参数方程化普通方程
1.参数方程⎧⎪⎨x =cos 2
θ
⎪⎩
y =sin 2θ,(θ为参数) 表示的曲线是( ) A .直线 B .圆 C .线段
D .射线
解析:选C. x =cos 2
θ∈[0,1],y =sin 2
θ∈[0,1],∴x +y =1,(x ,y ∈[0,1])为线段.
2.(1)参数方程⎧⎪⎨x =2t
⎪⎩y =t (t 为参数) 化为普通方程为____________.
(2)参数方程⎧⎪⎨x =1+cos θ
⎪,(θ为参数) 化为普通方程为____________⎩
y =1-sin θ.
解析:(1)把t =12代入y =t 得y =1
2
x .
(2)参数方程变形为⎧⎪⎨x -1=cos θ,
⎪1=-sin θ,
两式平方相加,得(x -1) 2+(y -1) 2=1.
⎩y -答案:(1)y 1
2
(2)(x -1) 2+(y -1) 2=1
⎧3.曲线C :⎪⎨x =12,(t 为参数) 的形状为____________.
⎪⎩y =t
2解析:因为t =2x ,代入y =t 2,得y =4x 2,即x 2=1
4y ,所以曲线C 为抛物线.
答案:抛物线
4. 将下列参数方程化为普通方程:
(1)⎧⎨x =+1
⎩y =1-t
,(t 为参数) ; (2)⎧⎪⎨x =5cos θ⎪,(θ为参数⎩
y =4sin θ-1) ; ⎧x =1+3(3)⎨2t
,(t 为参数) ;
⎩y =2-1
2⎧2t
(4)⎪x ⎨1+t 2,(t 为参数) .
⎪⎩y =1-t 1+t
[解] (1)由x =t +1≥1t =x -1, 代入y =1-2t , 得y =-2x +3(x ≥1) .
⎧cos θ=
x
(2)由⎧⎪⎨x =5cos θ
⎪⎩
y =4sin θ-1得
⎨5
①
⎩sin θ=y +1, ②
4
2
2
x 22
①+②得25+(y +1)
16=1.
⎧x =1+32⎧x -1=32t ①(3)由⎨⎩y =2-1得⎨2=-1, ②
2t ⎩y -2t
②÷①得y -2x -1=-33,∴y -2=-3
3(x -1)(x ≠1)
∴3x +3y -6-=0,
又当t =0时x =1,y =2也适合,故普通方程为3x +3y -63=0. ⎧⎪
2t 4t 2x ⎨1+t ⎧⎪
x 2
=(1+t ) ①
(4)由⎪⎩y 1-t 2得⎨⎪⎩
21+t 4-2t 2, ②
1+t y =(1+t )①+②得x 2+y 2=1.
5. 参数方程⎧⎪⎨x =2+sin 2
θ
⎪,(θ为参数) 化为普通方程是⎩
y =-1+cos 2θ( )
A .2x -y +4=0 B .2x +y -4=0
C .2x -y +4=0,x ∈[2,3] D .2x +y -4=0,x ∈[2,3]
解析:选D. 由x =2+sin 2θ,则x ∈[2,3],sin 2θ=x -2,y =-1+1-2sin 2θ=-2sin 2θ=-2x +4,即2x +y -4=0,故化为普通方程为2x +y -4=0,x ∈[2,3].
6. 把参数方程⎧⎪⎨x =sin θ-cos θ
⎪⎩
y =sin 2θ,(θ为参数) 化成普通方程是____________.
解析:将x =sin θ-cos θ两边平方得x 2=1-sin 2θ, 即sin 2θ=1-x 2
,代入y =sin 2θ,得y =-x 2
+1. 又x =sin θ-cos θ2sin ⎛⎝θ-π
4⎫⎭,∴-2≤x 2, 故普通方程为y =-x 2+1(-2≤x 2) . 答案:y =-x 2+1(2≤x 2)
7. 已知曲线C ⎧⎪x =-4+cos t ⎧⎪1:⎨⎪,(t 为参数) x =8cos θ
⎩y =3+sin t ,C 2:⎨⎪,(θ为参数) . ⎩
y =3sin θ. (1)化C 1,C 2的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线?
