是直角三角形
（1）首先确定最大边（如）. （2）验证
是∠C ＝90°的直角三角形；若
要点诠释：当
其中为三角形的最大边.
平方根和算术平方根的概念
1. 平方根的定义如果，那么叫做的平方根. 求一个数的平方根的运算，叫做开平方. 叫与是否具有相等关系. 若，则△ABC ，则△ABC 不是直角三角形. 时，此三角形为锐角三角形，时，此三角形为钝角三角形；当做被开方数. 平方与开平方互为逆运算.
2. 算术平方根的定义
正数的两个平方根可以用“
读作“根号”；
要点诠释：当式子”表示，其中表示的正平方根（又叫算术平方根）， 表示的负平方根，读作“负根号”. 有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0.
平方根和算术平方根的区别与联系
1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：和
2．联系（1）平方根包含算术平方根（2）被开方数都是非负数；3 0的平方根和算术平方根均为0． 要点诠释：
（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根．
（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根. 因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.
平方根的性质
平方根小数点位数移动规律
被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位. 例如：
立方根的定义
如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根. 这就是说，如果
叫做的立方根. 求一个数的立方根的运算，叫做开立方.
要点诠释：一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为，那么，，，. 逆运算.
立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.
要点诠释：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数.
立方根的性质
要点诠释：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题.
立方根小数点位数移动规律
被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位. 例如，，，，.
有理数与无理数
有限小数和无限循环小数都称为有理数. 无限不循环小数叫无理数.
要点诠释：
（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限. 无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式.
（2）常见的无理数有三种形式：①含类. ②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111„„. ③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如.
实数：有理数和无理数统称为实数. 有理数和无理数组成了一个新的数集——实数集，实数集通常用字母R 表示.
1. 实数的分类
按定义分：
实数
按与0的大小关系分：
实数
2. 实数与数轴上的点一 一对应.
数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应. 实数大小的比较
对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大.
正实数大于0，负实数小于0，两个负数，绝对值大的反而小.
实数的运算
有理数中关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数.
当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算. 在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用.
二次根式的概念：一般地，我们把形如(a≥0)•的式子叫做二次根式，“”称为二次根号． 要点诠释：二次根式的两个要素：①根指数为2；②被开方数为非负数.
二次根式的性质
1．≥0，（≥0）； 2．（≥0）； 3．.
（≥0，≥0）. 4．积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，即
5．商的算术平方根等于被除数的算术平方根与除数的算术平方根的商，
即
要点诠释： （1）二次根式
式， 即
（2）与. （≥0，>0）. (a≥0) 的值是非负数。一个非负数可以写成它的算术平方根的形要注意区别与联系：
中≥0，
=；
最简二次根式 =
（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；
（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
满足这两个条件的二次根式叫最简二次根式.
二次根式的乘法
1. 乘法法则：
（≥0，≥0）, 即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开方数相乘. 要点诠释：
(1)在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要注意：公式中a 、b 都必须是非负数；(在本章中， 如果没有特别说明，所有字母都表示非负数).
(2)该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算：
(3)若二次根式相乘的结果能写成
1. 除法法则： ≥0，≥0，„.. . ≥0）. 的形式，则应化简，如
（≥0，>0）, 即两个二次根式相除，根指数不变，把被开方数相除.
要点诠释：(1)在进行二次根式的除法运算时，对于公式中被开方数a 、b 的取值范围应特别注意，≥0，>0，因为b 在分母上，故b 不能为0.
(2)运用二次根式的除法法则，可将分母中的根号去掉，二次根式的运算结果要尽量化简，最后结果中分母不能带根号.
1. 分母有理化：把分母中的二次根式化去叫做分母有理化.
2. 有理化因式
两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式. 有理化因式确定方法如下：
①单项二次根式：利用
分别互为有理化因式.
②两项二次根式：利用平方差公式来确定. 如
分别互为有理化因式.
