全概率论文

***学院本科毕业论文

题 目

学 生

指导教师

年 级

专 业

关于全概率公式及其应用的研究 数学与应用数学

***学院数学系

年 月

摘 要 全概率公式属于古典概率，是概率论中的一个重要公式。它在实际生活中扮演了一个极其重要的角色，不仅在工业、农业等方面有着广泛的应用，甚至在国民经济的生产和生活中也起着非常重要的作用。为此，论文对全概率公式做了实质性的分析，介绍了其应用的关键条件，并给出了应用全概率公式解决实际问题的一般步骤。此外还对全概率公式做了三种形式的推广，扩大了全概率公式的应用范围，推导出了离散型和连续型随机变量的全概率公式，并给出了证明。最后进一步列举了几个生活中的实例，说明全概率公式及其推广形式在实际生活中应用的广泛性。

关键词 全概率公式 概率 完备事件组 随机变量

A Research on the Total Probability Formula

and Its Application

Abstract The formula of total probability belongs to the classical probability and is one of the important formulas of probability．It plays a very important role in real life，not only in industry ，agriculture but also in the production and life of the national economy．Thus ，in the paper ，an essential analysis to the formula of total probability is made，the key condition of its application is introduced and the general steps of using the formula of total probability to solve practical problems are given．In addition， the formula has been promoted within three forms and thus its application range has also been expanded ．What′s more ，the total probability formula of discrete and continual variable are given and proved in this paper．At last ，several examples are cited here to explain the wide application of the formula of total probability and its promotions in our daily life．

Key words total probability formula probability complete event group Random variable

目 录

摘 要 . .......................................................................................................................................... I I 外文页 . ........................................................................................................................................ I II 1 引言 . ............................................................................................................................................ 1 2 背景介绍 . ................................................................................................................................... 1

2.1 理论背景 . .............................................................................................................................. 1

2.2 发展背景 . .............................................................................................................................. 2 3 全概率公式的实质内容及其证明 ...................................................................................... 2 4 全概率公式应用的关键条件及寻找关键条件的方法 ................................................. 3

4.1 完备事件组 . .......................................................................................................................... 3

4.2 寻找完备事件组的两种方法 . .............................................................................................. 3 5 应用全概率公式的一般方法和步骤 ................................................................................. 4

5.1 判断问题可否采用“全概率公式”求解 . .......................................................................... 4

5.2 应用全概率公式于实际问题的一般步骤 . .......................................................................... 4 6 全概率公式的一些推广 ........................................................................................................ 5 7 离散型和连续型随机变量的全概率公式 ........................................................................ 7

7.1 离散型随机变量的全概率公式 . .......................................................................................... 7

7.2 连续型随机变量的全概率公式 . .......................................................................................... 7 8 全概率公式在实际中的应用举例 ...................................................................................... 7 参考文献 ...................................................................................................................................... 11 致谢 ............................................................................................................................................... 12

关于全概率公式及其应用的研究

1 引言

全概率公式是概率论中的一个重要公式，它的基本思想就是把一个复杂的事件分解为若干个互不相容的简单事件，再通过分别计算这些简单事件的概率，最后利用概率的可加性得到最终结果，它提供了计算复杂事件概率的一条有效途径，使一个复杂事件的概率计算问题化繁就简．全概率公式的提出，不仅推动了概率学的发展，也在学科和实际应用中起着重要的作用．随着概率论的不断发展，全概率公式也越来越广泛地应用于各个领域，成为实际生活中不可缺少的基本理论．

2 背景介绍

2.1 理论背景

对全概率公式及其应用的研究，必须建立在加法公式和乘法公式等定理的基础上．

如果有两个随机事件A ，B ∈F ，则有加法公式：

P (A B ) =P (A ) +P (B ) -P (AB )

特别，当A ，B 是互不相容的两个事件时，有

P (A B ) =P (A ) +P (B )

概率的一般加法公式：设A 1, A 2, , A n 是n 个随机事件，则有

n ⎛n ⎫n ⎫n -1⎛⎪ P A =P (A ) -P (A A ) +P (A A A ) - +(-1) P A ∑∑i i j i j k i ⎪∑ i ⎪⎪

1≤i

有限可加性：若A i ∈F ，i =1, 2, , n ，且A i A j =Φ(i ≠j ) . 则

⎛n ⎫n

P A i ⎪⎪=∑P (A i )

⎝i =1⎭i =1

可列可加性：若A i ∈F ，i =1, 2, ，且A i A j =Φ(i ≠j ) ，则

⎛∞⎫∞

P A i ⎪⎪=∑P (A i )

⎝i =1⎭i =1

条件概率：若(Ω, F , P ) 是一个概率空间，B ∈F ，且P (B ) >0，则对任意的A ∈F ，称

P (B ) =P (AB ) /P (B )

为在已知事件B 发生的条件下，事件A 发生的条件概率．

乘法公式：对任意两个事件A 、B ，若P (B ) >0，则有

P (AB ) =P (B ) P (B )

2.2 发展背景

概率论在一定的社会条件下，通过人类的社会实践和生产活动发展起来，被广泛应用于各个领域．在概率论中，概率的计算是一个很重要的问题，然而这个问题是十分复杂的，甚至有时是相当困难的，而全概率公式的提出，提供了计算复杂事件概率的一条有效途径，使一个复杂事件的概率计算问题化繁就简，不仅丰富了概率的公理化，也可以与条件概率公式一起导出贝叶斯公式，它与贝叶斯公式相结合，可以更好地把握随机事件间的相互影响关系，是计算复杂事件概率的有利工具，不仅推动了概率学的发展，也广泛地应用于实际中．

