2014年苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（二）
数学Ⅰ试题参考答案
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1．[1，2) 6．39
2
3．16
4．32
5．充分不必要
1
9． 10
3
110
11．2e 12．-5 13． 14．
43
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明．．．．．．．
7．（0，1] 8．6
过程或演算步骤． 15．解：（1）由正弦定理，得
c b
． =
sin C sin B
∵c = 1，b =sin B ，∴sin C =1．………… 2分 ∵0
则A + B = 90°． ………… 4分 ∵A = B + 30°，∴B = 30°． ………… 6分
1
（2）∵a 2+c 2-ac =b 2，
2
a 2+c 2-b 21
=． ………… 9分 ∴cos B =
2ac 4
∵0
，∴sin B =∴sin A =sin (
B +30︒)==
………… 11分 1
B +
cos B 2
11+⨯= ………… 14分 24
16．（1）证明：取P A 中点M ，连结ME ，MD ，
由条件，得ME ∥AB ，DF ∥AB ，∴ME ∥DF ． 且ME =
P
11
AB ，DF =AB ，∴ME = DF ．…… 2分 22
M
A
∴四边形EFDM 是平行四边形．
则EF ∥MD ． ……………… 4分 又MD ⊂平面P AD ，EF ⊄平面P AD ，
∴EF ∥平面P AD ． ……………… 7分 （2）连结OQ ．
E
F
Q
C
B
∵PC ⊥平面QDB ，OQ ⊂平面QDB ，
∴PC ⊥OQ ． ……………… 9分 ∵PO ⊥平面ABCD ，OC ⊂平面ABCD ， ∴PO ⊥OC ．
由正方形ABCD 的边长为2，得OC
∵PO = 2
，∴PC 11分 则PQ =PO cos ∠CPO =2⋅
26=
23
．……………… 14分 ．解：（1）F '（
0），F
0），设M （m ，n ），
由MF' ⋅MF =
1，得(
m +m -+n 2=1．
即m 2+n 2=4．① ………… 2分
又(m 2
+n 2=5．② ………… 4分
由①，②，得m =
n = ∴M
），或M
）．………… 6分 （2）设P (x )，则圆P 的方程为(x -x 2
2
0, y 00)+(y -y 0)=x 20+y 20． 即x 2+y 2-2x 0x -2y 0y =0． ③ ………… 8分 又圆F
的方程为(x 2
+y 2=5． ④
由③，④得直线QT
的方程为(x 0-x +y 0y -1=0． ………… 10分
所以
FH =
． ………… 12分
=
因为P (x x 2200, y 0)在椭圆上，所以4+y 22
x 00=1，即y 0=1-4
，
所以FH =
=
=2．=
…… 14分17
18．解：（1）以点O 为坐标原点，OA 为x 轴建立直角坐标系，
则A （10，0），B （20，0），C （-5，5）．
∴AC 3分 答：集中居住区A 与C
的距离为km ．
……… 4分
（2） ① 当直线l 的斜率存在时， 设直线l 的方程为y = kx ，k =tan θ， 则w =m ⎛ (10k )2(20k )2(-5k -5)2⎫
⎝k 2
+1+k 2+1+k 2+1⎪⎪ ⎭
=m ⋅525k 2+50k +25
k 2
+1
． ………… 7分 当直线l 的斜率不存在时，
w =m (102+202+52)
=525m ．
⎧⎪m ⋅525tan 2θ+50tan θ+25⎛总之，w =⎪⎨tan 2
θ+1 ⎝0≤θ
2⎪⎭
, ………… 9分
⎪⎪⎩
525m ⎛ ⎝θ=π⎫2⎪⎭. ② 当直线l 的斜率不存在时，w = 525m ． 当直线l 的斜率存在时，
w =m ⋅
525(k 2+1)
+50(k -10)
k -10)
k 2+1
=525m +m ⋅
50(k 2
+1
，设t =k -10， 当t = 0时，w = 525m ． 当t ≠ 0时，w =525m +m ⋅
50t (t +10) 2+1=525m +m ⋅50
．t +101 ……… 11分
t
+20∵t +
101t ≤-
，或t +101
t
≥
∴w
的最小值为525m +m （275 -
m ． ………… 14分
此时，t =
tan θ= k = 10
．
答：w 的最小值为（275 -
