教学资料—高一
一．高中常见的代数式恒等变形 知识点睛
1. 我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式 1）平方差公式 平方和公式
(a +b )(a -b ) =a 2-b 2；
n (n +1)(n +2)
6
12+22+32+ +n 2=
2）完全平方公式
(a ±b ) 2=a 2±2ab +b 2。
我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式： 1）立方和公式 2）立方差公式
(a +b )(a 2-ab +b 2) =a 3+b 3； (a -b )(a 2+ab +b 2) =a 3-b 3；
(a +b +c ) 2=a 2+b 2+c 2+2(ab +bc +ac ) ； (a +b ) 3=a 3+3a 2b +3ab 2+b 3； (a -b ) 3=a 3-3a 2b +3ab 2-b 3；
a 2+b 2+c 2±ab ±bc ±ac =
1
(a ±b ) 2+(b ±c ) 2+(a ±c ) 2 2
3）三数和平方公式 4）两数和立方公式 5）两数差立方公式 6）常用公式
2．因式分解
[]
因式分解的主要方法有：十字相乘法，提取公因式法，公式法，分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法，用求根法分解关于x 的二次三项式ax 2+bx +c =0(a ≠0) 。
若关于x 的方程ax 2+bx +c =0(a ≠0) 的两个实数根是x 1, x 2，则ax 2+bx +c =a (x -x 1)(x -x 2) 。 经典精讲
33
【例1】 1．已知x +y =1, 则x +y +3xy 的值为________.
3
3
2．实数a , b 满足a +b +3ab =1. 则a +b =_________.
【例2】 因式分解
1. 2. 3.
x 3-7x +6; a 3+3a 2+3a +2 x 5-x 4+x 3-x 2+x -1
二、韦达定理的应用 知识点睛
1．一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：如果ax 2+bx +c =0(a ≠0) 的两实根分别是x 1, x 2, 那么x 1+x 2=-
c b
，x 1∙x 2=，这一关系也被称为韦达定理。 a a
2．若x 1和x 2分别是一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0) 的两个实根，则|x 1-x 2=
∆
（其中a
∆=b 2-4ac ）。注意：今后，在求一元二次方程的两根之差的绝对值时，可以直接利用上面的结论。
3、熟记： 1）
11x 1+x 2222
， x 1+=+x 2=(x 1+x 2)-2x 1x 2
x 1x 2x 1x 2
2）已知一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0) 的两根为x 1和x 2； 若a +b +c =0，则x =1； 若a -b +c =0，则x =-1；
（乘积相等，和为相反数） ax 2-bx +c =0(a ≠0) 的两根是-x 1, -x 2；
cx 2+bx +a =0(c ≠0) 的两根是
经典精讲
121112
（同时除以x ，得a () +b () +c =0） , 。
x x x 1x 2
【例3】如果方程x +px +1=0(p >0) 的两根之差是1，那么P 的值为（ ） A. 2
【例4】二次项系数为1的一元二次方程的两根分别为1+2和1-2，那么，这个方程是（ ） A. x +2x +1=0
22
【例5】已知实数a ≠b ，且满足(a +1) =3-3(a +1) ，3(b +1) =3-3(b +1) ，则
2
2
B. 4 C.
3
D.
5
B. x +2x -1=0
2
C. x -2x +1=0
2
D. x -2x -1=0
2
a b
+的值为b a
（ ）。
A. 23
B.-23
C.-2
D.-13
三、一元含参不等式和二元一次不等式初步
知识点睛
用不等号（＜, ＞, ≤，≥，≠）表示不等关系的式子叫做不等式。 1、不等式的基本性质：
①、不等式两边同时加上或者减去同一个数，不等号不变； ②、不等式两边同时乘以一个大于零的数，不等号不变； ③、不等式两边同时乘以一个小于零的数，不等号改变。 2、一元一次含参不等式
对于一元一次含参不等式，系数含有字母需要分类讨论：如不等式ax
【例6】 （1）已知a , b 为参数，解不等式-ax +5>
x -1， 3
1
（2）已知a , b 为常数，若ax +b >0的解集是x
3
3、简单一元二次不等式及其解法
解一元二次不等式通常先将不等式化为ax 2+bx +c >0或ax 2+bx +c 0) 的形式，然后求出对应方程的根（如果有），再写出不等式的解集：大于0时两根之外，小于0时两根之间。
一元二次不等式的解集，一元二次方程的根及二次函数图象之间的关系如下表（以a >0为例）：
4. 简单的一元高次不等式（已经因式分解的不等式） 步骤： ①列根（从小到大放数轴上）
②首正（整理） ③穿线（从右上方穿）
④x 轴上方为大于0的解，下方为小于0的解。
②含等号（方法：分离）
注意事项： ①重根（方法：奇穿偶不穿）。
经典精讲
【例7】求下列不等式的解集： （1）
（2）6x 2
-13x -28
（3）x 2
+4x +5>0
（4）-x 2
+x -2>0
（5）(x +1)(x -2)(x +3)(x -4) >0
（6）(-3x -1)(2x -2)(x +5)
【例8】已知ax 2
+bx +c >0(a ≠0) 的解是α
求不等式c (ax 2
-bx +c )(cx 2
+bx +a ) >0的解集。 易错点
（1）若0
a
)
B.
