二次函数
考点1、二次函数的概念
定义：一般地，如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数. 注意：（1）二次函数是关于自变量x的二次式，二次项系数a必须为非零实数，即a≠0， 而b、c为任意实数。
（2）当b=c=0时，二次函数y=ax2是最简单的二次函数。
（3）二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)自变量的取值为全体实数 （ax+bx+c为整式）
例1： 函数y=（m＋2）x＋2x－1是二次函数，则m= _______．
2
例2：已知函数y=ax＋bx＋c（其中a，b，c是常数），当a____时，是二次函数；当a______，b_____时，是一次函数；当a_______，b_______，c_________时，是正比例函数．
2
例3：函数y=（m－n）x＋mx＋n是二次函数的条件是（ ）
A．m、n为常数，且m≠0 B．m、n为常数，且m≠n C．m、n为常数，且n≠0 D．m、n可以为任何常数 例4： 下列函数中是二次函数的有（ ）
①y=x＋
m2-2
2
11222
；②y=3（x－1）＋2；③y=（x＋3）－2x；④y=2＋x． xx
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
考点2、三种函数解析式：
2
（1）一般式： y=ax+bx+c（a≠0），
bb4ac-b2
对称轴：直线x=- 顶点坐标：( - )
2a2a4a2
（2）顶点式：y=a(x-h)+k（a≠0）， 对称轴：直线x=h 顶点坐标为（h,k ）
（3）交点式：y=a（x-x1）（x-x2）（a≠0）,
对称轴:直线x=
x1+x2
2
2
(其中x1、x2是二次函数与x轴的两个交点的横坐标).
例1：抛物线y=x-2x-8的顶点坐标为____________；对称轴是___________。 例2：二次函数y=-4（1+2x）（x-3）的一般形式是_______ 例3：已知函数y=mx+(m-m)x+2的图象关于y轴对称，则m＝________；
2
例4：抛物线y=x-4x+3与x轴的交点坐标是______. 例5：把方程x(x+2)=5(x-2)化为一元二次方程的一般形式后a=____,b=_____,c=_____. 考点3、用待定系数法求二次函数的解析式
（1）一般式：y=ax+bx+c.已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式. （2）顶点式：y=a(x-h)+k.已知图像的顶点或对称轴或最值，通常选择顶点式.
2
22
2
y=a(x-x1)(x-x2).
（3）交点式：已知图像与x轴的交点坐标x1、x2，通常选用交点式：
2
例1：一个二次函数的图象顶点坐标为（-5，1），形状与抛物线y=2x相同，这个函数解析式为______________．
例2：已知抛物线的顶点坐标是（－2，1），且过点（1，－2），求抛物线的解析式。
例3：已知二次函数的图像经过（0，1），（2，1）和（3，4），求该二次函数的解析式。
例4：已知二次函数的图像与x轴的2个交点为（1，0），（2，0），并且过（3，4），求该二次函数的解析式。
考点4.二次函数的图象
1、二次函数 y=ax2+bx+c的图像是对称轴平行于（包括重合）y轴的抛物线. 2、二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①y=ax；②y=ax2+k；③
2
y=a(x-h)；④y=a(x-h)2+k；⑤y=ax2+bx+c.
2
注：二次函数的图象可以通过抛物线的平移得到
3、二次函数y=ax2+bx+c的图像的画法
因为二次函数的图像是抛物线，是轴对称图形，所以作图时步骤是： (1)先找出顶点坐标，画出对称轴；
(2)找出抛物线上关于对称轴的四个点(如与坐标轴的交点等)； (3)把上述五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来.
