班级：12统计 姓名：龚伟 学号:120314103
高阶线性微分方程
线性微分方程及其解的结构
1 线性微分方程
(n -1) 定义4.1 形如 y (n ) +P + +P n -1(x ) y '+P n (x ) y =f (x ) 的方程1(x ) y
称为n 阶线性微分方程，其中P 1(x ), P 2(x ), , P n (x ), f (x ) 是已知函数。 注：(1) 特点：y (n ) , y (n -1) , , y ', y 都是一次的；从而称为线性方程。
(2) f (x ) ≡0时，称为n 阶线性齐次微分方程；
否则，称为n 阶线性非齐次微分方程。
(3) 特别地，当n =2时，
y ''+P (x ) y '+Q (x ) y =f (x ) (4.1) 称为二阶线性微分方程。
f (x ) ≡0时，有y ''+P (x ) y '+Q (x ) y =0， (4.2)
称为二阶线性齐次微分方程；否则，称为二阶线性非齐次微分方程。
2 线性微分方程解的结构
定理（解的叠加性) 如果函数y 1(x ) 与y 2(x ) 是方程(4.2)的两个解，那么y =C 1y 1(x ) +C 2y 2(x ) 也是方程(4.2)的解，其中C 1与C 2是任意常数。
验证：因为 y 1, y 2是方程(4.2)的解，所以
''+P (x ) y 1'+Q (x ) y 1=0，y 2''+P (x ) y 2'+Q (x ) y 2=0。 y 1
将解y =C 1y 1(x ) +C 2y 2(x ) 代入方程(4.2)的左端，得
(C 1y 1+C 2y 2) "+P (x )(C 1y 1+C 2y 2) '+Q (x )(C 1y 1+C 2y 2)
''+P (x ) y 1'+Q (x ) y 1) +C 2(y 2''+P (x ) y 2'+Q (x ) y 2) =C 1(y 1
=0。
问题 y 1(x ) 与y 2(x ) 是(4.2)的解，由定理1，y =C 1y 1(x ) +C 2y 2(x ) 也是
(4.2)的解。那么，是不是可以作为通解呢？回答 不一定。
例如 设有方程 y ''-y =0 （是二阶线性齐次微分方程）。 (4.3) 一方面，由观察知 y 1=e x 与y 1=2e x 都是(4.3)的解，由叠加原理知
y =C 1e x +2C 2e x 也是(4.3)的解，但因为y =C 1e x +2C 2e x =(C 1+2C 2) e x =Ce x ， 只有一个任意常数，所以，它不是(4.3)的通解。
另一方面，由观察知 y 1=e x 与y 1=e -x 都是(4.3)的解，由叠加原理知y =C 1e x +C 2e -x ，也是(4.3)的解，此时C 1与C 2是两个独立的变量，所以y =C 1e x +C 2e -x 是(4.3)的通解。
e x 1事实上，在此例中，由y 1=e 与y 1=2e 得x =是常量，知y 1=e x 与22e x x
e x
y 1=2e 线性相关；而y 1=e 与y 1=e 之比-x 不是常量，即y 1=e x 与y 1=e -x
e x x -x
线性无关。
定义4.2 设有函数组y 1(x ), y 2(x ), , y n (x ) ，x ∈I 。若存在不全为零的常数k 1, k 2, , k n ，使得k 1y 1(x ), k 2y 2(x ), , k n y n (x ) =0，则称这个函数组在I 内线性相关，否则称线性无关。
例4.1 函数组1, sin 2x , cos 2x 在(-∞, +∞) 内是线性相关的。
证 取k 1=1, k 2=k 3=-1，则对于任意x ∈(-∞, +∞) ，有
1+(-1)(cos2x +sin 2x ) ≡0。
注： 特别地，对于两个函数y 1(x ) 与y 2(x ) 来说，由定义1知：
⑴ 若在I 内有y 1(x ) ≠常数，则y 1(x ) 与y 2(x ) 在I 内线性无关； y 2(x )
⑵ 否则，y 1(x ) 与y 2(x ) 在I 内线性相关。
例如，x , x 2；e -x , xe -x ；x 2, -2x 2哪组线性无关？
答：因x 12=常数。函数对对x ≠0线性无关； x , x ≠2x x
e -x 1 因-x =≠常数。函数对e -x , xe -x 对x ≠0线性无关； x xe
x 212 因=常数。函数对对x ≠0线性相关。 =-x , x 22-2x
以下给出关于二阶线性齐次微分方程(4.2)的通解结构定理。
定理4.2(二阶线性齐次微分方程的解的结构定理) 如果函数y 1(x ) 与y 2(x ) 是方程(4.2)的两个线性无关的特解，则y =c 1y 1(x ) +c 2y 2(x ) （c 1, c 2是任意常数）就是方程(4.2)的通解。
例4.2 验证y 1=cos x 与y 2=sin x 是二阶线性齐次微分方程y ''+y =0的两个
解；写出其通解。
解 将y 1=cos x 与y 2=sin x 代入方程y ''+y =0可验证其是解。 由y 2sin x ==tan x ≠常数，即y 1与y 2线性无关。所以，由定理4.2，y 1cos x
y =C 1cos x +C 2sin x 是的通解。
关于二阶线性非齐次微分方程的解的结构，先回忆一阶线性非齐次微分方程 y '+P (x ) y =Q (x ) ，它的通解y 的结构是
y =Y +y *，
其中，Y 为方程对应的齐次微分方程的通解，y *为方程的一个特解。
对于二阶及二阶以上的线性齐次微分方程，也有同样的解的结构。下面来讨论二阶线性非齐次微分方程(4.1)的解的结构。
定理4.3(二阶线性非齐次微分方程的解的结构定理) 设y *是二阶线性非齐次微分方程(4.1)的一个特解，Y 是对应的二阶线性齐次微分方程(4.1)的通解，那么，y =Y +y *是二阶线性非齐次微分方程(4.1)的通解。
证 将y =Y +y *代入方程(4.1)的左端，并因为y '=Y '+y *'与
y ''=Y ''+y *''，得
(Y ''+y *") +P (x )(Y '+y *') +Q (x )(Y +y *)
=[Y ''+P (x ) Y '+Q (x ) Y ]+[y *"+P (x ) y *'+Q (x ) y *]。
由于Y 是方程(4.2)的解，知Y ''+P (x ) Y '+Q (x ) Y =0；
由于y *是方程(4.1)的解，知y *"+P (x ) y *'+Q (x ) y *=f (x ) 。
于是，左边≡f (x ) ≡右边，并注意到Y 是(4.1)的通解，其中含有两个任意常数，于是y =Y +y *中含有两个任意常数，所以它是方程(4.1)的通解。
例4.3 方程y ''+y =x 2是二阶线性非齐次微分方程。
由例4.2知 Y =C 1cos x +C 2sin x 是对应的二阶线性齐次微分方程的通解； 又容易验证y *=x 2-2是所上给方程的一个特解，因此
y =c 1cos x +c 2sin x +x 2-2是所以给方程的通解。
关于二阶线性非齐次微分方程(4.1)的特解，有如下的定理。
定理4.4 设二阶线性非齐次微分方程(4.1)的右端f (x ) 是几个函数之和，
如y ''+P (x ) y '+Q (x ) y =f 1(x ) +f 2(x ) ， (4.4)
而y 1*与y 2*分别是方程
y ''+P (x ) y '+Q (x ) y =f 1(x ) 与y ''+P (x ) y '+Q (x ) y =f 2(x )
的特解，那么y 1*+y 2*就是原方程(4.4)的特解。
证 将y =y 1*+y 2*代入方程(4.4)的左端，得
（y 1*+y 2*) ''+P (x )(y 1*+y 2*) '+Q (x )(y 1*+y 2*)
=[y 1*''+P (x ) y 1*'+Q (x ) y 1*]+[y 2*''+P (x ) y 2*'+Q (x ) y 2*]=f 1(x ) +f 2(x ) 。 因此，y 1*与y 2*是方程(4.4)的一个特解。
4.2 常系数齐次线性微分方程
求线性微分方程的通解，一般来说是很复杂的。现在，只讨论二阶常系数齐次与非齐次线性微分方程的求解问题。
1 二阶常系数齐次线性微分方程