3 全概率公式的实质内容及其证明

全概率公式：[1]36设B 1, B 2, 是一列互不相容的事件，且有

B

i =1∞i =Ω

P (B i ) >0， i =1, 2,

则对任一事件A ，有

P (A ) =∑P (B i ) P (B i )

i =1∞

⎛∞⎫∞

证明 法一：对任一事件A ，由Ω为必然事件，有A =A Ω=A B i ⎪⎪= (AB i ) ，因⎝i =1⎭i =1

B 1, B 2, 互不相容，显然AB 1, AB 2, 也互不相容，故由概率的可列可加性，有

P (A ) =∑P (AB i ) =P (AB 1) +P (AB 2) + i =1∞

再由概率的乘法公式有P (AB i ) =P (B i ) P (B i ) ，则

P (A ) =P (B 1) P (B 1) +P (B 2) P (B 2) +

即 P (A ) =∑P (B ) P (B ) i i

i =1∞

法二：可以把B 1, B 2, 看作引起事件A 发生的多个原因，由于B 1, B 2, 互不相容，则这些原因两两不会同时发生．如果A 的发生是由B i 引起的，那么P (A ) 与P (AB i ) 有关，显然AB 1, AB 2,

也互不相容，又由于事件A 由哪个原因引起是随机的，且 B

i =1∞i =Ω，所以

P (A ) =∑P (AB i ) i =1∞

再由概率的乘法公式有P (AB i ) =P (B i ) P (B i ) ，得

P (A ) =∑P (B i ) P (B i )

i =1∞

总之，全概率公式的实质内容就是将一个复杂事件的概率分解成若干个互不相容的简单事件的概率之和．

4 全概率公式应用的关键条件及寻找关键条件的方法

4.1 完备事件组

应用全概率公式计算某个事件概率的关键是寻找与该事件相关的完备事件组．

所谓完备事件组，就是具备了完全性和互不相容性的一组事件，即

设B 1, , B n 为n 个事件，若满足

(1)完全性：B 1 B n =Ω；

(2)互不相容性：B i B j =φ，i ≠j ，i 、j =1, 2, , n ；

(3)P (B i ) >0，i =1, 2, , n ；

则称B 1, , B n 构成样本空间Ω的一个划分，也称构成Ω的一个完备事件组．

4.2 寻找完备事件组的两种方法

完备事件组不一定唯一，思路不同，找出的完备事件组可能不同，但只要能解决问题，用哪个完备事件组都可以．

方法一：从第一个实验入手，分解其样本空间，找出完备事件组．

如果所求概率的事件与前后两个试验有关，且这两个试验彼此关联，第一个试验的各种结果直接对第二个试验产生影响，而问第二个试验出现某结果的概率，这类问题是属于使用全概率公式的问题，将第一个试验的样本空间分解成若干个互不相容的事件的和，这些事件就是所求的一个完备事件组．

方法二： 从事件A 发生的两两互不相容的诸原因找完备事件组．

如果事件A 能且只能在原因B 1, , B n 下发生，且B 1, , B n 是两两互不相容，那么这些原因就

[2]

是一个完备事件组．

5 应用全概率公式的一般方法和步骤

5.1 判断问题可否采用“全概率公式”求解

若从问题的条件中可以找到一个事件组B 1, , B n ，而该事件组当且仅当其中之一发生时，事件

并能求出它们的概率P (B i ) ，同时可以求得在事件组B 1, , B n 发生的条件下事件A A 才可能发生，

发生的条件概率P (A B i ) (i =1, 2, , n ) ，那么即可利用全概率公式求得P (A ) ．

5.2 应用全概率公式于实际问题的一般步骤

第一步：定义要求概率的事件或它的对立事件为A ，正确找出相应的完备事件组B 1, , B n ． 第二步：根据题意，算出P (B i ) 与P (B i ) (i =1, 2, , n ) 的值．

第三步：将P (B i ) 、P (B i ) 之值代入公式，完成计算，得出要求的概率．

例如 某药厂用从甲、乙、丙三地收购而来的药材加工生产出一种中成药，三地的供货量分别占40%、30%和30%，用这三地的药材能生产出优等品的概率分别为0. 85、0. 70和0. 65，求从该厂产品中任意取一件成品是优等品的概率．

分析 由于不知道任意取出的药品究竟是甲、乙、丙三地中的哪一地的药材生产出的，所以直接求它为优等品的概率很困难，但取出的该药品总是由甲、乙、丙三地中的某一地药材生产出的，即三者必居其一．因此，可设B i (i =1, 2, 3) 分别表示抽到的产品的原药材来自甲、乙、丙三地，A ={抽到优等品}，依题意可知产地B i (i =1, 2, 3) 构成了完备事件组，A 发生时必以B i (i =1, 2, 3) 之一为先决条件，这样总是可以把A 分解到B i 上的，因此可以利用全概率公式计算P (A ) ．

解 第一步 设A =“抽到优等品”

B i =“抽到的产品的原药材来自i 地”(i =1, 2, 3)

第二步 由已知条件得P (B 1) =0. 4，P (B 2) =0. 3，P (B 3) =0. 3

P (B 1) =0. 85，P (B 2) =0. 7，P (B 3) =0. 65

第三步 由全概率公式得 P (A ) =∑P (B ) P (B ) i i

i =13

=P (B 1) P (B 1) +P (B 2) P (B 2) +P (B 3) P (B 3)

=0. 85⨯0. 4+0. 7⨯0. 3+0. 65⨯0. 3

=0. 745

即从该厂产品中任意取一件成品是优等品的概率占0. 745．

注 正确运用全概率公式应按三步进行，而第一步确定完备事件组是关键．在不同的题中，完备事件组的确定难易程度不同，有的较明显，有的较隐蔽，有的隐蔽而复杂，但只有这一步正确，后两步才有意义，为此，需严格按照完备事件组的定义来完成这一步．

6 全概率公式的一些推广

当一个复杂事件的发生与一列互不相容事件有关，而这列事件自身并不构成样本空间，添加某些事件后才构成样本空间的划分，并且这些事件对复杂事件的发生无影响时，可将全概率公式作如下推广：