(2)若C 对应的参数t =π
1上的点P 2
,Q 为C 2上的动点,求PQ 中点M 到直线
C ⎧⎪⎨x =3+2t ,3:⎪⎩
y =-2+t (t 为参数) 距离的最小值及此时Q 点坐标.
[解] (1)由C ⎧⎪⎨x =-4+cos t 1:⎪⎩y =3+sin t ,(t 为参数) ,
则⎧⎪⎨cos t =x +4,
⎪⎩
sin t =y -3, 由sin 2t +cos 2t =1得(x +4) 2+(y -3) 2=1,即曲线C 1的普通方程.C 1表示的是圆心为(-4,3) ,半径为1的圆.2分
由C :⎧⎪⎨x =8cos θ,
2⎪⎩
y =3sin θ. (θ为参数) ,
⎧cos θ=x
8,
则⎨由cos 2
θ+sin 2
2
2
θ=1得x +y
=1,即曲线C 2
的普通方程.C 2
⎩sin θ=y
649表示的
3,
是中心在坐标原点,焦点在x 轴上,长半轴长为8,短半轴长为3的椭圆.5分
(2)当t =π
2P (-4,4) ,Q (8cos θ,3sin θ) ,
故M ⎛⎝-2+4cos θ,2+3
2θ⎫⎭,6分 C 3为直线x -2y -7=0.7分 则点M 到直线C 3的距离d =
55θ-3sin θ-13|=5
5
θ+φ) -13|,9分 从而当cos φ=45,sin φ=385
5时,d 取得最小值5.
11分
此时,Q 点的坐标为⎛32⎝5
9
5⎫⎭.12分 ⎧
x =3+1
8.(2015·高考陕西卷) 在直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为⎨2
,
(t 为参
⎩
y =32
t
数) .以原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,⊙C 的极坐标方程为ρ=23sin θ.
(1)写出⊙C 的直角坐标方程;
(2)P 为直线l 上一动点,当P 到圆心C 的距离最小时,求P 的直角坐标. 解:(1)由ρ=23sin θ,得ρ2=2ρsin θ, 从而有x 2+y 2=2y ,所以x 2+(y 2=3. (2)设P ⎛1⎝32,3
2t ⎫⎭,又C (0,3) ,
则|PC |=⎛122
⎝3+2⎫⎭+⎛3⎝2-3⎫⎭
=t +12, 故当t =0时,|PC |取得最小值,
此时,点P 的直角坐标为(3,0) .
9.已知曲线C ⎧⎪x =4+5cos t ,
1的参数方程为⎨⎪⎩
y =5+5sin t (t 为参数) ,以坐标原点为极点,x 轴的
正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程为ρ=2sin θ.
(1)把C 1的参数方程化为极坐标方程;
(2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π).
解:(1)将⎧⎪⎨x =4+5cos t ,
⎪消去参数t ,化为普通方程(x -4) 2+(y ⎩
y =5+5sin t -5) 2=25,即
C 1:x 2+y 2-8x -10y +16=0.
将⎧⎪⎨x =ρcos θ,
⎪代入x 2+y 2-8x -10y +16=0得 ⎩
y =ρsin θρ2-8ρcos θ-10ρsin θ+16=0.
所以C 1的极坐标方程为ρ2-8ρcos θ-10ρsin θ+16=0. (2)C 2的普通方程为x 2+y 2-2y =0.
由⎧⎪⎨x 2+y 2
-8x -10y +16=0,⎧⎪x =1⎧⎪x =0,⎪⎩x 2+y 2-2y =0,解得⎨⎪⎩
y =1或⎨ ⎩⎪y =2. 所以C ππ1与C 2交点的极坐标分别为(2,4) ,(2,2
) .
⎧1
10. 化参数方程⎨x =t t
(t 为参数) 为普通方程,并求出该曲线上一点P ,使它到y =⎩
y =t -
12x
t
+1的距离为最小,并求此最小距离.
解:化参数方程为普通方程为x 2-y 2=4.
设P (t +11
t ,t t ,则点P 到直线2x -y +1=0的距离
|t +3d =t
+1|
5
.
(1)当t >0时,d ≥23+1
5
(2)当t
t ≥2,
∴t +3
t
+1≤-23+1.
∴|t +3
t 1|≥-1,∴d 23-15
∵
23+13-5>1
5
∴d 3-121555
5,此时点P 的坐标为(-42
33,-3
3) .