）m ，此时tan θ= 10
………… 16分
19．解：（1）由f (1+a )=f (1-a )，
得(1+a )-3(1+a )+2(1+a )-1=(1-a )-3(1-a )+2(1-a )-1．……… 2分 即a (a +1)(a -1)=0． ……………… 6分 ∵a > 0，∴a = 1． ……………… 8分
（2）令g (x ) =c ，得x +
3
2
3
2
b
（*） ……………… 10分 =c ．即x 2-cx +b =0．
x
由题意，方程（*）必须有两正根，且两根的算术平均值为x 0． ∴c > 0，b > 0，c 2 - 4b > 0，
c
=x 0． ……………… 14分 2
则0
20．解：（1）λ = 0时，S n +1=
∴S n =
a n +1
S n +a n +1． a n
∴b 的取值范围是（0，9]． ……………… 16分
a n +1
S n ． ……………… 2分 a n
∵a n >0，∴S n >0．
∴a n +1=a n ．∵a 1=1，∴a n =1． ……………… 4分 （2）∵S n +1=∴则
a n +1
S n +λ⋅3n +1a n +1，a n >0， a n
()
S n +1S n
-=λ⋅3n +1． ……………… 5分 a n +1a n
S 2S 1S S S S
-=λ⋅3+1，3-2=λ⋅32+1，…，n -n -1=λ⋅3n -1+1（n ≥2）． a 2a 1a 3a 2a n a n -1
相加，得
S n
-1=λ⋅3+32+a n
(
+3n -1+n -1．
)
⎛3n -3⎫
则S n = λ⋅． +n ⎪⋅a n （n ≥2）
2⎝⎭上式对n = 1也成立，
⎛3n -3⎫
∴S n = λ⋅．③ ……………… 7分 +n ⎪⋅a n （n ∈N *）
2⎝⎭⎛3n +1-3⎫
∴S n +1= λ⋅．④ +n +1⎪⋅a n +1（n ∈N *）
2⎝⎭
⎛3n +1-3⎫⎛3n -3⎫
④ - ③，得a n +1= λ⋅+n +1⎪⋅a n +1- λ⋅+n ⎪⋅a n ．
22⎝⎭⎝⎭⎛3n +1-3⎫⎛3n -3⎫
即 λ⋅+n ⎪⋅a n +1= λ⋅+n ⎪⋅a n ． ……………… 9分
22⎝⎭⎝⎭3n -33n +1-3
+n > 0，λ⋅+n > 0． ∵λ≥0，∴λ⋅22
1
∵a n +1
2
⎫3n -31⎛3n +1-3
∴λ⋅+n
22⎝2⎭即λ>
2n
对一切n ∈N *恒成立． ……………… 12分 3n +3
4n -2)3n -6(2n 2n +22n
记b n =n ，则b n -b n +1=n ． -=
3+33+33n +1+33n +33n +1+3
当n = 1时，b n -b n +1=0； 当n ≥2时，b n -b n +1>0；
1
∴b 1=b 2=是一切b n 中的最大项． ……………… 15分
3
1
综上所述，λ的取值范围是λ>． ……………… 16分
3
2014年苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（二）
数学Ⅱ（附加题） 参考答案
21．A 解：连结EF ，则∠AEF = 90°．
∵∠ACB = 90°，
∴B ，C ，F ，E 四点共圆． ………… 2分 则∠AFE =∠B ．
∵∠ADE =∠AFE ，∴∠ADE =∠B ． ∴B ，P ，D ，E 四点共圆． ………… 5分
则AE ⋅AB =AD ⋅AP ． ………… 7分 ∵AE = EB = 4，AD = 5，∴AE = 4，AB = 8， 则AP =
⎡0-1⎤21．B 解：绕原点逆时针旋转90°对应的变换矩阵为⎢⎥．……… 2分
⎣10⎦
⎡a 0⎤⎡0-1⎤⎡0-a ⎤∴⎢⎥⎢10⎥=⎢b -2⎥． ………… 5分 2b ⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡0-a ⎤⎡3⎤⎡3⎤则由⎢⎥⎢-1⎥=⎢5⎥， ………… 7分 b -2⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎧a =3, 得 ⎨，∴a =3, b =1． ………… 10分
3b +2=5. ⎩
P
32
． ………… 10分 5
π
． ………… 2分 6
将点C 代入极坐标方程ρ=2cos θ，得 21．C 解：点C 的极角为点C
π）． ………… 5分 6
π）． ………… 7分 6
∴点P 的极坐标为（
则点Q 的极角为
ππ23π
． -+2π=
6412
∴点Q 的极坐标为（
