勾股定理
勾股定理（基础）
学习目标
1. 掌握勾股定理的内容及证明方法，能够熟练地运用勾股定理由已知直角三角形中的两条边长求出第三条边长.
2. 掌握勾股定理，能够运用勾股定理解决简单的实际问题，会运用方程思想解决问题．
3. 熟练应用勾股定理解决直角三角形中的问题，进一步运用方程思想解决问题．
要点梳理
要点一、勾股定理
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为
，斜边长为， 那么
要点诠释：
（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.
（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的. （3）理解勾股定理的一些变式：
，
，
.
.
要点二、勾股定理的证明
方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.
图（1）中，所以.
方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.
图（2）中，所以.
方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.
，所以.
要点三、勾股定理的作用
1. 已知直角三角形的任意两条边长，求第三边； 2. 用于解决带有平方关系的证明问题； 3. 利用勾股定理，作出长为
的线段.
典型例题
类型一、勾股定理的直接应用
1、在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为 （1）若
＝5，＝12，求；
．
、、．
（2）若＝26，＝24，求
【变式】在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为 （1）已知＝2，＝3，求 （2）已知
；
、．
、、．
，＝32，求
类型二、勾股定理的证明
2、如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AM是中线，MN⊥AB，垂足为N，试说明
．
类型三、利用勾股定理作长度为√n的线段
3、作长为、、的线段.
类型四、利用勾股定理解决实际问题
4、一圆形饭盒，底面半径为8
，高为12
，若往里面放双筷子（精细不计），那
么筷子最长不超过多少，可正好盖上盒盖？
【变式】如图所示，一旗杆在离地面5处断裂，旗杆顶部落在离底部12
断前有多高？
处，则旗杆折
5、如图，矩形纸片ABCD中，已知AD＝8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F 处，折痕为AE，且EF＝3，则AB的长为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6
巩固练习
1. 在△ABC中，AB＝12，AC＝9，BC＝15，则△ABC的面积等于（ ） A. 108 B. 90
2．若直角三角形的三边长分别为2，4， A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
3. 小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1米,当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高是( ) A．12米 B．10米 C．8米 D．6米
4．Rt△ABC中，斜边BC＝2，则
的值为( )
，则
的值可能有( )
C. 180
D. 54
A. 8 B. 4 C. 6 D. 无法计算
5．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BD是AC边上的高线，DC＝2，则BD等于( )
A. 4 B. 6 C. 8 D.
6．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝15积和为( )
，则正方形ADEC和正方形BCFG的面
A. 150 C. 225
B. 200
D. 无法计算
7.
在直角坐标系中，点P（－
2，3）到原点的距离是
_______． 8．甲、乙两人同时从同一地点出发，已知甲往东走了4甲、乙两人相距___
．
，乙往南走了3
，此时
9．如图，有一块长方形花圃，有少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了_____
路，却踩伤了花草．
，另一棵高2
．
，两树相距8
，一只小鸟从一棵
10．如图，有两棵树，一棵高8
树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少要飞______
11．如图，直线经过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直线的距离分别是1、2，则正方形的边长是______．
折叠，点B恰好与AC上的点
，点E在BC上，且AE＝EC.若将纸片沿AE
.
重合，则AC＝______
12. 如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝2
三.解答题
13. 如图四边形ABCD的周长为42，AB＝AD＝12，∠A＝60°，∠D＝150°，求BC的长．
14. 已知在三角形ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，CD＝3，BD＝5，求AC的长．
15. 如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点D与点B重合，已知AB＝3，AD＝9，求BE的长．
勾股定理
勾股定理（基础）
学习目标
1. 掌握勾股定理的内容及证明方法，能够熟练地运用勾股定理由已知直角三角形中的两条边长求出第三条边长.
2. 掌握勾股定理，能够运用勾股定理解决简单的实际问题，会运用方程思想解决问题．
3. 熟练应用勾股定理解决直角三角形中的问题，进一步运用方程思想解决问题．
要点梳理
要点一、勾股定理
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为
，斜边长为， 那么
要点诠释：
（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.
（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的. （3）理解勾股定理的一些变式：
，
，
.
.
要点二、勾股定理的证明
方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.
图（1）中，所以.
方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.
图（2）中，所以.
方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.
，所以.
要点三、勾股定理的作用
1. 已知直角三角形的任意两条边长，求第三边； 2. 用于解决带有平方关系的证明问题； 3. 利用勾股定理，作出长为
的线段.
典型例题
类型一、勾股定理的直接应用
1、在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为 （1）若
＝5，＝12，求；
．
、、．
（2）若＝26，＝24，求
【变式】在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为 （1）已知＝2，＝3，求 （2）已知
；
、．
、、．
，＝32，求
类型二、勾股定理的证明
2、如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AM是中线，MN⊥AB，垂足为N，试说明
．
类型三、利用勾股定理作长度为√n的线段
3、作长为、、的线段.
类型四、利用勾股定理解决实际问题
4、一圆形饭盒，底面半径为8
，高为12
，若往里面放双筷子（精细不计），那
么筷子最长不超过多少，可正好盖上盒盖？
【变式】如图所示，一旗杆在离地面5处断裂，旗杆顶部落在离底部12
断前有多高？
处，则旗杆折
5、如图，矩形纸片ABCD中，已知AD＝8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F 处，折痕为AE，且EF＝3，则AB的长为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6
巩固练习
1. 在△ABC中，AB＝12，AC＝9，BC＝15，则△ABC的面积等于（ ） A. 108 B. 90
2．若直角三角形的三边长分别为2，4， A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
3. 小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1米,当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高是( ) A．12米 B．10米 C．8米 D．6米
4．Rt△ABC中，斜边BC＝2，则
的值为( )
，则
的值可能有( )
C. 180
D. 54
A. 8 B. 4 C. 6 D. 无法计算
5．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BD是AC边上的高线，DC＝2，则BD等于( )
A. 4 B. 6 C. 8 D.
6．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝15积和为( )
，则正方形ADEC和正方形BCFG的面
A. 150 C. 225
B. 200
D. 无法计算
7.
在直角坐标系中，点P（－
2，3）到原点的距离是
_______． 8．甲、乙两人同时从同一地点出发，已知甲往东走了4甲、乙两人相距___
．
，乙往南走了3
，此时
9．如图，有一块长方形花圃，有少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了_____
路，却踩伤了花草．
，另一棵高2
．
，两树相距8
，一只小鸟从一棵
10．如图，有两棵树，一棵高8
树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少要飞______
11．如图，直线经过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直线的距离分别是1、2，则正方形的边长是______．
折叠，点B恰好与AC上的点
，点E在BC上，且AE＝EC.若将纸片沿AE
.
重合，则AC＝______
12. 如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝2
三.解答题
13. 如图四边形ABCD的周长为42，AB＝AD＝12，∠A＝60°，∠D＝150°，求BC的长．
14. 已知在三角形ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，CD＝3，BD＝5，求AC的长．
15. 如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点D与点B重合，已知AB＝3，AD＝9，求BE的长．