绝密★启用前
2015年江苏省南京市南京一中高中三年级第一学期期中数学名校试
卷
数学
考试时间:0分钟;考试总分:0分
学校:
1.已知U=R,A={x|﹣1≤x2.“x2=x+2”是“
.3.函数4.函数y=Asin(ωx+φ)(A ,ω,φ为常数,A >0,ω>0)的图象如图所示,则ω= .
5不为0,且a 1,a 3,a 7成等比数列,则= 1
6(0≤x<2π)取得最大值时,7.已知实数x ,y 满足x+y=1,则x 2+y2的最小值是 1
8.设P 、A 、B 、C 是球O 表面上的四个点,PA 、PB 、PC 两两垂直,PA=1,PB=,PC=3,则球O
的体积为 1
9.已知函数
是奇函数,且f (a 2﹣2a )>f (3),则实数a 的取值范围是 1
10.已知
11.正项等比数列{an }中,若1≤a2≤2,2≤a3≤3,则a 5的取值范围是 1
12.
13.已知a ,b ,c ∈(0,+∞),满足abc (a+b+c)=1,S=(a+c)(b+c),当S 取最小值时,c 的最大值为 1 14.
15.在锐角三角形ABC 中,(1)求tanB 的值;
(2)若m
16﹣A 1B 1C 1中,点D 在棱BC 上,AD ⊥C 1D , (11的中点,求证:平面AMC 1⊥平面AA 1C 1C ;
(2)设点E 是B 1C 1的中点,过A 1E 作平面α交平面ADC 1于l ,求证:A 1E ∥l .
17.某种汽车购买时费用为14.4万元,每年应交付保险费、养路费及汽油费共0.9万元,汽车的维修费为:第一年0.2万元,第二年0.4万元,第三年0.6万元,…,依等差数列逐年递增. (Ⅰ)设使用n 年该车的总费用(包括购车费用)为f (n ),试写出f (n )的表达式; (Ⅱ)求这种汽车使用多少年报废最合算(即该车使用多少年平均费用最少).
18.已知函数f (x )=2(x 2﹣2ax )lnx ﹣x 2+4ax+1,
(1)当a=0时,求曲线y=f(x )在(e ,f (e ))处的切线方程(e (2)求函数f (x )的单调区间.
19.已知数列{an}满足
a 2=6.
(1)设,求数列{bn}的通项公式;
(2)设c 为非零常数,若数列{un}是等差数列
,记,S n =c1+c2+…+cn ,
求S n .
20.设f (x )=ex ﹣a (x+1).
(1)若a >0,f (x )≥0对一切x ∈R 恒成立,求a 的最大值;
(2)设是曲线y=g(x )上
任意两点,若对任意的a≤﹣1,直线AB 的斜率恒大于常数m ,求m 的取值范围;
(3)是否存在正整数a .使得
若存在,求a 的最小值;若不存在,请说明理由.
对一切正整数n 都成立?
本卷由系统自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。
1.(5分)1.(﹣∞,﹣1)∪[0,+∞) 2.(5分)1.充要
3.(5分)1.[0,1)∪(1,+∞) 4.(5分)1.2 5.(5分)1.2
6.(5分)1.
7.(5分)1.
8.(5分)1.
9.(5分)1.(﹣∞,﹣1)∪(3,+∞)
10.(5分)1.
11.(5分)1.[2,27]
12.(5分)1.
13.(5分)1.14.(5分)1.3
15.(14分)(1ABC 中,,所以cosA=,tanA=,
,
即
解得:;
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(2)因为,所以bccosA=maccosB,
由正弦定理得:sinBcosA=msinAcosB,
即tanB=mtanA,即,解得
16.(14分)(1)∵正三棱柱ABC ﹣A1B1C1中,M 是棱BB 1的中点, ∴AB=B1C 1,BM=B1M ,∠ABM=∠C 1B 1M , ∴AM=C1M .
∴△AMC 1是等腰三角形.
取AC 1的中点O ,CC 1的中点M ,连接MO ,OP ,MP , 则MO ⊥AC 1,OP ⊥CC 1,MP ⊥CC 1, ∴CC 1⊥平面OPM ,
∵OM ⊂平面OPM ,∴CC 1⊥OM . ∵CC 1∩AC1=C1, ∴OM ⊥平面AA 1C 1C ,
∵OM ⊂平面AMC 1,∴平面AMC 1⊥平面1C 1
(2)∵在正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1E 是B 1C 1的中点, ∴AD ∥A 1E ,
∵AD ⊂平面ADC 1,A 1E 1∴A 1E ∥平面1,
∵过A 1E 作平面αADC 1于l , ∴A 1E ∥l .