23π
）．………… 10分 12
21．D 解：由柯西不等式，得
[x 2+) 2+) 2][12+2+2]≥(x +y +z ) 2．
6
∴x 2+2y 2+3
z 2≥． ………… 2分
x 当且仅当=时取等号， =
1
632
即x =, y =, z =取等号． ………… 5分
1111116
则a -2≤． ………… 7分
111628
所以实数a 的取值范围为[, ]．……… 10分
1111
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字．．．．．．．
说明、证明过程或演算步骤．
22．解：（1）C 1（0，3，3），P （1，0，2），
D 1（-3，3，3）． ………… 3分 （2）∵C （3，3，0），
D 1
∴CP =（-2，-3，2），
． ………… 5分 CD 1 =（-6，0，3）
设E （m ，n ，0），
则C 1E =（m ，n - 3，-3）． ∵C 1E ⊥平面D 1PC ，
⎧=0, ⎪CP ⋅C 1E
∴⎨ ………… 7分
C 1E =0. ⎪⎩CD 1⋅ ⎧-⎪2m -3(n -3)-6=0,
则⎨
-6m -9=0. ⎪⎩
3
∴m =-，n = 2．
2
3
则点E
的坐标为（-，2，0）．………… 10分
2
23．解：（1）a 2 = 6，a 3 = 6，a 4 = 18． ………… 3分 （2）a n =2n +2⋅(-1)．（*） ………… 5分
证明如下：
① 当n = 2时，a 2 = 6，符合（*）式．
② 假设当n = k 时，（*）式成立，即a k =2k +2⋅(-1)成立， 那么n = k + 1时，
因为A 1有3种标法，A 2有2种标法，…，A k 有2种标法， A k +1 若仅与A k 不同，则有2种标法： 一种与A 1数不同，符合要求，有a k + 1 种；
一种与A 1数相同，不符合要求，但相当于k 个点的标法总数，有a k 种． 则有3⨯2k =a k +1+a k ． ………… 8分 ∴a k +1=-a k +3⨯2k =-2k -2⋅(-1)+3⨯2k =2k +1+2(-1)即n = k +1时，（*）式也成立．
由①②知（*）式成立，即证． ………… 10分
k
k +1k
n
．
2014年苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（二）
数学Ⅰ试题参考答案
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1．[1，2) 6．39
2
3．16
4．32
5．充分不必要
1
9． 10
3
110
11．2e 12．-5 13． 14．
43
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明．．．．．．．
7．（0，1] 8．6
过程或演算步骤． 15．解：（1）由正弦定理，得
c b
． =
sin C sin B
∵c = 1，b =sin B ，∴sin C =1．………… 2分 ∵0
则A + B = 90°． ………… 4分 ∵A = B + 30°，∴B = 30°． ………… 6分
1
（2）∵a 2+c 2-ac =b 2，
2
a 2+c 2-b 21
=． ………… 9分 ∴cos B =
2ac 4
∵0
，∴sin B =∴sin A =sin (
B +30︒)==
………… 11分 1
B +
cos B 2
11+⨯= ………… 14分 24
16．（1）证明：取P A 中点M ，连结ME ，MD ，
由条件，得ME ∥AB ，DF ∥AB ，∴ME ∥DF ． 且ME =
P
11
AB ，DF =AB ，∴ME = DF ．…… 2分 22
M
A
∴四边形EFDM 是平行四边形．
则EF ∥MD ． ……………… 4分 又MD ⊂平面P AD ，EF ⊄平面P AD ，
∴EF ∥平面P AD ． ……………… 7分 （2）连结OQ ．
E
F
Q
C
B
∵PC ⊥平面QDB ，OQ ⊂平面QDB ，
∴PC ⊥OQ ． ……………… 9分 ∵PO ⊥平面ABCD ，OC ⊂平面ABCD ， ∴PO ⊥OC ．
由正方形ABCD 的边长为2，得OC
∵PO = 2
，∴PC 11分 则PQ =PO cos ∠CPO =2⋅
26=
23
．……………… 14分 ．解：（1）F '（
0），F
0），设M （m ，n ），
由MF' ⋅MF =
1，得(
m +m -+n 2=1．
即m 2+n 2=4．① ………… 2分