要点诠释：分母有理化的方法与步骤：①先将分子、分母化成最简二次根式； ②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；③最后结果必须化成最简二次根式或有理式.
同类二次根式：1. 定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式.
要点诠释：(1)判断几个二次根式是否是同类二次根式，必须先将二次根式化成最简二次根式，再看被开方数是否相同；(2)几个二次根式是否是同类二次根式，只与被开方数及根指数有关，而与根号外的因式无关.
2. 合并同类二次根式：只把系数相加减，根指数和被开方数不变.(合并同类二次根式的方法与整式加减运算中的合并同类项类似)
要点诠释：(1)根号外面的因式就是这个根式的系数；
(2)二次根式的系数是带分数的要变成假分数的形式.
二次根式的加减
1. 二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，即先把各个二次根式化成最简二次根式，再把其中的同类二次根式进行合并. 对于没有合并的二次根式，仍要写到结果中.
要点诠释：（1）在进行二次根式的加减运算时，整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则仍然适用。（2）二次根式加减运算的步骤：
1) 将每个二次根式都化简成为最简二次根式；
2) 判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类的二次根式结合为一组；3) 合并同类二次根式. 与，，来确定，如：，，与等
二次根式的混合运算
二次根式的混合运算是对二次根式的乘除及加减运算法则的综合运用.
要点诠释：
(1)二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的；
(2)在实数运算和整式运算中的运算律和乘法公式在二次根式的运算中仍然适用；
(3)二次根式混合运算的结果要写成最简形式.
确定位置的方法
有序数对：
把有顺序的两个数a 与b 组成的数对，叫做有序数对，记作(a，b) ．
坐标平面
1. 象限
建立了平面直角坐标系以后，坐标平面就被两条坐标轴分成如图所示的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限和第四象限，如下图．
要点诠释：（1）坐标轴x 轴与y 轴上的点(包括原点) 不属于任何象限．
（2）按方位来说：第一象限在坐标平面的右上方，第二象限在左上方，第三象限在左下方，第四象限在右下方.
2. 各个象限内和坐标轴上点的坐标的符号特征
要点诠释：（1）对于坐标平面内任意一个点，不在这四个象限内，就在坐标轴上.
（2）坐标轴上点的坐标特征：x 轴上的点的纵坐标为0；y 轴上的点的横坐标为0．
（3）根据点的坐标的符号情况可以判断点在坐标平面上的大概位置；反之，根据点在坐标平面上的位置也可以判断点的坐标的符号情况．
关于坐标轴对称点的坐标特征
1. 关于坐标轴对称的点的坐标特征
P(a，b) 关于x 轴对称的点的坐标为 (a,－b) ；P(a，b) 关于y 轴对称的点的坐标为 (－a,b) ； P(a，b) 关于原点对称的点的坐标为 (－a, －b) ．
2. 象限的角平分线上点坐标的特征
第一、三象限角平分线上点的横、纵坐标相等，可表示为(a，a) ；
第二、四象限角平分线上点的横、纵坐标互为相反数，可表示为(a，－a) ．
3. 平行于坐标轴的直线上的点
平行于x 轴的直线上的点的纵坐标相同； 平行于y 轴的直线上的点的横坐标相同. 用坐标表示平移
1. 点的平移：
在平面直角坐标系中，将点(x，y) 向右或向左平移a 个单位长度，可以得到对应点(x＋a ，y) 或(x－a ，y) ；将点(x，y) 向上或向下平移b 个单位长度，可以得到对应点(x，y ＋b) 或(x，y －b) ． 要点诠释：（1）在坐标系内，左右平移的点的坐标规律：右加左减；
（2）在坐标系内，上下平移的点的坐标规律：上加下减；
（3）在坐标系内，平移的点的坐标规律：沿x 轴平移纵坐标不变, 沿y 轴平移横坐标不变．
2. 图形的平移：
在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加上(或减去) 一个正数a ，相应的新图形就是把原图形向右(或向左) 平移a 个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加上(或减去) 一个正数a ，相应的新图形就是把原图形向上(或向下) 平移a 个单位长度．
要点诠释：（1）平移是图形的整体位置的移动，图形上各点都发生相同性质的变化，因此图形的平移问题可以转化为点的平移问题来解决．
（2）平移只改变图形的位置，图形的大小和形状不发生变化.