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17.(14分)依题意f (n )=14.4+(0.2+0.4+0.6+…+0.2n)+0.9n
=
=0.1n2+n+14.4
(Ⅱ)设该车的年平均费用为S 万元,则有
=++1≥2+1
=2×1.2+1=3.4
仅当,即n=12时,等号成立. 故:汽车使用12年报废为宜.
18.(16分)(1)∵f (x )=2(x 2﹣2ax )lnx ﹣x 2+4ax+1, ∴a=0时,f (x )=2x2lnx ﹣x 2+1, ∴x >0,f′(x )=4xlnx, k=f′(e )=4e,f (e )=e2+1,
∴曲线y=f(x )在(e ,f (e )e (x ﹣e ), 整理得:y=4ex﹣3e 2+1;
(2)∵f (x )=2(x 2﹣2ax
∴x >0,f′(x )=(4x 4a ﹣2x+4a=(4x ﹣4a )lnx , 由f′(x )=0x=0.
当a≤0时,由f′,得x >1;由f′(x )<0,得0<x <1, ∴f (x )在(0,1)上减,在(1,+∞)上增;
当0<a <1时,由f′(x )>0,得x >1或0x <a ;由f′(x )<0,得a <x <1, ∴f (x )在(a ,1)上减,在(0,a ),(1,+∞)上增; a=1时,f (x )在(0,+∞)上单调递增,无减区间; a >1时,
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由f′(x )>0,得x >a ,或0<x <1;由f′(x )<0,得1<x <a , ∴f (x )在(0,1),(a ,+∞)上增,在(1,a )上减.
19.(16分)(1)∵
∴(n ﹣1)a n+1=(n+1)a n ﹣(n+1)
,
当n≥2时,
而
∴bn+1﹣bn=﹣(n≥2)
∵a 2=6∴b 2
===3
∵b 3﹣b 2=﹣1
b 4﹣b 3
=﹣ …
b n ﹣bn ﹣1=
)
将这些式子相加得b n ﹣b 2=
∴b n
=(n≥3)
b2=3也满足上式,b 1=3不满上式
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∴
(2)
,令n=1得a 1=1
∵
∴a n =2n2﹣n (n≥2) 而a 1=1也满足上式 ∴a n =2n2﹣n
∵
,数列{un }是等差数列
∴是关于n ∴c=﹣,u n =2n
∴,
∴
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20.(16分
)
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数学
考试时间:0分钟;考试总分:0分
学校:
1.已知U=R,A={x|﹣1≤x2.“x2=x+2”是“
.3.函数4.函数y=Asin(ωx+φ)(A ,ω,φ为常数,A >0,ω>0)的图象如图所示,则ω= .
5不为0,且a 1,a 3,a 7成等比数列,则= 1
6(0≤x<2π)取得最大值时,7.已知实数x ,y 满足x+y=1,则x 2+y2的最小值是 1
8.设P 、A 、B 、C 是球O 表面上的四个点,PA 、PB 、PC 两两垂直,PA=1,PB=,PC=3,则球O
的体积为 1
9.已知函数
是奇函数,且f (a 2﹣2a )>f (3),则实数a 的取值范围是 1
10.已知
11.正项等比数列{an }中,若1≤a2≤2,2≤a3≤3,则a 5的取值范围是 1
12.
13.已知a ,b ,c ∈(0,+∞),满足abc (a+b+c)=1,S=(a+c)(b+c),当S 取最小值时,c 的最大值为 1 14.
15.在锐角三角形ABC 中,(1)求tanB 的值;
(2)若m
16﹣A 1B 1C 1中,点D 在棱BC 上,AD ⊥C 1D , (11的中点,求证:平面AMC 1⊥平面AA 1C 1C ;
(2)设点E 是B 1C 1的中点,过A 1E 作平面α交平面ADC 1于l ,求证:A 1E ∥l .
17.某种汽车购买时费用为14.4万元,每年应交付保险费、养路费及汽油费共0.9万元,汽车的维修费为:第一年0.2万元,第二年0.4万元,第三年0.6万元,…,依等差数列逐年递增. (Ⅰ)设使用n 年该车的总费用(包括购车费用)为f (n ),试写出f (n )的表达式; (Ⅱ)求这种汽车使用多少年报废最合算(即该车使用多少年平均费用最少).
18.已知函数f (x )=2(x 2﹣2ax )lnx ﹣x 2+4ax+1,
(1)当a=0时,求曲线y=f(x )在(e ,f (e ))处的切线方程(e (2)求函数f (x )的单调区间.
19.已知数列{an}满足
a 2=6.