推论1 设A 1, A 2, 是一列事件，添加C 1, C 2, , C m 后构成样本空间Ω的一个划分，P (A i ) >0，i =1, 2, ，则对任一事件B ，当P (B C k ) =0，k =1, 2, , m ，有

P (B ) =∑P (A i ) P (B A i )

i =1∞

证明 B =B Ω= A B BC i

i =1

∞

i ∞1 BC 2 BC m m P (B ) =∑P (A B ) +∑P (BC

i =1

∞k =1k ) =∑P (A ) P (B i

i =1

∞A i ) +∑P (C k ) P (B C k ) k =1m

=∑P (A ) P (B i

i =1A i )

当试验的随机过程不少于两个的时候，在影响目标事件的每一个试验过程中分别建立完备事件组，全概率公式可推广为：

推论2 设A i (i =1, 2, , n ) 和B j (j =1, 2, , m ) 是先后两个试验过程中的划分，C 为目标事件，当P (C ) >0，P (A i ) >0，P (B j ) >0，P (A i B j ) >0，i =1, 2, n ，j =1, 2, , m 时，则有

P (C ) =∑∑P (A i ) P (B j A i ) P (C A i B j )

i =1j =1n m

⎛n ⎫C A 证明 P (C ) =P i ⎪⎪=⎝i =1⎭m n ⎛⎫⎛n ⎫n P A i C ⎪⎪=∑P (A i C ) =∑P A i C B j ⎪⎪i =1j =1⎝i =1⎭i =1⎝⎭

n ⎛m ⎫n m

=∑P A i B j C ⎪=∑∑P (A i B j C ) ⎪i =1⎝j =1⎭i =1j =1

=∑∑P (A i ) P (B j A i ) P (C A i B j )

i =1j =1n m

将全概率公式推广至条件全概率公式：

推论3 设A 1, A 2, , A n 为样本空间Ω的一个划分，即A 1, A 2, , A n 两两互不相容，且 A

i =1n i =Ω，P (A i ) >0，i =1, 2, , n ，B ，C 为两个事件，当P (C ) >0，P (A i C ) >0时，有

n

P (B C ) =∑P (A i C ) P (B A i C ) ．

i =1

特别当C 分别与A 1, A 2, , A n 独立时，有

P () =∑P (A i ) P (A i C )

i =1n

证明 设B ，C 为两个事件，根据加法公式，有

P (BC ) =∑P (A i BC )

i =1n

当P (C ) >0，P (A i C ) >0(i =1, 2, , n ) 时，

P (A i BC ) =P (A i C ) P (B A i C ) =P (C ) P (A i C ) P (B A i C )

所以

P (BC ) =P (C ) ∑P (A i C ) P (B A i C )

i =1n

故

P (B C ) =P (BC ) P (C ) =∑P (A i C ) P (B A i C )

i =1n

而当C 与A 1, A 2, , A n 独立时，有

P (A i ) =P (A i )

此时

P () =∑P (A i ) P (B A i C )

i =1

n

7 离散型和连续型随机变量的全概率公式

7.1 离散型随机变量的全概率公式

设A 是某概率空间上的事件，若存在离散型随机变量ξ，分布列为P (ξ=x i ) =P i ，且

P i >0(i =1, 2, ) ，则有

P (A ) =∑P (=x i ) P (ξ=x i )

i =1∞

B j (i ≠j ) 两两互不相容，ξ=x i }，证明 令B i ={则B i ，且

由全概率公式即知定理成立．

7.2 连续型随机变量的全概率公式

B

i =1

∞

i

P (B i ) >0，=Ω，(i =1, 2, )

设A 是某概率空间上的事件，若存在连续型随机变量ξ，密度函数为p (x ) ，则有

P (A ) =⎰P (=x ) p (x ) dx

-∞

+∞

证明 在数轴上取分点x 0

P (ξ∈∆x i ) =⎰

x i +1

x i

p (x ) dx ，∆x i 同时也表示区间长度，当∆x i 较小时就有P (ξ∈∆x i ) ≈p (x i ) ∆x i ，

x 1p (x 1) ∆x 1

⎫

⎪视为ξ的一种近似分布．由离散型的全概

p (x n ) ∆x n ⎪⎭

i

x 0⎛

并且这时分布列

⎝p (x 0) ∆x 0

n

x n

率公式知P (A ) ≈

∑P (=x ) p (x ) ∆x ，再由数学分析知识，上式令∆x

i

i

i =1

=max ∆x i →0得

P (A ) =⎰P (=x ) p (x ) dx

-∞

+∞

8 全概率公式在实际中的应用举例

概率论是在一定的社会条件下，通过人类的社会实践和生产活动发展起来的．而全概率公式作为概率论的一个重要公式，主要用来解决概率的计算问题，在实际中有着多方面的应用．

例1 已知一等麦子中混入3%的二等麦种，2%的三等麦种，1%的四等麦种．一、二、三、四等麦种结50粒以上麦粒的麦穗的概率又分别为0. 60、0. 20、0. 10、0. 05，试求这批种子所结的麦穗含有50粒以上麦粒的概率．

解 设A =“所结的麦穗含有50粒以上麦粒”

