一、复合函数的求导法则
定理2 如果函数u =ϕ(x ) 在点x 处可导, 而函数y =f (u ) 对应的点u 处可导, 那么复合函数y =f [ϕ(x ) ]也在点x 处可导, 且有d y d y d u '='= 或 . 'f u ϕx ()()⎡⎤f ϕx d x d u d x ⎣()⎦{}
证 当自变x 的改变量为∆x 时, 对应的函数u =ϕ(x ) 与
y =f (u ) 的改变量分别为∆u 和∆y ．
由于函数y =f (u ) 可导, 即lim
, ∆y d y =+α(∆u ) ∆u d u ∆y d y =存在, 于是由无穷小与函数极限的关系, 有 ∆u →0∆u d u
其中α(∆u ) 是∆u →0时的无穷小, 以∆u 乘以上式两边得
d y ∆y =∆u +α(∆u ) ∆u d u
于是
∆y d y ∆u ∆u =+α(∆u ) ∆x d u ∆x .
因为u =ϕ(x ) 在点x 处可导, 又根据函数在某点可导必
在该点连续, 可知u =ϕ(x ) 在点x 处也是连续的, 故有
∆u d u . lim =∆x →0∆x d x
且当∆x →0时∆u →0, 从而
所以 ∆x →0lim α(∆u ) =lim α(∆u ) =0∆μ→0．
∆y d y ∆u ∆u lim =lim[+α(∆u ) ]∆x →0∆x ∆x →0d u ∆x ∆x
d y ∆u ∆u d y d u =lim +lim α(∆u ) lim =, ∆x →0∆x →0∆x →0d u ∆x ∆x d u d x
d y d y d u =即 , d x d u d x
或记为 {f [ϕ(x )]}'=f '(u ) ϕ'(x ) .
上式说明复合函数y =f [ϕ(x ) ]对x 的导数时, 可先求出y =f (u ) 对 u 的
导数和u =ϕ(x ) 对x 的导数, 然后相乘即得．
显然, 以上法则也可用于多次复合的情形．
例如, 设, y =f (u ) u =ϕ(v ) , v =ψ(x ) 都可导,
则 d y d y d u d v = , d x d u d v d x
或记为 {f [ϕ(ψ(x ))]}'=f '(u ) ϕ'(v ) ψ'(x ) .
例1 求y =sin x 的导数．
解 函数y =sin x 可以看作由函数y =sin u 与u =x 复合而成．因此
y '=(sinu ) '(x ) '=cos u 1
2x =cos x 。 2x
例2 求函数y =a 2-x 2的导数
解 次函数可看作由函数y =u 与u =a 2-x 2复合而成。因此
dy dy du 1x ==() '(a 2-x 2) '=(-2x ) =-22dx du dx 2u a -x
对于复合函数的分解比较熟悉后, 就不必再写出中间变量, 而可以采用下列例题的方式来计算．
x 例3 求函数y =ln tan 的导数． 2
解：
'x 1⎛x ⎫y '=(lntan ) '= tan ⎪22⎭tan ⎝
2
x cos 1x . 1. 1=sec 2() ' =2tan sin cos 22
222
1==csc x . sin x
【课堂练习】
1．一个中间变量的情形
例1 求下列函数的导数。
（1） y=(2x+1)5 （2）y=ln tan x
（3） y=sin2x （4）y= sin(x2)
（5） y=lncosx （6）y=e tan x
（7） y=tan 1
x （8）y=-x 2
2．多个中间变量的情形
例2 求下列函数的导数。
（1） y=lnsinx （2）y=tan(e 2x +1)
（3） y=tanln(3x-1)
3．不写出中间变量，直接利用复合函数求导法则求例1、例2的导数。
4．综合应用
例3 求下列函数的导数。
（1） y =e -x cos 3x （2） y=x -e -x
（3） y =ln(x ++x 2) （4） y=x
+x 2
（5） y=sin(xlnx) （6） y=sin 2x ln(1-x )
【小 结】
本节课，我们学习了复合函数的求导法则，请同学们注意他的特点，尽快消化掌握。
【课后习题】
一、复合函数的求导法则
定理2 如果函数u =ϕ(x ) 在点x 处可导, 而函数y =f (u ) 对应的点u 处可导, 那么复合函数y =f [ϕ(x ) ]也在点x 处可导, 且有d y d y d u '='= 或 . 'f u ϕx ()()⎡⎤f ϕx d x d u d x ⎣()⎦{}
证 当自变x 的改变量为∆x 时, 对应的函数u =ϕ(x ) 与
y =f (u ) 的改变量分别为∆u 和∆y ．
由于函数y =f (u ) 可导, 即lim
, ∆y d y =+α(∆u ) ∆u d u ∆y d y =存在, 于是由无穷小与函数极限的关系, 有 ∆u →0∆u d u
其中α(∆u ) 是∆u →0时的无穷小, 以∆u 乘以上式两边得
d y ∆y =∆u +α(∆u ) ∆u d u
于是
∆y d y ∆u ∆u =+α(∆u ) ∆x d u ∆x .