参数方程化普通方程
1.参数方程⎧⎪⎨x =cos 2
θ
⎪⎩
y =sin 2θ,(θ为参数) 表示的曲线是( ) A .直线 B .圆 C .线段
D .射线
解析:选C. x =cos 2
θ∈[0,1],y =sin 2
θ∈[0,1],∴x +y =1,(x ,y ∈[0,1])为线段.
2.(1)参数方程⎧⎪⎨x =2t
⎪⎩y =t (t 为参数) 化为普通方程为____________.
(2)参数方程⎧⎪⎨x =1+cos θ
⎪,(θ为参数) 化为普通方程为____________⎩
y =1-sin θ.
解析:(1)把t =12代入y =t 得y =1
2
x .
(2)参数方程变形为⎧⎪⎨x -1=cos θ,
⎪1=-sin θ,
两式平方相加,得(x -1) 2+(y -1) 2=1.
⎩y -答案:(1)y 1
2
(2)(x -1) 2+(y -1) 2=1
⎧3.曲线C :⎪⎨x =12,(t 为参数) 的形状为____________.
⎪⎩y =t
2解析:因为t =2x ,代入y =t 2,得y =4x 2,即x 2=1
4y ,所以曲线C 为抛物线.
答案:抛物线
4. 将下列参数方程化为普通方程:
(1)⎧⎨x =+1
⎩y =1-t
,(t 为参数) ; (2)⎧⎪⎨x =5cos θ⎪,(θ为参数⎩
y =4sin θ-1) ; ⎧x =1+3(3)⎨2t
,(t 为参数) ;
⎩y =2-1
2⎧2t
(4)⎪x ⎨1+t 2,(t 为参数) .
⎪⎩y =1-t 1+t
[解] (1)由x =t +1≥1t =x -1, 代入y =1-2t , 得y =-2x +3(x ≥1) .
⎧cos θ=
x
(2)由⎧⎪⎨x =5cos θ
⎪⎩
y =4sin θ-1得
⎨5
①
⎩sin θ=y +1, ②
4
2
2
x 22
①+②得25+(y +1)
16=1.
⎧x =1+32⎧x -1=32t ①(3)由⎨⎩y =2-1得⎨2=-1, ②
2t ⎩y -2t
②÷①得y -2x -1=-33,∴y -2=-3
3(x -1)(x ≠1)
∴3x +3y -6-=0,
又当t =0时x =1,y =2也适合,故普通方程为3x +3y -63=0. ⎧⎪
2t 4t 2x ⎨1+t ⎧⎪
x 2
=(1+t ) ①
(4)由⎪⎩y 1-t 2得⎨⎪⎩
21+t 4-2t 2, ②
1+t y =(1+t )①+②得x 2+y 2=1.
5. 参数方程⎧⎪⎨x =2+sin 2
θ
⎪,(θ为参数) 化为普通方程是⎩
y =-1+cos 2θ( )
A .2x -y +4=0 B .2x +y -4=0
C .2x -y +4=0,x ∈[2,3] D .2x +y -4=0,x ∈[2,3]
解析:选D. 由x =2+sin 2θ,则x ∈[2,3],sin 2θ=x -2,y =-1+1-2sin 2θ=-2sin 2θ=-2x +4,即2x +y -4=0,故化为普通方程为2x +y -4=0,x ∈[2,3].
6. 把参数方程⎧⎪⎨x =sin θ-cos θ
⎪⎩
y =sin 2θ,(θ为参数) 化成普通方程是____________.
解析:将x =sin θ-cos θ两边平方得x 2=1-sin 2θ, 即sin 2θ=1-x 2
,代入y =sin 2θ,得y =-x 2
+1. 又x =sin θ-cos θ2sin ⎛⎝θ-π
4⎫⎭,∴-2≤x 2, 故普通方程为y =-x 2+1(-2≤x 2) . 答案:y =-x 2+1(2≤x 2)
7. 已知曲线C ⎧⎪x =-4+cos t ⎧⎪1:⎨⎪,(t 为参数) x =8cos θ
⎩y =3+sin t ,C 2:⎨⎪,(θ为参数) . ⎩
y =3sin θ. (1)化C 1,C 2的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线?
