用导数解参数问题
已知函数的单调性，求参变量的取值范围，实质上是含参不等式恒成立的一种重要题型。本文将举例说明此类问题的求解策略。 结论一、 不等式f (x ) ≥g (a ) 恒成立
⇔
[f (x ) ]min
≥g (a ) （求解f (x ) 的最小值）；不等
式f (x ) ≤g (a ) 恒成立⇔
[f (x ) ]max
≤g (a ) （求
解f (x ) 的最大值）.
结论二、 不等式f (x ) ≥g (a ) 存在解
⇔
[f (x ) ]max
≥g (a ) （求解f (x ) 的最大值）；
min
不等式f (x ) ≤g (a ) 存在解⇔[f (x ) ]≤g (a ) （即求解
f (x ) 的最小值）.
一、（2008湖北卷）若
f (x ) =-
12
x +b ln(x +2) 在(-1,+∞) 上是减函数，
2
则b 的取值范围是（ ）
A. [-1, +∞) B. (-1, +∞) C. (-∞, -1] D. (-∞, -1) 二、若不等式2x -1>m (x -1)对满足m ≤2的所有m 都
2
成立，求x 的取值范围。
解：设f (m )=m (x 2-1)-(2x -1)，对满足m ≤2的m ，f (m )
⎧⎪f (-2)
2
⎧
-1+⎪-2(x -1)-(2x -1)
解得：∴⎨
2
22(x -1)-(2x -1)
1+2
三、（2009浙江）已知函数f (x ) =x 3+(1-a ) x 2-a (a +2) x +b (a , b ∈R ) ． （I ）若函数f (x ) 的图象过原点，且在原点处的切线斜率是-3，求a , b 的值； （II ）若函数f (x ) 在区间(-1,1) 上不单调，求a 的取值范围． ．．．解析：（Ⅰ）略
（Ⅱ）f '(x ) =3x 2+2(1-a ) x -a (a +2)
函数f (x ) 在区间(-1, 1) 不单调，等价于
导函数f '(x ) 在(-1, 1) 既能取到大于0的实数，又能取到小于0的实数 即函数f '(x ) 在(-1, 1) 上存在零点，根据零点存在定理，有
f '(-1) f '(1) 31
12
ax 2+（a －1）x +1在区间
（1，4）内为减函数，在区间（6，+∞）内为增函数，试求实数a 的取值范围.
2
解：f '(x ) =x -ax +(a -1) =(x -1) [x -(a -1) ]
令f '(x ) =0，解得x=1或x=a-1，并且 a≠2,否则f (x)在整个定义域内单调。
由题意，函数f(x)的图象应有三个单调区间且先增后减再增，而已知f(x)在(1,4)内为减函数，在区间(6,+∞)内为增函数，可知函数f(x)在x=1处取得极大值，在x=a-1处取得极小值。
∴ 4≤a-1≤6 得5≤a≤7 所以a 的取值范围是[5,7]
五、（河北卷）已知f(x)=ax +3x -x +1在R 上是减函数，求实数a 的取值范围.
a ≤－3.
32
解： f '(x ) =3ax 2+6x -1. ∵f(x)在R 上是减函数，∴f '(x ) ≤0恒成立，
∴3ax 2+6x -1≤0在x ∈R 上恒成立，即a
1 、已知在上单调递减，求实数a 的取值范围。
。
2 、已知函数范围；
。
若在上是增函数，求a 的取值
3、 已知函数范围；即
。
在区间（0，1）上是单调递增函数，求实数a 的取值
4、（湖北理）已知向量a =(x , x +1) ，b =(1-x , t ) ，若f (x ) =a ∙b 在区间(-1,1)上是增函数，求t 的取值范围.
解析：由向量的数量积定义，f (x ) =x (1-x )+(x +1) t =-x +x +tx +t
∴f '(x ) =-3x +2x +t .
若f (x ) 在区间(-1,1)上是增函数，则有f '(x ) ≥0
⇔t ≥3x -2x 在 (-1,1)上恒成立.
2
2
2
2
32
若令g (x ) =3x -2x =-3(x -在区间[-1,1]上，g (x )
max
2
13
) -
2
13
=g (-1) =5，故在区间(-1,1)上使t ≥g (x ) 恒成立，
只需t ≥g (-1) 即可，即t ≥5.