(1)设,求数列{bn}的通项公式;
(2)设c 为非零常数,若数列{un}是等差数列
,记,S n =c1+c2+…+cn ,
求S n .
20.设f (x )=ex ﹣a (x+1).
(1)若a >0,f (x )≥0对一切x ∈R 恒成立,求a 的最大值;
(2)设是曲线y=g(x )上
任意两点,若对任意的a≤﹣1,直线AB 的斜率恒大于常数m ,求m 的取值范围;
(3)是否存在正整数a .使得
若存在,求a 的最小值;若不存在,请说明理由.
对一切正整数n 都成立?
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1.(5分)1.(﹣∞,﹣1)∪[0,+∞) 2.(5分)1.充要
3.(5分)1.[0,1)∪(1,+∞) 4.(5分)1.2 5.(5分)1.2
6.(5分)1.
7.(5分)1.
8.(5分)1.
9.(5分)1.(﹣∞,﹣1)∪(3,+∞)
10.(5分)1.
11.(5分)1.[2,27]
12.(5分)1.
13.(5分)1.14.(5分)1.3
15.(14分)(1ABC 中,,所以cosA=,tanA=,
,
即
解得:;
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(2)因为,所以bccosA=maccosB,
由正弦定理得:sinBcosA=msinAcosB,
即tanB=mtanA,即,解得
16.(14分)(1)∵正三棱柱ABC ﹣A1B1C1中,M 是棱BB 1的中点, ∴AB=B1C 1,BM=B1M ,∠ABM=∠C 1B 1M , ∴AM=C1M .
∴△AMC 1是等腰三角形.
取AC 1的中点O ,CC 1的中点M ,连接MO ,OP ,MP , 则MO ⊥AC 1,OP ⊥CC 1,MP ⊥CC 1, ∴CC 1⊥平面OPM ,
∵OM ⊂平面OPM ,∴CC 1⊥OM . ∵CC 1∩AC1=C1, ∴OM ⊥平面AA 1C 1C ,
∵OM ⊂平面AMC 1,∴平面AMC 1⊥平面1C 1
(2)∵在正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1E 是B 1C 1的中点, ∴AD ∥A 1E ,
∵AD ⊂平面ADC 1,A 1E 1∴A 1E ∥平面1,
∵过A 1E 作平面αADC 1于l , ∴A 1E ∥l .
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17.(14分)依题意f (n )=14.4+(0.2+0.4+0.6+…+0.2n)+0.9n
=
=0.1n2+n+14.4
(Ⅱ)设该车的年平均费用为S 万元,则有
=++1≥2+1
=2×1.2+1=3.4
仅当,即n=12时,等号成立. 故:汽车使用12年报废为宜.
18.(16分)(1)∵f (x )=2(x 2﹣2ax )lnx ﹣x 2+4ax+1, ∴a=0时,f (x )=2x2lnx ﹣x 2+1, ∴x >0,f′(x )=4xlnx, k=f′(e )=4e,f (e )=e2+1,
∴曲线y=f(x )在(e ,f (e )e (x ﹣e ), 整理得:y=4ex﹣3e 2+1;
(2)∵f (x )=2(x 2﹣2ax
∴x >0,f′(x )=(4x 4a ﹣2x+4a=(4x ﹣4a )lnx , 由f′(x )=0x=0.
当a≤0时,由f′,得x >1;由f′(x )<0,得0<x <1, ∴f (x )在(0,1)上减,在(1,+∞)上增;
当0<a <1时,由f′(x )>0,得x >1或0x <a ;由f′(x )<0,得a <x <1, ∴f (x )在(a ,1)上减,在(0,a ),(1,+∞)上增; a=1时,f (x )在(0,+∞)上单调递增,无减区间; a >1时,
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由f′(x )>0,得x >a ,或0<x <1;由f′(x )<0,得1<x <a , ∴f (x )在(0,1),(a ,+∞)上增,在(1,a )上减.
19.(16分)(1)∵
∴(n ﹣1)a n+1=(n+1)a n ﹣(n+1)
,
当n≥2时,
而
∴bn+1﹣bn=﹣(n≥2)
∵a 2=6∴b 2
===3
∵b 3﹣b 2=﹣1
b 4﹣b 3
=﹣ …
b n ﹣bn ﹣1=
)
将这些式子相加得b n ﹣b 2=
∴b n
=(n≥3)
b2=3也满足上式,b 1=3不满上式
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∴
(2)
,令n=1得a 1=1
∵
∴a n =2n2﹣n (n≥2) 而a 1=1也满足上式 ∴a n =2n2﹣n
∵
,数列{un }是等差数列
∴是关于n ∴c=﹣,u n =2n
∴,
∴
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20.(16分
)