又(m 2
+n 2=5．② ………… 4分
由①，②，得m =
n = ∴M
），或M
）．………… 6分 （2）设P (x )，则圆P 的方程为(x -x 2
2
0, y 00)+(y -y 0)=x 20+y 20． 即x 2+y 2-2x 0x -2y 0y =0． ③ ………… 8分 又圆F
的方程为(x 2
+y 2=5． ④
由③，④得直线QT
的方程为(x 0-x +y 0y -1=0． ………… 10分
所以
FH =
． ………… 12分
=
因为P (x x 2200, y 0)在椭圆上，所以4+y 22
x 00=1，即y 0=1-4
，
所以FH =
=
=2．=
…… 14分17
18．解：（1）以点O 为坐标原点，OA 为x 轴建立直角坐标系，
则A （10，0），B （20，0），C （-5，5）．
∴AC 3分 答：集中居住区A 与C
的距离为km ．
……… 4分
（2） ① 当直线l 的斜率存在时， 设直线l 的方程为y = kx ，k =tan θ， 则w =m ⎛ (10k )2(20k )2(-5k -5)2⎫
⎝k 2
+1+k 2+1+k 2+1⎪⎪ ⎭
=m ⋅525k 2+50k +25
k 2
+1
． ………… 7分 当直线l 的斜率不存在时，
w =m (102+202+52)
=525m ．
⎧⎪m ⋅525tan 2θ+50tan θ+25⎛总之，w =⎪⎨tan 2
θ+1 ⎝0≤θ
2⎪⎭
, ………… 9分
⎪⎪⎩
525m ⎛ ⎝θ=π⎫2⎪⎭. ② 当直线l 的斜率不存在时，w = 525m ． 当直线l 的斜率存在时，
w =m ⋅
525(k 2+1)
+50(k -10)
k -10)
k 2+1
=525m +m ⋅
50(k 2
+1
，设t =k -10， 当t = 0时，w = 525m ． 当t ≠ 0时，w =525m +m ⋅
50t (t +10) 2+1=525m +m ⋅50
．t +101 ……… 11分
t
+20∵t +
101t ≤-
，或t +101
t
≥
∴w
的最小值为525m +m （275 -
m ． ………… 14分
此时，t =
tan θ= k = 10
．
答：w 的最小值为（275 -
）m ，此时tan θ= 10
………… 16分
19．解：（1）由f (1+a )=f (1-a )，
得(1+a )-3(1+a )+2(1+a )-1=(1-a )-3(1-a )+2(1-a )-1．……… 2分 即a (a +1)(a -1)=0． ……………… 6分 ∵a > 0，∴a = 1． ……………… 8分
（2）令g (x ) =c ，得x +
3
2
3
2
b
（*） ……………… 10分 =c ．即x 2-cx +b =0．
x
由题意，方程（*）必须有两正根，且两根的算术平均值为x 0． ∴c > 0，b > 0，c 2 - 4b > 0，
c
=x 0． ……………… 14分 2
则0
20．解：（1）λ = 0时，S n +1=
∴S n =
a n +1
S n +a n +1． a n
∴b 的取值范围是（0，9]． ……………… 16分
a n +1
S n ． ……………… 2分 a n
∵a n >0，∴S n >0．
∴a n +1=a n ．∵a 1=1，∴a n =1． ……………… 4分 （2）∵S n +1=∴则
a n +1
S n +λ⋅3n +1a n +1，a n >0， a n
()
S n +1S n
-=λ⋅3n +1． ……………… 5分 a n +1a n
S 2S 1S S S S
-=λ⋅3+1，3-2=λ⋅32+1，…，n -n -1=λ⋅3n -1+1（n ≥2）． a 2a 1a 3a 2a n a n -1
相加，得
S n
-1=λ⋅3+32+a n
(
+3n -1+n -1．
)
⎛3n -3⎫
则S n = λ⋅． +n ⎪⋅a n （n ≥2）
2⎝⎭上式对n = 1也成立，
⎛3n -3⎫
∴S n = λ⋅．③ ……………… 7分 +n ⎪⋅a n （n ∈N *）
2⎝⎭⎛3n +1-3⎫
∴S n +1= λ⋅．④ +n +1⎪⋅a n +1（n ∈N *）
2⎝⎭
⎛3n +1-3⎫⎛3n -3⎫
④ - ③，得a n +1= λ⋅+n +1⎪⋅a n +1- λ⋅+n ⎪⋅a n ．
22⎝⎭⎝⎭⎛3n +1-3⎫⎛3n -3⎫
即 λ⋅+n ⎪⋅a n +1= λ⋅+n ⎪⋅a n ． ……………… 9分
22⎝⎭⎝⎭3n -33n +1-3