B i =“任取一粒麦种为i 等麦种”(i =1, 2, 3, 4) 则由全概率公式可得

P (A ) =

∑P (B ) P (B )

i

i

i =1

4

=(1-0. 03-0. 02-0. 01) ⨯0. 6+0. 03⨯0. 2+0. 02⨯0. 1+0. 01⨯0. 05 =0. 5725

即这批种子所结的麦穗含有50粒以上麦粒的概率为0. 5725．

例2

[3]21

试证明购买彩票时无论先后顺序，中奖机会是均等的．

证明 设共有n 张彩票，其中有奖的为m 张． 先证明第一人与第二人中奖机会均等． 设A i =“第i 人中奖”，(i =1, 2, , n ) ，则

P (A 1) =

且A 1与A 1构成完备事件组．

又有P (A 2A 1) =由全概率公式

m n -m

，P (A 1) =， n n

m -1m

，P (A 2A 1) =． n -1n -1

P (A 2) =P (A 1) P (A 2A 1) +P (A 1) P (A 2A 1)

m m -1n -m m m

⨯+⨯= n n -1n n -1n

m

所以，第一人与第二人的中奖机会均是．用同样的办法可证明所有人中奖的机会是均等的，

n

m 都为．

n

例3 设甲、乙、丙三人同时向一目标射击，每人击中目标的概率为p ，一人击中目标被摧毁

=

的概率是p '，两人击中目标被摧毁的概率是2p '，三人击中目标被摧毁的概率是3p '，求目标被摧毁的概率．

解 设B =“目标被摧毁”

A i =“有i 个人击中目标”(i =1, 2, 3)

则P (A 1) =C 3p (1-p ) =3p (1-p ) ，P (A 2) =C 3p (1-p ) =3p (1-p ) ，P (A 3) =p 虽然，A 1、A 2、A 3不构成样本空间Ω的划分，但添加C =“三人均未击中”后就构成Ω的

1

2

2

2

2

2

3

划分，而P (C ) =0，于是，得

P (B ) =

∑P (A ) P (B

i

i =1

2

3

A i )

2

3

=3p (1-p ) ⋅p '+3p (1-p ) ⋅2p '+p ⋅3p '

=3p p '[(1-p ) +2p (1-p ) +p ] =3p p ' 即目标被摧毁的概率为3p p '.

例4 已知两个箱子中各装有3个不合格品和7个合格品，现从第一箱中任取一个产品放入第二箱，再从第二箱中任取一个产品放入第一箱中，问此时从第一箱中取出一个产品是合格品的概率.

解 设A i =“从第一箱中取出i 个合格品放入第二箱中”i =0, 1 B j =“从第二箱中取出j 个合格品放入第一箱中”j =0, 1 C =“再从第一箱中取出一个合格品”

由题意得P (A 0) =，P (A 1) =，P (B 0A 0) =，P (B 1A 0) =7

2

2

P (B 0A 1) =，P (B 1A 1) =，P (C A 0B 0) =，P (C A 0B 1) = P (C A 1B 0) =，P (C A 1B 1) =

故有全概率推广公式得

P (C ) =∑∑P (A i ) P (B j A i ) P (C A i B j ) =7

i =0j =0

11

即此时从第一箱中取出一个产品是合格品的概率为7．

例5 设有两箱相同的产品，第一箱内装50件，其中30件合格品；第二箱内装30件，其中6件合格品．从两箱中任取一箱再随机取两个产品，试求若先取出的产品是合格品，第二次取出的产品仍是合格品的概率．

解 设B i =“抽取第i 箱”i =1, 2

A j =“第j 次取出的产品是合格品”j =1, 2 得：P (B 1) =P (B 2) =2，P (A 1B 1) =，P (A 1B 2) =

P (A 1) =P (B 1) P (A 1B 1) +P (B 2) P (A 1B 2) =

由于P (B 1A 1) =P (A 1B 1) P (A 1) =P (B 1) P (A 1B 1) P (A 1) =4，P (B 2A 1) =4

P (A 2A 1B 1) =2949，P (A 2A 1B 2) =29

由条件全概率公式得

P (A 2A 1) =P (B 1A 1) P (A 2A 1B 1) +P (B 2A 1) P (A 2A 1B 2)

=4⨯2949+4⨯29=0. 49

即若先取出的产品是合格品，第二次取出的产品仍是合格品的概率为0. 49．

例6 设在∆ABC 内部任取一点P ，在底边BC 上任取一点Q ，求直线PQ 与AB 相交的概率． 解 设E =“PQ 与AB 相交”

固定Q 点，不失一般性，设BC 的长度为1．令BQ 的长度为ξ，则ξ为[0，1]上均匀分布的随机变量，即它的分布密度函数为：

x ∈[0, 1]⎧1，

p (x ) =⎨

0，其他 ⎩

PQ 与AB 相交相当于P 点落在∆ABQ 内．如果ξ=x 已取定，则

P (E =x ) =S ∆ABQ S ∆ABC =BQ BC =x

于是由连续型随机变量的全概率公式即得

P (E ) =⎰xdx =2

1

即直线PQ 与AB 相交的概率也为2．

通过以上几个简单的例子我们也可以看出全概率公式不仅在工业、农业方面有着广泛的应用，甚至在日常生活中也起着非常重要的作用，可以说生活中处处有概率，处处需要计算概率．灵活使用全概率公式会给我们的解题带来很大方便，而推广形式进一步拓展了公式的使用范围，成为我们解决更复杂问题的有效工具．相信随着理论和实践的不断发展，全概率公式必将在不同领域内发挥更大的作用．

参考文献：

[1] 魏宗舒．概率论与数理统计教程[M]．北京：高等教育出版社，1983

[2] 邱芳．对全概率和贝叶斯公式寻找完备事件组的两个方法[J]．滨州师专学报，2003．12第19卷第4期

[3] 田勇．概率论与数理统计[M]．北京：科学技术文献出版社，2008 [4] 陈希孺．概率论与数理统计[M]．合肥：中国科学技术大学出版社，2002

[5] 戴维纪，贾振声．关于全概率公式及其应用的研究[J]．Shanxi Agric．Univ ，1998 [6] 裴琴娟．全概率公式的推广形式与应用[J]．阜阳师范学院学报，2008．3第25卷第1期 [7] 王保平．全概率公式的推广[J]．石家庄师范专科学校学报，1999．12， 第1卷第4期 [8] Fit Tests．Finklestein ，J ．M ．and Schafer，R ．E ．，1971