典型例题：
2
例1：函数y=x的顶点坐标为_______．若点（a，4）在其图象上，则a的值是________．
2
例2：若点A（3，m）是抛物线y=－x上一点，则m= ________．
2222
例3：函数y=x与y=－x的图象关于________对称，也可以认为y=－x，是函数y=x的图象绕___________旋转得到．
2
例4：若二次函数y=ax（a≠0），图象过点P（2，－8），则函数表达式为_________．
2
例5：．函数y=x的图象的对称轴为______，与对称轴的交点为_______，是函数的顶点．
2
例7：若a＞1，点（－a－1，y1）、（a，y2）、（a＋1，y3）都在函数y=x的图象上，判断y1、y2、y3的大小关系？
1、开口方向：当a>0时，函数开口方向向上； 当a0时，在对称轴左侧，y随着x的增大而减少；在对称轴右侧，y随着x的增大而增大；
当a
b4ac-b2
当a>0时，函数有最小值，并且当x=- ， y最小 ＝
2a4ab4ac-b2
当a
2a4a
典型例题：
例1：抛物线的顶点在y轴上，则m的值为______________。
例2：按要求求出下列二次函数的解析式： （1）形状与y=-抛物线的解析式；
12
x+2的图象形状相同，但开口方向不同，顶点坐标是（0，－3）的3
12
x-2关于x轴对称的抛物线的解析式； 5
7
（3）对称轴是y轴，顶点的纵坐标是-，且经过（1，1）点的抛物线的解析式。
2
（2）与抛物线y=
例3： 已知函数y=
2
例4：已知二次函数y=(k-2)x+2kx+3k，根据下列给出的条件求出相应的k的值。 （1）抛物线的顶点在x轴上； （2）抛物线的顶点在y轴上； （3）抛物线的顶点在y=4x上。
12
x+2x+1 2
（1）写出抛物线的开口方向，顶点坐标、对称轴及最值； （2）求抛物线与x轴、y轴的交点；
（3）观察图象：x为何值时，y随x的增大而增大；
（4）观察图象：当x为何值时，y>0时，当x为何值时，y=0；当x为何值时，y
考点7.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点坐标。 ①a的符号决定抛物线的开口方向
②对称轴平行于y轴（或重合）的直线记作x=h.特别地，y轴记作直线x=0. ③顶点决定抛物线的位置.
几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. 例1： 函数（ ）
在同一坐标系中的图象大致是图中的
例2： 抛物线y=(x-2)2+3的顶点坐标是（ ） A．（2，3） B．（－2，3） C．（2，－3） D．（－2，－3） 例3：二次函数y=(x+1)2+2的最小值是（ ）． A．2 B．1 C．－3 D．
2
2
3
，n是常数）的顶点坐标是（ ） 例4：抛物线y=2(x+m)+n（m
-n) D．(-m，-n) A．(m，n) B．(-m，n) C．(m，
2
例5：函数y=ax＋1与y=ax＋bx＋1（a≠0）的图象可能是（ ）
2
B． C． D．
考点8.抛物线y=ax+bx+c中a、b、c的作用 1、a决定抛物线的开口方向和开口大小
a的符号决定抛物线的开口方向：当a>0时，函数开口方向向上； 当a
a的大小决定抛物线的开口大小：当a越大时，开口越小；
当a越小时，开口越大；
a相等，抛物线的开口大小、形状相同.
2、a和b共同决定抛物线的对称轴位置。（x=-
b
） 2a
左同右异：①如果对称轴在Y轴左侧，则a、b符号相同。 ②如果对称轴在Y轴右侧，则a、b符号相反。 注意点：①b=0时，对称轴为y轴； ②
b
>0（即a、b同号）时，对称轴在y轴左侧；
a
③
b
3、c的大小决定抛物线于y轴的交点位置。（于y=kx+b中的b作用相同）
2
y=ax+bx+c与y轴有且只有一个交点（0，c）y=cx=0当时，，∴抛物线：
注意：
①c=0，抛物线经过原点; ②c>0,与y轴交于正半轴； ③c
以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则
b
例1： 已知抛物线y=ax2+bx+c经过原点和第一、二、三象限，则（ ） A. a>0，b0，b>0，c=0
例2：在同一直角坐标系中，直线y=ax+b和抛物线y=ax+bx+c(c≠0)的图象只可能是图中的（ ）
2
例3： 在同一直角坐标系中，函数y=ax+b和y=bx+ax的图象只可能是图中的（ ）
2
2
例4：抛物线的图象如图所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能是（ ） A、y=x-x-2 B、y=-
2
12
1x++1
22
C、y=-
121
x-x+1 D、y=-x2+x+2 22
例6：已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所
示，给出以下结论：①a＞0.