定义4.3 形如 y ''+p y '+qy =0，（其中p , q 为常数） (4.5) 例如 5y ''-3y '+y =0，y ''-y =0，y ''+y '=0，都是二阶常系数齐次线性微分方程；y ''-y +5=0 不是二阶常系数齐次线性微分方程（因不是齐次）。
2 求解方法
⑴ 求解基本思想
10 由齐次线性微分方程通解结构定理，y =c 1y 1+c 2y 2，关键是求出(4.5)的两个线性无关的特解y 1, y 2；
20 由(4.5)的“线性”“齐次”“常系数”特点，可以不用积分，而采用代数方法，就能得到这样的y 1, y 2，从而，进一步写出(4.5)的通解。
⑵ 求解方法
10 方程(4.5)的特征方程和特征根
(1) 首先，我们知道指数函数y =e rx （r 为常数）的各阶导数
y 're rx , y ''=r 2e rx , , y (n ) =r n e rx
只相差一个常数因子。由于指数函数的各阶导数具有这样的特征，使我们试想：方程(4.5)是否具有y =e rx 的特解？
(2) 试一下 将y =e rx 代入方程(4.5)，得
y ''+p y '+qy =r 2e rx +pre rx +q =e rx (r 2+pr +q ) -0。
由于y =e rx ≠0，所以
r 2+pr +q =0。 (4.6)
从而，我们看到：如果r 是二次方程(4.6)的根，则y =e rx 是方程(4.5)的特解。
(3) 可见y =e rx 是方程(4.5)的解⇔r 是方程(4.6)的根。
注意：方程(4.6)中的系数及常数项，恰好就是微分方程(4.5)中y '', y '及y 的系数。
(4) 定义 代数方程(4.6)r 2+pr +q =0叫做二阶常系数线性齐次微分方程(4.5)的特征方程；特征方程的根叫做特征值。
至此我们看到：求(4.5)的特解问题，已转化为求一个代数方程(4.6)的根。也就是说，求出(4.6)的根就能写出方程(4.5)的
20 特征方程(4.6)的根与微分方程(4.5)的解的对应
由代数学知道，二次方程(4.6)必有两个根，并由公式r 1, 2=
出。这里有三种情况：
(1) 当p 2-4q >0时，r 2, r 2是不相等的实根 -p ±p 2-4q 2给
r 1=-p +p 2-4q
2，r 2=-p -p 2-4q
2。
此时y 1=e r 1x 与y 2=e r 2x 是方程(4.5)的两个特解；由y 1知y 1, y 2 =e (r 1-r 2) x ≠常数，y 2
线性无关，所以微分方程(4.5)的通解为 y =c 1e r 1x +c 2e r 2x 。
(2) 当p 2-4q =0时，r 2, r 2是两个相等的实根，r 2=r 2=-p ，可得微分方2
程(4.5)的一个特解为y 1=e r 1x 。（问：y 1=Ce r 1x 是通解吗？答：不是，因为只有一个任意常数！）。因此，要写出方程(4.5)的求通解，还需要找另一个与y 1无关的特解y 2，即要求y y 1≠常数。为此，设2=u (x ) ，其中u (x ) 为代定函数。由y 1y 2
y 2=u (x ) e r 1x ，下面来确定出得u (x ) 即可求出y 2。对y 2=u (x ) e r 1x 求导，得
'=r 1e r 1x u +e r 1x u '=e r 1x (r 1u +u ') ，y 2
''=r 1e r 1x (r 1u +u ') +e r 1x (r 1u '+u '') =e r 1x (r 1u +2r u '+u '') 。 y 22
'', y 2', y 2代入方程(4.5)，得 将y 2
e r 1x (u ''+2r 1u '+r 1u ) +pe r 1x (r 1u +u ') +qe r 1x u =0。
约去e r 1x ≠0，以u '', u ', u 为准合并同类项，得u ''+(2r +p ) u '+(r 2+pr +q ) =0。
2因为r 1是特征方程(4.6)的二重根，知r 1+pr 1+q =0，再由r 1=-2p 知2
2r 1+p =0，于是u ''=0，得u '=C ，u =Cx ；若取C =1，得u =x 。
y 2xe r 1x
所以y 2=xe ，显然=r x =x ≠常数，即y 1, y 2线性无关。所以y 1e 1r 1x
y =C 1e r 1x +C 2xe r 1x ，即y =(C 1+C 2x ) e r 1x 为方程(4.5)的通解。
(3) 当时p 2-4q
性无关的特解。
为得到实数形式的解，利用欧拉公式e ix =cos x +i sin x 将这两个解写成
y 1=e (α+i β) x =e αx ⋅e i βx =e αx (cosβx +i sin βx ) ，
y 2=e (α-i β) x =e αx ⋅e -i βx =e αx (cosβx -i sin βx ) 。
由于y 1, y 2是共轭复值函数，且y 1, y 2都是方程(4.5)的解，所以由叠加原理，得 1=11(y 1+y 2) =e αx cos βx ，2=(y 1-y 2) =e αx sin βx 22
2e αx cos βx
还都是方程(4.5)的解，且=αx sin βx =cot βx ≠常数，知1, 2线性无关。 1e
所以，微分方程(4.5)的通解为y =e αx (c 1cos βx +c 2sin βx ) 。
3 微分方程(4.5)的求解步骤
综上所述，求二阶常系数齐次线性微分方程(4.5) y ''+p y '+qy =0的通解的步骤如下：
Step 1 写出微分方程(4.5)的特征方程(4.6) r 2+pr +q =0；
Step 2 求出特征方程(4.6)的两个根r 1, r 2；
Step 3 根据r 1, r 2的三种不同情形，写出方程(4.5)的通解。
(1) p -4q >0时，r 2, r 2是不相等的实根r 1, 2=
的通解为 y =c 1e r 1x +c 2e r 2x 。
(2) 当p 2-4q =0时，r 2, r 2是两个相等的实根，r 2=r 2=-
程(4.5)的通解 y =C 1e r 1x +C 2xe r 1x ，即y =(C 1+C 2x ) e r 1x 。
(3) 当p 2-4q
4q -p 2p 。那么，微分方程(4.5)的通解为 α=-, β=22
y =e αx (c 1cos βx +c 2sin βx ) 。
例4.4 求微分方程y ''-2y '-3y =0的通解。
解 特征方程是r 2-2r -3=0，即(r -3)(r +1) =0，有不相等的实根
r =-1, r =3，因此，所求通解为y =c 1e -x +c 2e 3x 。
d 2s ds 例4.5 求微分方程2+2+s =0满足初始条件s |t =0=4与s '|t =0=-2的特 dt dt
解。
解 特征方程是r 2+2r +1=0，即(r +1) 2=0，即有重根r =-1，
因此，方程的通解为y =e -x (C 1+C 2x ) 。
代入初始条件s |t =0=4，得C 1=4，得S =e -x (4+C 2x ) ；
代入s '|t =0=-2，由-2=C 2e -0-(4+C 2⋅0) e -0得C 2=2； S '=C 2e -t -(4-C 2t ) e -t ，
于是，所求特解为y =e -x (4+2x ) 。
例4.6 求微分方程y ''-2y '+5y =0的通解。
解 特征方程是r 2-2r +5=0。
因为p 2-4q =(-2) 2-4⨯5
因此所求通解是y =e x (c 1cos 2x +c 2sin 2x ) 。
例4.7 求微分方程y ⅱ-6y =0的通解。
解 特征方程是r 2-6r =0。得r 1=0, r 2=6，所以，由 y =C 1e 0x +C 2e 6x 得 y =C 1+C 2e 6x 为所求。
例4.8 求微分方程y ''+5y =0的通解。
解 r 2+5=0。r 2=-5，r 1, 2=±i ，α=0, β=5；
所以
y =e 0x (C 1+
C 2) ，即y =C 1+C 2 为所求通解。
4.3 二阶常系数非齐次线性微分方程
现在讨论二阶常系数非齐次线性微分方程
y ''+p y '+qy =f (x ) 。 (4.7)
对应的齐次线性微分方程为
y ''+p y '+qy =0。 (4.5)
关于方程(4.7)的求解问题：由非齐次线性微分方程解的结构定理知
方程(4.7)的通解 =方程(4.5)的通解 + (4.7)的一个特解。