+n > 0，λ⋅+n > 0． ∵λ≥0，∴λ⋅22
1
∵a n +1
2
⎫3n -31⎛3n +1-3
∴λ⋅+n
22⎝2⎭即λ>
2n
对一切n ∈N *恒成立． ……………… 12分 3n +3
4n -2)3n -6(2n 2n +22n
记b n =n ，则b n -b n +1=n ． -=
3+33+33n +1+33n +33n +1+3
当n = 1时，b n -b n +1=0； 当n ≥2时，b n -b n +1>0；
1
∴b 1=b 2=是一切b n 中的最大项． ……………… 15分
3
1
综上所述，λ的取值范围是λ>． ……………… 16分
3
2014年苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（二）
数学Ⅱ（附加题） 参考答案
21．A 解：连结EF ，则∠AEF = 90°．
∵∠ACB = 90°，
∴B ，C ，F ，E 四点共圆． ………… 2分 则∠AFE =∠B ．
∵∠ADE =∠AFE ，∴∠ADE =∠B ． ∴B ，P ，D ，E 四点共圆． ………… 5分
则AE ⋅AB =AD ⋅AP ． ………… 7分 ∵AE = EB = 4，AD = 5，∴AE = 4，AB = 8， 则AP =
⎡0-1⎤21．B 解：绕原点逆时针旋转90°对应的变换矩阵为⎢⎥．……… 2分
⎣10⎦
⎡a 0⎤⎡0-1⎤⎡0-a ⎤∴⎢⎥⎢10⎥=⎢b -2⎥． ………… 5分 2b ⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡0-a ⎤⎡3⎤⎡3⎤则由⎢⎥⎢-1⎥=⎢5⎥， ………… 7分 b -2⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎧a =3, 得 ⎨，∴a =3, b =1． ………… 10分
3b +2=5. ⎩
P
32
． ………… 10分 5
π
． ………… 2分 6
将点C 代入极坐标方程ρ=2cos θ，得 21．C 解：点C 的极角为点C
π）． ………… 5分 6
π）． ………… 7分 6
∴点P 的极坐标为（
则点Q 的极角为
ππ23π
． -+2π=
6412
∴点Q 的极坐标为（
23π
）．………… 10分 12
21．D 解：由柯西不等式，得
[x 2+) 2+) 2][12+2+2]≥(x +y +z ) 2．
6
∴x 2+2y 2+3
z 2≥． ………… 2分
x 当且仅当=时取等号， =
1
632
即x =, y =, z =取等号． ………… 5分
1111116
则a -2≤． ………… 7分
111628
所以实数a 的取值范围为[, ]．……… 10分
1111
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字．．．．．．．
说明、证明过程或演算步骤．
22．解：（1）C 1（0，3，3），P （1，0，2），
D 1（-3，3，3）． ………… 3分 （2）∵C （3，3，0），
D 1
∴CP =（-2，-3，2），
． ………… 5分 CD 1 =（-6，0，3）
设E （m ，n ，0），
则C 1E =（m ，n - 3，-3）． ∵C 1E ⊥平面D 1PC ，
⎧=0, ⎪CP ⋅C 1E
∴⎨ ………… 7分
C 1E =0. ⎪⎩CD 1⋅ ⎧-⎪2m -3(n -3)-6=0,
则⎨
-6m -9=0. ⎪⎩
3
∴m =-，n = 2．
2
3
则点E
的坐标为（-，2，0）．………… 10分
2
23．解：（1）a 2 = 6，a 3 = 6，a 4 = 18． ………… 3分 （2）a n =2n +2⋅(-1)．（*） ………… 5分
证明如下：
① 当n = 2时，a 2 = 6，符合（*）式．
② 假设当n = k 时，（*）式成立，即a k =2k +2⋅(-1)成立， 那么n = k + 1时，
因为A 1有3种标法，A 2有2种标法，…，A k 有2种标法， A k +1 若仅与A k 不同，则有2种标法： 一种与A 1数不同，符合要求，有a k + 1 种；
一种与A 1数相同，不符合要求，但相当于k 个点的标法总数，有a k 种． 则有3⨯2k =a k +1+a k ． ………… 8分 ∴a k +1=-a k +3⨯2k =-2k -2⋅(-1)+3⨯2k =2k +1+2(-1)即n = k +1时，（*）式也成立．
由①②知（*）式成立，即证． ………… 10分
k
k +1k
n
．