即t 的取值范围是[5，∞）.
5、使不等式x -2x >2-a 对任意的实数x 都成立，求实数a 的取值范围. 解析：注意到不等式的次数较高，应想到构造函数，求导.
令f (x ) =x -2x ，则如果原不等式对任意的实数x 都成立等价于f (x )
m in
4
24
2
>2-a .
又f '(x ) =4x -4x =4x (x -1) ，令f '(x ) =0，解得，x =0或x =1.
f '(x ) 的符号及f (x ) 的单调性如下：
32
(x a 34
3
6、（天津理）若函数f (x ) =log 值范围是（ ）A[
14
-ax )
(a >0,a ≠1) 在区间(-,0) 内单调递增，则a 的取
2
9
94
1
,1) B[.1) C(,+∞) D(1,
4
)
冬天的秘密
取暖回忆 回忆无香 有阳光 还感觉冷 我站在分隔岛上 没有方向 不想回家 你太善良 你太美丽 我讨厌这样想你的自己 此刻的我太甘心
解析：f (x ) 是复合函数，须按01两种情况考虑.
3
令g (x ) =x -ax ，∵f (x ) 在(-,0) 上为增函数，
2
1
① 若0
12
,0) 上为减函数，即g '(x ) =3x
2
-a
12
,0) 上恒成立，
即a >3x 在(-,0) 上恒成立, ∴a ≥3(-
2
2
1
12
) =
2
34
, 此时，
34
≤a ＜1；
② 若a >1，则g (x ) 在(-,0) 上为增函数，须使g '(x ) =3x
2
1
2
-a ＞0在(-
12
,0) 上恒成立，
即a ＜3x 在(-,0) 上恒成立, 即a ≤0，不合题意.
2
2
1
综上，a ∈[
34
.1).
3
2
7、（湖南卷）设t ≠0，点P (t , 0) 是函数f (x ) =x +ax 与g (x ) =bx 共点. 两函数的图象在点P 处有相同的切线， (Ⅰ) 用t 表示a ，b ，c ；
(Ⅱ) 若函数y =f (x ) -g (x ) 在(-1,3)上单调递减，求t 的取值范围. 解析：(Ⅰ) P 为切点，切线相同。
+c 的图象的一个公
⎧t 3+at
把P 点代入两函数解析式，有⎨
2
⎩bt +c
=0=
⎧a =-t 2
，又t ≠0，故⎨0⎩c =ab
2
，
又在点P 处切线相同，故f '(x ) =g '(x ) ，即3t +a =2bt ，
将a =-t 代入，得b =t ，从而，c =-
2
⎧a =-t 2⎪3
x ，即⎨b =t
⎪c =-t 3⎩
3
.
(Ⅱ) 由(Ⅰ) f (x ) =x -t x ，g (x ) =tx
∴y =f (x ) -g (x ) =x -tx
2
2
3
2
2
322
-t ，
3
-t x +t ，
∴y '=3x -2tx -t =(3x +t )(x -t ) ， 函数y =f (x ) -g (x ) 单调递减，即y '＜==0，
由y '=(3x +t )(x -t ) ＜0，当t ＞0时，-
t 3
＜x ＜t ；t ＜0时，t ＜x ＜-
t 3
.
故函数y 的单调区间，当t ＞0时，为(-
t 3
, t ) ；当t ＜0时，为(t , -
t 3
) .