其中求方程(4.5)的通解问题已解决。余下的问题是如何方程(4.7)的一个特解？ 自然想到利用“常数变易法”。
虽然利用“常数变易法”一定可以得到(4.7)的解，但用常数变易法一定要用到积分。牵涉到积分有时就较麻烦，并且有些积分不能用初等函数表示出来。
这一部分针对右端函数f (x ) 是某些常见类型而采用“待定系数法”，其特点是计算较简便。因为是用代数方法来计算，避免了积分。两种类型：
类型1 f (x ) =e λx P m (x ) 型，其中λ是常数，
P m (x ) =a 0x m +a 1x m -1+ +a m -1x +a m
类型2 f (x ) =e λx [P L (x ) cos ωx +P n (x ) sin ωx ]型，其中λ是常数，P l (x ) 与P n (x ) 分别是l 次与n 次多项式。
类型1、f (x ) =e λx P m (x ) 型，即
y ''+p y '+qy =P m (x ) e λx ， (4.8)
其中p , q , λ是常数，P m (x ) 是m n 次多项式。
⑴ 思想方法 根据右端函数的特点，设出（多项式）形式的特解y *（其中多项式系数待定），将y *代入方程(4.8)，比较(4.8)两端的同次幂系数，得到关于待定系数的线性方程组，解之，确定待定系数，代入y *，得到特解。
⑵ 形式特解y *的确定
结论：对于形如(4.8) y ''+p y '+qy =P m (x ) e λx 的方程，一定有形如y *=x k Q m (x ) e λx 的特解，其中的λ与(4.8)中的λ一致，
Q m (x ) =b 0x m +b 1x m -1+ +b m -1x +b m （b 0, b 1, , b m -1, b m 待定）
λ 不是特征方程的根时k =0，
λ λ是特征方程的单根时k =1，
λλ是特征方程的重根时k =2。
证 我们知道，多项式与指数函数乘积的导数仍然是同一类的函数（即仍然是多项式与指数函数的乘积）。
例如：f (x ) =(x 2+1) e 2x ，f '(x ) =2xe 2x +2(x 2+1) e 2x =2e 2x (x 2+x +1) 。 因此，我们试想：特解仍然是多项式与指数函数乘积的形式，且λ不变。
设 y *=Q (x ) e λx ，其中Q (x ) 是多项式（须进一步确定Q (x ) 的次数），得 y *'=Q '(x ) e λx +λQ (x ) e λx =e λx (Q '(x ) +λQ (x ) )，
y *''=λe λx (Q '(x ) +λQ (x ) )+e λx (Q ''(x ) +λQ '(x ) )=e λx (Q ''(x ) +2λQ '(x ) +λ2Q (x ) )。 将y *，y *'，y *''代入原方程(4.8)，得
e λx Q ''(x ) +2λQ '(x ) +λ2Q (x ) +pe λx (Q '(x ) +λQ (x ) )+qQ (x ) e λx =P m (x ) e λx 。 ()
约去e λx ≠0，再按Q ''(x ), Q '(x ), Q (x ) 合并，得
Q ''(x ) +(2λ+p ) Q '(x ) +(λ2+p λ+q ) Q (x ) =P m (x ) 。 (4.9) 注意：(4.9)式左端仍然是多项式；特征方程是r 2+pr +q =0。
以下分三种情况讨论：
10 λ不是特征方程的根，即λ2+p γ+q ≠0。因为Q '(x ) 与Q ''(x ) 的次数低于Q (x ) ，以及P m (x ) 是m 次多项式，所以，要使(4.9)式两端恒等，Q (x ) 应是一个m 次多项式；令
Q (x ) =Q m (x ) =b 0x n +b 1x n -1+ +b m -1x +b m ，
代入(4.9)式，比较等式两端x 的同次幂的系数，就得到含有b 0, b 1, , b m 作为未知数的m +1个方程的联立方程组，从而可以求出b 0, b 1, , b m ，而得到所求的特解y *=Q (x ) e λx 。
λ是特征方程的单根，20 即λ2+p γ+q =0而2γ+p ≠0。这时(4.9)式变形为 Q ''(x ) +(2λ+p ) Q '(x ) +=P m (x ) 。两端恒等，那么Q '(x ) 应是一个m 次多项式；令Q (x ) =xQ m (x ) ，并且可以用同样的方法确定Q m (x ) 的系数b 0, b 1, , b m 。即可得到y *=xQ m (x ) e λx 。
30 λ是特征方程的重根，即λ2+p γ+q =0且2γ+p =0。这时(4.9)式变形为
Q ''(x ) =P m (x ) 。
要使(4.9)式两端恒等，那么Q ''(x ) 应是一个m 次多项式；令Q (x ) =x 2Q m (x ) 。用同样的方法确定Q m (x ) 的系数b 0, b 1, , b m 。即可得到y *=x 2Q m (x ) e λx 。
⑶ 方程(4.7)y ''+p y '+qy =f (x ) 的求解步骤
综上所述，有如下结论：
如果f (x ) =e λx P m (x ) ，那么，二阶常系数非齐次线性微分方程(4.7)的求解步
骤为：
10 写出对应齐次方程(4.6)的特征方程，求出特征根，求出对应齐次方程(4.5)的通解Y ；
20 根据右端函数f (x ) 的特征，设出方程(4.7)含有待定系数的形式特解
y *=x k Q m (x ) e λx ；
30 将y *，y *'，y *''代入方程 (4.7)，比较用次幂系数，得到可求解的线性方程组，并由此解出待定系数，得到方程 (4.7)的一个特解y *；
40 写出方程(4.7)的通解，它是对应齐次方程(4.5)的通解Y 与非齐次方程(4.7)的一个特解y *之和。
例4.9 求微分方程y ''-2y '-3y =e -x 的一个特解。
解 特征方程 r 2-2r -3=0，(r -3)(r +1) =0，r 1=3, r 2=-1。所以λ=-1是特征方程的单根。由f (x ) =e -x ，得 y *=xAe -x 。
例4.10 求微分方程y ''+4y =3e 2x 的一个特解。
解 特征方程 r 2+4=0，r 2=-4，r =±2i 。所以λ=2不是特征方程的单根。由f (x ) =3e 2x ，得 y *=Ae 2x 。
例4.11 求微分方程y ''-2y '+y =xe x 的一个特解。
解 特征方程 r 2-2r +1=0，(r -1) 2=0，r 1=r 2=1。所以λ=1是特征方程的二重根。由f (x ) =xe x ，得 y *=x 2(b 0x +b 1) e x 。
例4.12 求微分方程y ''-6y '+9y =2x 2-x +3的一个特解。
解 特征方程 r 2-6r +9=0，(r -3) 2=0，r 1=r 2=3。所以λ=0不是特征方程的根。由f (x ) =2x 2-x +3，得 y *=b 0x 2+b 1x +b 2。
例4.13 求微分方程y ''-2y '-3y =3x +1的通解。
解 特征方程 r 2-2r -3=0，(r -3)(r +1) =0，r 1=3, r 2=-1。所以对应
的齐次方程的通解为 Y =C 1e 3x +C 2e -x 。
因为λ=0不是特征方程的根。由f (x ) =3x +1，（m =1）得 y *=b 0x +b 1。 y *'=b 0，y *''=0，代入原方程，得
0-2b 0-3(b 0x +b 1) =3x +1，即-3b 0x -2b 0-3b 1=3x +1。
比较一次项的系数，得b 0=-1, 代入上式，得2-3b 1=1，知b 1=
程的通解为 y =C 1e 3x +C 2e -x -x +1。 31。于是，原方3
例4.14 求微分方程y ''-5y '+6y =xe 2x 的通解。
解 特征方程 r 2-5r +6=0，(r -3)(r -2) =0，r 1=2, r 2=3。所以对应的齐次方程的通解为 Y =C 1e 2x +C 2e 3x 。因为λ=2是特征方程的单根。由f (x ) =xe 2x ，得 y *=x (b 0x +b 1) e 2x 。求出y *'，y *''，代入原方程并化简，得
⎧-2b 0=1, 1解得b 0=-, -2b 0x +2b 0-b 1=x ，比较两端同次幂的系数，有⎨2⎩2b 0-b 1=0.