因为u =ϕ(x ) 在点x 处可导, 又根据函数在某点可导必
在该点连续, 可知u =ϕ(x ) 在点x 处也是连续的, 故有
∆u d u . lim =∆x →0∆x d x
且当∆x →0时∆u →0, 从而
所以 ∆x →0lim α(∆u ) =lim α(∆u ) =0∆μ→0．
∆y d y ∆u ∆u lim =lim[+α(∆u ) ]∆x →0∆x ∆x →0d u ∆x ∆x
d y ∆u ∆u d y d u =lim +lim α(∆u ) lim =, ∆x →0∆x →0∆x →0d u ∆x ∆x d u d x
d y d y d u =即 , d x d u d x
或记为 {f [ϕ(x )]}'=f '(u ) ϕ'(x ) .
上式说明复合函数y =f [ϕ(x ) ]对x 的导数时, 可先求出y =f (u ) 对 u 的
导数和u =ϕ(x ) 对x 的导数, 然后相乘即得．
显然, 以上法则也可用于多次复合的情形．
例如, 设, y =f (u ) u =ϕ(v ) , v =ψ(x ) 都可导,
则 d y d y d u d v = , d x d u d v d x
或记为 {f [ϕ(ψ(x ))]}'=f '(u ) ϕ'(v ) ψ'(x ) .
例1 求y =sin x 的导数．
解 函数y =sin x 可以看作由函数y =sin u 与u =x 复合而成．因此
y '=(sinu ) '(x ) '=cos u 1
2x =cos x 。 2x
例2 求函数y =a 2-x 2的导数
解 次函数可看作由函数y =u 与u =a 2-x 2复合而成。因此
dy dy du 1x ==() '(a 2-x 2) '=(-2x ) =-22dx du dx 2u a -x
对于复合函数的分解比较熟悉后, 就不必再写出中间变量, 而可以采用下列例题的方式来计算．
x 例3 求函数y =ln tan 的导数． 2
解：
'x 1⎛x ⎫y '=(lntan ) '= tan ⎪22⎭tan ⎝
2
x cos 1x . 1. 1=sec 2() ' =2tan sin cos 22
222
1==csc x . sin x
【课堂练习】
1．一个中间变量的情形
例1 求下列函数的导数。
（1） y=(2x+1)5 （2）y=ln tan x
（3） y=sin2x （4）y= sin(x2)
（5） y=lncosx （6）y=e tan x
（7） y=tan 1
x （8）y=-x 2
2．多个中间变量的情形
例2 求下列函数的导数。
（1） y=lnsinx （2）y=tan(e 2x +1)
（3） y=tanln(3x-1)
3．不写出中间变量，直接利用复合函数求导法则求例1、例2的导数。
4．综合应用
例3 求下列函数的导数。
（1） y =e -x cos 3x （2） y=x -e -x
（3） y =ln(x ++x 2) （4） y=x
+x 2
（5） y=sin(xlnx) （6） y=sin 2x ln(1-x )
【小 结】
本节课，我们学习了复合函数的求导法则，请同学们注意他的特点，尽快消化掌握。
【课后习题】