故要使函数y 在(-1,3)上单调递减，须满足(-1,3) ⊂(-
t 3
, t ) 或(-1,3) ⊂(t , -
t 3
) ，即
⎧⎧t >0
t
-≤-1或⎨⎨t ≤-1，解得，t ≥3或t ≤-9. 故t 的范围是(-∞，-9]∪[3，+∞）. 3⎪t ≥3⎪-t ≥3
⎪⎩⎩3
8、（2009福建卷）若曲线f (x ) =ax +ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 取值范围是_____________. 分析：f '(x ) =2ax +依题意方程2ax +
1x
1x
(x >0)
12x
2
3
=0在(0, +∞)内有解，即a =-
x
-x
(x >0) ⇒a ∈(-∞, 0)
9、（2007全国卷一）设函数f (x ) =e -e ．（Ⅰ）证明：f (x ) 的导数f '(x ) ≥2；
（Ⅱ）若对所有x ≥0都有f (x ) ≥ax ，求a 的取值范围．
x -x x -x x -x
解：（Ⅰ）f (x ) 的导数f '(x ) =e +e ．而e +e ≥2e ⋅e =2，故f '(x ) ≥2．
（当且仅当x =0时，等号成立）． （Ⅱ）令g (x ) =f (x ) -ax ，
于是不等式f (x ) ≥ax 成立即为g (x ) ≥g (0)成立． 则g '(x ) =f '(x ) -a =e x +e -x -a ， 由（Ⅰ）可知g '(x ) =e x +e -x -a >2-a ， 由2-a ≥0⇒a ≤2
∴当a ≤2时，g (x ) 在(0，+∞) 上为增函数， 从而有x ≥0时，g (x ) ≥g (0)，即f (x ) ≥ax ．
⎛1
⎫
, 3⎪时，log a x
10、当x ∈
解： -1
⎧a ≥3
11⎪⎛⎫⎛⎫
（1） 当a >1时，a ⎝3⎭⎝a ⎭⎪≤
⎩a 3
1
1⎧a ≤
11⎪⎛1⎫⎛1⎫⎪3
∴0
a 3⎝3⎭⎝a ⎭⎪1
≥3⎪⎩a
综上所得：0
13
或a ≥3
⎛1⎫
x
⎝3⎭
⎛⎝
1⎫3⎭
2
11、若不等式3x -log
a
2
解：由题意知：3x
在同一坐标系内，分别作出函数
y =3x 和y =log a x
⎛⎝
1⎫3⎭
2
观察两函数图象，当x ∈ 0, ⎪时，若
a >1函数y =log a x 的图象显然在函
数y =3x 图象的下方，所以不成立；
2
当0
log a
13≥13
⎛11⎫
, ⎪或在这个点的上方，则，⎝33⎭
∴a ≥
127
127
∴1>a ≥
127
综上得：1>a ≥
用导数解参数问题
已知函数的单调性，求参变量的取值范围，实质上是含参不等式恒成立的一种重要题型。本文将举例说明此类问题的求解策略。 结论一、 不等式f (x ) ≥g (a ) 恒成立
⇔
[f (x ) ]min
≥g (a ) （求解f (x ) 的最小值）；不等
式f (x ) ≤g (a ) 恒成立⇔
[f (x ) ]max
≤g (a ) （求
解f (x ) 的最大值）.
结论二、 不等式f (x ) ≥g (a ) 存在解
⇔
[f (x ) ]max
≥g (a ) （求解f (x ) 的最大值）；
min
不等式f (x ) ≤g (a ) 存在解⇔[f (x ) ]≤g (a ) （即求解
f (x ) 的最小值）.
一、（2008湖北卷）若
f (x ) =-
12
x +b ln(x +2) 在(-1,+∞) 上是减函数，
2
则b 的取值范围是（ ）
A. [-1, +∞) B. (-1, +∞) C. (-∞, -1] D. (-∞, -1) 二、若不等式2x -1>m (x -1)对满足m ≤2的所有m 都
2
成立，求x 的取值范围。
解：设f (m )=m (x 2-1)-(2x -1)，对满足m ≤2的m ，f (m )
⎧⎪f (-2)
2
⎧
-1+⎪-2(x -1)-(2x -1)
解得：∴⎨
2
22(x -1)-(2x -1)
1+2
三、（2009浙江）已知函数f (x ) =x 3+(1-a ) x 2-a (a +2) x +b (a , b ∈R ) ． （I ）若函数f (x ) 的图象过原点，且在原点处的切线斜率是-3，求a , b 的值； （II ）若函数f (x ) 在区间(-1,1) 上不单调，求a 的取值范围． ．．．解析：（Ⅰ）略
（Ⅱ）f '(x ) =3x 2+2(1-a ) x -a (a +2)
函数f (x ) 在区间(-1, 1) 不单调，等价于
导函数f '(x ) 在(-1, 1) 既能取到大于0的实数，又能取到小于0的实数 即函数f '(x ) 在(-1, 1) 上存在零点，根据零点存在定理，有
f '(-1) f '(1) 31
12
ax 2+（a －1）x +1在区间
（1，4）内为减函数，在区间（6，+∞）内为增函数，试求实数a 的取值范围.