b 1=-1。所以y *=x (-1x -1) e 2x 。于是，原方程的通解为 2
1y =C 1e 2x +C 2e 3x -(x 2+2x ) e 2x 。 2
类型2 f (x ) =e λx [P l (x ) cos ωx +P n (x ) sin ωx ]型
其中P l (x ) 与P n (x ) 分别是l 次与n 次多项式, λ, ω是常数。
求解方法完全类似于类型1。关键是设出形式特解y *。
结论：对于形如y ''+p y '+qy =e λx [P l (x ) cos ωx +P n (x ) sin ωx ]的微分方程，一
(1) (2) (1) (2) 定有形如y *=x k e λx [R m (x ) cos ωx +R m (x ) sin ωx ]的解，其中R m (x ), R m (x ) 同为
(1) (2) m =max{l , n }； R m (x ), R m (x ) 依次有待定系数c i , d i (i =0, 1, 2, , m ) 。m 次多项式，
λ, ω是实数。λ+i ω不是特征方程的根时，取k =0；λ+i ω是特征方程的根时取k =1。
注：(1) 证明思路
由f (x ) 属于类型2，通过欧拉公式使得f (x ) 属于类型1；利用类型1的结果与非齐次方程的叠加原理，写出类型1的复值形式特解；再由Euler 公式实数化。
(2) 在写形式特解之前，要先写特征方程，求特征值。
(3) λ, ω和题目中右端出现的λ, ω一致。
(1) (2) (4) 要完整地写出y *=x k e λx [R m (x ) cos ωx +R m (x ) sin ωx ]，其中
m =max{l , n }。
例4.15 求微分方程y ''-7y '+6y =sin x 的特解待定形式。
解 特征方程 r 2-7r +6=0，(r -6)(r -1) =0，r 1=1, r 2=6。
因为f (x ) =sin x ，λ=0, ω=1，0±i 不是特征方程的根，
所以 y *=A cos x +B sin x 。
例4.16 求微分方程y ''+3y '+2y =e -x cos x 的特解待定形式。
解 特征方程 r 2+3r +2=0，(r +1)(r +2) =0，r 1=-1, r 2=-2。 因为f (x ) =e -x cos x ，λ=-1, ω=1，-1±i 不是特征方程的根，所以 y *=A cos x +B sin x 。
例4.17 求微分方程y ''-2y '+5y =e x sin 2x 的特解待定形式。
解 特征方程 r 2-2r +5=0，r 1, 2=2±4⨯5-(-2) 2
2=1+2i 。
因为f (x ) =e x sin 2x ，λ=1, ω=2，1±2i 是特征方程的根，
所以 y *=xe x (A cos 2x +B sin 2x ) 。
例4.18 求微分方程y ''-2y '+5y =e x (x cos 2x +x 2sin 2x ) 的特解待定形式。 解 特征方程 r -2r +5=0，r 1, 2=22±4⨯5-(-2) 2
2=1+2i 。
所以 y *=xe x (b 0x 2+b 1x +b 2) cos 2x +(c 0x 2+c 1x +c 2) sin 2x 。
例4.19 求微分方程y ''+y =x cos 2x 的通解。
解 对应的齐次方程为y ''+y =0，特征方程为r 2+1=0，解得r 1, 2=±i 。 所以，对应的齐次方程的通解为 Y =C 1cos x +C 2sin x 。
由f (x ) =x cos 2x ，λ=0, ω=2；0±2i 不是特征方程的根。所以 y *=(ax +b ) cos 2x +(cx +d ) sin 2x 。
y *'=a cos 2x -(ax +b ) 2sin 2x +c sin 2x +(cx +d ) 2cos 2x =(a +2cx +2d ) cos 2x +(c -2ax -2b ) sin 2x ，
y *''=2c cos 2x -(a +2cx +2d ) 2sin 2x -2a sin 2x +(c -2ax -2b ) 2cos 2x 。 代入原式，整理得
(4c -3ax -3b ) cos 2x +(-4a -3cx -3d ) sin 2x =x cos 2x 。 ()
1⎧a =-, ⎪⎧-3a =1, 3⎪⎪4c -3b =0, ⎪b =0, ⎪比较系数，得⎨ 于是⎨ c =0, -c =0, ⎪⎪⎪⎪4⎩-4a -3d =0, d =. ⎪9⎩
14得 y *=-cos 2x +sin 2x 。所求通解为39
14x cos 2x +sin 2x 。 39
注：以上讨论可推广到高阶常系数微分方程的情形。下面仅举一例。 y =Y +y *=C 1cos x +C 2sin x -例4.20 求 y (4) -2y '''+5y ''=0的通解。
解 这里的特征方程为
r 4-2r 3+5r 2=0，
r 2(r 2-2r +5)=0。
它的根是r 1=r 2=0和r 3,4=1±2i 。因此所给微分方程的通解为
y =C 1+C 2x +e x (C 3cos 2x +C 4sin 2x ) 。
练习13.4
1. 正确地设出下列方程的形式解y *：
⑴ y ''-7y '+6y =sin x ⑵ y ''+3y '+2y =e -x cos x ⑶ y ''-2y '+5y =e x sin 2x ⑷ y ''+y =cos x
2. 求下列微分方程的通解：
（1）y ''=x +sin x ； （2）y ''=ln x ；
（3）y ''=x e x ； （4）y ''=1
1+x 2．
3． 求下列微分方程的通解：
（1）y ''+2y '=x ； （2）xy ''=y '；
（3）y ''+y '=sin x ； （4）y ''+(y ') 2=0．
4． 解下列微分方程：
(1) y ''+y '-2y =0； (2) y ''-9y =0；
(3) y ''-4y '=0； (4) y ''-2y '-x =0；
(5) y ''+4y '+8y =0； (6) y ''+y =0；
(7) y ''+6y '+13y =0； (8) 4y ''-8y '+5y =0；
(9) y ''-4y '+3y =0，y x =0=6，y 'x =0=10；
(10) y ''-3y '-4y =0，y x =0=0，y 'x =0=-5.
