绝密★启用前
2015年江苏省南京市南京一中高中三年级第一学期期中数学名校试
卷
数学
考试时间：0分钟；考试总分：0分
学校：
1．已知U=R，A={x|﹣1≤x2．“x2=x+2”是“
．3．函数4．函数y=Asin（ωx+φ）（A ，ω，φ为常数，A ＞0，ω＞0）的图象如图所示，则ω= ．
5不为0，且a 1，a 3，a 7成等比数列，则= 1
6（0≤x＜2π）取得最大值时，7．已知实数x ，y 满足x+y=1，则x 2+y2的最小值是 1
8．设P 、A 、B 、C 是球O 表面上的四个点，PA 、PB 、PC 两两垂直，PA=1，PB=，PC=3，则球O
的体积为 1
9．已知函数
是奇函数，且f （a 2﹣2a ）＞f （3），则实数a 的取值范围是 1
10．已知
11．正项等比数列{an }中，若1≤a2≤2，2≤a3≤3，则a 5的取值范围是 1
12．
13．已知a ，b ，c ∈（0，+∞），满足abc （a+b+c）=1，S=（a+c）（b+c），当S 取最小值时，c 的最大值为 1 14．
15．在锐角三角形ABC 中，（1）求tanB 的值；
（2）若m
16﹣A 1B 1C 1中，点D 在棱BC 上，AD ⊥C 1D ， （11的中点，求证：平面AMC 1⊥平面AA 1C 1C ；
（2）设点E 是B 1C 1的中点，过A 1E 作平面α交平面ADC 1于l ，求证：A 1E ∥l ．
17．某种汽车购买时费用为14.4万元，每年应交付保险费、养路费及汽油费共0.9万元，汽车的维修费为：第一年0.2万元，第二年0.4万元，第三年0.6万元，…，依等差数列逐年递增． （Ⅰ）设使用n 年该车的总费用（包括购车费用）为f （n ），试写出f （n ）的表达式； （Ⅱ）求这种汽车使用多少年报废最合算（即该车使用多少年平均费用最少）．
18．已知函数f （x ）=2（x 2﹣2ax ）lnx ﹣x 2+4ax+1，
（1）当a=0时，求曲线y=f（x ）在（e ，f （e ））处的切线方程（e （2）求函数f （x ）的单调区间．
19．已知数列{an}满足
a 2=6．
（1）设，求数列{bn}的通项公式；
（2）设c 为非零常数，若数列{un}是等差数列
，记，S n =c1+c2+…+cn ，
求S n ．
20．设f （x ）=ex ﹣a （x+1）．
（1）若a ＞0，f （x ）≥0对一切x ∈R 恒成立，求a 的最大值；
（2）设是曲线y=g（x ）上
任意两点，若对任意的a≤﹣1，直线AB 的斜率恒大于常数m ，求m 的取值范围；
（3）是否存在正整数a ．使得
若存在，求a 的最小值；若不存在，请说明理由．
对一切正整数n 都成立？
本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
1．（5分）1．（﹣∞，﹣1）∪[0，+∞） 2．（5分）1．充要
3．（5分）1．[0，1）∪（1，+∞） 4．（5分）1．2 5．（5分）1．2
6．（5分）1．
7．（5分）1．
8．（5分）1．
9．（5分）1．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）
10．（5分）1．
11．（5分）1．[2，27]
12．（5分）1．
13．（5分）1．14．（5分）1．3
15．（14分）（1ABC 中，，所以cosA=，tanA=，
，
即
解得：；
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（2）因为，所以bccosA=maccosB，
由正弦定理得：sinBcosA=msinAcosB，
即tanB=mtanA，即，解得
16．（14分）（1）∵正三棱柱ABC ﹣A1B1C1中，M 是棱BB 1的中点， ∴AB=B1C 1，BM=B1M ，∠ABM=∠C 1B 1M ， ∴AM=C1M ．
∴△AMC 1是等腰三角形．
取AC 1的中点O ，CC 1的中点M ，连接MO ，OP ，MP ， 则MO ⊥AC 1，OP ⊥CC 1，MP ⊥CC 1， ∴CC 1⊥平面OPM ，
∵OM ⊂平面OPM ，∴CC 1⊥OM ． ∵CC 1∩AC1=C1， ∴OM ⊥平面AA 1C 1C ，
∵OM ⊂平面AMC 1，∴平面AMC 1⊥平面1C 1
（2）∵在正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1E 是B 1C 1的中点， ∴AD ∥A 1E ，
∵AD ⊂平面ADC 1，A 1E 1∴A 1E ∥平面1，
∵过A 1E 作平面αADC 1于l ， ∴A 1E ∥l ．
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17．（14分）依题意f （n ）=14.4+（0.2+0.4+0.6+…+0.2n）+0.9n