2
解：f '(x ) =x -ax +(a -1) =(x -1) [x -(a -1) ]
令f '(x ) =0，解得x=1或x=a-1，并且 a≠2,否则f (x)在整个定义域内单调。
由题意，函数f(x)的图象应有三个单调区间且先增后减再增，而已知f(x)在(1,4)内为减函数，在区间(6,+∞)内为增函数，可知函数f(x)在x=1处取得极大值，在x=a-1处取得极小值。
∴ 4≤a-1≤6 得5≤a≤7 所以a 的取值范围是[5,7]
五、（河北卷）已知f(x)=ax +3x -x +1在R 上是减函数，求实数a 的取值范围.
a ≤－3.
32
解： f '(x ) =3ax 2+6x -1. ∵f(x)在R 上是减函数，∴f '(x ) ≤0恒成立，
∴3ax 2+6x -1≤0在x ∈R 上恒成立，即a
1 、已知在上单调递减，求实数a 的取值范围。
。
2 、已知函数范围；
。
若在上是增函数，求a 的取值
3、 已知函数范围；即
。
在区间（0，1）上是单调递增函数，求实数a 的取值
4、（湖北理）已知向量a =(x , x +1) ，b =(1-x , t ) ，若f (x ) =a ∙b 在区间(-1,1)上是增函数，求t 的取值范围.
解析：由向量的数量积定义，f (x ) =x (1-x )+(x +1) t =-x +x +tx +t
∴f '(x ) =-3x +2x +t .
若f (x ) 在区间(-1,1)上是增函数，则有f '(x ) ≥0
⇔t ≥3x -2x 在 (-1,1)上恒成立.
2
2
2
2
32
若令g (x ) =3x -2x =-3(x -在区间[-1,1]上，g (x )
max
2
13
) -
2
13
=g (-1) =5，故在区间(-1,1)上使t ≥g (x ) 恒成立，
只需t ≥g (-1) 即可，即t ≥5.
即t 的取值范围是[5，∞）.
5、使不等式x -2x >2-a 对任意的实数x 都成立，求实数a 的取值范围. 解析：注意到不等式的次数较高，应想到构造函数，求导.
令f (x ) =x -2x ，则如果原不等式对任意的实数x 都成立等价于f (x )
m in
4
24
2
>2-a .
又f '(x ) =4x -4x =4x (x -1) ，令f '(x ) =0，解得，x =0或x =1.
f '(x ) 的符号及f (x ) 的单调性如下：
32
(x a 34
3
6、（天津理）若函数f (x ) =log 值范围是（ ）A[
14
-ax )
(a >0,a ≠1) 在区间(-,0) 内单调递增，则a 的取
2
9
94
1
,1) B[.1) C(,+∞) D(1,
4
)
冬天的秘密
取暖回忆 回忆无香 有阳光 还感觉冷 我站在分隔岛上 没有方向 不想回家 你太善良 你太美丽 我讨厌这样想你的自己 此刻的我太甘心
解析：f (x ) 是复合函数，须按01两种情况考虑.
3
令g (x ) =x -ax ，∵f (x ) 在(-,0) 上为增函数，
2
1
① 若0
12
,0) 上为减函数，即g '(x ) =3x
2
-a
12
,0) 上恒成立，
即a >3x 在(-,0) 上恒成立, ∴a ≥3(-
2
2
1
12
) =
2
34
, 此时，
34
≤a ＜1；
② 若a >1，则g (x ) 在(-,0) 上为增函数，须使g '(x ) =3x
2
1
2
-a ＞0在(-
12
,0) 上恒成立，
即a ＜3x 在(-,0) 上恒成立, 即a ≤0，不合题意.
2
2
1
综上，a ∈[
34
.1).