5．解下列微分方程：
(1) 2y ''+y '-y =2e x ； (2) y ''--7y '+12y =x ；
(3) y ''+y =sin x ； (4) y ''+9y =x cos3x ；
(5) y ''-4y '+4y =3e 2x ；
(6) y ''+y '+sin 2x =0 ，y x =π=1，y 'x =π=1；
(7) y ''+y =x cos 2x 。
班级：12统计 姓名：龚伟 学号:120314103
高阶线性微分方程
线性微分方程及其解的结构
1 线性微分方程
(n -1) 定义4.1 形如 y (n ) +P + +P n -1(x ) y '+P n (x ) y =f (x ) 的方程1(x ) y
称为n 阶线性微分方程，其中P 1(x ), P 2(x ), , P n (x ), f (x ) 是已知函数。 注：(1) 特点：y (n ) , y (n -1) , , y ', y 都是一次的；从而称为线性方程。
(2) f (x ) ≡0时，称为n 阶线性齐次微分方程；
否则，称为n 阶线性非齐次微分方程。
(3) 特别地，当n =2时，
y ''+P (x ) y '+Q (x ) y =f (x ) (4.1) 称为二阶线性微分方程。
f (x ) ≡0时，有y ''+P (x ) y '+Q (x ) y =0， (4.2)
称为二阶线性齐次微分方程；否则，称为二阶线性非齐次微分方程。
2 线性微分方程解的结构
定理（解的叠加性) 如果函数y 1(x ) 与y 2(x ) 是方程(4.2)的两个解，那么y =C 1y 1(x ) +C 2y 2(x ) 也是方程(4.2)的解，其中C 1与C 2是任意常数。
验证：因为 y 1, y 2是方程(4.2)的解，所以
''+P (x ) y 1'+Q (x ) y 1=0，y 2''+P (x ) y 2'+Q (x ) y 2=0。 y 1
将解y =C 1y 1(x ) +C 2y 2(x ) 代入方程(4.2)的左端，得
(C 1y 1+C 2y 2) "+P (x )(C 1y 1+C 2y 2) '+Q (x )(C 1y 1+C 2y 2)
''+P (x ) y 1'+Q (x ) y 1) +C 2(y 2''+P (x ) y 2'+Q (x ) y 2) =C 1(y 1
=0。
问题 y 1(x ) 与y 2(x ) 是(4.2)的解，由定理1，y =C 1y 1(x ) +C 2y 2(x ) 也是
(4.2)的解。那么，是不是可以作为通解呢？回答 不一定。
例如 设有方程 y ''-y =0 （是二阶线性齐次微分方程）。 (4.3) 一方面，由观察知 y 1=e x 与y 1=2e x 都是(4.3)的解，由叠加原理知
y =C 1e x +2C 2e x 也是(4.3)的解，但因为y =C 1e x +2C 2e x =(C 1+2C 2) e x =Ce x ， 只有一个任意常数，所以，它不是(4.3)的通解。
另一方面，由观察知 y 1=e x 与y 1=e -x 都是(4.3)的解，由叠加原理知y =C 1e x +C 2e -x ，也是(4.3)的解，此时C 1与C 2是两个独立的变量，所以y =C 1e x +C 2e -x 是(4.3)的通解。
e x 1事实上，在此例中，由y 1=e 与y 1=2e 得x =是常量，知y 1=e x 与22e x x
e x
y 1=2e 线性相关；而y 1=e 与y 1=e 之比-x 不是常量，即y 1=e x 与y 1=e -x
e x x -x
线性无关。
定义4.2 设有函数组y 1(x ), y 2(x ), , y n (x ) ，x ∈I 。若存在不全为零的常数k 1, k 2, , k n ，使得k 1y 1(x ), k 2y 2(x ), , k n y n (x ) =0，则称这个函数组在I 内线性相关，否则称线性无关。
例4.1 函数组1, sin 2x , cos 2x 在(-∞, +∞) 内是线性相关的。
证 取k 1=1, k 2=k 3=-1，则对于任意x ∈(-∞, +∞) ，有
1+(-1)(cos2x +sin 2x ) ≡0。
注： 特别地，对于两个函数y 1(x ) 与y 2(x ) 来说，由定义1知：
⑴ 若在I 内有y 1(x ) ≠常数，则y 1(x ) 与y 2(x ) 在I 内线性无关； y 2(x )
⑵ 否则，y 1(x ) 与y 2(x ) 在I 内线性相关。
例如，x , x 2；e -x , xe -x ；x 2, -2x 2哪组线性无关？
答：因x 12=常数。函数对对x ≠0线性无关； x , x ≠2x x
e -x 1 因-x =≠常数。函数对e -x , xe -x 对x ≠0线性无关； x xe
x 212 因=常数。函数对对x ≠0线性相关。 =-x , x 22-2x
以下给出关于二阶线性齐次微分方程(4.2)的通解结构定理。
定理4.2(二阶线性齐次微分方程的解的结构定理) 如果函数y 1(x ) 与y 2(x ) 是方程(4.2)的两个线性无关的特解，则y =c 1y 1(x ) +c 2y 2(x ) （c 1, c 2是任意常数）就是方程(4.2)的通解。
例4.2 验证y 1=cos x 与y 2=sin x 是二阶线性齐次微分方程y ''+y =0的两个
解；写出其通解。
解 将y 1=cos x 与y 2=sin x 代入方程y ''+y =0可验证其是解。 由y 2sin x ==tan x ≠常数，即y 1与y 2线性无关。所以，由定理4.2，y 1cos x
y =C 1cos x +C 2sin x 是的通解。
关于二阶线性非齐次微分方程的解的结构，先回忆一阶线性非齐次微分方程 y '+P (x ) y =Q (x ) ，它的通解y 的结构是
y =Y +y *，
其中，Y 为方程对应的齐次微分方程的通解，y *为方程的一个特解。
对于二阶及二阶以上的线性齐次微分方程，也有同样的解的结构。下面来讨论二阶线性非齐次微分方程(4.1)的解的结构。
定理4.3(二阶线性非齐次微分方程的解的结构定理) 设y *是二阶线性非齐次微分方程(4.1)的一个特解，Y 是对应的二阶线性齐次微分方程(4.1)的通解，那么，y =Y +y *是二阶线性非齐次微分方程(4.1)的通解。
证 将y =Y +y *代入方程(4.1)的左端，并因为y '=Y '+y *'与
y ''=Y ''+y *''，得
(Y ''+y *") +P (x )(Y '+y *') +Q (x )(Y +y *)
=[Y ''+P (x ) Y '+Q (x ) Y ]+[y *"+P (x ) y *'+Q (x ) y *]。
由于Y 是方程(4.2)的解，知Y ''+P (x ) Y '+Q (x ) Y =0；
由于y *是方程(4.1)的解，知y *"+P (x ) y *'+Q (x ) y *=f (x ) 。
于是，左边≡f (x ) ≡右边，并注意到Y 是(4.1)的通解，其中含有两个任意常数，于是y =Y +y *中含有两个任意常数，所以它是方程(4.1)的通解。
例4.3 方程y ''+y =x 2是二阶线性非齐次微分方程。
由例4.2知 Y =C 1cos x +C 2sin x 是对应的二阶线性齐次微分方程的通解； 又容易验证y *=x 2-2是所上给方程的一个特解，因此
y =c 1cos x +c 2sin x +x 2-2是所以给方程的通解。
关于二阶线性非齐次微分方程(4.1)的特解，有如下的定理。
定理4.4 设二阶线性非齐次微分方程(4.1)的右端f (x ) 是几个函数之和，
如y ''+P (x ) y '+Q (x ) y =f 1(x ) +f 2(x ) ， (4.4)
而y 1*与y 2*分别是方程
y ''+P (x ) y '+Q (x ) y =f 1(x ) 与y ''+P (x ) y '+Q (x ) y =f 2(x )
的特解，那么y 1*+y 2*就是原方程(4.4)的特解。
证 将y =y 1*+y 2*代入方程(4.4)的左端，得
（y 1*+y 2*) ''+P (x )(y 1*+y 2*) '+Q (x )(y 1*+y 2*)
=[y 1*''+P (x ) y 1*'+Q (x ) y 1*]+[y 2*''+P (x ) y 2*'+Q (x ) y 2*]=f 1(x ) +f 2(x ) 。 因此，y 1*与y 2*是方程(4.4)的一个特解。