致 谢

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***学院本科毕业论文

题 目

学 生

指导教师

年 级

专 业

关于全概率公式及其应用的研究 数学与应用数学

***学院数学系

年 月

摘 要 全概率公式属于古典概率，是概率论中的一个重要公式。它在实际生活中扮演了一个极其重要的角色，不仅在工业、农业等方面有着广泛的应用，甚至在国民经济的生产和生活中也起着非常重要的作用。为此，论文对全概率公式做了实质性的分析，介绍了其应用的关键条件，并给出了应用全概率公式解决实际问题的一般步骤。此外还对全概率公式做了三种形式的推广，扩大了全概率公式的应用范围，推导出了离散型和连续型随机变量的全概率公式，并给出了证明。最后进一步列举了几个生活中的实例，说明全概率公式及其推广形式在实际生活中应用的广泛性。

关键词 全概率公式 概率 完备事件组 随机变量

A Research on the Total Probability Formula

and Its Application

Abstract The formula of total probability belongs to the classical probability and is one of the important formulas of probability．It plays a very important role in real life，not only in industry ，agriculture but also in the production and life of the national economy．Thus ，in the paper ，an essential analysis to the formula of total probability is made，the key condition of its application is introduced and the general steps of using the formula of total probability to solve practical problems are given．In addition， the formula has been promoted within three forms and thus its application range has also been expanded ．What′s more ，the total probability formula of discrete and continual variable are given and proved in this paper．At last ，several examples are cited here to explain the wide application of the formula of total probability and its promotions in our daily life．

Key words total probability formula probability complete event group Random variable

目 录

摘 要 . .......................................................................................................................................... I I 外文页 . ........................................................................................................................................ I II 1 引言 . ............................................................................................................................................ 1 2 背景介绍 . ................................................................................................................................... 1

2.1 理论背景 . .............................................................................................................................. 1

2.2 发展背景 . .............................................................................................................................. 2 3 全概率公式的实质内容及其证明 ...................................................................................... 2 4 全概率公式应用的关键条件及寻找关键条件的方法 ................................................. 3

4.1 完备事件组 . .......................................................................................................................... 3

4.2 寻找完备事件组的两种方法 . .............................................................................................. 3 5 应用全概率公式的一般方法和步骤 ................................................................................. 4

5.1 判断问题可否采用“全概率公式”求解 . .......................................................................... 4

5.2 应用全概率公式于实际问题的一般步骤 . .......................................................................... 4 6 全概率公式的一些推广 ........................................................................................................ 5 7 离散型和连续型随机变量的全概率公式 ........................................................................ 7

7.1 离散型随机变量的全概率公式 . .......................................................................................... 7

7.2 连续型随机变量的全概率公式 . .......................................................................................... 7 8 全概率公式在实际中的应用举例 ...................................................................................... 7 参考文献 ...................................................................................................................................... 11 致谢 ............................................................................................................................................... 12

关于全概率公式及其应用的研究

1 引言

全概率公式是概率论中的一个重要公式，它的基本思想就是把一个复杂的事件分解为若干个互不相容的简单事件，再通过分别计算这些简单事件的概率，最后利用概率的可加性得到最终结果，它提供了计算复杂事件概率的一条有效途径，使一个复杂事件的概率计算问题化繁就简．全概率公式的提出，不仅推动了概率学的发展，也在学科和实际应用中起着重要的作用．随着概率论的不断发展，全概率公式也越来越广泛地应用于各个领域，成为实际生活中不可缺少的基本理论．

2 背景介绍

2.1 理论背景

对全概率公式及其应用的研究，必须建立在加法公式和乘法公式等定理的基础上．

如果有两个随机事件A ，B ∈F ，则有加法公式：

P (A B ) =P (A ) +P (B ) -P (AB )

特别，当A ，B 是互不相容的两个事件时，有

P (A B ) =P (A ) +P (B )

概率的一般加法公式：设A 1, A 2, , A n 是n 个随机事件，则有

n ⎛n ⎫n ⎫n -1⎛⎪ P A =P (A ) -P (A A ) +P (A A A ) - +(-1) P A ∑∑i i j i j k i ⎪∑ i ⎪⎪

1≤i

有限可加性：若A i ∈F ，i =1, 2, , n ，且A i A j =Φ(i ≠j ) . 则

⎛n ⎫n

P A i ⎪⎪=∑P (A i )

⎝i =1⎭i =1

可列可加性：若A i ∈F ，i =1, 2, ，且A i A j =Φ(i ≠j ) ，则

⎛∞⎫∞

P A i ⎪⎪=∑P (A i )

⎝i =1⎭i =1

条件概率：若(Ω, F , P ) 是一个概率空间，B ∈F ，且P (B ) >0，则对任意的A ∈F ，称

P (B ) =P (AB ) /P (B )

为在已知事件B 发生的条件下，事件A 发生的条件概率．

乘法公式：对任意两个事件A 、B ，若P (B ) >0，则有

P (AB ) =P (B ) P (B )

2.2 发展背景

概率论在一定的社会条件下，通过人类的社会实践和生产活动发展起来，被广泛应用于各个领域．在概率论中，概率的计算是一个很重要的问题，然而这个问题是十分复杂的，甚至有时是相当困难的，而全概率公式的提出，提供了计算复杂事件概率的一条有效途径，使一个复杂事件的概率计算问题化繁就简，不仅丰富了概率的公理化，也可以与条件概率公式一起导出贝叶斯公式，它与贝叶斯公式相结合，可以更好地把握随机事件间的相互影响关系，是计算复杂事件概率的有利工具，不仅推动了概率学的发展，也广泛地应用于实际中．