=
=0.1n2+n+14.4
（Ⅱ）设该车的年平均费用为S 万元，则有
=++1≥2+1
=2×1.2+1=3.4
仅当，即n=12时，等号成立． 故：汽车使用12年报废为宜．
18．（16分）（1）∵f （x ）=2（x 2﹣2ax ）lnx ﹣x 2+4ax+1， ∴a=0时，f （x ）=2x2lnx ﹣x 2+1， ∴x ＞0，f′（x ）=4xlnx， k=f′（e ）=4e，f （e ）=e2+1，
∴曲线y=f（x ）在（e ，f （e ）e （x ﹣e ）， 整理得：y=4ex﹣3e 2+1；
（2）∵f （x ）=2（x 2﹣2ax
∴x ＞0，f′（x ）=（4x 4a ﹣2x+4a=（4x ﹣4a ）lnx ， 由f′（x ）=0x=0．
当a≤0时，由f′，得x ＞1；由f′（x ）＜0，得0＜x ＜1， ∴f （x ）在（0，1）上减，在（1，+∞）上增；
当0＜a ＜1时，由f′（x ）＞0，得x ＞1或0x ＜a ；由f′（x ）＜0，得a ＜x ＜1， ∴f （x ）在（a ，1）上减，在（0，a ），（1，+∞）上增； a=1时，f （x ）在（0，+∞）上单调递增，无减区间； a ＞1时，
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由f′（x ）＞0，得x ＞a ，或0＜x ＜1；由f′（x ）＜0，得1＜x ＜a ， ∴f （x ）在（0，1），（a ，+∞）上增，在（1，a ）上减．
19．（16分）（1）∵
∴（n ﹣1）a n+1=（n+1）a n ﹣（n+1）
，
当n≥2时，
而
∴bn+1﹣bn=﹣（n≥2）
∵a 2=6∴b 2
===3
∵b 3﹣b 2=﹣1
b 4﹣b 3
=﹣ …
b n ﹣bn ﹣1=
）
将这些式子相加得b n ﹣b 2=
∴b n
=（n≥3）
b2=3也满足上式，b 1=3不满上式
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∴
（2）
，令n=1得a 1=1
∵
∴a n =2n2﹣n （n≥2） 而a 1=1也满足上式 ∴a n =2n2﹣n
∵
，数列{un }是等差数列
∴是关于n ∴c=﹣，u n =2n
∴，
∴
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20．（16分
）
绝密★启用前
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卷
数学
考试时间：0分钟；考试总分：0分
学校：
1．已知U=R，A={x|﹣1≤x2．“x2=x+2”是“
．3．函数4．函数y=Asin（ωx+φ）（A ，ω，φ为常数，A ＞0，ω＞0）的图象如图所示，则ω= ．
5不为0，且a 1，a 3，a 7成等比数列，则= 1
6（0≤x＜2π）取得最大值时，7．已知实数x ，y 满足x+y=1，则x 2+y2的最小值是 1
8．设P 、A 、B 、C 是球O 表面上的四个点，PA 、PB 、PC 两两垂直，PA=1，PB=，PC=3，则球O
的体积为 1
9．已知函数
是奇函数，且f （a 2﹣2a ）＞f （3），则实数a 的取值范围是 1
10．已知
11．正项等比数列{an }中，若1≤a2≤2，2≤a3≤3，则a 5的取值范围是 1
12．
13．已知a ，b ，c ∈（0，+∞），满足abc （a+b+c）=1，S=（a+c）（b+c），当S 取最小值时，c 的最大值为 1 14．
15．在锐角三角形ABC 中，（1）求tanB 的值；
（2）若m
16﹣A 1B 1C 1中，点D 在棱BC 上，AD ⊥C 1D ， （11的中点，求证：平面AMC 1⊥平面AA 1C 1C ；
（2）设点E 是B 1C 1的中点，过A 1E 作平面α交平面ADC 1于l ，求证：A 1E ∥l ．
17．某种汽车购买时费用为14.4万元，每年应交付保险费、养路费及汽油费共0.9万元，汽车的维修费为：第一年0.2万元，第二年0.4万元，第三年0.6万元，…，依等差数列逐年递增． （Ⅰ）设使用n 年该车的总费用（包括购车费用）为f （n ），试写出f （n ）的表达式； （Ⅱ）求这种汽车使用多少年报废最合算（即该车使用多少年平均费用最少）．
18．已知函数f （x ）=2（x 2﹣2ax ）lnx ﹣x 2+4ax+1，
（1）当a=0时，求曲线y=f（x ）在（e ，f （e ））处的切线方程（e （2）求函数f （x ）的单调区间．
19．已知数列{an}满足
a 2=6．
（1）设，求数列{bn}的通项公式；
（2）设c 为非零常数，若数列{un}是等差数列
，记，S n =c1+c2+…+cn ，
求S n ．
20．设f （x ）=ex ﹣a （x+1）．
（1）若a ＞0，f （x ）≥0对一切x ∈R 恒成立，求a 的最大值；