变量、常量的概念
在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量. 数值保持不变的量叫做常量.
函数的定义
一般地，在一个变化过程中. 如果有两个变量与，并且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 是自变量，是的函数.
要点诠释：对于函数的定义，应从以下几个方面去理解：
（1）函数的实质，揭示了两个变量之间的对应关系；
（2）对于自变量的取值，必须要使代数式有实际意义；
（3）判断两个变量之间是否有函数关系，要看对于允许取的每一个值，是否都有唯一确定的值与它相对应
（4）两个函数是同一函数至少具备两个条件：①函数关系式相同（或变形后相同）；
②自变量的取值范围相同. 否则，就不是相同的函数. 而其中函数关系式相同与否比较容易注意到，自变量的取值范围有时容易忽视，这点应注意.
函数值
对于自变量在可取值范围内的一个确定的值a, 函数有唯一确定的对应值，这个对应值称为当自变量等于a 时的函数值.
要点诠释：对于每个确定的自变量值，函数值是唯一的，但反过来，可以不唯一，即一个函数值对应的自变量可以是多个. 比如：中，当函数值为4时，自变量的值为±2.
自变量取值范围的确定
使函数有意义的自变量的取值的全体实数叫自变量的取值范围.
要点诠释：自变量的取值范围的确定方法：
首先，要考虑自变量的取值必须使解析式有意义：
（1）当解析式是整式时，自变量的取值范围是全体实数；
（2）当解析式是分式时，自变量的取值范围是使分母不为零的实数；
（3）当解析式是二次根式时，自变量的取值范围是使被开方数不小于零的实数；
（4）当解析式中含有零指数幂或负整数指数幂时，自变量的取值应使相应的底数不为零；
（5）当解析式表示实际问题时，自变量的取值必须使实际问题有意义.
函数的几种表达方式
表示函数的方法一般有以下三种：
（1）列表法：函数关系用一个表格表达出来的方法.
（2）关系式法：用来表示函数关系的等式叫做函数关系式，也称函数的解析式.
（3）图象法：用图象表达两个变量之间的关系.
函数的图象
对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象.
要点诠释：由函数解析式画出图象的一般步骤：列表、描点、连线. 列表时，自变量的取值范围
应注意兼顾原则，既要使自变量的取值有一定的代表性，又不至于使自变量或对应的函数值太大或太小，以便于描点和全面反映图象情况.
正比例函数的定义
1、正比例函数的定义
一般的，形如 （为常数，且≠0）的函数，叫做正比例函数. 其中叫做比例系数.
2、正比例函数的等价形式
（1）、是的正比例函数；（2）、（为常数且≠0）；
（3）、若与成正比例； （4）、
正比例函数的图象与性质
正比例函数
当＞0时，直线
直线（为常数且≠0）. （是常数，≠0）的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线. 经过第一、三象限，从左向右上升，即随着的增大也增大；当＜0时，经过第二、四象限，从左向右下降，即随着的增大反而减小.
待定系数法求正比例函数的解析式
由于正比例函数 （为常数，≠0 ）中只有一个待定系数，故只要有一对，的值或一个非原点的点，就可以求得值.
函数图象及一次函数的定义
1. 函数图象的概念：把一个函数自变量的每一个值与对应的函数值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出相应的点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象.
2. 一次函数的定义：一般地，形如（，是常数，≠0）的函数，叫做一次函数.
