梅涅劳斯定理

梅涅劳斯定理是由古希腊数学家梅涅劳斯提出的。它指出：如果一条直线与△ABC的三边AB、AC、BC或其延长线分别交于点D、E、F，那么

梅涅劳斯定理，简称梅氏定理，这个三角形叫做梅氏三角形，和三角形三边相交的直线叫梅氏直线。梅氏定理的逆命题成立。即梅氏定理有逆定理。下面笔者分析证明如下：

分析：结论是指直线和三边相交时，每条边被交点（或分点）分成的两条线段的比之积为1，问题是要弄清楚是哪两条线段，如，F是BC边的交点，F点分BC的两条线段是哪两条呢？如果我们把线段BC的B点作为起点，C作为终点，两条线段就是起点分点的线段BF，分点终点的线段FC，E是BC边上的分点，两条线段就是CE（起点到分点的线段）、EA（分点到终点的线段），D为AB边的分点，两条线段为AD（起点到分点的线段），DB（分点到终点的线段）。

此定理分两种情况，直线和三角形两边相交一边延长线相交如图1；直线和三条边的延长线相交如图2。此定理的证明不难，两种情况的证明原理一致，只要过任一顶点作DF（截线）的平行线交对边于G，利用平行线性质转化两个比都可得到证明。

证明：如图1，作CG∥DF交AB于G，则：

如图2，作CG∥DE交AB的延长线于G，则：

综上所述，梅涅劳斯定理得证。

逆命题证明：已知△ABC中，DE和AB、BC、CA或其延长线交于D、E、F三点，若

则D、E、F三点共线。证明：连结DF交AC于H，由梅氏定理得：

∴H、E两点重合，D、E、F三点共线。得证。

梅氏定理是证明三点共线的常用定理。

梅涅劳斯定理是由古希腊数学家梅涅劳斯提出的。它指出：如果一条直线与△ABC的三边AB、AC、BC或其延长线分别交于点D、E、F，那么

梅涅劳斯定理，简称梅氏定理，这个三角形叫做梅氏三角形，和三角形三边相交的直线叫梅氏直线。梅氏定理的逆命题成立。即梅氏定理有逆定理。下面笔者分析证明如下：

分析：结论是指直线和三边相交时，每条边被交点（或分点）分成的两条线段的比之积为1，问题是要弄清楚是哪两条线段，如，F是BC边的交点，F点分BC的两条线段是哪两条呢？如果我们把线段BC的B点作为起点，C作为终点，两条线段就是起点分点的线段BF，分点终点的线段FC，E是BC边上的分点，两条线段就是CE（起点到分点的线段）、EA（分点到终点的线段），D为AB边的分点，两条线段为AD（起点到分点的线段），DB（分点到终点的线段）。

此定理分两种情况，直线和三角形两边相交一边延长线相交如图1；直线和三条边的延长线相交如图2。此定理的证明不难，两种情况的证明原理一致，只要过任一顶点作DF（截线）的平行线交对边于G，利用平行线性质转化两个比都可得到证明。

证明：如图1，作CG∥DF交AB于G，则：

如图2，作CG∥DE交AB的延长线于G，则：

综上所述，梅涅劳斯定理得证。

逆命题证明：已知△ABC中，DE和AB、BC、CA或其延长线交于D、E、F三点，若

则D、E、F三点共线。证明：连结DF交AC于H，由梅氏定理得：

∴H、E两点重合，D、E、F三点共线。得证。

梅氏定理是证明三点共线的常用定理。