4.2 常系数齐次线性微分方程
求线性微分方程的通解，一般来说是很复杂的。现在，只讨论二阶常系数齐次与非齐次线性微分方程的求解问题。
1 二阶常系数齐次线性微分方程
定义4.3 形如 y ''+p y '+qy =0，（其中p , q 为常数） (4.5) 例如 5y ''-3y '+y =0，y ''-y =0，y ''+y '=0，都是二阶常系数齐次线性微分方程；y ''-y +5=0 不是二阶常系数齐次线性微分方程（因不是齐次）。
2 求解方法
⑴ 求解基本思想
10 由齐次线性微分方程通解结构定理，y =c 1y 1+c 2y 2，关键是求出(4.5)的两个线性无关的特解y 1, y 2；
20 由(4.5)的“线性”“齐次”“常系数”特点，可以不用积分，而采用代数方法，就能得到这样的y 1, y 2，从而，进一步写出(4.5)的通解。
⑵ 求解方法
10 方程(4.5)的特征方程和特征根
(1) 首先，我们知道指数函数y =e rx （r 为常数）的各阶导数
y 're rx , y ''=r 2e rx , , y (n ) =r n e rx
只相差一个常数因子。由于指数函数的各阶导数具有这样的特征，使我们试想：方程(4.5)是否具有y =e rx 的特解？
(2) 试一下 将y =e rx 代入方程(4.5)，得
y ''+p y '+qy =r 2e rx +pre rx +q =e rx (r 2+pr +q ) -0。
由于y =e rx ≠0，所以
r 2+pr +q =0。 (4.6)
从而，我们看到：如果r 是二次方程(4.6)的根，则y =e rx 是方程(4.5)的特解。
(3) 可见y =e rx 是方程(4.5)的解⇔r 是方程(4.6)的根。
注意：方程(4.6)中的系数及常数项，恰好就是微分方程(4.5)中y '', y '及y 的系数。
(4) 定义 代数方程(4.6)r 2+pr +q =0叫做二阶常系数线性齐次微分方程(4.5)的特征方程；特征方程的根叫做特征值。
至此我们看到：求(4.5)的特解问题，已转化为求一个代数方程(4.6)的根。也就是说，求出(4.6)的根就能写出方程(4.5)的
20 特征方程(4.6)的根与微分方程(4.5)的解的对应
由代数学知道，二次方程(4.6)必有两个根，并由公式r 1, 2=
出。这里有三种情况：
(1) 当p 2-4q >0时，r 2, r 2是不相等的实根 -p ±p 2-4q 2给
r 1=-p +p 2-4q
2，r 2=-p -p 2-4q
2。
此时y 1=e r 1x 与y 2=e r 2x 是方程(4.5)的两个特解；由y 1知y 1, y 2 =e (r 1-r 2) x ≠常数，y 2
线性无关，所以微分方程(4.5)的通解为 y =c 1e r 1x +c 2e r 2x 。
(2) 当p 2-4q =0时，r 2, r 2是两个相等的实根，r 2=r 2=-p ，可得微分方2
程(4.5)的一个特解为y 1=e r 1x 。（问：y 1=Ce r 1x 是通解吗？答：不是，因为只有一个任意常数！）。因此，要写出方程(4.5)的求通解，还需要找另一个与y 1无关的特解y 2，即要求y y 1≠常数。为此，设2=u (x ) ，其中u (x ) 为代定函数。由y 1y 2
y 2=u (x ) e r 1x ，下面来确定出得u (x ) 即可求出y 2。对y 2=u (x ) e r 1x 求导，得
'=r 1e r 1x u +e r 1x u '=e r 1x (r 1u +u ') ，y 2
''=r 1e r 1x (r 1u +u ') +e r 1x (r 1u '+u '') =e r 1x (r 1u +2r u '+u '') 。 y 22
'', y 2', y 2代入方程(4.5)，得 将y 2
e r 1x (u ''+2r 1u '+r 1u ) +pe r 1x (r 1u +u ') +qe r 1x u =0。
约去e r 1x ≠0，以u '', u ', u 为准合并同类项，得u ''+(2r +p ) u '+(r 2+pr +q ) =0。
2因为r 1是特征方程(4.6)的二重根，知r 1+pr 1+q =0，再由r 1=-2p 知2
2r 1+p =0，于是u ''=0，得u '=C ，u =Cx ；若取C =1，得u =x 。
y 2xe r 1x
所以y 2=xe ，显然=r x =x ≠常数，即y 1, y 2线性无关。所以y 1e 1r 1x
y =C 1e r 1x +C 2xe r 1x ，即y =(C 1+C 2x ) e r 1x 为方程(4.5)的通解。
(3) 当时p 2-4q
性无关的特解。
为得到实数形式的解，利用欧拉公式e ix =cos x +i sin x 将这两个解写成
y 1=e (α+i β) x =e αx ⋅e i βx =e αx (cosβx +i sin βx ) ，
y 2=e (α-i β) x =e αx ⋅e -i βx =e αx (cosβx -i sin βx ) 。
由于y 1, y 2是共轭复值函数，且y 1, y 2都是方程(4.5)的解，所以由叠加原理，得 1=11(y 1+y 2) =e αx cos βx ，2=(y 1-y 2) =e αx sin βx 22
2e αx cos βx
还都是方程(4.5)的解，且=αx sin βx =cot βx ≠常数，知1, 2线性无关。 1e
所以，微分方程(4.5)的通解为y =e αx (c 1cos βx +c 2sin βx ) 。
3 微分方程(4.5)的求解步骤
综上所述，求二阶常系数齐次线性微分方程(4.5) y ''+p y '+qy =0的通解的步骤如下：
Step 1 写出微分方程(4.5)的特征方程(4.6) r 2+pr +q =0；
Step 2 求出特征方程(4.6)的两个根r 1, r 2；
Step 3 根据r 1, r 2的三种不同情形，写出方程(4.5)的通解。
(1) p -4q >0时，r 2, r 2是不相等的实根r 1, 2=
的通解为 y =c 1e r 1x +c 2e r 2x 。
(2) 当p 2-4q =0时，r 2, r 2是两个相等的实根，r 2=r 2=-
程(4.5)的通解 y =C 1e r 1x +C 2xe r 1x ，即y =(C 1+C 2x ) e r 1x 。
(3) 当p 2-4q
4q -p 2p 。那么，微分方程(4.5)的通解为 α=-, β=22
y =e αx (c 1cos βx +c 2sin βx ) 。
例4.4 求微分方程y ''-2y '-3y =0的通解。
解 特征方程是r 2-2r -3=0，即(r -3)(r +1) =0，有不相等的实根
r =-1, r =3，因此，所求通解为y =c 1e -x +c 2e 3x 。
d 2s ds 例4.5 求微分方程2+2+s =0满足初始条件s |t =0=4与s '|t =0=-2的特 dt dt
解。
解 特征方程是r 2+2r +1=0，即(r +1) 2=0，即有重根r =-1，
因此，方程的通解为y =e -x (C 1+C 2x ) 。
代入初始条件s |t =0=4，得C 1=4，得S =e -x (4+C 2x ) ；
代入s '|t =0=-2，由-2=C 2e -0-(4+C 2⋅0) e -0得C 2=2； S '=C 2e -t -(4-C 2t ) e -t ，
于是，所求特解为y =e -x (4+2x ) 。
例4.6 求微分方程y ''-2y '+5y =0的通解。
解 特征方程是r 2-2r +5=0。
因为p 2-4q =(-2) 2-4⨯5
因此所求通解是y =e x (c 1cos 2x +c 2sin 2x ) 。
例4.7 求微分方程y ⅱ-6y =0的通解。
解 特征方程是r 2-6r =0。得r 1=0, r 2=6，所以，由 y =C 1e 0x +C 2e 6x 得 y =C 1+C 2e 6x 为所求。
例4.8 求微分方程y ''+5y =0的通解。
解 r 2+5=0。r 2=-5，r 1, 2=±i ，α=0, β=5；
所以
y =e 0x (C 1+
C 2) ，即y =C 1+C 2 为所求通解。
4.3 二阶常系数非齐次线性微分方程
现在讨论二阶常系数非齐次线性微分方程
y ''+p y '+qy =f (x ) 。 (4.7)
对应的齐次线性微分方程为
y ''+p y '+qy =0。 (4.5)