3 全概率公式的实质内容及其证明

全概率公式：[1]36设B 1, B 2, 是一列互不相容的事件，且有

B

i =1∞i =Ω

P (B i ) >0， i =1, 2,

则对任一事件A ，有

P (A ) =∑P (B i ) P (B i )

i =1∞

⎛∞⎫∞

证明 法一：对任一事件A ，由Ω为必然事件，有A =A Ω=A B i ⎪⎪= (AB i ) ，因⎝i =1⎭i =1

B 1, B 2, 互不相容，显然AB 1, AB 2, 也互不相容，故由概率的可列可加性，有

P (A ) =∑P (AB i ) =P (AB 1) +P (AB 2) + i =1∞

再由概率的乘法公式有P (AB i ) =P (B i ) P (B i ) ，则

P (A ) =P (B 1) P (B 1) +P (B 2) P (B 2) +

即 P (A ) =∑P (B ) P (B ) i i

i =1∞

法二：可以把B 1, B 2, 看作引起事件A 发生的多个原因，由于B 1, B 2, 互不相容，则这些原因两两不会同时发生．如果A 的发生是由B i 引起的，那么P (A ) 与P (AB i ) 有关，显然AB 1, AB 2,

也互不相容，又由于事件A 由哪个原因引起是随机的，且 B

i =1∞i =Ω，所以

P (A ) =∑P (AB i ) i =1∞

再由概率的乘法公式有P (AB i ) =P (B i ) P (B i ) ，得

P (A ) =∑P (B i ) P (B i )

i =1∞

总之，全概率公式的实质内容就是将一个复杂事件的概率分解成若干个互不相容的简单事件的概率之和．

4 全概率公式应用的关键条件及寻找关键条件的方法

4.1 完备事件组

应用全概率公式计算某个事件概率的关键是寻找与该事件相关的完备事件组．

所谓完备事件组，就是具备了完全性和互不相容性的一组事件，即

设B 1, , B n 为n 个事件，若满足

(1)完全性：B 1 B n =Ω；

(2)互不相容性：B i B j =φ，i ≠j ，i 、j =1, 2, , n ；

(3)P (B i ) >0，i =1, 2, , n ；

则称B 1, , B n 构成样本空间Ω的一个划分，也称构成Ω的一个完备事件组．

4.2 寻找完备事件组的两种方法

完备事件组不一定唯一，思路不同，找出的完备事件组可能不同，但只要能解决问题，用哪个完备事件组都可以．

方法一：从第一个实验入手，分解其样本空间，找出完备事件组．

如果所求概率的事件与前后两个试验有关，且这两个试验彼此关联，第一个试验的各种结果直接对第二个试验产生影响，而问第二个试验出现某结果的概率，这类问题是属于使用全概率公式的问题，将第一个试验的样本空间分解成若干个互不相容的事件的和，这些事件就是所求的一个完备事件组．

方法二： 从事件A 发生的两两互不相容的诸原因找完备事件组．

如果事件A 能且只能在原因B 1, , B n 下发生，且B 1, , B n 是两两互不相容，那么这些原因就

[2]

是一个完备事件组．

5 应用全概率公式的一般方法和步骤

5.1 判断问题可否采用“全概率公式”求解

若从问题的条件中可以找到一个事件组B 1, , B n ，而该事件组当且仅当其中之一发生时，事件

并能求出它们的概率P (B i ) ，同时可以求得在事件组B 1, , B n 发生的条件下事件A A 才可能发生，

发生的条件概率P (A B i ) (i =1, 2, , n ) ，那么即可利用全概率公式求得P (A ) ．

5.2 应用全概率公式于实际问题的一般步骤

第一步：定义要求概率的事件或它的对立事件为A ，正确找出相应的完备事件组B 1, , B n ． 第二步：根据题意，算出P (B i ) 与P (B i ) (i =1, 2, , n ) 的值．

第三步：将P (B i ) 、P (B i ) 之值代入公式，完成计算，得出要求的概率．

例如 某药厂用从甲、乙、丙三地收购而来的药材加工生产出一种中成药，三地的供货量分别占40%、30%和30%，用这三地的药材能生产出优等品的概率分别为0. 85、0. 70和0. 65，求从该厂产品中任意取一件成品是优等品的概率．

分析 由于不知道任意取出的药品究竟是甲、乙、丙三地中的哪一地的药材生产出的，所以直接求它为优等品的概率很困难，但取出的该药品总是由甲、乙、丙三地中的某一地药材生产出的，即三者必居其一．因此，可设B i (i =1, 2, 3) 分别表示抽到的产品的原药材来自甲、乙、丙三地，A ={抽到优等品}，依题意可知产地B i (i =1, 2, 3) 构成了完备事件组，A 发生时必以B i (i =1, 2, 3) 之一为先决条件，这样总是可以把A 分解到B i 上的，因此可以利用全概率公式计算P (A ) ．

解 第一步 设A =“抽到优等品”

B i =“抽到的产品的原药材来自i 地”(i =1, 2, 3)

第二步 由已知条件得P (B 1) =0. 4，P (B 2) =0. 3，P (B 3) =0. 3

P (B 1) =0. 85，P (B 2) =0. 7，P (B 3) =0. 65

第三步 由全概率公式得 P (A ) =∑P (B ) P (B ) i i

i =13

=P (B 1) P (B 1) +P (B 2) P (B 2) +P (B 3) P (B 3)

=0. 85⨯0. 4+0. 7⨯0. 3+0. 65⨯0. 3

=0. 745

即从该厂产品中任意取一件成品是优等品的概率占0. 745．

注 正确运用全概率公式应按三步进行，而第一步确定完备事件组是关键．在不同的题中，完备事件组的确定难易程度不同，有的较明显，有的较隐蔽，有的隐蔽而复杂，但只有这一步正确，后两步才有意义，为此，需严格按照完备事件组的定义来完成这一步．

6 全概率公式的一些推广

当一个复杂事件的发生与一列互不相容事件有关，而这列事件自身并不构成样本空间，添加某些事件后才构成样本空间的划分，并且这些事件对复杂事件的发生无影响时，可将全概率公式作如下推广：