3. 画函数图象的一般步骤
总结归纳一下描点法画函数图象的一般步骤
第一步：列表．在自变量取值范围内选定一些值．通过函数关系式求出对应函数值列成表格．
第二步：描点．在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应函数值为纵坐标，描出表中对应各点． 第三步：连线．按照自变量由小到大的顺序把所有点用平滑曲线连结起来．
一次函数的图象与性质
1. 函数（、为常数，且≠0）的图象是一条直线；
是由直线
是由直线向上平移个单位长度得到的； 向下平移||个单位长度得到的. 当＞0时，直线 当＜0时，直线
2. 一次函数（、为常数，且≠0）的图象与性质：
3. 、对一次函数
决定直线的图象和性质的影响： 从左向右的趋势，决定它与轴交点的位置，、一起决定直线经过的象限．
4. 两条直线：
（1）和：与相交； （2）的位置关系可由其系数确定： ，且与平行；
待定系数法求一次函数解析式
一次函数（，是常数，≠0）中有两个待定系数，，需要两个独立条件确定两个关于，的方程，这两个条件通常为两个点或两对，的值.
要点诠释：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知数的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待定系数法. 由于一次函数中有和两个待定系数，所以用待定系数法时需要根据两个条件列二元一次方程组（以和为未知数），解方程组后就能具体写出一次函数的解析式. 分段函数
对于某些量不能用一个解析式表示，而需要分情况（自变量的不同取值范围）用不同的解析式表示，因此得到的函数是形式比较复杂的分段函数. 解题中要注意解析式对应的自变量的取值范围，分段考虑问题.
要点诠释：对于分段函数的问题，特别要注意相应的自变量变化范围. 在解析式和图象上都要反映出自变量的相应取值范围.
要注意结合实际，确定自变量的取值范围，这是应用中的难点，也是中考的热门考点.
（2）一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组无解，而方程组的解有无数个．
常见的一些等量关系
1．和差倍分问题：
增长量＝原有量×增长率 较大量＝较小量＋多余量，总量＝倍数×倍量.
2．增收节支问题：
（1）增长（递减）率公式：
原来的量×（1+增长率）=后来的量； 原来的量×（1-递减率）=后来的量；
（2）利润公式：
利润=总收入-总支出 ；利润＝售价－成本(或进价) ＝成本×利润率
；标价＝成本(或进价) ×(1＋利润率)
（3）银行利率公式： 利息=本金×利率×期数.
本息和（本利和）＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数＝本金×(1＋利率×期数) . 年利率＝月利率×12. 月利率＝年利率×.
要点诠释：增收节支问题常常借助列表分析问题中所蕴涵的数量关系，这种方法清晰明了，能够充分突出解题过程．
3．行程问题：
速度×时间=路程 顺水速度=静水速度+水流速度. 逆水速度=静水速度-水流速度.
4．数字问题：
已知各数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数，例如：若一个两位数的个位数字为a ，十位数字为b ，则这个两位数可以表示为10b+a．
实际问题与二元一次方程组
1．列方程组解应用题的基本思想
列方程组解应用题，是把“未知”转换成“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的等量关系．一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量：②同类量的单位要统一；③方程两边的数要相等.
2．列二元一次方程组解应用题的一般步骤：
设：用两个字母表示问题中的两个未知数；
列：列出方程组（分析题意，找出两个等量关系，根据等量关系列出方程组）；
解：解方程组，求出未知数的值；
验：检验求得的值是否正确和符合实际情形；
答：写出答案．
要点诠释：（1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去；
（2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称；
（3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组.
二元一次方程与一次函数的关系
1．任何一个二元一次方程都可以变形为
即为一个一次函数，所以每个二元一次方程都对应一个一次函数.
2．我们知道每个二元一次方程都有无数组解，
要点诠释：1．以二元一次方程的解为坐标的点都在相应的函数图像上；
2．一次函数图像上的点的坐标都适合相应的二元一次方程；
3．以二元一次方程的解为坐标的所有点组成的图像与相应一次函数的图像相同.