②该函数的图象关于直线x=1对称.
③当x=-1或x=3时，函数y的值都等于0.
其中正确结论的个数是（ ） A．3 B．2C．1D．0
O
考点9、抛物线的平移
方法：左加右减，上加下减
抛物线的平移实质是顶点的平移，因为顶点决定抛物线的位置，所以，抛物线平移时首先化为顶点式
向右(h>0)【或左(h平移|k|个单位
【或左(h
例1：在平面直角坐标系中，将二次函数y=2x的图象向上平移2个单位，所得图象的解析式为
A．y=2x-2 B．y=2x+2
C．y=2(x-2) D．y=2(x+2)
22
(a>0)y=x+xy=x-3x+2的例2：将函数的图象向右平移a个单位，得到函数图象，则a的值为
A．1 B．2
C．3 D．4
2
2
2
2
2
y=x+x-2关于x轴作轴对称变换，再将例3：在平面直角坐标系中，先将抛物线
所得的抛物线关于y轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为（ ）
22
y=-x-x+2y=-x+x-2 A． B．
2
2
y=-x+x+2 D．y=x2+x+2 C．
例4：把抛物线y=-x向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的
解析式为
A．y=-(x-1)-3
2
y=-(x-1)+3 C．
2
B．y=-(x+1)-3
2
y=-(x+1)+3 D．
2
考点10、二次函数y=ax+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)的最大值和最小值的求法
二次函数是否有最值，由a的符号确定。
2
b4ac-b2
当a>0时，抛物线有最低点，函数有最小值，当x=- ， y最小 ＝
2a4a
4ac-b2b
当a
4a2a
注：如果自变量x有取值范围，则另当别论。
典型例题：
例1： 抛物线的图象开口___________，对称轴是___________，顶点坐标为___________，当x=___________时，y有最___________值为___________。
二次函数
考点1、二次函数的概念
定义：一般地，如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数. 注意：（1）二次函数是关于自变量x的二次式，二次项系数a必须为非零实数，即a≠0， 而b、c为任意实数。
（2）当b=c=0时，二次函数y=ax2是最简单的二次函数。
（3）二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)自变量的取值为全体实数 （ax+bx+c为整式）
例1： 函数y=（m＋2）x＋2x－1是二次函数，则m= _______．
2
例2：已知函数y=ax＋bx＋c（其中a，b，c是常数），当a____时，是二次函数；当a______，b_____时，是一次函数；当a_______，b_______，c_________时，是正比例函数．
2
例3：函数y=（m－n）x＋mx＋n是二次函数的条件是（ ）
A．m、n为常数，且m≠0 B．m、n为常数，且m≠n C．m、n为常数，且n≠0 D．m、n可以为任何常数 例4： 下列函数中是二次函数的有（ ）
①y=x＋
m2-2
2
11222
；②y=3（x－1）＋2；③y=（x＋3）－2x；④y=2＋x． xx
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
考点2、三种函数解析式：
2
（1）一般式： y=ax+bx+c（a≠0），
bb4ac-b2
对称轴：直线x=- 顶点坐标：( - )
2a2a4a2
（2）顶点式：y=a(x-h)+k（a≠0）， 对称轴：直线x=h 顶点坐标为（h,k ）
（3）交点式：y=a（x-x1）（x-x2）（a≠0）,
对称轴:直线x=
x1+x2
2
2
(其中x1、x2是二次函数与x轴的两个交点的横坐标).
例1：抛物线y=x-2x-8的顶点坐标为____________；对称轴是___________。 例2：二次函数y=-4（1+2x）（x-3）的一般形式是_______ 例3：已知函数y=mx+(m-m)x+2的图象关于y轴对称，则m＝________；
2
例4：抛物线y=x-4x+3与x轴的交点坐标是______. 例5：把方程x(x+2)=5(x-2)化为一元二次方程的一般形式后a=____,b=_____,c=_____. 考点3、用待定系数法求二次函数的解析式
（1）一般式：y=ax+bx+c.已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式. （2）顶点式：y=a(x-h)+k.已知图像的顶点或对称轴或最值，通常选择顶点式.