关于方程(4.7)的求解问题：由非齐次线性微分方程解的结构定理知
方程(4.7)的通解 =方程(4.5)的通解 + (4.7)的一个特解。
其中求方程(4.5)的通解问题已解决。余下的问题是如何方程(4.7)的一个特解？ 自然想到利用“常数变易法”。
虽然利用“常数变易法”一定可以得到(4.7)的解，但用常数变易法一定要用到积分。牵涉到积分有时就较麻烦，并且有些积分不能用初等函数表示出来。
这一部分针对右端函数f (x ) 是某些常见类型而采用“待定系数法”，其特点是计算较简便。因为是用代数方法来计算，避免了积分。两种类型：
类型1 f (x ) =e λx P m (x ) 型，其中λ是常数，
P m (x ) =a 0x m +a 1x m -1+ +a m -1x +a m
类型2 f (x ) =e λx [P L (x ) cos ωx +P n (x ) sin ωx ]型，其中λ是常数，P l (x ) 与P n (x ) 分别是l 次与n 次多项式。
类型1、f (x ) =e λx P m (x ) 型，即
y ''+p y '+qy =P m (x ) e λx ， (4.8)
其中p , q , λ是常数，P m (x ) 是m n 次多项式。
⑴ 思想方法 根据右端函数的特点，设出（多项式）形式的特解y *（其中多项式系数待定），将y *代入方程(4.8)，比较(4.8)两端的同次幂系数，得到关于待定系数的线性方程组，解之，确定待定系数，代入y *，得到特解。
⑵ 形式特解y *的确定
结论：对于形如(4.8) y ''+p y '+qy =P m (x ) e λx 的方程，一定有形如y *=x k Q m (x ) e λx 的特解，其中的λ与(4.8)中的λ一致，
Q m (x ) =b 0x m +b 1x m -1+ +b m -1x +b m （b 0, b 1, , b m -1, b m 待定）
λ 不是特征方程的根时k =0，
λ λ是特征方程的单根时k =1，
λλ是特征方程的重根时k =2。
证 我们知道，多项式与指数函数乘积的导数仍然是同一类的函数（即仍然是多项式与指数函数的乘积）。
例如：f (x ) =(x 2+1) e 2x ，f '(x ) =2xe 2x +2(x 2+1) e 2x =2e 2x (x 2+x +1) 。 因此，我们试想：特解仍然是多项式与指数函数乘积的形式，且λ不变。
设 y *=Q (x ) e λx ，其中Q (x ) 是多项式（须进一步确定Q (x ) 的次数），得 y *'=Q '(x ) e λx +λQ (x ) e λx =e λx (Q '(x ) +λQ (x ) )，
y *''=λe λx (Q '(x ) +λQ (x ) )+e λx (Q ''(x ) +λQ '(x ) )=e λx (Q ''(x ) +2λQ '(x ) +λ2Q (x ) )。 将y *，y *'，y *''代入原方程(4.8)，得
e λx Q ''(x ) +2λQ '(x ) +λ2Q (x ) +pe λx (Q '(x ) +λQ (x ) )+qQ (x ) e λx =P m (x ) e λx 。 ()
约去e λx ≠0，再按Q ''(x ), Q '(x ), Q (x ) 合并，得
Q ''(x ) +(2λ+p ) Q '(x ) +(λ2+p λ+q ) Q (x ) =P m (x ) 。 (4.9) 注意：(4.9)式左端仍然是多项式；特征方程是r 2+pr +q =0。
以下分三种情况讨论：
10 λ不是特征方程的根，即λ2+p γ+q ≠0。因为Q '(x ) 与Q ''(x ) 的次数低于Q (x ) ，以及P m (x ) 是m 次多项式，所以，要使(4.9)式两端恒等，Q (x ) 应是一个m 次多项式；令
Q (x ) =Q m (x ) =b 0x n +b 1x n -1+ +b m -1x +b m ，
代入(4.9)式，比较等式两端x 的同次幂的系数，就得到含有b 0, b 1, , b m 作为未知数的m +1个方程的联立方程组，从而可以求出b 0, b 1, , b m ，而得到所求的特解y *=Q (x ) e λx 。
λ是特征方程的单根，20 即λ2+p γ+q =0而2γ+p ≠0。这时(4.9)式变形为 Q ''(x ) +(2λ+p ) Q '(x ) +=P m (x ) 。两端恒等，那么Q '(x ) 应是一个m 次多项式；令Q (x ) =xQ m (x ) ，并且可以用同样的方法确定Q m (x ) 的系数b 0, b 1, , b m 。即可得到y *=xQ m (x ) e λx 。
30 λ是特征方程的重根，即λ2+p γ+q =0且2γ+p =0。这时(4.9)式变形为
Q ''(x ) =P m (x ) 。
要使(4.9)式两端恒等，那么Q ''(x ) 应是一个m 次多项式；令Q (x ) =x 2Q m (x ) 。用同样的方法确定Q m (x ) 的系数b 0, b 1, , b m 。即可得到y *=x 2Q m (x ) e λx 。
⑶ 方程(4.7)y ''+p y '+qy =f (x ) 的求解步骤
综上所述，有如下结论：
如果f (x ) =e λx P m (x ) ，那么，二阶常系数非齐次线性微分方程(4.7)的求解步
骤为：
10 写出对应齐次方程(4.6)的特征方程，求出特征根，求出对应齐次方程(4.5)的通解Y ；
20 根据右端函数f (x ) 的特征，设出方程(4.7)含有待定系数的形式特解
y *=x k Q m (x ) e λx ；
30 将y *，y *'，y *''代入方程 (4.7)，比较用次幂系数，得到可求解的线性方程组，并由此解出待定系数，得到方程 (4.7)的一个特解y *；
40 写出方程(4.7)的通解，它是对应齐次方程(4.5)的通解Y 与非齐次方程(4.7)的一个特解y *之和。
例4.9 求微分方程y ''-2y '-3y =e -x 的一个特解。
解 特征方程 r 2-2r -3=0，(r -3)(r +1) =0，r 1=3, r 2=-1。所以λ=-1是特征方程的单根。由f (x ) =e -x ，得 y *=xAe -x 。
例4.10 求微分方程y ''+4y =3e 2x 的一个特解。
解 特征方程 r 2+4=0，r 2=-4，r =±2i 。所以λ=2不是特征方程的单根。由f (x ) =3e 2x ，得 y *=Ae 2x 。
例4.11 求微分方程y ''-2y '+y =xe x 的一个特解。
解 特征方程 r 2-2r +1=0，(r -1) 2=0，r 1=r 2=1。所以λ=1是特征方程的二重根。由f (x ) =xe x ，得 y *=x 2(b 0x +b 1) e x 。
例4.12 求微分方程y ''-6y '+9y =2x 2-x +3的一个特解。
解 特征方程 r 2-6r +9=0，(r -3) 2=0，r 1=r 2=3。所以λ=0不是特征方程的根。由f (x ) =2x 2-x +3，得 y *=b 0x 2+b 1x +b 2。
例4.13 求微分方程y ''-2y '-3y =3x +1的通解。
解 特征方程 r 2-2r -3=0，(r -3)(r +1) =0，r 1=3, r 2=-1。所以对应
的齐次方程的通解为 Y =C 1e 3x +C 2e -x 。
因为λ=0不是特征方程的根。由f (x ) =3x +1，（m =1）得 y *=b 0x +b 1。 y *'=b 0，y *''=0，代入原方程，得
0-2b 0-3(b 0x +b 1) =3x +1，即-3b 0x -2b 0-3b 1=3x +1。
比较一次项的系数，得b 0=-1, 代入上式，得2-3b 1=1，知b 1=
程的通解为 y =C 1e 3x +C 2e -x -x +1。 31。于是，原方3
例4.14 求微分方程y ''-5y '+6y =xe 2x 的通解。
解 特征方程 r 2-5r +6=0，(r -3)(r -2) =0，r 1=2, r 2=3。所以对应的齐次方程的通解为 Y =C 1e 2x +C 2e 3x 。因为λ=2是特征方程的单根。由f (x ) =xe 2x ，得 y *=x (b 0x +b 1) e 2x 。求出y *'，y *''，代入原方程并化简，得
⎧-2b 0=1, 1解得b 0=-, -2b 0x +2b 0-b 1=x ，比较两端同次幂的系数，有⎨2⎩2b 0-b 1=0.