1
a
a
或x
D. x
1
a
或x >a
（2）与不等式
x -3
2-x
≥0同解的不等式是（ ）
A. (x -3)(2-x ) ≥0 B. 0
x -3
≥0
D. (x -3)(x -2) ≤0
教学资料—高一
一．高中常见的代数式恒等变形 知识点睛
1. 我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式 1）平方差公式 平方和公式
(a +b )(a -b ) =a 2-b 2；
n (n +1)(n +2)
6
12+22+32+ +n 2=
2）完全平方公式
(a ±b ) 2=a 2±2ab +b 2。
我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式： 1）立方和公式 2）立方差公式
(a +b )(a 2-ab +b 2) =a 3+b 3； (a -b )(a 2+ab +b 2) =a 3-b 3；
(a +b +c ) 2=a 2+b 2+c 2+2(ab +bc +ac ) ； (a +b ) 3=a 3+3a 2b +3ab 2+b 3； (a -b ) 3=a 3-3a 2b +3ab 2-b 3；
a 2+b 2+c 2±ab ±bc ±ac =
1
(a ±b ) 2+(b ±c ) 2+(a ±c ) 2 2
3）三数和平方公式 4）两数和立方公式 5）两数差立方公式 6）常用公式
2．因式分解
[]
因式分解的主要方法有：十字相乘法，提取公因式法，公式法，分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法，用求根法分解关于x 的二次三项式ax 2+bx +c =0(a ≠0) 。
若关于x 的方程ax 2+bx +c =0(a ≠0) 的两个实数根是x 1, x 2，则ax 2+bx +c =a (x -x 1)(x -x 2) 。 经典精讲
33
【例1】 1．已知x +y =1, 则x +y +3xy 的值为________.
3
3
2．实数a , b 满足a +b +3ab =1. 则a +b =_________.
【例2】 因式分解
1. 2. 3.
x 3-7x +6; a 3+3a 2+3a +2 x 5-x 4+x 3-x 2+x -1
二、韦达定理的应用 知识点睛
1．一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：如果ax 2+bx +c =0(a ≠0) 的两实根分别是x 1, x 2, 那么x 1+x 2=-
c b
，x 1∙x 2=，这一关系也被称为韦达定理。 a a
2．若x 1和x 2分别是一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0) 的两个实根，则|x 1-x 2=
∆
（其中a
∆=b 2-4ac ）。注意：今后，在求一元二次方程的两根之差的绝对值时，可以直接利用上面的结论。
3、熟记： 1）
11x 1+x 2222
， x 1+=+x 2=(x 1+x 2)-2x 1x 2
x 1x 2x 1x 2
2）已知一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0) 的两根为x 1和x 2； 若a +b +c =0，则x =1； 若a -b +c =0，则x =-1；
（乘积相等，和为相反数） ax 2-bx +c =0(a ≠0) 的两根是-x 1, -x 2；
cx 2+bx +a =0(c ≠0) 的两根是
经典精讲
121112
（同时除以x ，得a () +b () +c =0） , 。
x x x 1x 2
【例3】如果方程x +px +1=0(p >0) 的两根之差是1，那么P 的值为（ ） A. 2
【例4】二次项系数为1的一元二次方程的两根分别为1+2和1-2，那么，这个方程是（ ） A. x +2x +1=0
22
【例5】已知实数a ≠b ，且满足(a +1) =3-3(a +1) ，3(b +1) =3-3(b +1) ，则
2
2
B. 4 C.
3
D.
5
B. x +2x -1=0
2
C. x -2x +1=0
2
D. x -2x -1=0
2
a b
+的值为b a
（ ）。
A. 23
B.-23
C.-2
D.-13
三、一元含参不等式和二元一次不等式初步
知识点睛
用不等号（＜, ＞, ≤，≥，≠）表示不等关系的式子叫做不等式。 1、不等式的基本性质：
①、不等式两边同时加上或者减去同一个数，不等号不变； ②、不等式两边同时乘以一个大于零的数，不等号不变； ③、不等式两边同时乘以一个小于零的数，不等号改变。 2、一元一次含参不等式
对于一元一次含参不等式，系数含有字母需要分类讨论：如不等式ax
【例6】 （1）已知a , b 为参数，解不等式-ax +5>
x -1， 3
1
（2）已知a , b 为常数，若ax +b >0的解集是x
3
3、简单一元二次不等式及其解法
解一元二次不等式通常先将不等式化为ax 2+bx +c >0或ax 2+bx +c 0) 的形式，然后求出对应方程的根（如果有），再写出不等式的解集：大于0时两根之外，小于0时两根之间。
一元二次不等式的解集，一元二次方程的根及二次函数图象之间的关系如下表（以a >0为例）：
4. 简单的一元高次不等式（已经因式分解的不等式） 步骤： ①列根（从小到大放数轴上）
②首正（整理） ③穿线（从右上方穿）
④x 轴上方为大于0的解，下方为小于0的解。
②含等号（方法：分离）
注意事项： ①重根（方法：奇穿偶不穿）。
经典精讲
【例7】求下列不等式的解集： （1）
（2）6x 2
-13x -28
（3）x 2
+4x +5>0
（4）-x 2
+x -2>0
（5）(x +1)(x -2)(x +3)(x -4) >0
（6）(-3x -1)(2x -2)(x +5)
【例8】已知ax 2
+bx +c >0(a ≠0) 的解是α
求不等式c (ax 2
-bx +c )(cx 2
+bx +a ) >0的解集。 易错点
（1）若0
a
)
B.
1
a
a
或x
D. x
1
a
或x >a
（2）与不等式
x -3
2-x
≥0同解的不等式是（ ）
A. (x -3)(2-x ) ≥0 B. 0
x -3
≥0
D. (x -3)(x -2) ≤0