2
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2
y=a(x-x1)(x-x2).
（3）交点式：已知图像与x轴的交点坐标x1、x2，通常选用交点式：
2
例1：一个二次函数的图象顶点坐标为（-5，1），形状与抛物线y=2x相同，这个函数解析式为______________．
例2：已知抛物线的顶点坐标是（－2，1），且过点（1，－2），求抛物线的解析式。
例3：已知二次函数的图像经过（0，1），（2，1）和（3，4），求该二次函数的解析式。
例4：已知二次函数的图像与x轴的2个交点为（1，0），（2，0），并且过（3，4），求该二次函数的解析式。
考点4.二次函数的图象
1、二次函数 y=ax2+bx+c的图像是对称轴平行于（包括重合）y轴的抛物线. 2、二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①y=ax；②y=ax2+k；③
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y=a(x-h)；④y=a(x-h)2+k；⑤y=ax2+bx+c.
2
注：二次函数的图象可以通过抛物线的平移得到
3、二次函数y=ax2+bx+c的图像的画法
因为二次函数的图像是抛物线，是轴对称图形，所以作图时步骤是： (1)先找出顶点坐标，画出对称轴；
(2)找出抛物线上关于对称轴的四个点(如与坐标轴的交点等)； (3)把上述五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来.
典型例题：
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例1：函数y=x的顶点坐标为_______．若点（a，4）在其图象上，则a的值是________．
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例2：若点A（3，m）是抛物线y=－x上一点，则m= ________．
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例3：函数y=x与y=－x的图象关于________对称，也可以认为y=－x，是函数y=x的图象绕___________旋转得到．
2
例4：若二次函数y=ax（a≠0），图象过点P（2，－8），则函数表达式为_________．
2
例5：．函数y=x的图象的对称轴为______，与对称轴的交点为_______，是函数的顶点．
2
例7：若a＞1，点（－a－1，y1）、（a，y2）、（a＋1，y3）都在函数y=x的图象上，判断y1、y2、y3的大小关系？
1、开口方向：当a>0时，函数开口方向向上； 当a0时，在对称轴左侧，y随着x的增大而减少；在对称轴右侧，y随着x的增大而增大；
当a
b4ac-b2
当a>0时，函数有最小值，并且当x=- ， y最小 ＝
2a4ab4ac-b2
当a
2a4a
典型例题：
例1：抛物线的顶点在y轴上，则m的值为______________。
例2：按要求求出下列二次函数的解析式： （1）形状与y=-抛物线的解析式；
12
x+2的图象形状相同，但开口方向不同，顶点坐标是（0，－3）的3
12
x-2关于x轴对称的抛物线的解析式； 5
7
（3）对称轴是y轴，顶点的纵坐标是-，且经过（1，1）点的抛物线的解析式。
2
（2）与抛物线y=
例3： 已知函数y=
2
例4：已知二次函数y=(k-2)x+2kx+3k，根据下列给出的条件求出相应的k的值。 （1）抛物线的顶点在x轴上； （2）抛物线的顶点在y轴上； （3）抛物线的顶点在y=4x上。
12
x+2x+1 2
（1）写出抛物线的开口方向，顶点坐标、对称轴及最值； （2）求抛物线与x轴、y轴的交点；
（3）观察图象：x为何值时，y随x的增大而增大；
（4）观察图象：当x为何值时，y>0时，当x为何值时，y=0；当x为何值时，y
考点7.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点坐标。 ①a的符号决定抛物线的开口方向
②对称轴平行于y轴（或重合）的直线记作x=h.特别地，y轴记作直线x=0. ③顶点决定抛物线的位置.