b 1=-1。所以y *=x (-1x -1) e 2x 。于是，原方程的通解为 2
1y =C 1e 2x +C 2e 3x -(x 2+2x ) e 2x 。 2
类型2 f (x ) =e λx [P l (x ) cos ωx +P n (x ) sin ωx ]型
其中P l (x ) 与P n (x ) 分别是l 次与n 次多项式, λ, ω是常数。
求解方法完全类似于类型1。关键是设出形式特解y *。
结论：对于形如y ''+p y '+qy =e λx [P l (x ) cos ωx +P n (x ) sin ωx ]的微分方程，一
(1) (2) (1) (2) 定有形如y *=x k e λx [R m (x ) cos ωx +R m (x ) sin ωx ]的解，其中R m (x ), R m (x ) 同为
(1) (2) m =max{l , n }； R m (x ), R m (x ) 依次有待定系数c i , d i (i =0, 1, 2, , m ) 。m 次多项式，
λ, ω是实数。λ+i ω不是特征方程的根时，取k =0；λ+i ω是特征方程的根时取k =1。
注：(1) 证明思路
由f (x ) 属于类型2，通过欧拉公式使得f (x ) 属于类型1；利用类型1的结果与非齐次方程的叠加原理，写出类型1的复值形式特解；再由Euler 公式实数化。
(2) 在写形式特解之前，要先写特征方程，求特征值。
(3) λ, ω和题目中右端出现的λ, ω一致。
(1) (2) (4) 要完整地写出y *=x k e λx [R m (x ) cos ωx +R m (x ) sin ωx ]，其中
m =max{l , n }。
例4.15 求微分方程y ''-7y '+6y =sin x 的特解待定形式。
解 特征方程 r 2-7r +6=0，(r -6)(r -1) =0，r 1=1, r 2=6。
因为f (x ) =sin x ，λ=0, ω=1，0±i 不是特征方程的根，
所以 y *=A cos x +B sin x 。
例4.16 求微分方程y ''+3y '+2y =e -x cos x 的特解待定形式。
解 特征方程 r 2+3r +2=0，(r +1)(r +2) =0，r 1=-1, r 2=-2。 因为f (x ) =e -x cos x ，λ=-1, ω=1，-1±i 不是特征方程的根，所以 y *=A cos x +B sin x 。
例4.17 求微分方程y ''-2y '+5y =e x sin 2x 的特解待定形式。
解 特征方程 r 2-2r +5=0，r 1, 2=2±4⨯5-(-2) 2
2=1+2i 。
因为f (x ) =e x sin 2x ，λ=1, ω=2，1±2i 是特征方程的根，
所以 y *=xe x (A cos 2x +B sin 2x ) 。
例4.18 求微分方程y ''-2y '+5y =e x (x cos 2x +x 2sin 2x ) 的特解待定形式。 解 特征方程 r -2r +5=0，r 1, 2=22±4⨯5-(-2) 2
2=1+2i 。
所以 y *=xe x (b 0x 2+b 1x +b 2) cos 2x +(c 0x 2+c 1x +c 2) sin 2x 。
例4.19 求微分方程y ''+y =x cos 2x 的通解。
解 对应的齐次方程为y ''+y =0，特征方程为r 2+1=0，解得r 1, 2=±i 。 所以，对应的齐次方程的通解为 Y =C 1cos x +C 2sin x 。
由f (x ) =x cos 2x ，λ=0, ω=2；0±2i 不是特征方程的根。所以 y *=(ax +b ) cos 2x +(cx +d ) sin 2x 。
y *'=a cos 2x -(ax +b ) 2sin 2x +c sin 2x +(cx +d ) 2cos 2x =(a +2cx +2d ) cos 2x +(c -2ax -2b ) sin 2x ，
y *''=2c cos 2x -(a +2cx +2d ) 2sin 2x -2a sin 2x +(c -2ax -2b ) 2cos 2x 。 代入原式，整理得
(4c -3ax -3b ) cos 2x +(-4a -3cx -3d ) sin 2x =x cos 2x 。 ()
1⎧a =-, ⎪⎧-3a =1, 3⎪⎪4c -3b =0, ⎪b =0, ⎪比较系数，得⎨ 于是⎨ c =0, -c =0, ⎪⎪⎪⎪4⎩-4a -3d =0, d =. ⎪9⎩
14得 y *=-cos 2x +sin 2x 。所求通解为39
14x cos 2x +sin 2x 。 39
注：以上讨论可推广到高阶常系数微分方程的情形。下面仅举一例。 y =Y +y *=C 1cos x +C 2sin x -例4.20 求 y (4) -2y '''+5y ''=0的通解。
解 这里的特征方程为
r 4-2r 3+5r 2=0，
r 2(r 2-2r +5)=0。
它的根是r 1=r 2=0和r 3,4=1±2i 。因此所给微分方程的通解为
y =C 1+C 2x +e x (C 3cos 2x +C 4sin 2x ) 。
练习13.4
1. 正确地设出下列方程的形式解y *：
⑴ y ''-7y '+6y =sin x ⑵ y ''+3y '+2y =e -x cos x ⑶ y ''-2y '+5y =e x sin 2x ⑷ y ''+y =cos x
2. 求下列微分方程的通解：
（1）y ''=x +sin x ； （2）y ''=ln x ；
（3）y ''=x e x ； （4）y ''=1
1+x 2．
3． 求下列微分方程的通解：
（1）y ''+2y '=x ； （2）xy ''=y '；
（3）y ''+y '=sin x ； （4）y ''+(y ') 2=0．
4． 解下列微分方程：
(1) y ''+y '-2y =0； (2) y ''-9y =0；
(3) y ''-4y '=0； (4) y ''-2y '-x =0；
(5) y ''+4y '+8y =0； (6) y ''+y =0；
(7) y ''+6y '+13y =0； (8) 4y ''-8y '+5y =0；
(9) y ''-4y '+3y =0，y x =0=6，y 'x =0=10；
(10) y ''-3y '-4y =0，y x =0=0，y 'x =0=-5.
5．解下列微分方程：
(1) 2y ''+y '-y =2e x ； (2) y ''--7y '+12y =x ；
(3) y ''+y =sin x ； (4) y ''+9y =x cos3x ；
(5) y ''-4y '+4y =3e 2x ；
(6) y ''+y '+sin 2x =0 ，y x =π=1，y 'x =π=1；
(7) y ''+y =x cos 2x 。