推论1 设A 1, A 2, 是一列事件，添加C 1, C 2, , C m 后构成样本空间Ω的一个划分，P (A i ) >0，i =1, 2, ，则对任一事件B ，当P (B C k ) =0，k =1, 2, , m ，有

P (B ) =∑P (A i ) P (B A i )

i =1∞

证明 B =B Ω= A B BC i

i =1

∞

i ∞1 BC 2 BC m m P (B ) =∑P (A B ) +∑P (BC

i =1

∞k =1k ) =∑P (A ) P (B i

i =1

∞A i ) +∑P (C k ) P (B C k ) k =1m

=∑P (A ) P (B i

i =1A i )

当试验的随机过程不少于两个的时候，在影响目标事件的每一个试验过程中分别建立完备事件组，全概率公式可推广为：

推论2 设A i (i =1, 2, , n ) 和B j (j =1, 2, , m ) 是先后两个试验过程中的划分，C 为目标事件，当P (C ) >0，P (A i ) >0，P (B j ) >0，P (A i B j ) >0，i =1, 2, n ，j =1, 2, , m 时，则有

P (C ) =∑∑P (A i ) P (B j A i ) P (C A i B j )

i =1j =1n m

⎛n ⎫C A 证明 P (C ) =P i ⎪⎪=⎝i =1⎭m n ⎛⎫⎛n ⎫n P A i C ⎪⎪=∑P (A i C ) =∑P A i C B j ⎪⎪i =1j =1⎝i =1⎭i =1⎝⎭

n ⎛m ⎫n m

=∑P A i B j C ⎪=∑∑P (A i B j C ) ⎪i =1⎝j =1⎭i =1j =1

=∑∑P (A i ) P (B j A i ) P (C A i B j )

i =1j =1n m

将全概率公式推广至条件全概率公式：

推论3 设A 1, A 2, , A n 为样本空间Ω的一个划分，即A 1, A 2, , A n 两两互不相容，且 A

i =1n i =Ω，P (A i ) >0，i =1, 2, , n ，B ，C 为两个事件，当P (C ) >0，P (A i C ) >0时，有

n

P (B C ) =∑P (A i C ) P (B A i C ) ．

i =1

特别当C 分别与A 1, A 2, , A n 独立时，有

P () =∑P (A i ) P (A i C )

i =1n

证明 设B ，C 为两个事件，根据加法公式，有

P (BC ) =∑P (A i BC )

i =1n

当P (C ) >0，P (A i C ) >0(i =1, 2, , n ) 时，

P (A i BC ) =P (A i C ) P (B A i C ) =P (C ) P (A i C ) P (B A i C )

所以

P (BC ) =P (C ) ∑P (A i C ) P (B A i C )

i =1n

故

P (B C ) =P (BC ) P (C ) =∑P (A i C ) P (B A i C )

i =1n

而当C 与A 1, A 2, , A n 独立时，有

P (A i ) =P (A i )

此时

P () =∑P (A i ) P (B A i C )

i =1

n

7 离散型和连续型随机变量的全概率公式

7.1 离散型随机变量的全概率公式

设A 是某概率空间上的事件，若存在离散型随机变量ξ，分布列为P (ξ=x i ) =P i ，且

P i >0(i =1, 2, ) ，则有

P (A ) =∑P (=x i ) P (ξ=x i )

i =1∞

B j (i ≠j ) 两两互不相容，ξ=x i }，证明 令B i ={则B i ，且

由全概率公式即知定理成立．

7.2 连续型随机变量的全概率公式

B

i =1

∞

i

P (B i ) >0，=Ω，(i =1, 2, )

设A 是某概率空间上的事件，若存在连续型随机变量ξ，密度函数为p (x ) ，则有

P (A ) =⎰P (=x ) p (x ) dx

-∞

+∞

证明 在数轴上取分点x 0

P (ξ∈∆x i ) =⎰

x i +1

x i

p (x ) dx ，∆x i 同时也表示区间长度，当∆x i 较小时就有P (ξ∈∆x i ) ≈p (x i ) ∆x i ，

x 1p (x 1) ∆x 1

⎫

⎪视为ξ的一种近似分布．由离散型的全概

p (x n ) ∆x n ⎪⎭

i

x 0⎛

并且这时分布列

⎝p (x 0) ∆x 0

n

x n

率公式知P (A ) ≈

∑P (=x ) p (x ) ∆x ，再由数学分析知识，上式令∆x

i

i

i =1

=max ∆x i →0得

P (A ) =⎰P (=x ) p (x ) dx

-∞

+∞

8 全概率公式在实际中的应用举例

概率论是在一定的社会条件下，通过人类的社会实践和生产活动发展起来的．而全概率公式作为概率论的一个重要公式，主要用来解决概率的计算问题，在实际中有着多方面的应用．

例1 已知一等麦子中混入3%的二等麦种，2%的三等麦种，1%的四等麦种．一、二、三、四等麦种结50粒以上麦粒的麦穗的概率又分别为0. 60、0. 20、0. 10、0. 05，试求这批种子所结的麦穗含有50粒以上麦粒的概率．

解 设A =“所结的麦穗含有50粒以上麦粒”