（2）设是曲线y=g（x ）上
任意两点，若对任意的a≤﹣1，直线AB 的斜率恒大于常数m ，求m 的取值范围；
（3）是否存在正整数a ．使得
若存在，求a 的最小值；若不存在，请说明理由．
对一切正整数n 都成立？
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1．（5分）1．（﹣∞，﹣1）∪[0，+∞） 2．（5分）1．充要
3．（5分）1．[0，1）∪（1，+∞） 4．（5分）1．2 5．（5分）1．2
6．（5分）1．
7．（5分）1．
8．（5分）1．
9．（5分）1．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）
10．（5分）1．
11．（5分）1．[2，27]
12．（5分）1．
13．（5分）1．14．（5分）1．3
15．（14分）（1ABC 中，，所以cosA=，tanA=，
，
即
解得：；
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（2）因为，所以bccosA=maccosB，
由正弦定理得：sinBcosA=msinAcosB，
即tanB=mtanA，即，解得
16．（14分）（1）∵正三棱柱ABC ﹣A1B1C1中，M 是棱BB 1的中点， ∴AB=B1C 1，BM=B1M ，∠ABM=∠C 1B 1M ， ∴AM=C1M ．
∴△AMC 1是等腰三角形．
取AC 1的中点O ，CC 1的中点M ，连接MO ，OP ，MP ， 则MO ⊥AC 1，OP ⊥CC 1，MP ⊥CC 1， ∴CC 1⊥平面OPM ，
∵OM ⊂平面OPM ，∴CC 1⊥OM ． ∵CC 1∩AC1=C1， ∴OM ⊥平面AA 1C 1C ，
∵OM ⊂平面AMC 1，∴平面AMC 1⊥平面1C 1
（2）∵在正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1E 是B 1C 1的中点， ∴AD ∥A 1E ，
∵AD ⊂平面ADC 1，A 1E 1∴A 1E ∥平面1，
∵过A 1E 作平面αADC 1于l ， ∴A 1E ∥l ．
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17．（14分）依题意f （n ）=14.4+（0.2+0.4+0.6+…+0.2n）+0.9n
=
=0.1n2+n+14.4
（Ⅱ）设该车的年平均费用为S 万元，则有
=++1≥2+1
=2×1.2+1=3.4
仅当，即n=12时，等号成立． 故：汽车使用12年报废为宜．
18．（16分）（1）∵f （x ）=2（x 2﹣2ax ）lnx ﹣x 2+4ax+1， ∴a=0时，f （x ）=2x2lnx ﹣x 2+1， ∴x ＞0，f′（x ）=4xlnx， k=f′（e ）=4e，f （e ）=e2+1，
∴曲线y=f（x ）在（e ，f （e ）e （x ﹣e ）， 整理得：y=4ex﹣3e 2+1；
（2）∵f （x ）=2（x 2﹣2ax
∴x ＞0，f′（x ）=（4x 4a ﹣2x+4a=（4x ﹣4a ）lnx ， 由f′（x ）=0x=0．
当a≤0时，由f′，得x ＞1；由f′（x ）＜0，得0＜x ＜1， ∴f （x ）在（0，1）上减，在（1，+∞）上增；
当0＜a ＜1时，由f′（x ）＞0，得x ＞1或0x ＜a ；由f′（x ）＜0，得a ＜x ＜1， ∴f （x ）在（a ，1）上减，在（0，a ），（1，+∞）上增； a=1时，f （x ）在（0，+∞）上单调递增，无减区间； a ＞1时，
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由f′（x ）＞0，得x ＞a ，或0＜x ＜1；由f′（x ）＜0，得1＜x ＜a ， ∴f （x ）在（0，1），（a ，+∞）上增，在（1，a ）上减．
19．（16分）（1）∵
∴（n ﹣1）a n+1=（n+1）a n ﹣（n+1）
，
当n≥2时，
而
∴bn+1﹣bn=﹣（n≥2）
∵a 2=6∴b 2
===3
∵b 3﹣b 2=﹣1
b 4﹣b 3
=﹣ …
b n ﹣bn ﹣1=
）
将这些式子相加得b n ﹣b 2=
∴b n
=（n≥3）
b2=3也满足上式，b 1=3不满上式
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∴
（2）
，令n=1得a 1=1
∵
∴a n =2n2﹣n （n≥2） 而a 1=1也满足上式 ∴a n =2n2﹣n
∵
，数列{un }是等差数列
∴是关于n ∴c=﹣，u n =2n
∴，
∴
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20．（16分
）