3
2
7、（湖南卷）设t ≠0，点P (t , 0) 是函数f (x ) =x +ax 与g (x ) =bx 共点. 两函数的图象在点P 处有相同的切线， (Ⅰ) 用t 表示a ，b ，c ；
(Ⅱ) 若函数y =f (x ) -g (x ) 在(-1,3)上单调递减，求t 的取值范围. 解析：(Ⅰ) P 为切点，切线相同。
+c 的图象的一个公
⎧t 3+at
把P 点代入两函数解析式，有⎨
2
⎩bt +c
=0=
⎧a =-t 2
，又t ≠0，故⎨0⎩c =ab
2
，
又在点P 处切线相同，故f '(x ) =g '(x ) ，即3t +a =2bt ，
将a =-t 代入，得b =t ，从而，c =-
2
⎧a =-t 2⎪3
x ，即⎨b =t
⎪c =-t 3⎩
3
.
(Ⅱ) 由(Ⅰ) f (x ) =x -t x ，g (x ) =tx
∴y =f (x ) -g (x ) =x -tx
2
2
3
2
2
322
-t ，
3
-t x +t ，
∴y '=3x -2tx -t =(3x +t )(x -t ) ， 函数y =f (x ) -g (x ) 单调递减，即y '＜==0，
由y '=(3x +t )(x -t ) ＜0，当t ＞0时，-
t 3
＜x ＜t ；t ＜0时，t ＜x ＜-
t 3
.
故函数y 的单调区间，当t ＞0时，为(-
t 3
, t ) ；当t ＜0时，为(t , -
t 3
) .
故要使函数y 在(-1,3)上单调递减，须满足(-1,3) ⊂(-
t 3
, t ) 或(-1,3) ⊂(t , -
t 3
) ，即
⎧⎧t >0
t
-≤-1或⎨⎨t ≤-1，解得，t ≥3或t ≤-9. 故t 的范围是(-∞，-9]∪[3，+∞）. 3⎪t ≥3⎪-t ≥3
⎪⎩⎩3
8、（2009福建卷）若曲线f (x ) =ax +ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 取值范围是_____________. 分析：f '(x ) =2ax +依题意方程2ax +
1x
1x
(x >0)
12x
2
3
=0在(0, +∞)内有解，即a =-
x
-x
(x >0) ⇒a ∈(-∞, 0)
9、（2007全国卷一）设函数f (x ) =e -e ．（Ⅰ）证明：f (x ) 的导数f '(x ) ≥2；
（Ⅱ）若对所有x ≥0都有f (x ) ≥ax ，求a 的取值范围．
x -x x -x x -x
解：（Ⅰ）f (x ) 的导数f '(x ) =e +e ．而e +e ≥2e ⋅e =2，故f '(x ) ≥2．
（当且仅当x =0时，等号成立）． （Ⅱ）令g (x ) =f (x ) -ax ，
于是不等式f (x ) ≥ax 成立即为g (x ) ≥g (0)成立． 则g '(x ) =f '(x ) -a =e x +e -x -a ， 由（Ⅰ）可知g '(x ) =e x +e -x -a >2-a ， 由2-a ≥0⇒a ≤2
∴当a ≤2时，g (x ) 在(0，+∞) 上为增函数， 从而有x ≥0时，g (x ) ≥g (0)，即f (x ) ≥ax ．
⎛1
⎫
, 3⎪时，log a x
10、当x ∈
解： -1
⎧a ≥3
11⎪⎛⎫⎛⎫
（1） 当a >1时，a ⎝3⎭⎝a ⎭⎪≤
⎩a 3
1
1⎧a ≤
11⎪⎛1⎫⎛1⎫⎪3
∴0
a 3⎝3⎭⎝a ⎭⎪1
≥3⎪⎩a
综上所得：0
13
或a ≥3
⎛1⎫
x
⎝3⎭
⎛⎝
1⎫3⎭
2
11、若不等式3x -log
a
2
解：由题意知：3x
在同一坐标系内，分别作出函数
y =3x 和y =log a x
⎛⎝
1⎫3⎭
2
观察两函数图象，当x ∈ 0, ⎪时，若
a >1函数y =log a x 的图象显然在函
数y =3x 图象的下方，所以不成立；
2
当0
log a
13≥13
⎛11⎫
, ⎪或在这个点的上方，则，⎝33⎭
∴a ≥
127
127
∴1>a ≥
127
综上得：1>a ≥