二元一次方程组与一次函数
1. 二元一次方程组与一次函数
每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线. 从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标.
要点诠释：1．两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系是：在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解. 反过来，以二元一次方程组的解为坐标的点一定是相应的两个一次函数的图象的交点.
2．当二元一次方程组无解时，方程组中两方程未知数的系数对应成比例，相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直线就平行. 反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解.
3．当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线重合，反之也成立.
2. 图像法解二元一次方程组
求二元一次方程组的解，可以转化为求两条直线的交点的横纵坐标（即二元一次方程组的图像解法. ）所以，解二元一次方程组的方法有：代入消元法、加减消元法和图像法三种.
要点诠释：利用图像法求二元一次方程组的解是近似解，要得到准确解，一般还是用代入消元法和加减消元法解方程组. 相反，求两条直线的交点坐标可以转化为求这两条直线对应的函数表达式联立的二元一次方程组的解.
用二元一次方程组确定一次函数表达式
待定系数法：先设出函数表达式，再根据所给的条件确定表达式中未知数的系数，从而得到函数表达式的方法，叫做待定系数法.
利用待定系数法解决问题的步骤：
1．确定所求问题含有待定系数解析式.2．根据所给条件, 列出一组含有待定系数的方程.
3．解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决.
算术平均数和加权平均数
一般地，对于个数，我们把叫做这个数的算术平均数，简称平均数，记作. 计算公式为
中位数和众数
1. 中位数
一般地，n 个数据按照大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数.
要点诠释：（1）一组数据的中位数是唯一的；一组数据的中位数不一定出现在这组数据中.
（2）由一组数据的中位数可以知道中位数以上和以下数据各占一半.
2. 众数：一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数.
要点诠释：（1）一组数据的众数一定出现在这组数据中；一组数据的众数可能不止一个.
（2）众数是一组数据中出现次数最多的数据而不是数据出现的次数.
要点四、极差、方差和标准差
1. 极差：一组数据中最大数据与最小数据的差，称为极差，极差＝最大数据－最小数据.
要点诠释：极差是最简单的一种度量数据波动情况的量，它受极端值的影响较大. 一组数据极差越小，这组数据就越稳定.
2. 方差：方差是各个数据与平均数差的平方的平均数. 方差的计算公式是：
，其中，是，，„的平均数.
要点诠释：
（1）方差反映的是一组数据偏离平均值的情况. 方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小.
（2）一组数据的每一个数都加上（或减去）同一个常数，所得的一组新数据的方差不变.
（3）一组数据的每一个数据都变为原来的倍，则所得的一组新数据的方差变为原来的
3. 标准差
方差的算术平方根叫做这组数据的标准差，用符号表示，即： 倍.
；标准差的数量单位与原数据一致.
4. 极差、方差和标准差的联系与区别
联系：极差与方差、标准差都是表示一组数据离散程度的特征数．
区别：极差表示一组数据波动范围的大小，它受极端数据的影响较大；方差反映了一组数据与其平均值的离散程度的大小．方差越大，稳定性也越小；反之，则稳定性越好．所以一般情况下只求一组数据的波动范围时用极差，在考虑到这组数据的稳定性时用方差.
用样本估计总体
在考察总体的平均水平或方差时，往往都是通过抽取样本，用样本的平均水平或方差近似估计得到总体的平均水平或方差.
要点诠释：
（1）如果总体数量太多，或者从总体中抽取个体的试验带有破坏性，都应该抽取样本. 取样必须具有尽可能大的代表性.
（2）用样本估计总体时，样本容量越大，样本对总体的估计也越精确. 样本容量的确定既要考虑问题本身的需要，又要考虑实现的可能性所付出的代价.
三角形的外角
1．定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．
外角的特征：①顶点在三角形的一个顶点上； ②一条边是三角形的一边；③另一条边是三角形某条边的延长线．
2．性质：（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．（2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．
三角形的外角和：三角形的外角和等于360°.