几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. 例1： 函数（ ）
在同一坐标系中的图象大致是图中的
例2： 抛物线y=(x-2)2+3的顶点坐标是（ ） A．（2，3） B．（－2，3） C．（2，－3） D．（－2，－3） 例3：二次函数y=(x+1)2+2的最小值是（ ）． A．2 B．1 C．－3 D．
2
2
3
，n是常数）的顶点坐标是（ ） 例4：抛物线y=2(x+m)+n（m
-n) D．(-m，-n) A．(m，n) B．(-m，n) C．(m，
2
例5：函数y=ax＋1与y=ax＋bx＋1（a≠0）的图象可能是（ ）
2
B． C． D．
考点8.抛物线y=ax+bx+c中a、b、c的作用 1、a决定抛物线的开口方向和开口大小
a的符号决定抛物线的开口方向：当a>0时，函数开口方向向上； 当a
a的大小决定抛物线的开口大小：当a越大时，开口越小；
当a越小时，开口越大；
a相等，抛物线的开口大小、形状相同.
2、a和b共同决定抛物线的对称轴位置。（x=-
b
） 2a
左同右异：①如果对称轴在Y轴左侧，则a、b符号相同。 ②如果对称轴在Y轴右侧，则a、b符号相反。 注意点：①b=0时，对称轴为y轴； ②
b
>0（即a、b同号）时，对称轴在y轴左侧；
a
③
b
3、c的大小决定抛物线于y轴的交点位置。（于y=kx+b中的b作用相同）
2
y=ax+bx+c与y轴有且只有一个交点（0，c）y=cx=0当时，，∴抛物线：
注意：
①c=0，抛物线经过原点; ②c>0,与y轴交于正半轴； ③c
以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则
b
例1： 已知抛物线y=ax2+bx+c经过原点和第一、二、三象限，则（ ） A. a>0，b0，b>0，c=0
例2：在同一直角坐标系中，直线y=ax+b和抛物线y=ax+bx+c(c≠0)的图象只可能是图中的（ ）
2
例3： 在同一直角坐标系中，函数y=ax+b和y=bx+ax的图象只可能是图中的（ ）
2
2
例4：抛物线的图象如图所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能是（ ） A、y=x-x-2 B、y=-
2
12
1x++1
22
C、y=-
121
x-x+1 D、y=-x2+x+2 22
例6：已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所
示，给出以下结论：①a＞0.
②该函数的图象关于直线x=1对称.
③当x=-1或x=3时，函数y的值都等于0.
其中正确结论的个数是（ ） A．3 B．2C．1D．0
O
考点9、抛物线的平移
方法：左加右减，上加下减
抛物线的平移实质是顶点的平移，因为顶点决定抛物线的位置，所以，抛物线平移时首先化为顶点式
向右(h>0)【或左(h平移|k|个单位
【或左(h
例1：在平面直角坐标系中，将二次函数y=2x的图象向上平移2个单位，所得图象的解析式为
A．y=2x-2 B．y=2x+2
C．y=2(x-2) D．y=2(x+2)
22
(a>0)y=x+xy=x-3x+2的例2：将函数的图象向右平移a个单位，得到函数图象，则a的值为
A．1 B．2
C．3 D．4
2
2
2
2
2
y=x+x-2关于x轴作轴对称变换，再将例3：在平面直角坐标系中，先将抛物线
所得的抛物线关于y轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为（ ）
22
y=-x-x+2y=-x+x-2 A． B．
2
2
y=-x+x+2 D．y=x2+x+2 C．
例4：把抛物线y=-x向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的
解析式为
A．y=-(x-1)-3
2
y=-(x-1)+3 C．
2
B．y=-(x+1)-3
2
y=-(x+1)+3 D．
2
考点10、二次函数y=ax+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)的最大值和最小值的求法
二次函数是否有最值，由a的符号确定。
2
b4ac-b2
当a>0时，抛物线有最低点，函数有最小值，当x=- ， y最小 ＝
2a4a
4ac-b2b
当a
4a2a
注：如果自变量x有取值范围，则另当别论。
典型例题：
例1： 抛物线的图象开口___________，对称轴是___________，顶点坐标为___________，当x=___________时，y有最___________值为___________。