B i =“任取一粒麦种为i 等麦种”(i =1, 2, 3, 4) 则由全概率公式可得

P (A ) =

∑P (B ) P (B )

i

i

i =1

4

=(1-0. 03-0. 02-0. 01) ⨯0. 6+0. 03⨯0. 2+0. 02⨯0. 1+0. 01⨯0. 05 =0. 5725

即这批种子所结的麦穗含有50粒以上麦粒的概率为0. 5725．

例2

[3]21

试证明购买彩票时无论先后顺序，中奖机会是均等的．

证明 设共有n 张彩票，其中有奖的为m 张． 先证明第一人与第二人中奖机会均等． 设A i =“第i 人中奖”，(i =1, 2, , n ) ，则

P (A 1) =

且A 1与A 1构成完备事件组．

又有P (A 2A 1) =由全概率公式

m n -m

，P (A 1) =， n n

m -1m

，P (A 2A 1) =． n -1n -1

P (A 2) =P (A 1) P (A 2A 1) +P (A 1) P (A 2A 1)

m m -1n -m m m

⨯+⨯= n n -1n n -1n

m

所以，第一人与第二人的中奖机会均是．用同样的办法可证明所有人中奖的机会是均等的，

n

m 都为．

n

例3 设甲、乙、丙三人同时向一目标射击，每人击中目标的概率为p ，一人击中目标被摧毁

=

的概率是p '，两人击中目标被摧毁的概率是2p '，三人击中目标被摧毁的概率是3p '，求目标被摧毁的概率．

解 设B =“目标被摧毁”

A i =“有i 个人击中目标”(i =1, 2, 3)

则P (A 1) =C 3p (1-p ) =3p (1-p ) ，P (A 2) =C 3p (1-p ) =3p (1-p ) ，P (A 3) =p 虽然，A 1、A 2、A 3不构成样本空间Ω的划分，但添加C =“三人均未击中”后就构成Ω的

1

2

2

2

2

2

3

划分，而P (C ) =0，于是，得

P (B ) =

∑P (A ) P (B

i

i =1

2

3

A i )

2

3

=3p (1-p ) ⋅p '+3p (1-p ) ⋅2p '+p ⋅3p '

=3p p '[(1-p ) +2p (1-p ) +p ] =3p p ' 即目标被摧毁的概率为3p p '.

例4 已知两个箱子中各装有3个不合格品和7个合格品，现从第一箱中任取一个产品放入第二箱，再从第二箱中任取一个产品放入第一箱中，问此时从第一箱中取出一个产品是合格品的概率.

解 设A i =“从第一箱中取出i 个合格品放入第二箱中”i =0, 1 B j =“从第二箱中取出j 个合格品放入第一箱中”j =0, 1 C =“再从第一箱中取出一个合格品”

由题意得P (A 0) =，P (A 1) =，P (B 0A 0) =，P (B 1A 0) =7

2

2

P (B 0A 1) =，P (B 1A 1) =，P (C A 0B 0) =，P (C A 0B 1) = P (C A 1B 0) =，P (C A 1B 1) =

故有全概率推广公式得

P (C ) =∑∑P (A i ) P (B j A i ) P (C A i B j ) =7

i =0j =0

11

即此时从第一箱中取出一个产品是合格品的概率为7．

例5 设有两箱相同的产品，第一箱内装50件，其中30件合格品；第二箱内装30件，其中6件合格品．从两箱中任取一箱再随机取两个产品，试求若先取出的产品是合格品，第二次取出的产品仍是合格品的概率．

解 设B i =“抽取第i 箱”i =1, 2

A j =“第j 次取出的产品是合格品”j =1, 2 得：P (B 1) =P (B 2) =2，P (A 1B 1) =，P (A 1B 2) =

P (A 1) =P (B 1) P (A 1B 1) +P (B 2) P (A 1B 2) =

由于P (B 1A 1) =P (A 1B 1) P (A 1) =P (B 1) P (A 1B 1) P (A 1) =4，P (B 2A 1) =4

P (A 2A 1B 1) =2949，P (A 2A 1B 2) =29

由条件全概率公式得

P (A 2A 1) =P (B 1A 1) P (A 2A 1B 1) +P (B 2A 1) P (A 2A 1B 2)

=4⨯2949+4⨯29=0. 49

即若先取出的产品是合格品，第二次取出的产品仍是合格品的概率为0. 49．

例6 设在∆ABC 内部任取一点P ，在底边BC 上任取一点Q ，求直线PQ 与AB 相交的概率． 解 设E =“PQ 与AB 相交”

固定Q 点，不失一般性，设BC 的长度为1．令BQ 的长度为ξ，则ξ为[0，1]上均匀分布的随机变量，即它的分布密度函数为：

x ∈[0, 1]⎧1，

p (x ) =⎨

0，其他 ⎩

PQ 与AB 相交相当于P 点落在∆ABQ 内．如果ξ=x 已取定，则

P (E =x ) =S ∆ABQ S ∆ABC =BQ BC =x

于是由连续型随机变量的全概率公式即得

P (E ) =⎰xdx =2

1

即直线PQ 与AB 相交的概率也为2．

通过以上几个简单的例子我们也可以看出全概率公式不仅在工业、农业方面有着广泛的应用，甚至在日常生活中也起着非常重要的作用，可以说生活中处处有概率，处处需要计算概率．灵活使用全概率公式会给我们的解题带来很大方便，而推广形式进一步拓展了公式的使用范围，成为我们解决更复杂问题的有效工具．相信随着理论和实践的不断发展，全概率公式必将在不同领域内发挥更大的作用．

参考文献：

[1] 魏宗舒．概率论与数理统计教程[M]．北京：高等教育出版社，1983

[2] 邱芳．对全概率和贝叶斯公式寻找完备事件组的两个方法[J]．滨州师专学报，2003．12第19卷第4期

[3] 田勇．概率论与数理统计[M]．北京：科学技术文献出版社，2008 [4] 陈希孺．概率论与数理统计[M]．合肥：中国科学技术大学出版社，2002

[5] 戴维纪，贾振声．关于全概率公式及其应用的研究[J]．Shanxi Agric．Univ ，1998 [6] 裴琴娟．全概率公式的推广形式与应用[J]．阜阳师范学院学报，2008．3第25卷第1期 [7] 王保平．全概率公式的推广[J]．石家庄师范专科学校学报，1999．12， 第1卷第4期 [8] Fit Tests．Finklestein ，J ．M ．and Schafer，R ．E ．，1971

致 谢

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