(2)若C 对应的参数t =π
1上的点P 2
,Q 为C 2上的动点,求PQ 中点M 到直线
C ⎧⎪⎨x =3+2t ,3:⎪⎩
y =-2+t (t 为参数) 距离的最小值及此时Q 点坐标.
[解] (1)由C ⎧⎪⎨x =-4+cos t 1:⎪⎩y =3+sin t ,(t 为参数) ,
则⎧⎪⎨cos t =x +4,
⎪⎩
sin t =y -3, 由sin 2t +cos 2t =1得(x +4) 2+(y -3) 2=1,即曲线C 1的普通方程.C 1表示的是圆心为(-4,3) ,半径为1的圆.2分
由C :⎧⎪⎨x =8cos θ,
2⎪⎩
y =3sin θ. (θ为参数) ,
⎧cos θ=x
8,
则⎨由cos 2
θ+sin 2
2
2
θ=1得x +y
=1,即曲线C 2
的普通方程.C 2
⎩sin θ=y
649表示的
3,
是中心在坐标原点,焦点在x 轴上,长半轴长为8,短半轴长为3的椭圆.5分
(2)当t =π
2P (-4,4) ,Q (8cos θ,3sin θ) ,
故M ⎛⎝-2+4cos θ,2+3
2θ⎫⎭,6分 C 3为直线x -2y -7=0.7分 则点M 到直线C 3的距离d =
55θ-3sin θ-13|=5
5
θ+φ) -13|,9分 从而当cos φ=45,sin φ=385
5时,d 取得最小值5.
11分
此时,Q 点的坐标为⎛32⎝5
9
5⎫⎭.12分 ⎧
x =3+1
8.(2015·高考陕西卷) 在直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为⎨2
,
(t 为参
⎩
y =32
t
数) .以原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,⊙C 的极坐标方程为ρ=23sin θ.
(1)写出⊙C 的直角坐标方程;
(2)P 为直线l 上一动点,当P 到圆心C 的距离最小时,求P 的直角坐标. 解:(1)由ρ=23sin θ,得ρ2=2ρsin θ, 从而有x 2+y 2=2y ,所以x 2+(y 2=3. (2)设P ⎛1⎝32,3
2t ⎫⎭,又C (0,3) ,
则|PC |=⎛122
⎝3+2⎫⎭+⎛3⎝2-3⎫⎭
=t +12, 故当t =0时,|PC |取得最小值,
此时,点P 的直角坐标为(3,0) .
9.已知曲线C ⎧⎪x =4+5cos t ,
1的参数方程为⎨⎪⎩
y =5+5sin t (t 为参数) ,以坐标原点为极点,x 轴的
正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程为ρ=2sin θ.
(1)把C 1的参数方程化为极坐标方程;
(2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π).
解:(1)将⎧⎪⎨x =4+5cos t ,
⎪消去参数t ,化为普通方程(x -4) 2+(y ⎩
y =5+5sin t -5) 2=25,即
C 1:x 2+y 2-8x -10y +16=0.
将⎧⎪⎨x =ρcos θ,
⎪代入x 2+y 2-8x -10y +16=0得 ⎩
y =ρsin θρ2-8ρcos θ-10ρsin θ+16=0.
所以C 1的极坐标方程为ρ2-8ρcos θ-10ρsin θ+16=0. (2)C 2的普通方程为x 2+y 2-2y =0.
由⎧⎪⎨x 2+y 2
-8x -10y +16=0,⎧⎪x =1⎧⎪x =0,⎪⎩x 2+y 2-2y =0,解得⎨⎪⎩
y =1或⎨ ⎩⎪y =2. 所以C ππ1与C 2交点的极坐标分别为(2,4) ,(2,2
) .
⎧1
10. 化参数方程⎨x =t t
(t 为参数) 为普通方程,并求出该曲线上一点P ,使它到y =⎩
y =t -
12x
t
+1的距离为最小,并求此最小距离.
解:化参数方程为普通方程为x 2-y 2=4.
设P (t +11
t ,t t ,则点P 到直线2x -y +1=0的距离
|t +3d =t
+1|
5
.
(1)当t >0时,d ≥23+1
5
(2)当t
t ≥2,
∴t +3
t
+1≤-23+1.
∴|t +3
t 1|≥-1,∴d 23-15
∵
23+13-5>1
5
∴d 3-121555
5,此时点P 的坐标为(-42
33,-3
3) .